. . . . . •
Om elementar-undervisningen i matematik.
R e d a n från äldre l i d e r har v i d våra e l e m e n t a r - läroverk u n d e r v i s n i n g b l i f v i t m e d d e l a d i första g r u n d e r n a af de d e l a r a f rena m a t e m a t i k e n , s o m utgöras af r ä k n e - k o n s t e n o c h geometrier), m e n d e t är först på senare t i d e n , s o m m a n börjat inse nödvändigheten a f en f ö r - bättrad m e t o d s användande o c h m e r a ändamålsenliga l ä r o - b ö c k e r s u t a r b e t a n d e i dessa läroämnen. A t t e l e m e n t a r - u n d e r v i s n i n g e n i m a t e m a t i k e n g e n o m dessa b e m ö d a n d e n på några t i o t a l a f år g j o r t b e t y d l i g a framsteg, t o r d e ej k u n n a bestridas a f någon, som oväldigt undersöker f ö r - hållandet; m e n a l t d e n ännu hos oss befinner sig på en alltför lag ståndpunkt, då m a n j e m f ö r d e n m e d h v a d i flera andra länders s k o l o r i dessa läroämnen inhämtas, o c h t i l l i k a tager i b e t r a k t a n d e d e n u t v e c k l i n g , som de matematiska vetenskaperna på senare t i d e r v u n n i t , t r o v i oss u t a n fara k u n n a påslå. E h u r u v i h v a r k e n anse oss ega förmåga, ej h e l l e r v i d detta tillfälle afse att u p p - ställa en fullständig m e t o d i k för e l e m e n t a r u n d e r v i s n i n g e n i m a t e m a t i k , h o p p a s v i d o c k , a l t e t t försök a l t r i k t a u p p - märksamheten på några omständigheter, s o m e n l i g t vårt förmenande s k u l l e b i d r a g a t i l l d e n n a u n d e r v i s n i n g s f ö r - bättring, s k a l l af d e n n a t i d s k r i f t s läsare välvilligt m o t - tagas.
Yända v i oss först t i l l d e n d e l a f matematiken, som räknekonsten utgör, så finna v i , att de läroböcker, s o m « v i d e l e m e n t a r - u n d e r v i s n i n g e n d e r u t i allmännast använ-j*
das, äro Z w e i g b e r g k s a r i t m e t i k o c h Björlings a l g e b r a , ' - af h v i l k a d e n förra g e n o m e l t sorgfälligt o c h r i k t val af e x e m p e l eger stora o c h o b e s t r i d l i g a företräden framför sina föregångare, o c h d e n senare g e n o m sin g r u n d l i g h e t o c h fullständighct i de delar af räknekonsten, s o m den omfattar, letnnar föga öfrigt a l t önska, orn nian o c k skulle k u n n a anmärka, att d e n stränga b e v i s n i n g , som, från v e t e n s k a p l i g s y n p u n k t b e t r a k t a d , ställer d e n n a lärobok i b r e d d m e d de bästa, s o m äfven främmande länder hafva att u p p v i s a , likväl g ö r d e n svårfatllig, särdeles o m a l g e -
s s
5 5 8
brans s t a d i u m inträder v i d en t i d i g a r e s k o l p e r i o d . T i l l en d e l h a r likväl d e n n a olägenhet sin g r u n d d e r u l i , a l t u n d e r v i s n i n g e n i a r i t m e t i k i d e flesta a f våra s k o l o r ej meddelas så fullständigt, s o m d e n b o r d e , för ått utgöra en säker g r u n d v a l för algebrans s t u d i u m .
Y i d en lärjunges inträde i skolan pröfvar m a n v a n - l i g e n , o m h a n igenkänner t a l t e c k n e n o c h eger någon f ä r - d i g h e t i a l t u p p s k r i f v a o c h utsäga t a l . M a n förutsätter nästan a l l t i d , a t t sjelfva t a l b e g r e p p e n äro f ö r h o n o m k l a r a o c h t y d l i g a , o c h b e g y n n e r att uppföra en b y g n a d på e n g r u n d v a l , h v i l k e n s beskaffenhet man ej känner, m e n likväl uraktlåter att närmare undersöka. O m läraren n å - g o n s i n har a n l e d n i n g att m i s s t r o n o g g r a n n h e t e n af d e n u n d e r v i s n i n g , som före lärjungens inträde i s k o l a n b l i f - v i t h o n o m m e d d e l a d , så b ö r det framförallt ligga h o - n o m o m h j e r t a t att r i k t a en s y n n e r l i g uppmärksamhet på d e n g r a d af r e d i g h e t , h v a r t i l l g r u n d b e g r e p p e n i talläran v a k n a t i lärjungens m e d v e t a n d e . V i äro förvissade, a l t h a n v i d en anställd g r a n s k n i n g i de flesta fall skall finna, alt sjelfva t a l b e g r e p p e n d u n k e l t föresväfva lärjungen, o c h att m y c k e t d e r a f ännu återstår att reda o c h förtydliga, förr än han kan anses hafva fått d e n närmare bekantskap m e d sjelfva t a l e n , som e r f o r d r a s för alt m e d l e d i g - h e t använda d e m i räkning. R e d a n i b a r n k a m m a r e n m e d d e l a s de första e l e m e n t e r n a af talläran, m e n t a l - b e g r e p p e n äro i c k e t y d l i g a , sa snart b a r n e t lärt sig att räkna t i l l 1 0 . Låter m a n d e r e m o t lärjungen använda talen i räkning, förr än t a l b e g r e p p e n äro f u l l t t y d l i g a för hans m e d v e t a n d e , så k o m m e r d e r i g e n o m hans u p p m ä r k - samhet att afvändas från det väsentliga o c h all hans sträf—
van att riktas ät ernåendet a f en viss mekanisk färdighet o c h förvärfvandet a f en k u n s k a p , hvars y t l i g h e t d e r i g e - n o m visar sig, att d e n v a n l i g e n i n o m k o r t t i d åter f ö r - g l ö m m e s .
V i d d e n första s k o l u n d e r v i s n i n g e n i räknekonsten h ö r
m a n göra början m e d att på e l t åskådligt sätt framställa
g r u n d t a l e n (talen frän 1 t i l l 1 0 ) . F ö r a l t göra för l ä r -
j u n g e n t y d l i g t , att hvarje t a l u t t r y c k e r e l t visst antal e n -
h e t e r , b e l j e n a r m a n sig i början såsom åskådningsmedel
ej a f siffror, u t a n af streck, p u n k t e r , tärningar o. d . M a n
b ö r söka b r i n g a ( i l l högsta t y d l i g h e t för lärjungen, alt ett
339 tal, t . -ex. åtta, b e t y d e r 8 gånger g r u n d e n h e t e n , o c h låter h o n o m derföre på detta s t a d i u m ofta angifva antalet e n - h e t e r , s o m betecknas g e n o m ett i vanliga t e r m e r u t t r y c k t tal. När m a n d e r e f t e r låter lärjungen begagna siffror s å - som t a l l e c k e n , måste man göra för h o n o m t y d l i g t åtskil- n a d e n m e l l a n t a l o c h siffra, m e l l a n saken o c h t e c k n e t .
F ö r r än m a n öfvergår t i l l b e h a n d l i n g e n af större t a l , öfvar m a n lärjungen h a d e m u n t l i g e n o c h s k r i f t l i g e n i g r u n d t a l e n s sammanläggning o c h fråndragning. V i d de m u n t l i g a öfningarna använder m a n , då åskådningsmedel behöfvas, streck i stället för siffror. Sedan m a n på s a m - ma sätt inöfvat talen från 1 0 t i l l 2 0 , öfvergår m a n t i l l framställningen a f g r u n d p r i n c i p e n för d e t dekadiska s y - stemet, lärer att i e n h e t e r a f lägre o r d n i n g u p p l ö s a t a l , som äro gifna i e n h e t e r af h ö g r e , o c h omvändt.
M a n låter lärjungen b å d e m u n t l i g e n o c h s k r i f t l i g e n uträkna frågor, för a l t tillämpa o c h öfva d e t inlärda. M a n vänjer h o n o m härvid a l t m e d l u g n b e d ö m a de i en räkne- fråga innehållna s a k - o c h talförhållanden, f ö r att d e r i g e - n o m k l a r t inse d e t b e r o e n d e , h v a r u t i de sökta talen slå t i l l de gifna, o c h såmedelst s l u l a t i l l de räkneoperationer, h v a r i g e n o m de förra härledas a f de senare. E t t sådant skärskådande af d e n framställda frågan utgör j u s t d e t v ä - sentligen b i l d a n d e af lalläran, o c h måste föregå h v a r j e räkneoperation, e m e d a n densamma d e r a f h a r l e d e s såsom en n ö d v ä n d i g följd. O m m a n på detta sätt k o m m e r lärjungen att inse nödvändigheten a f a l t f u l l k o m l i g t förslå o c h genomskåda de i e n framställd fråga gifna förhållan- den, förr än h a n s k r i d e r t i l l densatnmas uträknande, så f ö r e k o m m e r m a n säkrast d e n h o s illa u n d e r v i s a d e l ä r j u n - gar h e r r s k a n d e ovanan, att v i d e n frågas framställning g e - nast m e d o r o l i g ängslan m e k a n i s k t söka d e t räknesätt, h v a r e f t e r den skall lösas. Sättet att uträkna frågan är n ä m - l i g e n gifvet, så snart m a n fullständigt förslår densamma.
E l t a f de m e d e l , s o m säkrast b r i n g a lärjungen t i l l
r i k l i g i n s i g t af talförhållanden, är o l v i f v e l a k l i g t frågors
m u n t l i g a uträkning e l l e r d e n vanligen så kallade h u f -
vudräkningen. Här är ej fråga o m e n sträng motsats
m e l l a n h u f v u d - o c h tafvelräkning, e m e d a n man i båda
f a l l e n räknar m e d lalföreställningar, s o m u t t r y c k a antal
af e n h e t e r o c h äro f u l l k o m l i g t o b e r o e n d e a f y t t r e t e c k e n ,
3-äO
o m inan ock i början g ö r d e m g e n o m y t t r e t e c k e n för sig åskådliga o c h v i d m e r a i n v e c k l a d e räkningar begagnar sig af de vanliga t a l t e c k n e n , siffrorna. M a n utmärker likväl företrädesvis m e d n a m n e t hufvudräkning det r ä k n e - sätt, då. m a n föreställer sig talen o c h utför räkningarna u t a n a l t betjena sig a f några t a l t e c k e n e l l e r siffror, h v a r - e m o t man v i d d e n s k r i f t l i g a räkningen åskådligt f r a m - ställer talföreställningarna o c h de o p e r a t i o n e r , s o m m a n d e r m e d utförer. Båda räknesätten höra i c k e strängt å t - skiljas, u l a n fastmer s a m t i d i g t inöfvas. Lättare frågor, s o m i c k e innehålla alltför stora t a l , öfvar m a n lärjungen alt uträkna u t a n griffel e l l e r p e n n a , m e n svårare d e r e m o t o c h sådana, s o m icke äro så lätta alt i m i n n e t bibehålla, uträknas s k r i f t l i g e n . V i d hufvudräkningen är m a n e j b o n - d e n v i d bestämda r e g l o r f ö r sitt förfaringssätt, såsom v i d räkningen med_ siffror, d e r m a n öfverenskommit o m vissa bestämda föreställningssätt, frän h v i l k a man har så m y c - k e t m i n d r e skäl a t t afvika, s o m de vanligen på e t t s k a r p - s i n n i g t sätt anvisa en k o r t o c h öfverskådlig väg för d e n framställda frågans besvarande. Hufvudräkningen med—
gifver d e r e m o t större f r i h e t , d e n tillåter a l t betrakta e n fråga från flera o l i k a s i d o r . Dess b i l d a n d e inflytelse b ä r - r ö r väsentligen deraf, att d e n öfvar lärjungens skarpsin—
n i g h e t , i d e t h a n v i d m e r a i n v e c k l a d e frågor s ö k e r att u p p l e t a d e n sida, hvarifrån h a n b ö r utgå, för att lät—
t a s l u l u r d e t b e k a n t a u t v e c k l a d e t sökla. V i d h u f v u d -
räkningen b ö r m a n d e s s u t o m , för att ännu m e r u t v e c k l a
lärjungens o m d ö m e s f ö r m å g a , låta h o n o m på flere o l i k a
sätt lösa en o c h samma räknefråga. M a n b ö r härvid h e l l
o c h hållet afvika från d e t föreställningssätt, s o m följes
v i d sifferräkningen, samt u n d v i k a att tänka sig talen s å -
s o m siffror e l l e r g e n o m siffror framställda, t y d e r i g e n o m
s k u l l e de egentliga fördelarna af hufvudräkningen gä f ö r -
l o r a d e . M a n g ö r lärjungen uppmärksam på de genvägar,
s o m u n d e r l o p p e t at räkningen e r b j u d a sig, o c h h v i l k a
h a n äfven v a n l i g e n l i l l en d e l s j e l f upptäcker, t y a f d e -
ras begagnande b e r o r t i l l s t o r d e l färdigheten o c h s ä k e r -
h e t e n i hufvudräkningen. O m man t . ex. skall taga t o l f t e -
d e l e n a f 1 9 8 , så sönderdelar m a n d e t i 1 9 2 o c h 6 . 1
stället för att addera 9 7 eller d e r m e d m u l t i p l i c e r a , t ä n -
k e r m a n s i g 9 7 = 1 0 0 — 3 . O m m a n s k a l l m u l t i p l i c e r a
ö ä i m e d 2 7 5 , så s k u l l e m a n visserligen k u n u a tänka sig d e t t a t a l sönderdeladt i 2 h u n d r a d e n , 7 t i o r o c h S e n h e t e r , m e n m a n k o m m e r långt snarare t i l l målet, o m m a n b e - traktar d e t såsom 2V4 h u n d r a d e n o. s. v .
L i k s o m i allmänhet v i d u n d e r v i s n i n g e n i r ä k n e k o n -
sten b i b r i n g a n d e t a f lätthet o c h färdighet i talens b e h a n d -
l i n g b ö r utgöra e t t h u f v u d s a k l i g t mål, så b ö r m a n äfven
särskilt m e d afseende på hufvudräkningen säkert inöfva
o c h fästa i lärjungens m i n n e sådana r e s u l t a t e r o c h o p e -
r a t i o n e r , s o m ofta f ö r e k o m m a . Förr än lärjungen börjar
m u l t i p l i k a t i o n i h u f v u d e t m e d större t a l , b ö r han t i l l f u l l -
k o m l i g säkerhet hafva inöfvat både d e n m i n d r e o c h d e n
större m u l t i p l i k a t i o n s t a b e l l e n . D e t f ö r e k o m m e r nämligen ofta,
att man behöfver m u l t i p l i c e r a talen I r a n 1 0 t i l l 2 0 m e d
t a l e n från 1 t i l l 2 0 . F ö r v i n n a n d e af färdighet i h u f v u d -
räkningen v i d de tillfällen, då m u l t i p l i k a t i o n af större t a l
f ö r e k o m m e r , är d e t derföre af stor v i g t , alt m a n låler l ä r -
j u n g e n ofta verkställa m u l t i p l i k a t i o n e r m e d nyssnämda t a l ,
att man t i l l o c h m e d låter h o n o m upprätta en t a b e l l
deröfver o c h väl inöfva d e n i m i n n e t , såsom h a n förut
g j o r t m e d den m i n d r e t a b e l l e n , s o m b l o t t innehåller p r o -
d u k t e r n a af g r u n d t a l e n . F ö r r än m a n öfvergår t i l l m e r a
i n v e c k l a d e räkneoperationer, måsle m a n vara f u l l t f ö r v i s -
sad, att lärjungen fullständigt inhämtat de föregående e n k l a r e .
Då d e t v i d u n d e r v i s n i n g e n i allmänhet är af s t o r v i g t ,
a l t lärjungen b l i f v i t f u l l k o m l i g t förtrolig m e d d e n lägre
tankegången, förr än h a n öfvergår t i l l en h ö g r e ; så utgör
det v i d u n d e r v i s n i n g e n i talläran ett nödvändigt v i l k o r
för v i d a r e framsteg, att lärjungen är i f u l l b e s i t t n i n g af
o c h m e d säkerhet vet att tillämpa de h j e l p m e d e l , s o m
en n o g g r a n n k u n s k a p i de lägre o p e r a t i o n e r n a l e m n a f ö r
utförandet af de h ö g r e . På delta sätt väcker m a n h o s
h o n o m håg o c h l u s t för tallärau o c h f ö r e k o m m e r s ä -
krast d e n benägenhet att söka förvärfva e n b l o t t m e k a n i s k
färdighet i räknekonsten, s o m oftast h a r sin g r u n d d e r u t i ,
att lärjungen förlorar m o d e t , då h a n ej ser sig i slånd
att fylla de l u c k o r i s i n u n d e r v i s n i n g , s o m förhindra h o -
n o m att ställa d e t närvarande, s o m skall inhämtas, i s a m -
m a n h a n g m e d d e t f ö r e g å e n d e , s o m b o r t blifva, m e n ej
b l i f v i t fullständigt inhämtadt. H a n t i l l g r i p e r d e n e n d a
återstående utvägen, han söker att fästa i m i n n e t , h v a d
han ej kan falla m e d försländel, o c h hela hans k u n s k a p i räknekonsten öfvergår l i l l e l t i n i n n e s v e r k , s o m r a m l a r i samma ö g o n b l i c k , m i n n e t sviker. H v a d endast b l i f v i t öfverlemnadt åt m i n n e t , m e n icke n e d l a g d t i förståndets t r o g n a r e förvar, kan i c k e blifva någon lefvande k u n s k a p . Räknekonsten är icke något m i n n e s v e r k o c h kan ej h e l l e r såsom sådant b r u k a s , u t a n att m a n på samma gång m i s s - b r u k a r så väl d e n s o m m e n n i s k a n sjelf. D e r u t i a l t m a n ej g j o r t sig r i k t i g t r e d a för d e n n a orsak t i l l d e n låga ståndpunkt, hvarpå u n d e r v i s n i n g e n i a r i t m e t i k hos oss i .allmänhet b e f i n n e r sig, l o r d e man få söka a n l e d n i n g e n t i l l d e n föreställning, s o m v i från något håll hört u t t a l a d , att denna u n d e r v i s n i n g ej kan förbättras, o m m a n ej t i l l - g r i p e r nya m e d e l o c h nya vägar för dess i n e d d e l a n d e . V i t r o d e r e m o t , att h a r u t i i n g e n a n n a n r e f o r m är n ö d i g , än a t t läraren v i d h v a r j e steg g ö r lärjungen uppmärksam på nödvändigheten att v i d lösningen af h v a r j e räknefråga f u l l k o m l i g t inse, hvarföre m a n använder d e t ena e l l e r a n d r a räknesättet. A f samma orsak anse v i äfven a n g e - läget, att n o g g r a n n a r e o c h fullständigare förklaringar öfver g r u n d e r n a t i l l de o l i k a räknesätten äfvensom någon gång fullständigt utförda speciela räknefrågor upptagas i våra l ä r o b ö c k e r i a r i t m e t i k e n .
R e d a n t i d i g t b ö r lärjungen vänjas v i d att tillämpa d e t inlärda på lösningen af sådana frågor, s o m h a n på d e n ståndpunkt, d e r h a n b e f i n n e r s i g , är v u x e n a t t u t r e d a och beräkna. Härmed g ö r m a n r e d a n början, så snart han lärt sig att sammanlägga hela t a l . M a n låter de använda t a l e n än beteckna enheter a f en s o r t , än a f e n annan o c h g ö r h o n o m uppmärksam på s k i l n a d e n m e l l a n o b e n ä m d a o c h b e n ä m d a t a l .
V i d d i v i s i o n m e d g r u n d t a l e n i n l e d e r m a n r e d a n
lärjungen i första g r u n d e r n a a f b r å k r ä k n i n g e n , i d e t
i n a n låter h o n o m undersöka, h v i l k a af d e m k u n n a delas i
2, 5 , 4 o. s. v . l i k a stora d e l a r , så att dessa delar b l i f v a
hela t a l . M a n lär h o n o m , att, o m ett t a l b l i f v i t d e l a d t
i 2 l i k a d e l a r , h v a r o c h en a f dessa d e l a r kallas h ä l f -
ten ( V
2) a f hela t a l e t ; o m d e t b l i f v i t d e l a d t i 3 l i k a d e -
lar» h v a r o c h e n a f d e l a r n a kallas t r e d j e d e l e n ( V 3 ) d e r a f
o. s. v . E m e d a n h v a r j e t a l k a n tagas 2 , 3 , 4 o. s. v .
gånger, så u t g ö r talet sjelf a l l l i d hälften, t r e d j e d e l e n ,
fjerdedelen a f d e t t a l , s o m är 2 , 3 , 4 - f a l d e n deraf. M a n u p p g i f v e r d e r e f t e r bestämda t a l , o c h lärjungen söker alla d e l a r deraf, s o m låta u t t r y c k a sig i h e l a t a l . M a n visar h o n o m , h u r u l e d e s många t a l på flere sätt u t a n rest k u n n a d e l a s ; h u r u t . ex. talet 1 2 k a n delas u t a n rest i hälfter, t r e d j e d e l a r , f j e r d e d e l a r o c h sjettedelar. S a m t i d i g t härmed öfvar m a n lärjungen att u p p l ö s a tal i deras, f a k t o r e r o c h att i de lättare fallen igenkänna, o m d e t e n a eller andra af g r u n d l a l e n ingår såsom f a k t o r i ett framsläldt t a l , samt fäster hans uppmärksamhet på u t s k i l n a d e n m e l l a n p r i m t a l o c h sammansatta t a l .
Härefter k a n man öfvergå t i l l bestämmandet a f s l o r - hetsförhållandet e m e l l a n två gifna t a l . D e t s k a l l angifvas, h v i l k e n d e l , e l l e r h u r u många gånger e t t gifvet tal i n n e - håller en viss d e l a f e t t annat t a l . O m t. ex. de båda talen 6 o c h 4 framställas, så innehåller talet 6 ( = 3 x 2 ) talet 2 t r e gånger, 2 utgör derföre t r e d j e d e l e n a f 6 . T a l e t 4 ( = 2 x 2 ) innehåller 2 gånger samma t a l 2 . 4 är s å l e - des 2 gånger t r e d j e d e l e n a f 6 e l l e r 4 = 2 X 2 = ^ af 6 = ^ x 6 . 9 är 3 gånger hälften a f 6 ; t y 9 = 3 • 3 = J x 6 . Sedan m a n öfvat lärjungen att uppsöka förhållandet m e l l a n sådana t a l , s o m m e d h v a r a n d r a hafva en gemensam f a k t o r , väljer man äfven andra t a l , m e d h v i l k a detta i c k e är fallet. M a n frågar t. e x . : h u r u förhåller sig 5 o c h 8 t i l l h v a r a n d r a ? e l l e r h u r u många gånger innehåller 5 en viss d e l af 8 ? Sv. 5 är 5 gånger å l t o n d e d e l e n af 8 . T y 8 är 8 x 1 ; d e r f ö r e är 1 en gång åttondedelen a f 8 ; 5 är 5 x 1 ; s å - ledes är 5 f e m gånger åttondedelen a f 8 = - a f 8 = - x 8.
& ö
8 8
D e t är n a t u r l i g t , a t t n i a n pä detta s t a d i u m väljer e n k l a r e o c h lätt öfverskådliga t a l för dessa öfningar. U t a n a t t ännu hafva talat något o m bråk, gör m a n lärjungen b e - k a n t m e d ofvan använda beleckningssätt o c h låter h o n o m öfva sig tillräckligt i användandet så väl a f dessa, s o m andra förkortningstecken, h v i l k a s b e t y d e l s e h a n lärt känna.
M a n låter lärjungen tillämpa d e t inlärda på lösningen a f e n k l a r e frågor, h v a r v i d likväl i n g a för h o n o m obekanta bråk b ö r a f ö r e k o m m a .
M a n b ö r söka att göra för lärjungen f u l l t t y d l i g t ,
h v a d m a n m e n a r m e d d e l n i n g ( d i v i s i o n ) . Härvid f ö r e -
z u
k o m m e r ett t a l , d e t hela, som skall delas ( d i v i d e n d ) ; e l t tal, som d e l a r e l l e r angifver antalet af delarna ( d i v i s o r ) ; och s l u t l i g e n sökes ett t a l , s o m angifver den sökta d e - len ( t j v o t ) . O m e d e l b a r t derefter r i k t a r m a n hans u p p - märksamhet på d e n härmed nära besliigtade föreställnin- gen o m e t l g i f v e t tals innehållande u t i e t t annat. Då man l . ex. frågar, h u r u många gånger 4 innehålles i 1 2 , så v i l l m a n v e l a h u r u många gånger 4 k a n borttagas från 1 2 . Frågar man d e r e m o t , h v i l k e t t a l är fjerdedelen a f 1 2 , så v i l l m a n veta, h v i l k e t t a l måste tagas 4 gånger för a l t erhålla 1 2 . M a n erhåller i förra fallet *svarel 3 gånger, t y 5 x 4 är 1 2 ; o c h i senare fallet b l i r svaret 3, e m e d a n 4 x 3 äfven är 1 2 . Båda dessa f ö r e s t ä l l - ningar följa a f h v a r a n d r a , m e n böra n o g a åtskiljas. V e t m a i l , a l t 4 innehålles 3 gånger i 1 2 , så vet man ä f - ven att 4 är t r e d j e d e l e n a f 1 2 , o c h då f a k t o r e r n a i en p r o d u k t k u n n a vexlas o m m e d h v a r a n d r a , så följer ä f - ven häraf, att 3 är fjerdedelen af 1 2 e l l e r innehålles i 1 2 fyra gånger. S y n n e r l i g e n väl b ö r m a n inöfva lärjun- garne a t t söka de t a l , s o m u t a n rest innehållas u t i ett gifvet t a l .
M a n låter lärjungen länge uppehålla sig v i d d i v i s i o n , för alt g e n o m tillräcklig öfning förskaffa h o n o m vana att d i v i d e r a b å d e m e d större o c h m i n d r e t a l . I början låter man h o n o m angifva g r u n d e r n a för hvarje o p e r a t i o n o c h för h o n o m i c k e längre, förr än h a n förvärfvat f u l l k o m l i g i n s i g t i saken; m e n s e d e r m e r a måste ban d e r m e d b l i f v a så förtrolig, att han kan utföra d i v i s i o n e r u l a n u p p m ä r k - samhetens ansträngande. Sedan lärjungen först g r u n d l i g t inhämtat ett räkningssätt, u p p k o m m e r den mekaniska f ä r - d i g h e t e n g e n o m f o r t s a l t öfning a f sig sjelf, o c h en sådan mekanisk färdighet b ö r ej föraktas, emedan d e n utgör ett n ö d v ä n d i g t o c h väsentligt h j e l p m e d e l t i l l b e f o r d r a n d e af vidare framsteg. Förvärfvandet a f vana o c h lätthet att b e h a n d l a talen i räkning, så v i d a de g r u n d a sig på k l a r i n s i g l , b ö r utgöra e l t h u f v u d s a k l i g t mål för a l l u n d e r v i s - n i n g i räknekonsten.
E f t e r a l t sålunda hafva genomgått de 4 räknesätten
i bela o h e n ä m d a t a l , synes d e t lämpligast a t t låta lärjun-
gen verkställa samma o p e r a t i o n e r m e d benämda hela t a l ,
och företaga lätta r e d u k t i o n e r a f s t o r h e t e r a f e n s o r t t i l l s t o r h e t e r af en annan h ö g r e e l l e r lägre s o r t .
Då lärjungen v u n n i t tillräcklig färdighet i t r u a t t u o r species i hela t a l , så väl obenärnda som benämda, låter man h o n o m förelaga lösningen af sådana egentligen t i l l r e g u l a d i t r i h ö r a n d e enkla frågor, h v i l k a han g e n o m lätta m u l t i p l i k a t i o n e r o c h d i v i s i o n e r kan uträkna. Fastän r e g u l a d i t r i icke k a n fullständigt o c h g r u n d l i g t a f h a n d - las, förr än läran o m förhållanden o c h o m l i k h e t e n e m e l l a n förhållanden föregått, så kan man likväl u l u r det p r a k t i s k a l i f v e t hämta o c h för lärjungen f r a m - ställa sådana enkla frågor, h v i l k a s lösning g r u n d a sig på m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n , så snart han k a n anses hafva v u n n i t d e n för deras b e h a n d l i n g nödiga förberedelsen.
E t t afsteg från d e n strängt vetenskapliga o r d n i n g e n , i s y n - n e r h e t o m m a n icke u t e s l u t a n d e afser v e t e n s k a p l i g b i l d - n i n g , u l a n äfven p r a k t i s k b i l d n i n g för l i f v e t , är u r p e d a - gogisk s y n p u n k t icke b l o t t tillåtligt u l a n äfven f u l l t r i k - t i g t , då m a n b e s i n n a r , att lärjungens tankekraft lifvas g e - n o m en sådan häritydning på o c h förberedelse för k o m - m a n d e lärodelar. D e n n a omständighet h a r äfven i Z w e i g - bergks l ä r o b o k i a r i t m e t i k e n v u n n i t tillbörligt afseende, i det den g e n o m e t t m e d s t o r u r s k i l n i n g g j o r d t val af öfningsexempel vänjer lärjungen alt på mångfaldiga o c h o l i k a r t a d e sätt tillämpa d e t inhämtade.
U n d e r de föregående öfningarna har lärjungen r e d a n räknat m e d delade enheter, d . ä. m e d bråk, emedan v i antagit, a l t läraren företagit sådana d e l n i n g a r o e h m e d d e - lat lärjungen delarnas b r u k l i g a benämningar, så snart han f u n n i t hans åskådningsförmåga o c h förstånd tillräckligt u t b i l d a d e för att fatta d e m . E n väl u n d e r v i s a d lärjunge f i n n e r ej h e l l e r b e h a n d l i n g e n af enkla bråk svår, t y bråkräkningen är ej t i l l sin n a t u r o l i k a m e d räkningen m e d hela t a l , o c h i d e t h v a r d a g l i g a l i f v e t förefinnes ej någon bestämd gränsskilnad m e l l a n hela t a l o c h bråk.
Bråkräkningen h a r d o c k länge v a r i t o c h är ännu för de
lärjungar, som saknat en s k i c k l i g lärares l e d n i n g , en s l ö t e -
sten, h v i l k e n de icke förmått u r vägeri rödja; o c h e h u r u
den egentliga bråkräkningen i sjelfva verket, icke utgör
något eget räkningssätt, så e r f o r d r a r den likväl, b e t r a k t a d
i sitt s a m m a n h a n g , en egen b e h a n d l i n g . E n n o g g r a n n
346
kännedom d e r a f är så v i g t i g , att många lärjungar k u n n a från b r i s t a n d e i n s i g t d e r u t i härleda sin oförmåga att f u l l - följa sina s t u d i e r a f räknekonsten, faslän denna ofta o r i k - t i g t skrifves på räkningen a f saknad fallenhet e l l e r n a t u r l i g obenägenhet för detta läroämne.
V i d bråkräkningen är först o c h främst angeläget att på e l t åskådligt sätt, t. ex. g e n o m d e l n i n g e n af ett streck, göra för lärjungen t y d l i g t , h u r u ett bråk u p p k o m m e r . M a n m e d d e l a r h o n o m , att hvarje s t o r h e t , s o m man b e - t r a k t a r såsom h e l t , kan delas e l l e r tänkas d e l a d i 2 , 3 , 4 e l l e r i allmänhet i h u r u många delar m a n v i l l , s i n s - e m e l l a n l i k a e l l e r o l i k a s t o r a ; att likväl så i allmänna l i f - vet s o m i räknekonsten de f a l l oftast förekomma, då ett h e l t delas i e l t visst antal l i k a stora delar, samt att en e l l e r flere l i k a d e l a r af e t t h e l t kallas ett bråk. U p p - k o m s t e n af ett bråk förutsätter således a l l l i d , alt m a n d e l a t d e t hela e l l e r tänker sig det deladt i flere lika d e - lar. N a t u r l i g t v i s k u n n a äfven flere hela på en gång d e - las i e l t visst antal l i k a delar, o c h en eller flere af dessa d e l a r är jemväl ett b r å k ; m e n man b ö r a l l t i d vänja l ä r - j u n g e n , a n t i n g e n man delat ett h e l t e l l e r flere hela på en gång i l i k a d e l a r , att hänföra bråket t i l l den enkla e n h e t e n , e m e d a n värdet a f bråket först då b l i r rätt åskådligt, när dess betydelse b l i f v i t angifven i förhållande t i l l e n h e t e n . O m t. ex. m a n v i l l taga 8:dedelen af 5 hela, så är s t o r - l e k e n a f denna d e l först då rätt åskådlig, när m a n b e - stämt, h u r u m y c k e t d e n utgör af e l t h e l t . 8:dedelen af 5 hela är nämligen 5 gånger 8:dedelen a f e l t h e l t . H v a r j e bråk, s o m a n t y d e r flere än en af det helas l i k a d e l a r , k a n t i l l följd häraf betraktas från en d u b b e l s y n - p u n k t : såsom flere delar af e l t h e l t , e l l e r såsom e n d e l af ett f l e r f a l d i g t h e l t .
M a n fäste äfven lärjungens uppmärksamhet derpå, a t t
hvarje bråk k a n anses såsom e l t benämdt h e l t t a l , hvars
n a m n bestämmes af antalet delar, h v a r u l i d e t hela antages
d e l a d t ; äfvensom att hvarje h e l t tal kan anses såsom d e l
e l l e r e t t visst antal delar af ett större h e l t . 5 t o l f t e -
d e l a r (
T 5- ) = 5 gånger en t o l f t e d e l ; 3 s k i l l i n g = 3 gånger
e n s k i l l i n g = 1 s e x t o n d e d e l a f 4 8 s k i l l i n g , o. s. v. Å t -
s k i l n a d e n m e l l a n h e l t t a l o c h bråk består således d e r u t i ,
3*7 att v i d det förra e n h e t e r n a icke anses såsom delar a f e n annan enhet, h v i l k e t d e r e m o t v i d det senare är fallet.
Läraren g ö r d e r e f t e r lärjungen förtrolig m e d d e t vanliga sättet att s k r i f t l i g e n beteckna bråk, samt m e d de o l i k a slagen af bråk; h u r u hela tal k u n n a skrifvas u n d e r f o r m af bråk m e d h v i l k e n nämnare som helst, o c h h u r u oegentliga o c h oäkta bråk k u n n a förvandlas t i l l hela o c h blandade t a l . M a n j e m f ö r , sinsemellan o c h m e d e n h e t e n , värdet a f o l i k a b r a k , som hafva l i k a e l l e r o l i k a nämnare eller täljare, o c h visar, h v i l k a o p e r a t i o n e r m a n kan förelaga m e d täljare o c h nämnare u l a n att bråkets värde f ö r ä n - dras. A l l a föregående öfningar m e d bråk anställas äfven m u n t l i g e n , o c h göras, när så behöfves, mera åskådliga g e n o m d e l n i n g a f streck, q v a d r a t e r o. s. v., h v a r m e d m a n f o r t f a r , t i l l dess lärjungen f u l l k o m l i g t fattat alla satser o c h vet a l t angifva g r u n d e r n a för d e m . L i k a l e d e s öfvar m a n h o n o m att m u n t l i g e n göra två e l l e r flera e n k l a bråk lik—
nämniga för att k u n n a sammanlägga o c h fråndraga d e m o c h lätt jemföra deras värde m e d h v a r a n d r a . M a n f ö r - k l a r a r för h o n o m , h u r u l e d e s detta icke kan verkställas, o m i c k e de o l i k a bråken u t t r y c k a antal a f samma e n h e - t e r , o c h h u r u s o m m a n g e n o m sönderdelning a l l t i d k a n finna en så l i t e n enhet, att h v a r t o c h e t t af de f r a m - ställda bråken k u n n a u t t r y c k a s g e n o m ett visst antal s å - dana enheter.
V i anföra några e x e m p e l . F r . H v i l k e t d e r a bråket är större än det andra, i e l l e r ?? Sv. ?; tv - är slörre
4 5 A
J4
än i , emedan e n h e t e n b l i f v i t d e l a d i e l l m i n d r e antal delar, o c h således äfven 5 x | > 3 x | . F r . H u r u många gånger är | slörre än
T'
ä? Sv. 4 gånger; ty e n h e t e n t a n - kes i senare fallet d e l a d i 4 gånger flere delar, o c h hvarje d e l är derföre 4 gånger m i n d r e . F r . H u r u s l o r är s k i l n a d e n m e l l a n \ o c h ± ? Sv. S k i l n a d e n m e l l a n -
5 6 5
och ^ är
5'
5; t y då 1 f e m t e d e l o c h 1 sjettedel i c k e äro u t t r y c k t a g e n o m antal e n h e t e r af samma n a m n , måste man, för att bestämma deras åtskilnad, först söka d e n m i n d r e e n h e t , h v a r a f båda t a l e n k u n n a anses såsom mångfalder;
d e n n a är i d e t t a fallet 1 t r e t l i o n d e d e l ( 3 0 = 5 x 6 ) ;
1 f e m t e d e l är 6 gånger 1 t r e t t i o n d e d e l , emedan e n h e -
ten i senare fallet b l i f v i t d e l a d i 6 gånger flere d e -
lar, o c h 1 sjettedel är 5 gånger 1 t r e t t i o n d e d e l ; s å l e -
S 4 8
des måsle m a n laga 6 stycken t r e t l i o n d e d e l a r för att få Jika m y c k e t , s o m 1 f e m t e d e l , o c h 5 t r e t t i o n d e d e l a r för att få l i k a m y c k e t , s o m 1 s j e t t e d e l u t g ö r ; följaktligen är \ m e d =~ större än L F r . H u r u många 3 2 : d e l a r u t -
5 d O 6 O
g ö r 1 | ? Sv. 1 | utgör l i k a m y c k e t s o m S 6 x A ? = | | , t y 1 h e l utgör 3 2 X g
! 5, o c h I är 8 gånger större än A , således är 8 x A = j samt 2 4 x | '
ä= 3 x I , följaktligen i | t = | | ; G e n o m att m u n t l i g e n u p p l ö s a flere d y l i k a frågor v i n n e r lärjungen i n s i g t i d e n rätta b e t y d e l s e n a f bråk o c h större färdighet i deras b e h a n d l i n g . V i d bråks sammanläggning o c h fråndragning m ö t e r han då icke någon svårighet.
O m ett bråk s k a l l m u l t i p l i c e r a s m e d ett h e l t t a l , t . ex. i m e d 4 , så inses lätt, att 1 gång | är | ; 2 g å n - ger 1 = 1; 3 gånger ? , = •> o c h 4 gånger | = = l
1-. M a n g ö r lärjungen derpå uppmärksam, att d e t t a e x e m p e l äfven k a n uträknas d e r i g e n o m , att nämnaren i bråket | d i v i d e - ras m e d 4 , h v a r a f erhålles | = 1 ? , emedan bråkets värde b l i r 4 gånger större, o m nämnaren göres 4 gånger m i n - d r e , u n d e r d e t täljaren bibehålles oförändrad. O m e l t b l a n d a d t t a l s k a l l m u l t i p l i c e r a s m e d ett h e l t t a l t . ex, 6 ? m e d 5, så e r i n r a r m a n sig, a t t 6 ? = 6 + ?, h v a r a f således, e m e d a n 3 x 6 = 3 0 o c h ? x 3 =
1- ° = 3 i , 6 | x S = 3 0 + 3^ = 3 3 1 . O m e l t h e l t t a l s k a l l m u l t i p l i c e r a s m e d e l t bråk, t. ex. 3 m e d t , så är 1 - 3 = 3 o c h 1 x 3 = 1 ; m e n n u skall ej 5 m u l t i p l i c e r a s m e d I u t a n m e d 4:falden af I d . ä. m e d | , följaktligen b l i r p r o d u k l e n 3 x ^ = 4 x | = M a n u p p l ö s e r samma e x e m p e l d e r i g e n o m , att man iakttager, att, o m 3 m u l t i p l i c e r a s m e d 4 , så erhålles p r o d u k t e n 1 2 , h v i l k e n t y d l i g e n är 7 gånger större än d e u sökta, emedan 3 s k u i l e m u l t i p l i c e r a s endast m e d 7 : d e d e - l e n af 4 ; följaktligen erhålles d e n sökta p r o d u k t e n , o m 7 : d e d e l e n läges af 1 2 . A r frågan a t t m u l t i p l i c e r a två bråk m e d h v a r a n d r a , t . ex. % m e d \ , så e r i n r a r m a n , att
7
4 8
3 7o m | m u l t i p l i c e r a s m e d 1, erhålles | ; o m derföre | m u l -
t i p l i c e r a s m e d åltondedelen af 1, måsle således å t t o n d e -
d e l e n af | u p p k o m m a ; m e n m a n erhåller, e n l i g t h v a d
lärjungen r e d a n förut inhämtat, 8 : d e d e l e n af ett bråk, o m
dess nämnare m u l t i p l i c e r a s m e d 8, således | x | = g ^ , e m e -
d a n v i d a r e | icke skall m u l t i p l i c e r a s m e d | u t a n m e d
ä:falden a f i så måste följaktligen A tagas 5 gånger för att
erhålla d e n sökla p r o d u k t e n , h v i l k e n s l u t l i g e n b l i r | X § = JJ.
V i anse öfverflödigt att har anföra flere e x e m p e l a f de o l i k a f a l l , s o m v i d z n u l t i p l i k a l i o n i bråk k u n n a u p p - k o m m a . V i t r o oss g e n o m de framställda tillräckligt hafva a n t y d t , h u r u angeläget d e t synes oss vara, a l l l ä r - j u n g e n på ett så omständligt sält, som ofvan skett, i s y n - n e r h e t i början tillhålles alt u p p l ö s a bråkexempel, e m e d a n d e r i g e n o m d e n k l a r a i n s i g l e n i betydelsen a f bråk v i n n e s , s o m är så n ö d v ä n d i g för att k o m m a t i l l f u l l färdighet m e d deras så väl m u n t l i g a som skriftliga b e h a n d l i n g .
V i d d i v i s i o n m e d hela t a l var frågan o m att dela ett gifvet l a l ( d i v i d e n d ) i e l t visst antal ( d i v i s o r ) l i k a d e - lar o c h alt bestämma s t o r l e k e n af hvarje sådan d e l ( q v o t ) . I d e t t a fall kan d i v i d e n d e n vara så väl ett benämdt s o m obenämdt l a l , o c h q v o t e n b l i r då äfven a f samma slag som d i v i d e n d e n , b v a r e m o l d i v i s o r n , som allenast angifver antalet af delarna, nödvändigt måste vara e l t o b e n ä m d t tal. E t t sådant föreställningssätt är v i d d i v i s i o n m e d e l t bråk ej tillämpligt, e m e d a n d i v i s o r n s k u l l e u t t r y c k a antalet delar, h v a r u t i d i v i d e n d e n s k u l l e delas. V i hafva r e d a n förut fästat uppmärksamhet derpå, att man, dä d i v i d e n d e n är ett abstrakt l a l l i k a s o m d i v i s o r n , v i d d i v i s i o n ä f v e n - ledes kan utgå från d i v i s o r n o c h föreställa sig saken så, att man frågar, h u r u många gånger ( q v o t ) innehålles d i - s o r n u t i d i v i d e n d e n , d . ä. h u r u många gånger skall d i v i - s o r n lagas för alt f r a m b r i n g a d i v i d e n d e n . O m derföre benämningen a f d i v i s i o n ( d e l n i n g ) skall bibehållas, när d i v i s o r n är e l t bråk, så söker man d e r v i d , h u r u många gånger d i v i s o r n innehålles u t i d i v i d e n d e n ; e l l e r m e d andra o r d h u r u många gånger s k a l l d i v i s o r n lagas för a l t f r a m - b r i n g a d i v i d e n d e n , d . ä. h v i l k e t tal skall m u l t i p l i c e r a s m e d d i v i s o r n för a l t d i v i d e n d e n skall erhållas såsom p r o d u k t .
O m man h a r att d i v i d e r a e l t bråk m e d ett h e l t t a l , t. ex. 5 m e d 6, så sökes det tal ( q v o t e n ) , som, taget 6 gånger, b l i r | ; m e n v i känne a l t | b l i r 6 gånger m i n d r e o m nämnaren m u l t i p l i c e r a s m e d 6; det sökta talet b l i r således -
5- e l l e r - : 6=--. V i l l man d i v i d e r a ett h e l t t a l
4 2 7 4 2
m e d ett bråk t. ex. 1 2 m e d l , så sökes d e t tal (qvoten),
s o m utvisar, h u r u många gånger 1 innehålles i 1 2 ; det
tal, s o m utvisar, h u r u många gånger 7 innehålles i 1 2 är ' -
2;
n i o n d e d e l e n a f 7 måste således innehållas i 7 n i o gånger
mera e l l e r 9 x \
2, följaktligen b l i r 1 2 : | = 2 £ ? = H = 1 5 | .
Dä man v i l l d i v i d e r a e l t bräk m e d ett annat bråk, så söker man, b v i l k e n eller hvjJka delar af d e t senares värde d e t förra utgör, e l l e r h u r u många gånger d e t senare innehålles i d e t förra.
M a n v i l l t . ex. d i v i d e r a ~ m e d l; 3 innehålles A gång i ^ , derföre innehålles d e t 4 gånger mera e l l e r A gånger i | , s j u n d e d e l e n af 3 e l l e r l måsle följaktligen innehållas i samma t a l 7 gånger mera o c h således b l i r ? : - = 7 x A =
:^ D O 5 7 15
«Tä = §§ = 1-jf. G e n o m dessa e x e m p e l hafva v i tillräckligt ådagalagt, h u r u v i anse första b e g r e p p e n a f d i v i s i o n i bråk böra lärjungarna m e d d e l a s .
Då lärjungen sålunda lärt sig b e h a n d l a t a l e n , så väl h e l a s o m b r u l n a o c h g e n o m ett s t o r t antal ö f n i n g s e x e m - pels beräkning v u n n i t fullständig färdighet d e r u t i , k a n man öfvergå t i l l framställning af de fyra enkla räknesätten i decimalbråk, u n d e r d e t m a n g e n o m t y d l i g a förklaringar visar h o n o m d e n fördel m a n v i d räkningen m e d d e c i m a l - bråk v i n n e r t i l l följd deraf, att de bråk s o m bildas g e n o m d e l n i n g e n m e d 1 0 , 1 0 0 , 1 0 0 0 , & c , stå i så nära s a m - m a n h a n g m e d d e t dekadiska räknesystemet.
Härmed hafva lärjungarna, åtminstone de, som f r a m - deles ämna öfvergå t i l l s t u d i u m a f a l g e b r a n , d i t m a n t o r d e böra förlägga de båda o p e r a t i o n e r n a u p p h ö j a n d e t i l l d i g n i t e t o c h r o t u t d r a g n i n g , förvärfvat d e n k ä n n e d o m orn de a r i t m e t i s k a o p e r a t i o n e r n a , s o m e r f o r d r a s för alt lösa a r i t m e t i s k a p r o b l e m e r . B l a n d dessa p r o b l e m e r träffar man ofta sådana, s o m äro så i n v e c k l a d e , att man har svårighet att upptäcka d e n följd af o p e r a t i o n e r , s o m b ö r a verkställas m e d de gifna talen för att finna de sökta.
En stor mängd sådana p r o b l e m e r k u n n a likväl lösas g e - n o m användning af läran o m p r o p o r t i o n e r , h v i l k e n i an>- seende t i l l sina t a l r i k a tillämpningar h ö r betraktas såsom en af d e aldra vigtigaste i m a t e m a t i k e n . Förr än m a n öfvergår t i l l användning af de 4 räknesätten på lösningen af p r o b l e m e r i allmänhet, är d e t således nödigt, alt l ä r - j u n g e n erhåller f u l l insigt i denna lära.
Det b l i r derföre af största v i g t , att läran o m f ö r -
et '
