Optimal produktionsfrekvens på färskvaror

14 juni 2020

Umeå, juni 2020

c

Gabrielle Ericsson

Optimal produktionsfrekvens på färskvaror för Norrmejerier Ekonomisk Förening, Umeå Examensarbete, 30p för

Civilingenjörsexamen i Industriell Ekonomi, 300hp med inriktning Logistik och Optimering

Handledare:

Gerold Jäger Umeå Universitet

John Lea Norrmejerier

Erik Rönnberg Norrmejerier Elin Norlin Wingfors Norrmejerier Examinator:

Klas Markström Umeå Universitet

Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå Universitet

90187 Umeå, Sverige

Sammanfattning

Studien är gjord på Norrmejerier i Umeå och inriktade sig mot produktionsplanens utformning. Produktionsplaner i allmänhet beskriver avvägningen mellan hur ofta (periodicitet) och hur stora batcher (kvantitet) man ska producera för att möta efterfrågan och samtidigt minimera produktions- och lagerkostnader. Färskpro- dukter, som mjölk i detta fall, präglas av kort hållbarhetstid vilket pressar livsme- delsproducenter till låg periodicitet och små batcher.

Problemet var att Norrmejeriers kostnadsstruktur (i likhet med många andra pro- ducerande företag) däremot tenderade att gynna hög periodicitet med stora bat- cher. Denna studie undersökte därför, genom att uppskatta produkternas värde- minskning, hur hög periodicitet som skulle vara ekonomiskt optimal för organi- sationen. Som hypotes angav man att periodiciteten inte bara påverkades av den korta hållbarhetstiden (snabb värdeminskningstakt), utan också hur stor efterfrå- gan en artikel hade samt nivån på det interna säkerhetslagret.

Studiens frågeställning löd Påverkar någon av faktorerna (1) efterfrågenivå, (2) intern säkerhetslagernivå eller (3) värdeminskningstakt av en artikel, den ekono- miskt optimala produktionsperiodiciteten och på vilket sätt i så fall?

Med hjälp av en teknisk implementation, med grund i linjärprogrammering och faktorförsök undersöktes hypotesen. Resultatet visade att samtliga faktorer spela- de in för periodiciteten på färskprodukter. Linjärprogrammets lösning visade att periodiciteten behövde vara allt lägre ju snabbare värdeminskningstakten var. På samma sätt innebar en Hög intern säkerhetslagernivå att periodiciteten drevs ner.

Dessutom påverkade efterfrågan på artiklarna hur ofta man borde producera dem.

I rapportens kapitel 9 diskuteras det faktum att resultatet skiljde sig från hur or- ganisationen arbetade. Till det nämns att kommande studier föreslås infatta hela försörjningskedjan och på så sätt undersöka en optimal lösning för hela produk- tionssystemet. Här konstateras också den tekniska lösningens begränsning och dess kortsiktiga lösning i en pågående intressekonflikt. Organisationen lämnas med för- slaget att undersöka andra faktorer som kan minska intresseglappet mellan Norr- mejerier och dess kunder genom exempelvis en sänkning i orderläggningskostnad.

I stort behövde också fler faktorer som påverkade Totalkostnad per produkt för

färskprodukter undersökas för att utvärdera vilka insatser som är mest lönsamma

på sikt. En tidsberoende prismodell mellan organisationen och dagligvaruhandel

föreslås också.

Abstract

This study was conducted at Norrmejerier, Umeå, a dairy factory in the North of Sweden. In the ambition to decrease the (KPI) Total cost per product, the variable production plan’s influence on the KPI was analysed. In short, the production plan describes the optimal proportion between quantity (how much) and periodi- city (how often) to produce, given that demand is met while minimizing inventory- and replenishment cost. For perishable items, like milk products in this case, the deterioration rate is inevitable and has to be considered when planning future pro- duction. Often, food manufacturers turns to frequent production and small batches due to this.

The problem was that Norrmejerier’s cost structure in production was rewarding high periodicity and large batches. However, the company was often producing with low periodicity and the profitability of that was often discussed internally.

The aim of this study was to determine the optimal production periodicity, while considering the fast devaluation rate. The hypothesis was that not only the fast devaluation rate affect the periodicity, but also the demand level of an article as well as the internal safety stock levels.

A technical implementation was used, based upon linear programming and factori- al experiments to test the hypothesis. The results present that all factors influenced the optimal periodicity for Norrmejerier. The faster the deteriorating rate was, the more frequent the production had to be. For a high safety stock or large demand the pattern was the same. For products with low demand, the conclusion was that Norrmejerier produce too often today.

In section 9 the result was analysed through the lens of three management levels.

First, the operational level, for a majority of the milk articles they can continue

work as current with the exception for products with the lowest demand. Second,

mid-level, change the cost structure around production to reduce the current con-

flict of interest now defining the production plan process. Also a future study

should include all value creating departments in order to minimize the total cost

of the entire logistic chain. Third, on management level, the company should consi-

der studying additional variables affecting the KPI Total cost per product in order

to use resources in the most cost effective way. A time sensitive price model is also

presented.

Förord

Arbetet markerar slutet på en fem år lång studieresa avsedd att resultera i en civilingenjörexamen i Industriell ekonomi vid Umeå Universitet.

Det största av tack vill jag rikta till samarbetsorganisationen, Norrmejerier Umeå.

Den vänlighet och professionalism som genomsyrar organisationen har varit ett tacksamt klimat att arbeta i som student. Genom detta arbete hoppas jag kun- na ge något i gengäld för den yrkesmässiga utveckling organisationen gett mig.

Vidare vill jag rikta ett stort tack till de anställda vid laborationsavdelningen, som tålmodigt svarat på frågor om högt och lågt och där mestadelen av arbetet bedrivits. Ett direkt tack vill jag ägna John Lea, Erik Rönnberg, Erik Blomgren samt Elin Norlin Wingfors som bistått med erfarenhet, engagemang och kunskap under hela arbetet. Deras stöttning har varit ovärderlig och slutresultatet hade sett annorlunda ut utan dem.

En stor portion tacksamhet känner jag också inför min bror, Kristian Ericsson, som genom hela arbetsprocessen kommit med bra idéer, utvecklingsmöjligheter och feedback. För varje diskussion gör han mig klokare.

Ett tack ska även riktas till min handledare på Umeå universitet, Gerold Jäger, för det många timmar han lagt ner och den konstruktiva feedback han bidragit med.

Gabrielle Ericsson

Umeå, juni 2020

Innehåll

1 Inledning 1

1.1 Studiens utgångspunkt . . . . 1

1.2 Avgränsningar . . . . 1

1.3 Rapportens disposition . . . . 2

2 Bakgrund 4 2.1 Produktionsekonomins målkonflikter . . . . 4

2.2 Livsmedelskedjan . . . . 5

2.2.1 Livsmedelskejdan för mejeriprodukter . . . . 5

2.2.2 Färskvarors egenskaper . . . . 6

2.3 Relationen livsmedelsindusti - dagligvaruhandel . . . . 7

2.4 Norrmejerier . . . . 7

2.4.1 Mjölkproduktion vid Umeå mejeri . . . . 7

2.4.2 Kontinuerligt förbättringsarbete . . . . 7

2.5 Relationen Norrmejerier - dagligvaruhandlare . . . . 8

2.6 Intern målkonflikt hos Norrmejerier . . . . 9

3 Matematisk teori 10 3.1 Optimeringslära . . . . 10

3.2 Linjärprogrammering . . . . 10

3.3 Att lösa LP- & HTP-problem . . . . 11

3.4 Ekonomiskt orderkvantitet (EOQ) . . . . 11

3.5 Lagerhållningsproblem för enskilda färskprodukter (LHP) . . . . 12

3.6 Diskret händelsesystem . . . . 14

3.7 Försöksplanering . . . . 14

3.8 Simulering . . . . 14

3.9 Stora talens lag . . . . 15

4 Tidigare forskning 16 4.1 Forskning om livsmedelskedjan . . . . 16

4.2 Modifieringar av LHP . . . . 16

4.3 Simuleringsmoment i LHP . . . . 17

5 Metod 18 5.1 Användning av mjukvara . . . . 18

5.2 Faktorförsök . . . . 18

5.3 Implementation LHP . . . . 19

5.4 Hållbarhetstid (eng. Life time) . . . . 19

5.5 Lagersystem i kyllagret (eng. Inventory system) . . . . 20

5.6 Säkerhetslager . . . . 20

5.7 Efterfrågan (eng. Demand) . . . . 22

5.7.1 Efterfrågenivåer . . . . 22

5.7.2 Slumpgenerering av efterfrågan . . . . 22

5.8 Planeringshorisontens längd (eng. Planning horizon) . . . . 22

5.9 Kostnadsstruktur (eng. Cost structure) . . . . 23

5.10 Begränsningar (eng. Constraints) . . . . 24

6 Linjärprogram 25 6.1 Indexeringar . . . . 25

6.2 Beslutsvariabler . . . . 25

6.3 Parametrar . . . . 26

6.4 Linjärproblem . . . . 26

6.5 Implicerade beslutsvariabler . . . . 27

6.6 LP-problem uttryckt i text . . . . 27

7 Resultat 28 7.1 Resultatsammanställning samtliga faktorförsök . . . . 28

7.2 Exempellösning från körning av LP . . . . 29

8 Analys 32 8.1 Efterfrågenivå . . . . 32

8.2 Intern säkerhetslagernivå . . . . 32

8.3 Värdeminskningstakt . . . . 33

9 Slutsatser och rekommendation 34 9.1 Nivå 1 - Operativ nivå . . . . 34

9.2 Trovärdighet, tillförlitlighet och generaliserbarhet . . . . 35

9.3 Framtida studier . . . . 35

10 Diskussion 37 10.1 Nivå 2 - Mejerinivå . . . . 37

10.2 Nivå 3 - Ledningsnivå . . . . 37

Referenser 41

Bilaga I i

Bilaga II ii

Bilaga III iii

1 Inledning

Här introduceras läsaren till studiens utgångspunkt i korthet, syftet den var tänkt att uppfylla samt de avgränsningar som krävdes för att göra arbetet genomförbart.

Som avslut presenteras rapportens disposition där varje del förklaras kort.

1.1 Studiens utgångspunkt

Då hållbarhetstid på färskprodukter anses vara en viktig produktegenskap enligt konsu- menten blir frågan central för dagligvaruhandlare. På motsvarande vis blir den viktig för Norrmejerier som tillverkar dessa produkter. Denna studie tar ett helhetsgrepp på rela- tionen mejeri - dagligvaruhandel när det kommer till mjölkprodukter. En relation som präglas av dagligvaruhandelns önskan om frekvent produktion för att hålla långt till Bäst före-datum och ett mejeri som önskar stordriftsfördelar i sin produktion. Hur kan man hitta den bästa avvägningen mellan dessa två intressen? Hur ofta borde Norrmejerier tillverka mjölk, givet att de tar hänsyn till både sina interna kostnader och handlarnas värdeupplevelse av produkten? Och vilka fler variabler kan antas spela in i denna av- vägning? Som hypotes gav organisationen att frekvensen (även kallad periodicitet) inte bara berodde på dagligvaruhandlarnas värdeupplevelse, utan också på hur stor efterfrå- gan man hade på en artikel samt nivån på det interna säkerhetslagret [1].

Studiens frågeställning löd därför Påverkar någon av faktorerna (1) efterfrågenivå, (2) intern säkerhetslagernivå eller (3) värdeminskningstakten av en artikel, den ekonomiskt optimala produktionsperiodiciteten och på vilket sätt i så fall?

1.2 Avgränsningar

För att begränsa studien till att motsvara ett halvårs arbete gjordes avgränsningar i vilka delar av Norrmejeriers produktionssystem som skulle tas i beaktande. Den opti- mala produktionsperiodiciteten undersöktes utifrån kostnadsstrukturen vid avdelning- arna Förpackning och Kyllager. Dessutom har stor hänsyn tagits till Konsumenternas preferenser som kanaliseras genom Norrmejeriers kunder i form av Dagligvaruhandlare.

Avgränsningen i material- och informationflöde presenteras tydligt i Figur 1.

Organisationens frekvens i Distribution utelämnades från studien. Här antogs de avtal gällande leveranser som organisationen har med sina kunder vara oförändrade. Det är däremot rimligt att påpeka att produktionsperiodiciteten i kombination med distribu- tionsfrekvensen tillsammans påverkar handelns upplevelse av värdeminskningen på pro- dukterna.

Frågeställningen krävde nödvändigtvis inte en teknisk lösning men den var möjlig utifrån

författarens kännedom inom områdena matematisk optimering och statistik. Som metod

användes ett Linjärprogram med utgångspunkt i typproblemet Lagerhållningsproblem.

Figur 1: Material- och informationsflöde hos Norrmejerier

Den interndata som användes rör Umeå mejeris förpackningsmaskin Tetra Brik

Ed- ge, men studiens resultat bör kunna tillämpas på alla mjölkförpackande maskiner inom organisationen.

1.3 Rapportens disposition

För att underlätta läsning av studien presenteras här alla delar av rapporten med en tillhörande förklaring kring dess innehåll.

2 Bakgrund Här introduceras läsaren till generella målkonflikter för produktions- företag, marknadssituationen för livsmedelstillverkare och hur maktförhållandet mellan producenter och dagligvaruhandel kraftigt förskjutits till handelns fördel de senaste 20 åren. Dessutom beskrivs färskprodukters specifika produktegenskaper och vilka konse- kvenser det får vid produktion. I denna kontext introduceras Norrmejerier, som liten aktör på en hårt konkurrensutsatt marknad. Avslutningsvis förklaras organisationens in- terna intressekonflikt och den diskussion om produktionsperiodicitet som den präglas av.

3 Matematisk teori Här introduceras läsaren till den matematiska teori som tilläm- pas i studien. Ämnen som nämns är linjärprogrammering, lagerhållningsproblem, samt de statistiska verktygen faktorförsök och simulering.

4 Tidigare forskning Här introduceras läsaren till hur studier före denna modi-

fierat och tillämpat lagerhållningsproblemet för att lösa produktionsfrågor inom olika

branscher. Här nämns hur färskprodukters snabba försämringstakt påverkar LHP och

hur man tidigare gjort simulationer i kombination med typproblemet.

5 Metod Här introduceras läsaren till hur denna studie nyttjar matematisk teori och tidigare modifieringar av LHP för att beskriva och lösa just det problem som Norrmejerier har idag. Det beskrivs hur faktorförsök upprättades för att ge svar på frågeställningen och linjärprogrammets ingående parametervärden.

6 Linjärprogram Här introduceras läsaren till det linjärprogram som användes i stu- dien för att ge svar på frågeställningen. Ingående beskrivs parametrar, beslutsvariabler, målfunktion och bivillkor samt en kortare förklaring för problemet i text som avslut.

7 Resultat Här introduceras läsaren till det resultat som linjärprogrammet återgett i form av optimal produktionsperiodicitet för alla faktorförsök. Dessutom kompletteras det med en exempellösning från en simulering av linjärprogrammet för att visa hur det fungerar i praktiken.

8 Analys Här introduceras läsaren till de slutsatser som kan dras utifrån studiens resultat. De tre faktorerna i faktorförsöken skapar ramen för analysen och en diskussion kring deras samspel lyfts.

9 Slutsatser och rekommendation Här introduceras läsaren till de rekommen- dationer för framtiden som författaren vill skicka med organisationen. Det konstateras att studiens resultat till stor del efterliknar hur organisationen arbetar idag och några förbättringpunkter nämns. Dessutom förs en diskussion om studiens trovärdighet samt vilka förbättringsmöjligheter som finns till den som tar vid efter.

10 Diskussion Här introduceras läsaren till en vidare diskussion som återkopplar till

de mer övergripande frågorna om KPI:n Totalkostnad per produkt samt intressekonflikten

med dagligvaruhandlare. Lösningar för hantering av dessa presenteras både på mejeri-

och ledningsnivå.

2 Bakgrund

Här introduceras läsaren till generella målkonflikter för produktionsföretag, mark- nadssituationen för livsmedelstillverkare och hur maktförhållandet mellan produ- center och dagligvaruhandel kraftigt förskjutits till handelns fördel de senaste 20 åren. Dessutom beskrivs färskprodukters specifika produktegenskaper och vilka kon- sekvenser det får vid produktion. I denna kontext introduceras Norrmejerier, som liten aktör på en hårt konkurrensutsatt marknad. Avslutningsvis förklaras organisa- tionens interna intressekonflikt och den diskussion om produktionsperiodicitet som den präglas av.

2.1 Produktionsekonomins målkonflikter

Målet med produktionsekonomi är att med transformationsprocessen skapa en förädling, så att en färdig produkt upplevs som mer värd för konsumenten än summan av dess insatsvaror. Vinstdrivande industriföretag skapar lönsamhet genom en effektiv produkt- förädling. För att nå målet om lönsamhet behöver lämpliga avvägningar göras mellan övriga organisatoriska mål. Givet att det finns begränsade resurser, kan flera mål inom organisationen samverka eller motverka varandra, beroende på produktionssituation. En målformulering hos produktionsfunktionen leder ofta till följande måluppdelning, som presenteras i Figur 2:

- God Leveransförmåga genom hög lagertillgänglighet eller kort och säker leveranstid, - Låg Tillverkningskostnad per styck, genom högt och jämnt resursutnyttjande,

- Låg Kapitalbindning i material, genom kort genomloppstid i produktionprocessen [2].

Det är ofta två av målen som prioriteras och det sätter sin prägel på produktionssituatio- nen. I syfte att nå en god lönsamhet måste en kontinuerlig avvägning mellan målen göras som är i samklang med de övergripande företagsmålen. Detta arbete är svårt även inom högre beslutsnivåer och problemet kan tendera att förstärkas när olika funktioner i orga- nisationen främst baserar sitt beslutsfattande på någon enskild målkomponent. Risken för suboptimering blir då stor och tenderar att skada lönsamheten på sikt. Förutom en lämplig eller optimal avvägning mellan dessa delvis motsträviga mål bör man framförallt sträva efter att reducera de faktorer som har negativ inverkan på avvägningen mellan målen, så att dessa snarare kommer i samklang med varandra [2].

Ett praktiskt exempel på en avvägningssituation mellan de tre målen i Figur 2 är nivån på Säkerhetslager. I korthet är det ett extra lager av färdigprodukter för att gardera sig mot osäkerhet i efterfrågan, inleveranser och produktion [3]. En hög nivå i säkerhetslager ger god Leveransförmåga, som kan kombineras med ett högt och jämnt resursutnyttjande i produktion, vilket pressar ner Tillverkningskostnad. Det är däremot inte förenligt med låg Kapitalbindning. [2].

De tre målkomponenterna riktar in sig på varsitt lönsamhetsbegrepp: intäkt, kostnad och

Figur 2: Generell målkonflikt inom produktionsekonomi [2].

kapital. Där en hög Leveransförmågan är en konkurrensfördel som genererar intäkter.

En låg Tillverkningskostnad är ett tecken på bra resursutnyttjande och Kapitalbindning berör omsättningstillgångar [2].

2.2 Livsmedelskedjan

Försörjningskedjan av livsmedel kan något förenklat beskrivas utifrån fyra aktörer: jord- brukare, livsmedelsindustri, dagligvaruhandel och konsumenter. I kedjans mitt finns livs- medelstillverkarna och dagligvarukedjorna, som verkar på högkoncenterade marknader [4]. En majoritet av svenska livsmedelsbutiker förses med varor från grossistföretag, vilka antingen ägs eller är nära kopplade till dagligvarukedjorna. De fyra största aktörerna står för 95% av marknaden, där ICA är störst med drygt 50% [5]. Först och sist i kedjan finns jordbrukarna respektive konsumenterna, och de är många såväl som små. Livsme- delskedjan kan därmed liknas med en timglasform, som går att utläsa i Figur 3 [4].

2.2.1 Livsmedelskejdan för mejeriprodukter

Svensk mejeriindustri domineras av lantbrukskooperativ och har historiskt kännetecknats

av en geografiskt delad marknad. Idag finns den regionala systematiken endast kvar på

färskvaror (varor med kort hållbarhetstid) som mjölk, grädde och filmjölk [4]. I övrigt

präglas branschen av hög koncentration. Den europeiska jätten Arla står för 70% av

marknaden, och därefter Skånemejerier (15%), Norrmejerier (7%), Falköpings mejeri (4%)

och övriga (5%) [5].

Figur 3: Livsmedelskedjan illustrerad genom en timglasform [4].

2.2.2 Färskvarors egenskaper

Färskvaror är produkter med kort hållbarhetstid som bröd, lågpastöriserad mjölk och

kött. Enligt svensk livsmedelslag behöver dessa produkter ha en märkning med Bäst

Före-datum. Tidsperioden fram till datumstämpeln ska livsmedelsproducenten kunna

garantera specifika produktkrav som rätt smak, färg och konsistens. För de flesta livs-

medel finns ingen lag på hållbarhetstidens längd utan producenten får genom erfarenhet

och hållbarhetstester hitta den själv, eller förhålla sig till eventuella branschriktlinjer

[6]. Med färskvaror brukar specifikationer gällande temperaturförutsättningar i produk-

tion, distribution och handel medfölja för att kunna garantera att produkterna håller

hållbarhetstiden ut [7].

2.3 Relationen livsmedelsindusti - dagligvaruhandel

De senaste 20 åren har ett tydligt maktskifte skett, från livsmedelsproducenter till dag- ligvaruhandel. Anledningen tillskrivs handelsfrämjande åtgärder, en mer konsoliderad marknad av livsmedelsbutiker samt det ökande antalet produkter som säljs i butiker- nas egna namn, s.k. egna märkesvaror (EMV) [8]. Maktförskjutningen har ökat handels marginaler, priset till konsument har sänkts och på längre sikt riskerar mindre aktörer att slås ut i konkurrensen. Mönstret är genomgående för livsmedelsindustrin, där meje- ribranschen inte kan undantas [9].

Även om livsmedelsbranchen domineras av stora multinationella aktörer utgör dessa va- ror en liten andel av dagligvaruhandelns totala försäljning. Marknadskoncentrationen i dagligvaruhandeln gör att livsmedelsföretagen ofta är beroende av att de stora daglig- varukedjorna köper in deras produkter. Framförallt står många i beroendeställning till ICA Sverige [9].

2.4 Norrmejerier

Norrmejerier är ett mindre lantbrukskooperativ och livsmedelsproducent av mejerivaror i Sveriges fyra nordligaste län. Vid anläggningarna i Umeå, Luleå och Burträsk förädlas komjölk till exempelvis konsumtionsmjölk, smör och yoghurt [10].

2.4.1 Mjölkproduktion vid Umeå mejeri

Vid Umeå mejeri organiseras produktionen enligt principerna för batchtillverkning, där en batch kan definieras som de resulterande produkterna efter en körning genom hela produktionskedjan [11]. Vägen från bondgård till konsument beskrivs i Figur 1 i kapitel 1 och kan sammanfattas i sju steg.

Från kooperativets bondgårdar levereras s.k. helmjölk in till mejeriet veckans alla da- gar. Vid avdelningen för mjölkbehandling genomgår råvaran flera steg som separering, standardisering, homogenisering och pastörisering för att ge den rätt produktegenska- per. Därefter förpackas produkten till konsumentartiklar och får sitt Bäst före-datum.

För mjölkprodukter planläggs tidpunkten för detta moment allra först och de andra av- delningarna anpassas sitt arbete efter det. Avslutningsvis läggs artiklarna i kyllager organiserat enligt FIFO och med 1 dags genomsnittsproduktion i säkerhetslager, för att senare kunna distribueras ut till dagligvaruhandlare som säljer till konsumenter [12].

2.4.2 Kontinuerligt förbättringsarbete

Norrmejerier, som liten aktör på en starkt konkurrensutsatt marknad arbetar kontinuer-

ligt med att förbättra sin verksamhet. Det pågår ständigt utvecklingsprojekt i syfte att

nå verksamhetsövergipande mål, s.k. Key Performance Indicator (KPI). Två av dessa är:

- Totalkostnad per produkt där man för minsta möjliga kostnad ska föra en produkt ge- nom sin förädlingskedja [13].

- Servicegrad, ibland även kallat lagertillgänglighet, där den produkt kunden beställer ska finnas tillgänglig för leverans nästa dag, utan att behöva ersättas med en substitut- produkt [1].

För att kunna sänka Totalkostnad per produkt har man genom åren genomfört många projekt som bland annat bytt förpackningsmaskiner, sänkt orderläggnings- och trans- portkostnader, förlängt hållbarhetstiden, minskat svinn, maximerat råvaruutnyttjandet och ökat maskinhastigheter [12]. Inom vilket område man valt att fokusera sina insat- ser har bestämts av vart man upplevt att förhållandet mellan arbetsinsats och tänkbara besparingar varit som störst [13]. I syfte att höja eller stabilisera organisationens Leve- ransprecision har man kontinuerligt förbättrat sin förmåga att prediktera kundbeställ- ningar och skapat ett stabilare produktionsflöde [1].

För att förbättra dessa två KPI:er i dagsläget inriktar man sig bland annat på säkerhets- lagernivå och produktionplan. Med produktionsplan syftas till hur ofta (periodicitet som mäts i produktionscykeltid) och hur stora produktkvantiteter som är ekonomiskt optimalt att producera för att minimera tillverkning- och lagerkostnader. Frågan är ett ständigt diskussionsämne mellan organisationen och dess kunder i form av dagligvaruhandlare [1].

2.5 Relationen Norrmejerier - dagligvaruhandlare

Norrmejeriers produktion styrs av dagligvaruhandlarnas konsumtionsbeteende, som på motsvarande sätt, styrs av sina konsumenters beteende. En illustration av informations- flödet finns i Figur 1 i kapitel 1. Då ledtiden på färskprodukter behöver hållas kort och konsumenteras köpmönster har säsongs- och veckovariationer genomför både Norr- mejerier och dagligvaruhandlarna prognoser för nästa parts beteende. Handlarna lägger beställningar hos Norrmejerier, som plockas ur kyllagret och levereras ut nästa dag. Pro- duktionsplanen för de följande dagarna justeras efter storleken på inkommande order [1].

I dagligvaruhandeln tenderar konsumenten att välja mjölkartiklar efter ett LIFO-system för att maximera tiden till Bäst före-datum [7]. Som följd blir handlarna känsliga inför denna produktegenskap och agerar i syfte att minimera risken för att behöva sälja artik- lar till nedsatt pris eller i värsta fall slänga dem. Prisavtalet för mjölkartiklarna mellan Norrmejerier och dagligvaruhandlare är oberoende av tiden mellan tillverkningsdag och kundleverans. Utifrån det minskar handlarnas värdeupplevelse av artiklar i takt med tiden från förpackningsdag. Vid leveranser av artiklar som handlare upplever som för gamla uttrycks ett stor missnöje och några vill i värsta fall neka leveransen för att värdet på produkterna upplevs som för lågt. Vid leverans samma dag eller dagen efter förpack- ningsdag har i det närmaste ingen värdeförlust skett, men den eskalerar ju närmre en ev.

mottagningsgräns man kommer. Handlarnas preferenser skiljer sig åt, men de flesta upp-

lever fullständig värdeförlust vid leverans av 4-6 dagar gammal mjölk. De handlare som i

praktiken väljer att neka leveranser är få, men attityden om en upplevd värdeminskning uppfattar Norrmejerier som genomgående hos sina kunder [1].

2.6 Intern målkonflikt hos Norrmejerier

I slutändan uppstår en intressekonflikt mellan organisationens kunder och Norrmejerier.

En konflikt som också återspeglas internt genom direkt skilda intressen mellan Mark- nadsavdelningen och Operations. Här återkommer således den generella målkonflikt som finns beskriven i avsnitt 2.1 då organisationens KPI Servicegrad mestadels inriktar sig mot målet om hög Leveransförmåga, vilket främst drivs av Marknadsavdelningen. På motsvarande vis hanterar Operations avvägningen mellan låg Tillverkningskostnad och låg Kapitalbindning. När dessa mål ställs mot varandra uppstår rimligtvis en än större målkonflikt.

Utifrån den kostnadsstruktur som omgärdar mjölkproduktionen skulle organisationen, för att minimera tillverknings-, lager-, och distributionskostnader, tillverka och distribuera så sällan som möjligt. Det är i direkt motsatts till Marknadsavdelningens (handlarnas) önskan om låg periodicitet och små batcher. I dagsläget producerar Norrmejerier mjölkar- tiklar sex av sju veckodagar. Detta faktum pressar upp KPI:n Totalkostnad per produkt men får positiv inverkan på KPI:n Servicegrad [1].

Dessvärre ser man ingen annan lösning än att anpassa sin produktion till högfrekvent, då man upplever risken för inkomstbortfall allt för påtaglig annars [1]. Detta utmynnar till den fråga som studien ställer sig. Hur kan man internt hantera intressekonflikten genom att hitta en optimal mellanväg där båda KPI:erna tas i beaktning?

Ett sätt att navigera sig i intressekonflikten historiskt har varit att förlänga hållbarhetsti-

den på produkterna med förhoppningen om det skulle senarelägga mottagningsgränserna

hos dagligvaruhandlarna. Om projekten lett till dessa förändringar är svårt att säga [1].

3 Matematisk teori

Här introduceras läsaren till den matematiska teori som tillämpas i studien. Äm- nen som nämns är linjärprogrammering, lagerhållningsproblem, samt de statistiska verktygen faktorförsök och simulering.

3.1 Optimeringslära

Optimeringslära eller matematisk optimering är den matematiska läran om hur man fin- ner, utifrån förutsättningarna, den bästa tillåtna lösningen till ett matematiskt definiterat optimeringsproblem. Vilken uppgift som ska lösas och vad som menas med bäst specifi- ceras matematiskt genom en s.k. målfunktion. Dessutom beskrivs tydligt vilka typer av lösningar som är tillåtna (eller snarare vilka som inte är tillåtna) genom s.k. bivillkor [14].

Målet är att hitta och välja det mest optimala alternativet och hur bra ett alternativ är beskrivs genom ett målfunktionsvärde som antingen önskas maximeras (exempelvis vinst) eller minimeras (exempelvis kostnad) beroende på hur problemet definieras [15].

3.2 Linjärprogrammering

Linjärprogrammering (LP) är en typ av matematisk optimering och används som verk- tyg för att beskriva och lösa matematiska modeller innehållande beslutsvariabler, linjär målfunktion och ett flertal linjära bivillkor. Dessa bivillkor spänner upp ett s.k. tillåtet område (eng. feasible area) där de möjliga lösningarna på problemet finns. Man brukar prata om aktiva bivillkor, som skapar och begränsar det tillåtna områdets ytterkanter och redundanta bivillkor som i motsatts inte påverkar området. Antalet lösningar till ett LP-problem är noll, en eller oändligt många [16].

En möjlig definition av ett LP-problem är som följande:

Minimera c ^T x

Under bivillkoren Ax ≤ b x ≥ 0

(1)

där x är en beslutsvariabelvektor (som ska hittas), b, c är kända koefficientvektorer, A beskriver en känd koefficientmatris och c ^T är c-vektorn transponerad [16].

Heltalsprogrammering

En specialisering av LP är heltalsprogrammering där alla eller några av beslutsvariabler-

na endast tillåts anta heltal eller binära värden. Dessa problem kallas då för heltalpro-

grammeringsproblem (HTP-problem) och används ofta vid modellering av miljöer som

naturligt innefattar fysiska enheter. I matematiska termer definieras ett HTP-problem

på liknande sätt som i Ekvation (1) med enda skillnaden att x ∈ Z ⁿ [17].

3.3 Att lösa LP- & HTP-problem

Oavsett om man väljer att lösa LP- eller HTP-problem på papper eller med hjälp av datorkraft är metoden densamma. Det krävs en algoritm som systematiskt undersöker möjliga optimallösningar i det tillåtna området som bivillkoren spänner upp. Den helt do- minerande algoritmen för LP-problem är Simplexmetoden. Den flyttar sig från en lösning till nästa på ett sätt som gör att målfunktionsvärdet förbättras. Den antas vara klar när den inte längre hittar fler lösningar som förbättrar målfunktionsvärdet. När problemet löses med hjälp av mjukvara kommer ofta algoritmerna förpackade i större lösningspaket s.k. solvers [14].

För att lösa heltalsproblem är det vanligt att en LP-relaxation görs, där icke-heltalslösningar till en början tillåts. Därefter löses LP-problemet om och om igen med tillägg av nya bi- villkor tills man nått en heltalslösning. Denna typ av metod kallas plansnittsmetod (eng.

Branch and Bound) där man skapar ett lösningsträd som man iterativt genomsöker efter tillåtna lösningar [14].

3.4 Ekonomiskt orderkvantitet (EOQ)

En av de mest använda metoderna för att beräkna ekonomisk orderkvantitet är F.W.

Harris formel (EOQ), även kallad Wilson-formeln. Här vill man hitta orderkvantiteten som minimerar totalkostnad genom att ta hänsyn till lagerhållnings- och ordersärkost- nader. I Figur 4 beskrivs utmaningen i formeln grafiskt.

Figur 4: Samband mellan orderkvantitet, kostnad, ordersärkostnad, lagerhållnings-

kostnad och totalkostnad (EOQ) [3].

Den matematiska definitionen av formeln är som följande:

q∗ =

r 2kd

h (2)

där q* är den ekonomiskt optimala orderkvantiteten, k är ordersärkostnad, d är efter- frågan per tidsenhet samt h beskriver lagerhållningskostnader per enhet och tidsenhet [3]. Genom en smärre modifiering av formeln, då istället kallad Economic Production Quantity (EPQ), blir den applicerbar i producerande miljöer [18].

EPQ-modellen är användbar om kostnadsstrukturen eller efterfrågan inte varierar över tid samt om efterfrågan är känd på förhand [19]. För att kunna lösa frågan om minimal totalkostnad även utan någon av dessa antaganden utvecklade matematikerna Wagner H. och Whitin T. typproblemet Lagerhållningsproblem (eng. Lot size-problem) [20].

3.5 Lagerhållningsproblem för enskilda färskprodukter (LHP)

I likhet med EPQ-formeln kan en implementation av lagerhållningsproblemet ge svar på frågorna ”Hur mycket ska produceras?” och ”När ska det produceras?” samtidigt som efterfrågan möts och produktion- och lagerhållningskostnader minimeras [21]. Genom åren har många matematiska definitioner på problemet utvecklats för att passa bransch- specifika förhållanden, ett faktum som beskrivs närmare i avsnitt 4.2. En defintion av Lagerhållningsproblem för enskilda färskprodukter (eng. Economic Lot Size Model with Perishable Inventory) är som följande [22]:

Ponera en planeringshorisont med n perioder. Man definierar beslutsvariab- lerna som följande

x _t Produktionsvolymen i period t, med antagandet att den är tillgänglig i början av period t, där x _t ≥ 0 för 1 ≤ t ≤ n.

z _i,t Mängden av produktionen i period i som används för att möta efterfrågan i period t, där z _i,t ≥ 0 för 1 ≤ t ≤ n. När i < t, hålls lager av produkterna och när i > t har man s.k. backlogging (efter- släpning av efterfrågan från en tidigare period). Efterfrågan möts i början av varje period direkt efter produktion.

y _i,t Mängden artiklar kvar i lager vid början av period t från produktions- perioden i efter att z _i,t levererats till kunder, där y _i,t ≥ 0 för

1 ≤ i ≤ t ≤ n.

Parametrarna definieras som följande:

d _t Efterfrågan på produkten i period t.

C Konstant produktionskapacitet i en period, där C ≥ 0.

θ _i,t Försämringstakten under period t för y _i,t , med andra ord andelen av y _i,t som är oanvändbar i period t, där 1 ≤ i ≤ t ≤ n och 0 ≤ θ _i,t ≤ 1.

Kostnadsfunktionen definieras som följande:

c _t (x) Produktionskostnaden för att producera x enheter i period t.

H _i,t (y) Lagerhållningskostnaden för y enheter under period t,

producerade i period i och kvar i lager vid början av period t, där i ≤ t.

B _i,t (z) Kostnaden för eftersläpning (backlogging) med z enheter

från efterfrågan i period t med produktion i period i, där i > t . Funktionerna för produktion, lagerhållning och backlogging är icke-avtagande konkava funktioner där c _t (0) = 0, H _i,t (0) = 0 för 1 ≤ i ≤ t ≤ n och

B _i,t (0) = 0 för 1 ≤ t ≤ i ≤ n. Problemet kan definieras som följande:

M in

n

X

t=1

"

c t (x t ) +

t

X

i=1

H i,t (y i,t ) +

n

X

i=t+1

B i,t (z i,t )

#

(3) sådant att

x t −

t

X

i=1

z t,i = y t,t 1 ≤ t ≤ n (4)

(1 − θ i,t−1 )y i,t−1 − z _t,i = y i,t 1 ≤ i ≤ t ≤ n (5)

n

X

i=1

z t,i = d t 1 ≤ t ≤ n (6)

0 ≤ x t ≤ C 1 ≤ t ≤ n (7)

y _i,t ≥ 0 1 ≤ i ≤ t ≤ n (8)

z _i,t ≥ 0 1 ≤ i, t ≤ n (9)

Ekvation (4) beräknar mängden av x _t som är kvar i lager y _t,t vid period t efter att efterfrågan i period t är mött. Ekvation (5) beräknar mängden kvar i lager y _i,t−1 efter försämring skett och efterfrågan i period t är mött. Ekvation (6) säkerställer att efterfrågan i varje period möts i slutet av perioden. Ek- vation (7) begränsar produktionsvolymerna och säkerställer icke-negativitet.

Ekvationerna (8), (9) säkerställer också icke-negativitet [22].

3.6 Diskret händelsesystem

En konceptuell definition av ett system är ”en samling komponenter sammankopplade enligt en speciell ordning med mål att åstadkomma en eller flera saker”. När man defi- nierar ett system är det viktigt att precisera när förändringar på systemet kan ske. Om systemet endast kan förändras vid diskreta tidpunkter kallas det ett diskret händelsesy- stem (eng. discrete-event system), annars klassas det som kontinuerligt. Det är vanligt återkommande att modellera produktionssystem som diskreta händelsesystem [23].

3.7 Försöksplanering

Försöksplanering är ett flertal statistiska metoder för att ta fram samband och samver- kanseffekter mellan faktorer i processer. Metoderna används ofta i syfte att optimera någon process och görs genom att observera hur responsvariabeln (det man vill optime- ra) påverkas av nivåförändringar av en eller flera ingångsvariabler (som man själv kan påverka). Om experimenten görs på ett statistiskt korrekt sätt kan man dra slutsatser för processens orsak-verkan-samband i efterhand. Försöksplanering i denna bemärkelse beskriver metoden för att planering och samla så användbar data som möjligt på ett så kostnadseffektivt sätt som möjligt [24].

Fullständig försöksplan

Vid tillämpning av en fullständig försöksplan undersöks alla möjliga kombinationer av de olika nivåerna för ingångsfaktorerna. Vid två faktorer, med vardera två nivåer (ex- empelvis Låg/Hög) innefattar försöksplanen 2 ² = 4 experiment. Det kan utökas till fler faktorer, och fler nivåer på vardera faktor. I takt med detta ökar också vanligtvis kost- nader och/eller tiden för experimentgenomförandet [24].

3.8 Simulering

Simulering är ett sätt att, så långt som möjligt, återskapa ett system under kontrollerade

former för testa hur det hanterar förändring över tid. En simulator är inte tänkt att vara

en kopia av det system den försöker efterlikna, utan inriktar sig ofta mot en begränsad

mängd egenskaper på systemet som man vill undersöka. En simulation är en observation

av modellen vid en given tidpunkt. Med hjälp av många återupprepningar (som tillsam-

mans skapar en s.k. simulering) och med olika ingående parametrar kan systemet testas

hur det reagerar och hanterar förändringar [25].

Efter en simulering är det viktigt validera och verifiera resultatet. Exempel på testmeto- der för detta är statistiska analyser, rådfråga personer som känner till det system man försökt efterlikna eller jämföra centrala nyckeltal i modellen med verkliga, uppmätta värden. Idag används datorbaserad simulering som verktyg inom många områden. Inte sällan på system som är dyra, svåra eller omöjliga att testa systemförändringar i fysisk miljö [26].

3.9 Stora talens lag

Det är omöjligt att förutsäga vilket värde en slumpmässig variabel kommer anta vid en enskild observation. Är det däremot ett stort antal observationer kommer dess slump- mässiga karaktär tappas och gå mot ett mer förutsägbart resultat. Detsamma gäller vid flertalet kombinerade slumpmässiga processer där även dess interaktion går mot att vara nästan helt oberoende av slumpen. Detta fenomen beskrivs som Stora talens lag. [27].

Det finns både en svag och stark version av denna sats. För den senare versionens for- mulering står Kolmogorov A. för. Han publicerade den år 1933 och en definition lyder:

Låt X n vara medelvärdet av n inbördes oberoende stokastiska variabler med gemensam sannolikhetsfördelning och där µ är ett ändligt väntevärde. Då gäller att

P ( lim

n→∞ X _n = µ) = 1 (10)

Vilket i korta ordalag säger att sannolikheten för att medelvärdet konvergerar mot vän-

tevärdet, då n går mot oändligheten, är 1 [27].

4 Tidigare forskning

Här introduceras läsaren till hur studier före denna modifierat och tillämpat lager- hållningsproblemet för att lösa produktionsfrågor inom olika branscher. Här nämns hur färskprodukters snabba försämringstakt påverkar LHP och hur man tidigare gjort simulationer i kombination med typproblemet.

4.1 Forskning om livsmedelskedjan

Intresset för välfungerande logistikkejdor av färskvaror har ökat de senaste decennierna.

Förklaringen tillskrivs ett växande matbehov pga. den globala befolkningsökningen samt en allt mer internationaliserad matkultur i de rika länderna. Inom matematisk optimering har som nämnts intresset bland annat lagts på Lagerhållningsproblem (LHP) [7].

4.2 Modifieringar av LHP

För att passa specifika branschförhållanden är det vanligt med modifieringar eller tillägg i LHP. En rysk kartläggningsstudie visar på vanliga modifieringar i Figur 5 [18]. Huvud- indelningarna för modifieringarna är Produkt, Lagersystem, Begränsningar, Efterfrågan, Kostnadsstruktur samt Planeringshorisont. I detta kapitel beskrivs den modifikation som varit mest betydelsefull för denna studie, färskvarors försämringstakt. I Figur 5 går det under Product, Lifetime och Perishable. De olika modifieringarnas påverkan på denna studies LP-program beskrivs under avsnitt 5.

Figur 5: Modifikationer av lagerhållningsproblem (LHP) [18]

Försämringstakt

Ett sätt att beskriva butikernas värdeupplevelse av färskvaror i förhållande till tiden är genom en s.k. försämringstakt [28]. Ett vedertaget sätt att introducera det i LHP- modelleringar är att prata om försämringstakt θ (eng. deteriorating rate), 0 ≤ θ ≤ 1.

Här indikerar värde 0 att ingen försämring skett sedan produktion och värde 1 säger att produkten nått Bäst före-datum och till följd inte säljbar till nästa part [7]. I de flesta fall har den antagits vara oberoende av tidpunkten när den tillverkades [29], vilket inte är fallet för exempelvis kött som av erfarenhet har en snabbare försämringstakt under sommarmånader.

Försämringstakten har modellerats antingen diskret eller kontinuerligt [30]. I flertalet studier används en tidsberoende och eskalerande funktion för θ(m) [31]:

θ(m) = 1

1 + R − m 0 ≤ m ≤ R (11)

där R är produktens hållbarhetstid samt m betecknar antalet dagar sedan produktion [32]. Vid studerande av en omfattande mängd studier tycks modellen främst inrikta sig på att beskriva värdeupplevelse i relationen producent - konsument där R antas vara ett motsvarande Bäst Före-datum [33].

4.3 Simuleringsmoment i LHP

Inom LHP används inte sällan simulation för att testa alternativa produktionsplaner.

Metoden är oftast kostnadseffektiv och tillämpas gärna innan en fysisk systemförändring genomförs. Vid väldigt komplexa system är metoden än mer användbar, då det kan vara svårt att direkt säga hur en förändring i en parameter påverkar andra [34].

Simulering används även återkommande för LHP i syfte att hantera företagens vardag-

liga utmaningar med variationer i exempelvis produktionutfall och efterfrågan. I några

forskningsrapporter förekommer simulering av efterfrågenivåer utefter givna statistiska

fördelningar, där väntevärde och standardavvikelse är kända på förhand [35]. LHP klas-

sas i dessa fall som dynamiskt och deterministiskt, eftersom efterfrågan varierar men är

känd vid tidshorisontens start för alla tidpunkter. Detta faller därmed under modifie-

ringen Demand och Dynamic i Figur 5. Ett sätt att öka möjligheten till ett tillförlitligt

simuleringresultat är att genomföra många simulationer i följd, enligt Stora talens lag

[36].

5 Metod

Här introduceras läsaren till hur denna studie nyttjar matematisk teori och tidigare modifieringar av LHP för att beskriva och lösa just det problem som Norrmejerier har idag. Det beskrivs hur faktorförsök upprättades för att ge svar på frågeställningen och linjärprogrammets ingående parametervärden. Förkortningarna pkt beskriver en artikel och h står för timmar.

5.1 Användning av mjukvara

Under projekets gång nyttjades framförallt två typer av mjukvara.

Microsoft Excel

Programvara användes i ett initialt skede för datagransning och statistik analys av produktion- och försäljningsdata. Utöver det uträkning av värdekurvorna efter given mo- dell. Efter optimeringsmomentet (i annan programvara) lästes resultatet in från externa filer för sammanställning och ny statistik analys i Microsoft Excel.

A Mathematical Programming Language (AMPL)

Denna mjukvara användes uteslutande för implementationen och optimering av den op- timeringsprogrammet som används i studien. Här i skedde också slumpgenereringen av efterfrågan med hjälp av ett slumpmässigt frö (eng. random seed ). Den inbyggda solvern Gurobi, algoritmen Simplexmetoden och plansnittsmetoden Branch and Bound användes för att hitta tillåtna heltalslösningar. Resultatet från körningar och de optimerade lös- ningarna sparades ner i Comma Seperated Files (CSV)-filer för vidare datahantering i Microsoft Excel.

5.2 Faktorförsök

För att besvara studiens undersökningsfråga, som handlade om optimal produktionspe-

riodicitet och om de tre faktorerna Efterfrågan, Intern säkerhetslagernivå och Värde-

minskningstakt påverkar denne, användes faktorförsök. Här kan man definiera den op-

timal produktionsperiodiciteten som responsvariabel och de tre angivna faktorerna som

ingångsvariabler. För att möjliggöra detta delades varje ingångsvariabel in i nivåer. Gäl-

lande Efterfrågan var den {Låg, Mellan, Hög }, för Internt säkerhetslager {0, 1, 2} dagar

samt Värdeminskningstakten beskrevs utifrån värdekurvor med mottagningsgräns vid {4,

5, 6} dagar. De andra parametrarna i linjärprogrammet hölls samtidigt konstanta un-

der alla försök. Därmed genomfördes en fullständig försöksplan där alla nivåer på alla

faktorer korstestades, vilket gav upphov till 3 ³ = 27 faktorförsök.

5.3 Implementation LHP

Utvecklingen av linjärprogrammet skedde iterativt i takt med att kännedomen för det fysiska systemet blev allt större. Som utgångspunkt för beskrivning av modellen har modifikationskartläggningen presenterad i avsnitt 4.2 under Figur 5 använts. De engelska begreppen har fritt översatts och varje delavsnitt som återkopplar till figuren har sitt engelska ursprungsbegrepp i rubriken. För en enkel översikt över modifikationsvalen finns Tabell 1. Därefter följer djupgående beskrivningar av hur studien förhåller sig till vardera modifikation och syftet bakom.

Tabell 1: Gjorda modellmodifikationer

Dimension Undergrupp Vald modifikation Se avsnitt Produkt Hållbarhetstid Begränsad livstid 5.4

Antal produkter En produkt 5.5

Lagersystem Diskret 5.5

Begränsningar Med begränsningar 5.10

Efterfrågan Dynamisk 5.7

Kostnadsstruktur Brist Ej tillåten 5.9

Återfyllnad Ej relevant 5.9

Planeringshorisont Ändlig 5.8

5.4 Hållbarhetstid (eng. Life time)

I Ekvation (11) under avsnitt 4.2 beskrivs färskprodukters snabba försämringstakt θ.

Som nämnts är den oftast applicerad i en kontext av livsmedelsproducent - konsument, där variabeln R är detsamma som produktens Bäst Före-datum. Denna studie är som nämnt inriktad mot relationen producent - dagligvaruhandel och variabeln R beskriver istället butikernas smärtgräns för mottagning av färskprodukterna. Eftersom dessa vari- erar från 4 till 6 dagar har tre värdekurvor k ^4,0 , k ^5,0 och k ^6,0 skapats. Där indexeringen 0 beskriver intern säkerhetslagernivå, som presenteras djupgående under avsnitt 5.6.

Utöver denna förändring är modellen inte tillämpbar i sin grundform rent matematiskt.

Oberoende av varandra påpekade intervjupersoner vid marknads- och planeringsavdel- ningarna att kunden inte upplever någon värdeminskning av produkten vid levereras samma dag som den förpackats [1] [37]. I matematiska termer borde då θ(0) = 0, vilket den inte är enligt ursprunglig modell i Ekvation (11).

För att hantera det har θ-funktionen normaliserats på [0,1] där θ(0) = 0 och θ(R) = 1.

Genom att multiplicera θ med produktvärdet får man en prislapp på försämringstakten

och den kan därefter ställas i relation till organisationens övriga kostnader. Genomsnitts- värdet på artiklarna var 10 SEK [12]. Den för studien använda funktionen för θ(t - i) för k ^R,0 _t−i kan beskrivas

k ^R,0 _t−i = θ(t − i) = ( _{1+R−(t−i)} ¹ ) − ( _1+R ¹ )

(1 − _1+R ¹ ) ∗ P 0 ≤ i ≤ t ≤ R, R ∈ {4, 5, 6} (12) där R beskriver dagligvaruhandelns mottagningsgräns, (t - i) är antalet dagar mellan förpackning- och kundleveransdag och P är produktvärdet. I avsnitt 5.6 beskrivs hur värdet tillskrivs när säkerhetslagernivån är annan än 0. Alla värdekurvors med dess vär- deförlust presenteras i Tabell 2.

Som situationen ser ut idag är smärtgränsen för mottagning varierande mellan handlare, och i denna typ av modelleringsuppställning med värdekurvorna kommer den interna variationen inte med. Här antas alla kunder neka antingen vid 4, 5 eller 6 dagar efter produktion. Man får ha det i åtanke när man tolkar resultatet.

5.5 Lagersystem i kyllagret (eng. Inventory system)

Modellen är gjord enligt diskreta principer, där förändringar i produktionsmängd eller lagernivåer endast kan ske vid bestämda punkter i tiden. Den är dessutom programmerad för att endast hitta heltalslösningar på problemet. Påfyllnaden av produkter i lager sker simultant med produktion vid tidpunktens början. Därmed antas ingen produktion- eller transporttid internt. Vid en leverans ut från lagret antas det nå kund samma dag.

I dagsläget finns inte ett reeellt problem med lagerplatser i kyllagret för organisationen och således har antalet lagerplatser i modellen satts till oändliga. Modellen kan endast hantera en typ av produkt, men den får olika egenskaper utifrån faktorförsöken.

5.6 Säkerhetslager

Med hjälp av de tre ursprungliga värdekurvorna k ^4,0 , k ^5,0 och k ^6,0 som presenterades under avsnitt 5.4, har ett tillägg gjorts för att ta hänsyn till det interna säkerhetslag- rets storlek i kyllagret. I organisationen pratar man om säkerhetslagerstorlek i form av genomsnittliga produktionsdagar, vanligtvis 0, 1 eller 2. Beroende på storleken i lagret förskjuts dagen då kunden kan få den allra färskaste mjölken med lika länge [1]. Detta har implementerats i värdekurvor med de tre mottagningsgränserna R ∈ {4, 5, 6} och interna säkerhetslagernivåerna L ∈ {1, 2, 3} korskombinerade till 3 ² = 9 olika experiment i faktorförsöken.

Säkerhetslagrets påverkan på värdekurvorna kan med hjälp av tidigare resonemang om förskjutning beskrivas allmänt matematiskt som

k _n ^R,L = k ^R,L+1 _n−1 n ∈ {1, 2, . . . , R}, L ∈ {0, 1} (13)

där R är butikernas mottagningsgräns och n noterar tiden mellan förpackningsdag och leveransdag. I Tabell 2 återfinns alla använda värden för att beskriva värdeminsknings- takten på produkterna. I den har kolumnen SHL (för säkerhetslager) inkluderats för att belysa hur nivån i Internt säkerhetslager i realiteten förskjuter värdekurvan (i antal dagar) och värdenas förflyttning beskrivs också med hjälp av grovmarkeringen. För en grafisk representation av värdekurvorna finns Figur 6 i Bilaga III.

Tabell 2: Dagligvaruhandelns upplevda värdeförlust beroende på dagar mellan för- packningsdag och leveransdag.

Värdeförlust som en funktion av tid (t - i) (SEK)

SHL 0 1 2 3 4 5 6,7,8,. . . ,20

Värdekurv or k R ,L t− i

k ^4,0 _t−i 0 0,0 0,625 1,667 3,750 10,00 10,00 10,00 k ^4,1 _t−i +1 0,625 1,667 3,750 10,00 10,00 10,00 10,00 k ^4,2 _t−i +2 1,667 3,750 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 k ^5,0 _t−i 0 0,0 0,400 1,000 2,000 4,000 10,00 10,00 k ^5,1 _t−i +1 0,400 1,000 2,000 4,000 10,00 10,00 10,00 k ^5,2 _t−i +2 1,000 2,000 4,000 10,00 10,00 10,00 10,00 k ^6,0 _t−i 0 0,0 0,278 0,667 1,25 2,22 4,17 10,00 k ^6,1 _t−i +1 0,278 0,667 1,25 2,22 4,17 10,00 10,00 k ^6,2 _t−i +2 0,667 1,25 2,22 4,17 10,00 10,00 10,00

Som en härledning av värdena i Tabell 2 och för att exemplifiera användningen av Ekva- tionerna (12) och (13) presenteras uträkningen av värdena k ^4,0 ₂ , k ^4,1 ₁ och k ^4,2 ₀ som finns i de två grönmarkerade områdena i angiven tabell.

k ₂ ^4,0 = ( ₁₊₄₋₂ ¹ ) − ( ₁₊₄ ¹ )

(1 − ₁₊₄ ¹ ) ∗ 10 =

1

3 − ¹ ₅

1 − ¹ ₅ ∗ 10 =

20 15 4 5

= 10

6 ≈ 1.667 (14)

Som underlag för Ekvation (14) användes Ekvation (12). Från Ekvation (13) ges det beskrivna värdeförhållandet i Ekvation (15).

k ₂ ^4,0 = k ₁ ^4,1 = k ₀ ^4,2 ≈ 1.667 (15)

Detta sätt, att i lagerhållningsproblemet ta hänsyn till säkerhetslagrets storlek på färsk-

produkter, har inte gått att hitta i tidigare studier. Detsamma gäller därmed också

förskjutningen av värdeminskningstakten som beskrivits i detta avsnitt.

5.7 Efterfrågan (eng. Demand)

En grundläggande begränsning i modellen är att efterfrågan i alla tidsperioder måste mötas. Utifrån modellens önskan om att minimera kostnader för produktion eller la- gerhållning kommer den alltid välja endast ett av alternativen, eftersom den annars får dubbla kostnader.

5.7.1 Efterfrågenivåer

Hur stora kvantiteter av mjölkprodukter som Norrmejerier kundbas beställer dagligen återfinns i intern försäljningsdata. Den är i .xlsx -format och används löpande av plane- ringsavdelningen för att bedöma hur väl prognoserna för kundbeställningarna överens- stämde med det verkliga. För denna studie har kundernas verkliga efterfrågan använts som underlag och täcker de totalt nio mjölkartiklar som producerats på angiven förpack- ningsmaskin. Eftersom det sker tydliga årsvariationer i efterfrågan togs beslut i samråd med samarbetsorganisationen att endast den senaste datan skulle användas. Den som slutligen användes var från oktober 2019 till mars 2020.

För att kunna genomföra faktorförsök på variabeln kategoriserades de nio artiklarna in i storlekskategorierna E ∈ {Låg, Mellan, Hög }. Typartiklarna inom dessa kategorier ploc- kades ut för att representera efterfrågenivån. Vilka artiklar som är förlagor till nivåerna önskar företaget vara okänt. Vid granskning visade sig efterfrågan på typartiklarna till stor del efterlikna en normalfördelning på veckodagsbasis, vilket ligger till grund för an- vändning av fördelningen i studien. En lista över efterfrågenivåerna finns i Bilaga II i Tabell 9.

5.7.2 Slumpgenerering av efterfrågan

För att bättre efterlikna organisationens vardag valdes att efterfrågan på produkter vid varje tidsperiod t skulle slumpgenereras. Som planeringschefen indikerade kunde tydliga skillnader skönjas mellan veckodagar, och därför är veckodagar slumpade från Normal- fördelningen med olika väntevärden (µ _t ) och standardavvikelse (σ _t ).

Vid slumpgenereringen av denna typ kan negativa tal skapas. Det liknar däremot inte verkligheten för Norrmejerier, att ha negativ efterfrågan på sina produkter utan borde rimligvis vara 0 som lägst. Därför korrigerades negativa efterfrågevärden till 0 efter gene- reringen. För att säkerställa ett trovärdigt resultat genomfördes 1000 simulationer av 21 dagarsperioder per faktorförsök (27 st) för att garantera ett tillförlitligt resultat. Vid fler försök hade resultatet varit än mer pålitligt, men det fanns en tidsmässig begränsning.

5.8 Planeringshorisontens längd (eng. Planning horizon)

Tidigt bestämdes att planeringshorisonten skulle vara ändlig. I modellens tidigare stadier

var den 7 respektive 14 dagar, men den utökades när exekveringstiden för modellkör-

ningen minskade. I den slutgiltiga modellen undersöks optimal produktionsplan för en tidsperiod på 21 dagar, i likhet med tre vanliga produktionsveckor för organisationen.

Anledningen till utökningen var att minimera risken för att optimeringsmodellen valde lösningar som i verkligheten inte hade upplevt som långsiktigt hållbara. Här ingick ex- empelvis lösningar där modellen tänkte annorlunda inför en helg beroende på om det fanns en måndag efter helgen eller inte med i tidshorisonten. För att öka möjligheten att optimeringsmodellen kom fram till mer långsiktiga lösningar förlängdes därmed tidsho- risonten, vilket reducerade problemen.

Längden på tidshorisonten kan inte göra hur lång som helst, utan kan endast statuera ex- empel för vanliga veckor för organisationen. Ju längre tidsperiod man undersöker optimal produktionsplan och produktionscykeltid för, desto mer komplext blir optimeringspro- blemet eftersom fler beslutspunkter tillkommer. Exekveringstiden förlängs vanligtvis av denna typ av förändring. Här gjordes avvägningen att en mer långsiktig och verklig- hetsnära produktionplan kunde genereras men inom rimlig exekveringstid.

Då organisationen inte distribuerar sina produkter på lördagar, visar försäljningsdata att efterfrågan är 0 dessa dagar. Detta faktum har överförts till de slumpmässiga efterfråge- nivåerna, med väntevärde och standardavvikelser är 0 vid dagarna 6, 13 resp. 20. För en överblick över alla efterfrågenivåer, se Tabell 9 i Bilaga II.

5.9 Kostnadsstruktur (eng. Cost structure)

Under detta och följande avsnitt presenteras de parametrar som inte varierades i faktor- försöken, de s.k. fasta parametervärdena. Till grund för värdena ligger intervjuer gjorda med en processtekniker, logistiker samt en planeringschef på Norrmejerier [12] [38] [1].

Tabell 3 presenterar både kostnadsstrukturen och kapacitetsbegränsningar.

Lagerhållningskostnad utgörs av kostnader för att driva ett lager. Här ingår ut- gifter kopplade till att äga och driva själva lagerbyggnaden, lagerpersonal samt den hantering- och lagringsutrustning personalen nyttjar för att kunna göra sitt jobb [3].

Utifrån den teoretiska definitionen värderades lagerhållningskostnaden per produktenhet till 0,01 SEK/dag [38].

Orderläggningskostnad ska i allmänhet betraktas som konstant och oberoende av

vald orderkvantitet. Vid tillverkningssituationer inkluderar man kostnader för aktiviteter

som, utöver den direkta värdeförädlingen, kommer från att utföra en order. Aktiviteter

som inkluderas är exempelvis inplanering av tillverkningsorder, framtagning av tillverk-

ningsanvisningar och inrapportering av materialuttag, interna materialtransporter i pro-

duktion, kvalitets- och kvanitetskontroller, inleverans till färdigvarulager, omställning och

rengöring av maskiner, förstastyckskörning samt start- och stoppkassation [39]. Utifrån

denna definition angavs kostnaden till 2000 SEK per order för Norrmejerier i dagsläget [1].

Vanligvis brukar parametern Rörlig produktionskostnad inkluderas vid LHP- modellering- ar men i detta fall har den valts att uteslutas. Eftersom efterfrågan måste mötas i alla tidsperioder är denna parameter irrelevant vid undersökning av optimal produktionplan och -cykeltid. Till följd av den kooperativa organisationsstrukturen är jordbrukarna ägare av organisationen och har på det viset förhandlat bort köparmakten som annars natur- ligt finns mellan jordbruk och livsmedelsproducent, se Figur 3. En praktisk konsekvens hos Umeå mejeri är därmed att man inte kan påverka inflödet av helmjölk. Modifierings- möjligheten i LHP som tar hänsyn till Påfyllnad (av råmaterial), är på grund av det exkluderad i studien.

Tabell 3: Lista över modellens fasta parametervärden

Parameter Bokstav Värde Källa

Lagerhållningskostnad (SEK/pkt/dag) l 0,01 [38]

Orderläggningskostnad (SEK) g 2000 [1]

Tidshorisontens längd (dagar) d 21 Författarens val

Tillgängliga produktionstimmar (h/dag) a 14 [12]

Förpackningsmaskinens hastighet (pkt/h) h 4500 [1]

Maxkapacitet i maskinen (pkt/dag) u 200 000 Författarens val

5.10 Begränsningar (eng. Constraints)

I detta fall inkluderades maskin- och personalmässiga begränsningar, som är reella på Norrmejerier idag. Alla värden presenteras i Tabell 3. Att parametern u (maxkapacitet i förpackningsmaskinen) har satts till 200 000 (pkt/dag) är godtyckligt, men det gjordes i syfte att skapa ett redundant bivillkor som inte angränsar till det tillåtna området och på det viset inte påverkar optimallösningen. Variabeln anges för att möjliggöra skapandet av en binär beslutsvariabel w (se kapitel 6), där det aktiva bivillkoret är a*h = 63 000

< 200 000.

6 Linjärprogram

Här introduceras läsaren till det linjärprogram som användes i studien för att ge svar på frågeställningen. Ingående beskrivs parametrar, beslutsvariabler, målfunktion och bivillkor samt en kortare förklaring för problemet i text som avslut.

Linjärprogrammet är konstruerat som ett Diskret händelsesystem där förändringar i sy- stemet endast kan ske vid diskreta tidpunkter. Det är däremot endast principen bakom exemplet på problemformulering av Lagerhållningsproblem för enskilda färskprodukter (LHP) som presenteras i avsnitt 3 som används för denna formulering. Modelleringen av värdeminskningen är som känt hittad i andra vetenskapliga artiklar. För återkoppling till frågeställningen så besvarar linjärprogrammet frågan om tajming och kvantitet på pro- duktionsbatcher och testar hur detta varierar beroende på faktorerna Efterfrågan, Intern säkerhetslager, Värdeminskningstakt.

6.1 Indexeringar

T Mängden diskreta tidpunkter (dagar) i tidshorisonten T = {1,2,..,d }.

d ∈ N Antalet dagar i planeringshorisonten, där t ∈ T noterar varje enskild dag.

R ∈ N Antalet dagar mellan förpackning och mottagningsgräns där R ∈ {4,5,6}.

L ∈ N Antalet dagars genomsnittsproduktion i internt säkerhetslager där L ∈ {0,1,2}.

E Efterfrågenivå där E ∈ {Låg, Mellan, Hög }.

6.2 Beslutsvariabler

w t ∈ {0, 1}

( 1, Om tillverkning pågick under dag t ∈ T.

0, Annars.

x _t ∈ N 0 Antalet tillverkade enheter under dag t ∈ T.

y t ∈ N 0 Antalet enheter i färdigvarulager vid dag t ∈ T.

z i,t ∈ N 0 Antalet tillverkade och lagerförda enheter under dag i ∈ T

för kundleverans dag t ∈ T. Där i ≤ t.

6.3 Parametrar

a ∈ R ⁺ Antalet tillgängliga produktionstimmar (h/dag).

g ∈ R ⁺ Orderläggningskostnad.

h ∈ R ⁺ Produktionshastighet i förpackningsmaskin (pkt/h).

l ∈ R ⁺ Lagerhållningskostnad (pkt/dag).

u ∈ N 0 En övre gräns för antalet producerade enheter (pkt/dag).

e ^E _t ∈ N 0 Kundefterfrågan vid dag t ∈ T med efterfrågenivå E (pkt/dag).

k ^R,L _t−i ∈ R ⁺ Värdeförlusten (SEK) av en produkt utlevereras dag t med förpackningsdag i, med mottagningsgräns R och intern säkerhetslagernivå L.

6.4 Linjärproblem

Minimera

d

X

t=1

"

gw _t + ly _t +

d

X

i=1

k ^R,L _t−i z _i,t

#

(16)

under bivillkoren

x _t ≤ ah t ∈ T (17)

x _t ≤ uw _t t ∈ T (18)

w _t ≤ x _t t ∈ T (19)

x ₁ − e ^E ₁ = y ₁ (20)

y _t−1 + x _t − e ^E _t = y _t t ∈ T \ {1} (21)

t

X

i=1

z i,t = e ^E _t t ∈ T (22)

d

X

t=i

z i,t = x i i ∈ T (23)

w t , x t , y t , e ^E _t ≥ 0, ∈ Z t ∈ T (24)

z i,t ≥ 0, ∈ Z i ≤ t, i, t ∈ T (25)

w t ≤ 1 t ∈ T (26)

6.5 Implicerade beslutsvariabler

Beslutsvariabler som bestäms efter att linjärprogrammet körts.

W =

d

X

t=1

w _t (27)

q = d/W (28)

6.6 LP-problem uttryckt i text

Bivillkor Förklaring

(16) Minimerar kostnaden för produktion, lagerhållning och värdeminskning.

(17) Begränsingen i produktionskapacitet.

(18),(19) Skapar begränsningen x _t ≥ 1 ⇒ w _t = 1, annars w _t = 0.

(20) Produktionsmängden dag 1 kvittas mot efterfrågan och resten lagerförs.

(21) Balans i lagersaldo efter varje tidsperiod.

(22) Utleveranserna från lagret ska vara samma som efterfrågan.

(23) Produktionen de föregående dagarna måste möta efterfrågan vid dag t.

(24),(25),(26) Icke-negativitetsbegränsingar för variablerna.

(27) Antalet produktionsdagar då artiklar förpackas under en tidsperiod.

(28) Produktionsperiodiciteten, antal dagar mellan produktionsdagar av

produkten.

7 Resultat

Här introduceras läsaren till det resultat som linjärprogrammet återgett i form av optimal produktionsperiodicitet för alla faktorförsök. Dessutom kompletteras det med en exempellösning från en simulering av linjärprogrammet för att visa hur det fungerar i praktiken.

Då studien syftar till att undersöka optimal produktionsplan har endast beslutsvariab- lerna stått i fokus för resultatgransningen och inte LP-programmets återgivna målfunk- tionsvärde. I Tabell 4 presenteras de 27 faktorförsök som studien bygger på. Värdena för de Implicerade beslutsvariablerna W, q är medelvärden av de 1000 iterationer som gjor- des för vardera faktorkombination. För fullständig presentation innehållande medelvärde, standardavvikelse samt min- och maxvärden för faktorförsöken hänvisas läsaren till Ta- bell 8 i Bilaga I. För påminnelse är variablerna W det optimala antalet produktionsdagar av 21 möjliga och q är periodicitet som mäts i antal dagar mellan två produktbatcher.

7.1 Resultatsammanställning samtliga faktorförsök

Färgindelning av Tabell 4 är gjord i syfte att förenkla analys och slutsatsdragning.

Tabell 4: Resultatsammanställning de 27 faktorförsöken.

Efterfrågenivåer e ^E

e ^Låg e ^Mellan e ^Hög

W q W q W q

Värdekurv or k R ,L

k ^4,0 10,47 2,02 17,23 1,22 18,00 1,17

k ^4,1 14,28 1,48 17,96 1,17 18,00 1,17

k ^4,2 16,95 1,24 18,00 1,17 18,00 1,17

k ^5,0 9,30 2,27 15,06 1,40 18,00 1,17

k ^5,1 10,31 2,05 17,11 1,23 18,00 1,17

k ^5,2 13,90 1,52 17,94 1,17 18,00 1,17

k ^6,0 7,99 2,65 11,25 1,88 17,91 1,17

k ^6,1 9,15 2,31 14,91 1,41 18,00 1,17

k ^6,2 10,31 2,05 16,97 1,24 18,00 1,17