Pružnoplastické chování nosníku

(1)

Pružnoplastické chování nosníku

Bakalářská práce

Studijní program: B2301 – Strojní inženýrství Studijní obor: 2301R000 – Strojní inženýrství Autor práce: Lubomír Hrnčíř

Vedoucí práce: Dr. Ing. Tomáš Hruš

Liberec 2016

(2)

Elasto Plastic behaviour of beam

Bachelor thesis

Study programme: B2301 – Mechanical Engineering Study branch: 2301R000 – Mechanical Engineering

Author: Lubomír Hrnčíř

Supervisor: Dr. Ing. Tomáš Hruš

Liberec 2016

(3)

(4)

(5)

Prohlášení

Byl jsem seznámen s tím, že na mou bakalářskou práci se plně vzta- huje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu TUL.

Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědom povinnosti informovat o této skutečnosti TUL; v tomto pří- padě má TUL právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vyna- ložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Bakalářskou práci jsem vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím mé bakalářské práce a konzultantem.

Současně čestně prohlašuji, že tištěná verze práce se shoduje s elek- tronickou verzí, vloženou do IS STAG.

Datum:

Podpis:

(6)

6 Poděkování

Rád bych touto cestou poděkoval Dr. Ing. Tomáši Hrušovi za jeho vstřícný přístup a trpělivost, za poskytnutí nových informací a cenných rad, také za odporné vedení při zpracování bakalářské práce. Dále bych rád poděkoval katedře KMP za možnost využití jejich přístrojů a prostorů k vykonání experimentu.

(7)

7

Abstrakt

Tato práce řeší pružnoplastické chování nosníků. Cílem této práce je porovnání analytického výpočtu s experimentem a ověření správnosti analytického výpočtu.

Zvolený problém jsem vyřešil, pomocí matematického software Matlab, který jsem naprogramoval tak, aby mi vyřešil diferenciální rovnice průhybové čáry pro zvolený případ. Podařilo se mi dosáhnout rozdílu mezi analytickým výpočtem a experimentem 8,12%. Na základě zjištěných údajů je možné napsat, že analytický vypočet je v souladu s experimentem a vzniklý rozdíl je zanedbatelný.

Abstract

This work is devoted to behaviour of elastic-plastic bearers. Objective this work is comparisonanalytical calculation with experiment and correctness analytical calculation. I solved selected problem using mathematical software Matlab. I programmed Matlab for solving differential equation of deflection the line for selected case. I reached difference between analytical calculation and experiment 8,12 %.

Based on the results. I can write that analytical calculation is consistent with experiment and difference isnegligible.

Klíčová slova: pružnoplastický stav, smluvní diagram, mez kluzu, pevnostní hypotéza, nosník, ohyb, průhybová čára, průhyb, natočení

Keywords: elasto plastic level, contractual diagram, yield stress, stress hypotaesis, beam, flection, deflection curve, deflection, slope

(8)

8

Obsah

Úvod... 17

1 Zkouška tahem ... 19

1. 1 Zkušební tyče ... 19

1. 2 Výsledky zkoušky tahem ... 19

1. 3 Mezní napětí v diagramu ... 20

1. 3. 1 Napětí na mezi úměrnosti -σU ... 21

1. 3. 2 Napětí na mezi pružnosti -σE ... 21

1. 3. 3 Napětí na mezi kluzu - σK ... 21

1. 3. 4 Napětí na mezi pevnosti σP ... 21

1. 4 Hookův zákon ... 22

2 Aproximace ... 22

2. 1 Ideálně tuhoplastický model (Obr. 2.1)... 22

2. 2 Ideálně pružnoplastický model (Obr. 2.2)... 23

2. 3 Tuhoplastický model s lineárním zpevněním (Obr. 2.3)... 23

2. 4 Pružnoplastický model s lineárním zpevněním (Obr. 2.4)... 23

3 Pevnostní hypotézy ... 24

3. 1 Hypotézy porušení materiálu v křehkém stavu ... 24

3. 1. 1 Rankinova hypotéza maximálního napětí ... 24

3. 1. 2 Saint-Venantova hypotéza maximálního poměrného prodloužení ... 25

3. 1. 3 Mohrova hypotéza mezní čáry ... 26

3. 1. 4 Coulombova hypotéza... 26

3. 2 Hypotézy porušení materiálu v tvárném stavu ... 27

3. 2. 1 Guestova hypotéza maximálního tečného napětí... 27

3. 2. 2 Huberova - Misesova - Henckyova hypotéza hustoty deformační energie změny tvaru (HMH hypotéza)... 28

3. 3 Srovnání pevnostních hypotéz pro jednoosou napjatost ... 28

(9)

9

4 Bauschingerův jev... 29

5 Odvození diferenciální rovnice průhybové čáry ... 31

5. 1 Úhel natočení... 31

5. 2 Křivost rovinné křivky ... 31

5. 3 Bernoulliho odvození se zjednodušením... 32

5. 3. 1 Bernoulli - Navierova hypotéza ... 32

5. 4 Bernoulliho odvození bez zjednodušení ... 35

6 Ohyb jednochodých nosníků... 35

6. 1 Vetknutý nosník s konstantním momentem ... 35

6. 2 Vetknutý nosník se silou na konci... 37

6. 3 Vetknutý nosník se spojitým zatížením na celé délce nosníku ... 38

6. 4 Nosník na dvou podpěrách a silou uprostřed ... 39

6. 5 Nosník na dvou podpěrách se spojitým zatížením po celé délce nosníku .... 40

6. 6 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a silou na něm ... 41

6. 7 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a spojitým zatížením po celé délce 43 6. 8 Vetknutý nosník se silou na konci pro nezjednodušený tvar diferenciální rovnice průhybové čáry... 45

6. 8. 1 Porovnání natočení pro nezjednodušenou a zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry ... 45

6. 8. 2 Porovnání průhybu pro nezjednodušenou a zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry ... 46

6. 9 Vetknutý nosník se spojitým zatížením na celé délce nosníku pro nezjednodušený tvar diferenciální rovnice průhybové čáry ... 47

(10)

10 6. 10 Nosník na dvou podpěrách a silou uprostřed pro nezjednodušený tvar

diferenciální rovnice průhybové čáry ... 49

6. 11 Nosník na dvou podpěrách se spojitým zatížením po celé délce nosníku pro nezjednodušený tvar diferenciální rovnice průhybové čáry ... 52

6. 12 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a silou na něm pro nezjednodušený tvar diferenciální rovnice průhybové čáry ... 54

6. 13 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a spojitým zatížením po celé délce pro nezjednodušený tvar diferenciální rovnice průhybové čáry ... 57

7 Ohyb (plastický stav) - Obdélníkový profil ... 60

7. 1 Zatěžování ... 60

7. 2 Deformace v pružnoplastickém stavu - elastické jádro nosníku ... 60

7. 3 Vetknutý nosník se silou na konci s pružnopastickým stavem ... 62

7. 3. 1 Zadání... 62

(11)

11

7. 3. 2 Odhad velikosti síly ... 62

7. 3. 3 Určení souřadnice xp ... 63

7. 3. 4 Diferenciální rovnice průhybové čáry... 63

7. 3. 5 Řešení... 63

7. 3. 6 Odlehčování nosníku... 64

8 Experimentální ověření jednoho z analyticky získaných výsledků ... 66

8. 1 Zjišťování potřebných hodnot k výpočtu ... 66

8. 2 Analytický výpočet ... 72

8. 2. 1 Zadání... 72

8. 2. 2 Odhad velikosti síly ... 73

8. 2. 3 Určení souřadnice xp ... 73

8. 2. 4 Diferenciální rovnice průhybové čáry... 74

8. 2. 5 Řešení... 75

8. 2. 1 Odlehčování nosníku... 76

8. 3 Experimentální zjištění zbytkového průhybu... 78

8. 4 Vyhodnocení získaných výsledků ... 80

Závěr ... 82

Seznam literatury ... 84

(12)

12

Seznam obrázků

Obr. 1.1Smluvní diagram ... 20

Obr. 1.2Nevýrazná mez kluzu... 21

Obr. 1.3Výrazná mez kluzu ... 21

Obr. 2.1Ideálně tuhoplastický model ... 22

Obr. 2.2Ideálněpružnoplastický model ... 23

Obr. 2.3Tuhoplastický model s lineárním zpevněním ... 23

Obr. 2.4Pružnoplastický model s lineárním zpevněním ... 23

Obr. 3.1Rankinova metoda pro tahové napětí... 24

Obr. 3.2Rankinova metoda pro tlakové napětí ... 25

Obr. 3.3Mohrova hypotéza ... 26

Obr. 3.4 Coulombova hypotéza ... 27

Obr. 3.5Guestova hypotéza ... 28

Obr. 4.1Bauschingerův jev... 30

Obr. 5.1 Úhel natočení ... 31

Obr. 5.2 Určování znaménka křivosti ... 31

Obr. 5.3 Podobnost trojúhelníků pro Bernoulliho odvození ... 32

Obr. 5.4 Část nosníku namáhaná prostým rovinným ohybem ... 33

Obr. 5.5 Momentová podmínka kolem osy 𝑦 ≡ 𝑂𝑛 ... 34

Obr. 6.1 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 1 ... 35

Obr. 6.2 Graf natočení pro zadání na Obr. 6.1 ... 36

Obr. 6.3 Graf průhybu pro zadání na Obr. 6.1 ... 36

Obr. 6.5 Graf momentu pro zadání na Obr. 6.4 ... 37

Obr. 6.8 Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 3 ... 38

(13)

13

Obr. 6.16Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 5 ... 40

Obr. 6.29 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.28 ... 45

Obr. 6.30 Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.28 ... 45

Obr. 6.31 Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném... 46

Obr. 6.32 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.28 ... 46

Obr. 6.33 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.28 ... 46

Obr. 6.34 Graf, kde se odečetly hodnoty průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném... 46

Obr. 6.36 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.35 ... 47

Obr. 6.37 Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.35 ... 47

Obr. 6.38Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 48

(14)

14 Obr. 6.39 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.35 ... 48 Obr. 6.40 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.35 ... 48 Obr. 6.41 Graf, kde se odečetly hodnoty průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 48 Obr. 6.42 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 10 ... 49 Obr. 6.43 Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.42 ... 50 Obr. 6.44 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.42 ... 50 Obr. 6.45 Spojení grafů natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 50 Obr. 6.46 Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 50 Obr. 6.47 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.42 ... 51 Obr. 6.48 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.42 ... 51 Obr. 6.49 Spojení grafů průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 51 Obr. 6.50 Graf, kde se odečetly hodnoty průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 51 Obr. 6.51 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 11 ... 52 Obr. 6.52Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.51 ... 52 Obr. 6.53 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.51 ... 52 Obr. 6.54 Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 53 Obr. 6.55 Spojení grafů natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 53 Obr. 6.56 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.51 ... 53

(15)

15 Obr. 6.57 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.51 ... 53 Obr. 6.58 Graf kde se odečetli hodnoty z ... 53 Obr. 6.59 Spojení grafů průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 54 Obr. 6.60 Graf, kde se odečetly hodnoty průhyb pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 54 Obr. 6.61 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 12 ... 54 Obr. 6.62 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čár y pro zadání z obrázku Obr. 6.61 ... 55 Obr. 6.63 Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.61 ... 55 Obr. 6.64 Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 55 Obr. 6.65 Spojení grafů natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 55 Obr. 6.66 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.61 ... 56 Obr. 6.67 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.61 ... 56 Obr. 6.68 Spojení grafů průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 56 Obr. 6.69 Graf, kde se odečetly hodnoty průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 56 Obr. 6.70 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 13 ... 57 Obr. 6.71 Graf natočení pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.70 ... 58 Obr. 6.72 Graf natočení pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.70 ... 58 Obr. 6.73 Graf, kde se odečetly hodnoty natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 58 Obr. 6.74 Spojení grafů natočení pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 58

(16)

16 Obr. 6.75 Graf průhybu pro zjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro

zadání z obrázku Obr. 6.70 ... 59

Obr. 6.76 Graf průhybu pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry pro zadání z obrázku Obr. 6.70 ... 59

Obr. 6.77 Graf, kde se odečetly hodnoty průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 59

Obr. 6.78 Spojení grafů průhybu pro diferenciální rovnici průhybové čáry v nezjednodušeném a ve zjednodušeném tvaru ... 59

Obr. 7.1 Zadaní a uvolnění nosníku ... 62

Obr. 7.2 Natočení ... 64

Obr. 7.3 Průhyb ... 64

Obr. 7.4 Změna výšky elastického jádra nosníku ... 64

Obr. 7.5 Moment v elastickém jádře ... 64

Obr. 7.6 Zadání případu pro odlehčení ... 64

Obr. 7.7 Průhyb při odlehčení ... 65

Obr. 8.1 Smluvní diagram tyčinky bez tepelného zpracování ... 66

Obr. 8.2 Smluvní diagram tyčinky po normalizačním žíhání ... 68

Obr. 8.3 Část smluvního diagramu se znázorněním pokusu ... 69

Obr. 8.4 Smluvní diagram který vznikl výše popsaným pokusem ... 70

Obr. 8.5 Smluvní diagram s vloženými přímkami ... 70

Obr. 8.6 Smluvní diagram vybraných dat pro zjištění modulu pružnosti při zatížení71 Obr. 8.7 Smluvní diagram s aproximací dat pro zjištění modulu pružnosti pro zatížení ... 72

Obr. 8.8 Zadání analytického výpočtu ... 72

Obr. 8.9 Natočení nosníku ... 75

Obr. 8.10 Průhyb nosníku ... 75

Obr. 8.11 Zadání případu pro odlehčení ... 76

Obr. 8.12 Průhyb při odlehčení ... 77

Obr. 8.13 Upnutí nosníku... 78

Obr. 8.14 N ulová hodnota průhybu ... 79

Obr. 8.15 Hodnota maximálního průhybu při experimentu ... 79

Obr. 8.16 Hodnota zbytkového průhybu při experimentu ... 80

(17)

17

Úvod

V této bakalářské práci se budu zabývat problematikou pružnoelastického chování nosníku. Samotnou obsahovou náplní je porovnání stavů, které vznikají v nosníku, v momentě kdy přestává platit Hookův zákon.

Celá práce se vychází z elementárních znalostí o tahové zkoušce. Smluvní tahový diagram se bude muset bilineárně aproximovat pro celkové zjednodušení výpočtu.

V jedné z částí bakalářské práce se budu zabývat pevnostními hypotézami, které se dělí na pevnostní hypotézy porušení materiálu v křehkém stavu a na

pevnostní hypotézy porušení materiálu ve tvárném stavu. Jednotlivé typy pevnostních hypotéz budou podkladem pro vyvození samotného závěru této kapitoly.

Dále se budu zabývat implemantací Bauschingerova jevu v experimentální části bakalářské práce.

Následně se zaměřím na odvození diferenciální rovnice průhybové čáry ve zjednodušeném tvaru, kde budou stanoveny jednotlivé předpoklady pro její platnost, včetně odvození diferenciální rovnice průhybové čáry v nezjednodušeném tvaru.

Pomocí diferenciálních rovnic průhybové čáry ve zjednodušeném i nezjednodušeném tvaru provedu analytický výpočet několika základních typů nosíků. V závěru uvedu rozdíl mezi výpočtem ve zjednodušeném a nezjednodušeném tvaru. K těmto výpočtům použiji matematický software Matlab, který využiji pro oba způsoby řešení, čili symbolický i numerický.

V následující kapitole se budu zaobírat problematikou odvození vztahů pro momenty v pružnoplastickém stavu. Odvodím výpočet výšky elastického jádra nosníku, následně určím souřadnici oddělující elastickou část nosníku od elastoplastické části. Pomocí těchto získaných vztahů a diferenciální rovnice průhybové čáry vypočítám největší průhyb i zbytkový průhyb nosníku.

(18)

18 Poslední částí mé bakalářské práce je experiment. Experiment bude spočívat v porovnání zbytkového průhybu získaného pomocí analytického výpočtu a

zbytkového průhybu získaného pomocí experimentu. V obou případech se bude jednat o stejný nosník, abychom mohli výsledky vzájemně porovnat a ověřit si, tak správnost analytického výpočtu.

(19)

19

1 Zkouška tahem

Zkouška tahem je nejvíce rozšířenou mechanickou zkouškou. Zkouška tahem je normalizovanou zkouškou a řídí se v ČR národní normou ČSN EN 10002.

Principem této zkoušky je pomocí tahové síly zatěžovat normalizovanou zkušební tyč, obvykle až do přetržení, aby se mohly stanovit určité mechanické vlastnosti zkoušeného materiálu.

1. 1 Zkušební tyče

Zkušební tyče můžou být různých tvarů. Nejpoužívanější příčné průřezy zkušebních tyčí jsou kruhové, čtvercové, obdélníkové a prstencové. Všechny tyto průřezy se získávají obrobením vzorku z výroby. Také lze získat z výroby vzorky o stálém příčném průřezu, jako jsou profily, dráty a tyče. Takovéto vzorky se podrobují zkoušce tahem bez obrobení příčného průřezu. Zkušební tyče jsou na obou koncích upraveny tak, aby se daly vhodně upnout do trhacího stroje. Upnutí do trhacích strojů je pomocí klínů, závitových, osazených nebo hydraulických čelistí. Zkušební tyče se upínají pokud možno tak, aby síla působila pouze v ose zkušební tyče.

1. 2 Výsledky zkoušky tahem

Výsledkem zkoušky tahem je vždy diagram.

Rozlišují se tři druhy diagramů:

- pracovní diagram;

- smluvní diagram;

- skutečný diagram.

Pracovní diagram vzniká přímo v průběhu zkoušky a je vykreslen trhacím strojem. V diagramu je znázorněná závislost absolutního prodloužení ΔL [mm] měrné délky L0 [mm] zkušebního tělesa na zatěžovací tahové síle F [N].

Smluvní diagram (viz. Obr. 1.1)vzniká přepočtem hodnot z pracovního diagramu. Ve smluvním diagramu se posuzuje závislost smluvního napětí R [MPa] na poměrném prodloužení ε [-].

(20)

20 Smluvní napětí:

𝑅 = 𝐹 𝑁

𝑆₀ 𝑚𝑚² 𝑀𝑝𝑎 . (1.1)

Poměrné prodloužení:

𝜀 =∆𝐿 [𝑚𝑚]

𝐿₀[𝑚𝑚] − . (1.2)

Obr. 1.1Smluvní diagram

Skutečný diagram vzniká stejně jako smluvní diagram přepočítáním hodnot pracovního diagramu. V tomto grafu se jedná o závislost skutečného napětí 𝑅 [Mpa]

na logaritmickém prodloužení 𝜀 [-].

Skutečné napětí:

𝑅 = 𝐹 𝑁

𝑆₀ 𝑚𝑚² 𝑀𝑝𝑎 . (1.3)

Logaritmické prodloužení:

𝜀 = 𝑙𝑛𝐿 [𝑚𝑚]

𝐿₀[𝑚𝑚] − . (1.4)

1. 3 Mezní napětí v diagramu Ve všech typech diagramů se pozorují tyto meze:

(21)

21 1. 3. 1 Napětí na mezi úměrnosti -σU

Do tohoto mezního napětí se sleduje v diagramu přímková (lineární) závislost.

Pokudse v této oblasti přeruší průběh tahové zkoušky, vzniklé deformace se vrátí do původního stavu a zkušební tyč bude mít stejný tvar jako na začátku zkoušky.

1. 3. 2 Napětí na mezi pružnosti -σE

V intervalu od meze úměrnosti do meze pružnosti se již nejedná o přímkovou závislost. Pružná deformace roste rychleji, ale i tak se jedná o pružnou deformaci.

1. 3. 3 Napětí na mezi kluzu - σK

Při tomto mezním napětí se pozoruje na vzorku první stálá deformace. Mez kluzu je mez, kde bez zvětšování napětí se zvětšuje deformace. Rozlišují se dva druhy mezí kluzu. První je výrazná mez kluzu.Druhá je nevýrazná mez kluzu. U výrazné meze kluzu se hledá horní mez kluzu (ReH) a dolní mez kluzu (ReD) (Obr. 1.3). U nevýrazné meze kluzu se hledá smluvní mez kluzu (Rp0,2) a tato hodnota odpovídá napětí způsobující trvalou deformaci o velikosti 0,2% z L0 (Obr. 1.2) U křehkých materiálů se mez kluzu neprojeví. Jediný charakteristický bod je pak mez pevnosti.

Obr. 1.3Výrazná mez kluzu

1. 3. 4 Napětí na mezi pevnosti σP

Jedná se o napětí, které je v průběhu celé zkoušky největší.

Obr. 1.2Nevýrazná mez kluzu

(22)

22 1. 4 Hookův zákon

Hookův zákon platí pouze v přímkové závislosti diagramu, což je do meze úměrnosti.

Je vyjádřen pomocí vztahu:

𝜎 = 𝜀𝐸 , (1.5)

kde σ je napětí, poměrné prodloužení je ε a E je modul pružnosti v tahu.

Modul pružnosti v tahu geometricky odpovídá směrnici přímkové závislosti diagramu.

Vypočítá se:

𝐸 = 𝑡𝑔 𝛼 = ∆𝑅

∆𝜀_𝑒𝑙 =

∆𝐹 𝑆₀

∆(∆𝐿) 𝐿₀

. (1.6)

2 Aproximace

Základní aproximace pracovních diagramů:

Rozlišují se čtyři druhy aproximace:

2. 1 Ideálně tuhoplastický model (Obr. 2.1)

Tato aproximace je úplně nejjednodušší, kterou lze použít. Jedná se o skok z nulového napětí na napětí na mezi kluzu, které je konstantní.

Obr. 2.1Ideálně tuhoplastický model

(23)

23 2. 2 Ideálně pružnoplastický model (Obr. 2.2)

V této aproximaci se vychází z nulového napětí přímkové závislosti pod úhlem arctg E od osy ϕ až do napětí na mezi kluzu, dále je konstantní napětí stejné jako u prvního případu aproximace.

2. 3 Tuhoplastický model s lineárním zpevněním (Obr. 2.3)

Tento druh aproximace spočívá ve skoku z nulového napětí, na hodnotu napětí, na mezi kluzu a následnou přímkovou závislostí pod úhlem arctg E´ od osyϕ.

2. 4 Pružnoplastický model s lineárním zpevněním (Obr. 2.4)

Jedná se o spojení aproximací 2 a 3. Vychází se z nulového napětí přímkové závislosti pod úhlem arctg E od osy ϕ až do napětí na mezi kluzu, dále přímkovou závislostí pod úhlem arctg E´ od osy ϕ.

Obr. 2.2Ideálněpružnoplastický model

Obr. 2.3Tuhoplastický model s lineárním zpevněním

Obr. 2.4Pružnoplastický model s lineárním zpevněním

(24)

24

3 Pevnostní hypotézy

Rozdělují se na dvě skupiny. První skupinou jsou hypotézy porušení materiálu v křehkém stavu. Druhou skupinou jsou hypotézy porušení materiálu v tvárném stavu.

3. 1 Hypotézy porušení materiálu v křehkém stavu 3. 1. 1 Rankinova hypotéza maximálního napětí

Při namáhání součástí tříosým tahem σ1>σ2>σ3> 0 (Obr. 3.1 -Plná čára) a za použití Rankinovy hypotézy se zanedbávají dvě menší hlavní tahová napětí

(σ2 = σ3 = 0) (Obr. 3.1 - Čárkovaná čára). Poté se považuje ekvivalentní napjatost za prostý tah.

Redukované napětí:

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 𝜎₁ (3.1)

Pevnostní podmínka

𝜎₁≤ 𝜎_𝑃 (3.2)

σp - mez pevnosti v tahu.

Znamená to, že podle Rankinovy hypotézy vznikne první porucha materiálu při

𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 𝜎₁= 𝜎_𝑃. (3.3)

Obr. 3.1Rankinova metoda pro tahové napětí

Stejná situace nastává také pro namáhání tříosým tlakem 0 <σ1< σ2< σ3(Obr.

3.2 -Plná čára). To znamená, že za použití Rankinovy hypotézy se zanedbávají dvě

(25)

25 menší tlaková napětí (σ2 = σ3 = 0)(Obr. 3.2 - Čárkovaná čára). Poté se považuje ekvivalentní napjatost za prostý tlak.

Redukované napětí:

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₃ (3.4)

Pevnostní podmínka

𝜎₃ ≤ 𝜎_𝑃𝑡 (3.5)

σpt - mez pevnosti v tlaku

Obr. 3.2Rankinova metoda pro tlakové napětí

3. 1. 2 Saint-Venantova hypotéza maximálního poměrného prodloužení

V této hypotéze se předpokládá, že u materiálů v křehkém stavu lze využít znalosti Hookova zákona, až do porušení materiálu, který nastává

𝜀₀= 𝜀_𝑚𝑎𝑥 . (3.6)

máme- li případ, že σ1> σ2> σ3 a dosadí- li se z upraveného vztahu (1.5) pro Hookův zákon do vztahu(3.6)vychází

𝜀 =𝜎

𝐸=>𝜎₀ 𝐸 = 𝜀₀ 𝜎₀

𝐸 =1

𝐸 𝜎₁− 𝜇(𝜎₂+ 𝜎₃) (3.7)

a ze vztahu (3.7)vyplývá, že porucha nastává při napětí

𝜎0 = 𝜎1− 𝜇 𝜎2+ 𝜎3 = 𝜎_𝑝. (3.8)

(26)

26 3. 1. 3 Mohrova hypotéza mezní čáry

V této hypotéze nastává porucha, když se dotkne mezní čára největší Mohrovy kružnice v bodě P (σ, τ). Hodnota souřadnice σ vyjadřuje vliv křehkého porušení.

Hodnota souřadnice τ vyjadřuje vliv tvárného porušení. Dalším významným bodem je bod Q, kde nastává typické křehké porušení materiálu. Bod Q má stejně jako bod P souřadnice σ a τ, ale v tomto případě je τ = 0 (hydrostatická napjatost). Nedostatkem této metody je, že „Mohrova mezní čára je křivka, která však neumožňuje jednoduché analytické vyjádření redukovaného napětí“(PUCHMAJER, 1999).

Obr. 3.3Mohrova hypotéza 3. 1. 4 Coulombova hypotéza

Coulombova hypotéza mezní přímky pracuje na stejném principu jako Mohrova hypotéza mezní čáry, ale odstraňuje nedostatek Mohrovy hypotézy. Redukované napětí Coulombovy hypotézy je:

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎_𝑚𝑎𝑥 − 𝜌𝜎_𝑚𝑖𝑛 , (3.9)

respektive

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁− 𝜌𝜎₃. (3.10)

Tato hypotéza zanedbává pouze střední hlavní napětí 𝜎₂=0.

Bezrozměrný faktor

𝜌 = 𝜎_𝑃

𝜎𝑃𝑡 (3.11)

se vyjadřuje poměrem meze pevnosti v tahu a meze pevnosti v tlaku.

Pevnostní podmínka má tvar

𝜎1− 𝜌𝜎3≤ 𝜎𝑝 (3.12)

(27)

27 a první porucha materiálu vzniká při napětí

𝜎₁− 𝜌𝜎₃= 𝜎_𝑝. (3.13)

Obr. 3.4 Coulombova hypotéza

3. 2 Hypotézy porušení materiálu v tvárném stavu 3. 2. 1 Guestova hypotéza maximálního tečného napětí

„Tato hypotéza je zvláštním případem Coulombovy hypotézy pro houževnaté (tvárné) materiály, jejichž σk = σkt“(PUCHMAJER, 1999).

Pokud nastává případ σ1> σ2> σ3> 0 je 𝜏_𝑚𝑎𝑥 =𝜎₁− 𝜎₃

2 =𝜎_𝑚𝑎𝑥 − 𝜎_𝑚𝑖𝑛

2 (3.14)

v případě, že se vyskytuje pouze prostý tah je 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎_𝑟𝑒𝑑

2 . (3.15)

Porovnáním obou vztahů pro τmax(3.14), (3.15) vyjde, že redukované napětí

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁− 𝜎₃= 𝜎_𝑚𝑎𝑥 − 𝜎_𝑚𝑖𝑛. (3.16) Vztah (3.10) odpovídá i redukovanému napětí podle Coulombovy hypotézy pro

bezrozměrný faktor ρ = 1.

pevnostní podmínka je

𝜎_𝑚𝑎𝑥 − 𝜎_𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜎_𝑘 . (3.17)

(28)

28 Obr. 3.5Guestova hypotéza

3. 2. 2 Huberova - Misesova - Henckyova hypotéza hustoty deformační energie změny tvaru (HMH hypotéza)

„Experimenty se prokázalo, že mezní stav pružnosti u tvárných materiálů ovlivňuje mnohem více ta část hustoty deformační energie, která způsobuje pouze změnu tvaru.

Provedeme-li opět ekvivalenci s prostým tahem, tak dostaneme“(PUCHMAJER, 1999)

1 + 𝜇

6𝐸 𝜎_𝑥− 𝜎_𝑦 ²+ 𝜎_𝑥− 𝜎_𝑧 ²+ 𝜎_𝑦− 𝜎_𝑧 ²+ 6 𝜏_𝑥²+ 𝜏_𝑦²+ 𝜏_𝑧² =

=1 + 𝜇

6𝐸 𝜎₁− 𝜎₂ ²+ 𝜎₁− 𝜎₃ ²+ 𝜎₂− 𝜎₃ ² =1 + 𝜇

6𝐸 2𝜎_𝑟𝑒𝑑² .

(3.18)

Redukované napětí je 𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 2

2 𝜎_𝑥− 𝜎_𝑦 ²+ 𝜎_𝑥− 𝜎_𝑧 ²+ 𝜎_𝑦− 𝜎_𝑧 ²+ 6 𝜏_𝑥²+ 𝜏_𝑦²+ 𝜏_𝑧² (3.19) a v hlavních napětích

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 2

2 𝜎₁− 𝜎₂ ²+ 𝜎₁− 𝜎₃ ²+ 𝜎₂− 𝜎₃ ² . (3.20) Pevnostní podmínka je

𝜎_𝑟𝑒𝑑 ≤ 𝜎_𝑘 . (3.21)

3. 3 Srovnání pevnostních hypotéz pro jednoosou napjatost Za toho předpokladu jsou dvě menší hlavní napětí rovna nule.

σ₂ = σ₃= 0 (3.22)

Rankinova hypotéza maximálního napětí(3.1)

(29)

29 𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎_𝑚𝑎𝑥 = 𝜎₁ .

Rankinova hypotéza byla již s tímto předpokladem vytvořena, proto se výsledek nijak nezměnil.

Saint-Venantova hypotéza maximálního poměrného prodloužení(3.8) 𝜎₀ = 𝜎₁− 𝜇 𝜎₂+ 𝜎₃ = 𝜎_𝑝 .

Za výše uvedeného předpokladu(3.22) se nám Saint-Venantova hypotéza změní takto

𝜎₀ = 𝜎₁= 𝜎_𝑝 . (3.23)

Coulombova hypotéza(3.10)

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁ − 𝜌𝜎₃ .

Za výše uvedeného předpokladu(3.22) se nám Coulombova hypotéza změnila takto

𝜎𝑟𝑒𝑑 = 𝜎1 . (3.24)

Guestova hypotéza maximálního tečného napětí(3.16) 𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁− 𝜎₃ = 𝜎_𝑚𝑎𝑥 − 𝜎_𝑚𝑖𝑛 .

Za výše uvedeného předpokladu(3.22) se nám Guestova hypotéza změnila takto

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁ . (3.25)

Huberova - Misesova - Henckyova hypotéza hustoty deformační energie změny tvaru(3.20)

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 2

2 𝜎₁− 𝜎₂ ²+ 𝜎₁ − 𝜎₃ ²+ 𝜎₂− 𝜎₃ ² . Za výše uvedeného předpokladu (3.22) se nám HMH hypotéza změnila takto

𝜎_𝑟𝑒𝑑 = 𝜎₁ . (3.26)

Pro jednoosou napjatost je vždy redukované napětí rovno jedinému a zároveň největšímu hlavnímu napětí. To se v konečném důsledku dokázalo úpravou všech uvedených hypotéz.

4 Bauschingerův jev

Pomocí experimentů se zjistilo, že prvotní mez kluzu v tahu σKt a prvotní mez kluzu v tlaku σKd jsou si rovny. To platí pro materiály s výraznou mezí kluzu, kde pro nás mez kluzu je dolní mez kluzu a u materiálu s nevýraznou mezí kluzu se uvažuje smluvní mez kluzu. Při zatěžování součásti nad mez plasticity a následné odlehčení z pružně plastického stavu probíhá odlehčování po jiné křivce, než při zatěžování (Obr. 4.1). Předpokládá se, že odlehčování z pružně plastického stavu a následné nové

(30)

30 zatěžování je po rovnoběžné přímce s lineární částí diagramu. Při dalším stejném zatěžování součásti je plastického stavu dosaženo při vyšší hodnotě, než je prvotní mez kluzu σ_K (σ_K1>σ_K). Toto napětí, které se nazývá jako následná mez kluzu, lze brát jako novou mez kluzu. „Jiná situace nastane při plném odlehčení a následném zatěžování v opačném směru, např. z tahového napětí na hodnotu σK1 následné úplné odlehčení a zatěžování na mez plasticity v tlaku.(Plánička, a další, 2004) V tomto uvedeném příkladu se nejdříve zatíží součást do pružně plastického stavu (σ_K1>σ_K) a to má za následek snížení meze kluzu v talku (σKd<σK). Analogický jev,lze pozorovat v cyklu zatížení v tlaku, odlehčení zatížení v tahu. U materiálů, u kterých platí, že mez kluzu v tahu a mez kluzu tlaku jsou si rovny σKt = σKd= σK platí

𝜎_𝐾𝑡+ 𝜎_𝐾𝑑 = 2𝜎_𝐾 (4.1)

Obr. 4.1Bauschingerův jev

(31)

31

5 Odvození diferenciální rovnice průhybové čáry

5. 1 Úhel natočení

Jako první se definuje úhel natočení, který je v souladu s (5.1) 𝑡𝑔 𝜑 𝑥 = 𝑤´(𝑥) =𝑑𝑤(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝜑 𝑥 (5.1)

první derivace průhybu.

Obr. 5.1 Úhel natočení

5. 2 Křivost rovinné křivky

Křivost rovinné křivky vyplývá z diferenciální geometrie v rovině a platí pro ni, že 𝜅 𝑥 = 1

𝜌(𝑥)= ± 𝑤´´(𝑥) 1 + 𝑤´²(𝑥) ³²

. (5.2)

ρ(x) - poloměr křivosti

Znaménko křivosti rovinné křivky κ (x) je stejné, jako znaménko druhé derivace průhybu w´´(x) a to vyplývá z obrázku.

Obr. 5.2 Určování znaménka křivosti

(32)

32 5. 3 Bernoulliho odvození se zjednodušením

„Vzhledem k tomu, že v neutrální rovině nedojde k deformaci (dx se vlivem Mo(x) nezmění) z podobnosti trojúhelníku Δ ABS a ΔCDB podle obrázku(Obr.

5.3)platí“(PUCHMAJER, 1999)

𝑑𝑥

𝜌(𝑥)=∆𝑑𝑥

𝑧 . (5.3)

nebo- li

1

𝜌(𝑥)= 𝜅 𝑥 =1 𝑧

∆𝑑𝑥

𝑑𝑥 =𝜀(𝑥)

𝑧 . (5.4)

Obr. 5.3 Podobnost trojúhelníků pro Bernoulliho odvození 5. 3. 1 Bernoulli - Navierova hypotéza

Bernoulliho - Naviérův předpoklad lze přijmout pro dostatečně štíhlé nosníky.

Roviny ξ1 a ξ2 se při deformaci ohybem jenom pootočí do poloh ξ´1 a ξ´2. A za toho předpokladu je rozložení posuvů Δx lineární.

Platí, že

∆𝑥(𝑧) = 𝑎𝑧 (5.5)

(33)

33 pro zvolené x=konst.

∆𝑥(𝑧)

𝑥 = 𝜀_𝑥 𝑧 = 𝑏𝑧 . (5.6)

„Použitím Hookova zákona (1.5)

𝜎_𝑥 𝑧 = 𝐸𝜀_𝑥 𝑧 = 𝐸𝑏𝑧 = 𝑐𝑧 , (5.7)

odkud je zřejmé, že prostý rovinný ohyb představuje jednoosou napjatost, kde normálové napětí 𝜎_𝑥 𝑧 je rozděleno po průřezu lineárně. (PUCHMAJER, 1999)

Obr. 5.4 Část nosníku namáhaná prostým rovinným ohybem Pro určení konstanty c se vytvoří momentová podmínka kolem osy 𝑦 ≡ 𝑂_𝑛 (Obr. 5.5).

(34)

34 Obr. 5.5 Momentová podmínka kolem osy 𝑦 ≡ 𝑂_𝑛

𝑁𝑒 = 𝑧𝑑𝑁

(𝐴)

= 𝑐 𝑧²𝑑𝐴

(𝐴)

= 𝑐𝐽_𝑦 = 𝑀_𝑜 (5.8)

V tomto vzorci je Jy kvadratický moment k neutrální ose, pomocí vzorce (5.8) se vyjádří konstantu c

𝑐 =𝑀_𝑜

𝐽_𝑦 (5.9)

Použitím vztahu (5.7)a dosazením za konstantu c se dostane 𝜎_𝑥 𝑧 =𝑀_𝑜

𝐽_𝑦 𝑧 (5.10)

a upraví se vztah pro křivost rovinné křivky takto 𝜅 𝑥 =𝜀(𝑥)

𝑧 =𝜎(𝑥) 𝐸𝑧 = 𝑀_𝑜

𝐸𝑧𝐽_𝑦𝑦 = 𝑀_𝑜

𝐸𝐽_𝑦 . (5.11)

Porovnáním vztahů (5.2) a (5.11)

± 𝑤´´(𝑥) 1 + 𝑤´²(𝑥) ³²

= 𝑀_𝑜

𝐸𝐽_𝑦 . (5.12)

„Uvážíme-li dále, že průhybové čáry štíhlých (Bernoulliho) nosníků mohou být jen velmi málo zakřivené, je 𝑤´²(𝑥) ≪ 1 a lze tudíž vůči jedničce zanedbat“(PUCHMAJER, 1999).

(35)

35 Následným upravením vztahu (5.12) se dostane diferenciální rovnice

𝑤´´(𝑥) = ± 𝑀_𝑜 𝐸𝐽𝑦

. (5.13)

Z obrázku (Obr. 5.2) se může vyčíst, že kladný ohybový moment deformuje střednici nosníku do tvaru,který je shodný s tvarem průhybové křivky jejíž w´´(x) < 0. A proto v tomto případě platí znaménko mínus, čili výsledný vztah, vypadá takto

𝑤´´ 𝑥 = − 𝑀_𝑜

𝐸𝐽_𝑦 . (5.14)

5. 4 Bernoulliho odvození bez zjednodušení

Postupuje se úplně stejně, jako v bodě 5. 3 až do vztahu (5.12), následně se už neuvažuje, že nosník je málo zakřivený a diferenciální rovnice průhybové čáry bude vypadat takto

𝑤´´ 𝑥 = ±𝑀_𝑜

𝐸𝐽_𝑦 1 + 𝑤´²(𝑥) ³² = ±𝑀_𝑜

𝐸𝐽_𝑦 1 + 𝜑²(𝑥) ³² (5.15)

6 Ohyb jednochodých nosníků

V této části se spočítá 7 jednoduchých nosníků na ohyb pro zjednodušenou i pro nezjednodušenou diferenciální rovnici průhybové čáry, jako příprava k následnému počítání stejných nosníků, ale již v pružnoplastickém stavu.

6. 1 Vetknutý nosník s konstantním momentem 𝑀_𝐴 = 𝑀 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑙) 𝑀 𝑥 = −𝑀

Dosazením momentu do vztahu (5.14) získáme

𝑤´´ 𝑥 = 𝑀 𝐸𝐽_𝑦,

a pomocí okrajových podmínek

𝑤´ 𝑙 = 0 ; 𝑤 𝑙 = 0,

vypočte se průhyb w a natočení υ.

Obr. 6.1 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 1

(36)

36

𝑤 = 𝑀𝑙𝑥

𝐸𝐽

_𝑦

− 𝑀𝑥

²

2𝐸𝐽

_𝑦

− 𝑀𝑙

²

2𝐸𝐽

_𝑦

,

𝜑 = 𝑀𝑙

2𝐸𝐽_𝑦 − 𝑀𝑥 2𝐸𝐽_𝑦

V příkladu, kde je vetknutý nosník s konstantním momentem, předem se ví, jaké by měly vyjít grafy průhybu a natočení. Jelikož se dosazuje do diferenciální rovnice průhybové čáry konstantní moment, který nám působí na nosník. Poté je integrovaná konstanta, pro získaní závislosti natočení na délce nosníku(Obr. 6.3),integrací konstanty je křivka prvního stupně čili přímka. Následná druhá integrace přímky, je křivka druhého stupně a to je parabola. Druhá integrace se provedla pro získání závislosti průhybu na délce nosníku(Obr. 6.2).

Obr. 6.3 Graf natočení pro zadání na Obr. 6.1 Obr. 6.2 Graf průhybu pro zadání na Obr. 6.1

(37)

37 6. 2 Vetknutý nosník se silou na konci

𝑅_𝐴 = 𝐹 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑙) 𝑀 𝑥 = −𝐹𝑥

Dosazením momentu do vztahu (5.14)se získá

𝑤´´ 𝑥 = 1

𝐸𝐽_𝑦 𝐹𝑥 ,

a pomocí okrajových podmínek 𝑤´ 𝑙 = 0

𝑤 𝑙 = 0,

se vypočte průhyb w a natočení υ.

𝑤 =

^{𝐹𝑥 𝑙}²

2𝐸𝐽_𝑦

−

^{𝐹 𝑙}³

3𝐸𝐽_𝑦

−

^𝐹𝑥³

6𝐸𝐽_𝑦

,

𝜑 =𝐹𝑥𝑙²

2𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑥² 2𝐸𝐽_𝑦 Obr. 6.4 Zadaní a uvolnění pro podkapitolu 6. 2

Obr. 6.5 Graf momentu pro zadání na Obr. 6.4

(38)

38 6. 3 Vetknutý nosník se spojitým zatí žením na celé délce nosníku

𝑅_𝐴 =^𝑞𝑙²

2

𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑙) 𝑀 𝑥 = −𝑞𝑥²

2

Dosazením momentu do vztahu (5.14) se získá

𝑤´´ 𝑥 = 1 𝐸𝐽_𝑦

𝑞𝑥² 2 ,

a pomocí okrajových podmínek 𝑤´ 𝑙 = 0

𝑤 𝑙 = 0,

𝑤 = 𝑞𝑥𝑙³

6𝐸𝐽_𝑦− 𝑞𝑥⁴

24𝐸𝐽_𝑦 − 𝑞𝑙⁴ 8𝐸𝐽_𝑦 𝜑 = 𝑞𝑙³

6𝐸𝐽_𝑦 − 𝑞𝑥³ 6𝐸𝐽_𝑦 Obr. 6.8 Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 3

(39)

39 6. 4 Nosník na dvou podpěrách a silou uprostřed

𝑅_𝐴 = 𝑅_𝐵 = ^𝐹

2

𝐼: 𝑥 ∈ 0,𝑙 2 𝑀_𝐼 𝑥 = 𝑅_𝐴𝑥 = 𝐹

2𝑥 𝐼𝐼: 𝑥 ∈ 𝑙

2, 𝑙

𝑀_𝐼𝐼 𝑥 = 𝑅_𝐴𝑥 − 𝐹 𝑥 −𝑙 2 = 𝑀_𝐼𝐼 𝑥 =𝐹

2𝑥 − 𝐹 𝑥 − 𝑙 2

Dosazením momentů do vztahu(5.14)se získají dvě diferenciální rovnice 𝑤´´_𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 𝐹 2𝑥 ; 𝑤´´_𝐼𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 𝐹

2𝑥 − 𝐹 𝑥 −𝑙 2 , a pomocí okrajových podmínek 𝑤_𝐼 0 = 0

𝑤_𝐼𝐼 𝑙 = 0 𝑤_𝐼 𝑙

2 = 𝑤_𝐼𝐼 𝑙 2 𝑤´_𝐼 𝑙

2 = 𝑤´_𝐼𝐼 𝑙 2

𝑤_𝑎 = 𝐹𝑙²𝑥

16𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑥³

12𝐸𝐽_𝑦 ; 𝑤_𝑏 =𝑥 ^9𝐹𝑙²

4 − 3𝐹𝑙𝑥 + 𝐹𝑥²

12𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑙³

48𝐸𝐽_𝑦

𝜑_𝑎 = 𝐹𝑙²

16𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑥²

4𝐸𝐽_𝑦 ; 𝜑_𝑏 =

9𝐹 𝑙²

4 − 3𝐹𝑙𝑥 + 𝐹𝑥²

12𝐸𝐽_𝑦 −𝑥(3𝐹𝑙𝑥 + 2𝐹𝑥) 12𝐸𝐽_𝑦 Obr. 6.12 Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 4

(40)

40 6. 5 Nosník na dvou podpěrách se spojitým zatížením po celé délce

nosníku

𝑅_𝑎 = 𝑅_𝐵 =𝑞𝑙 2 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑙) 𝑀 𝑥 = 𝑅_𝑎𝑥 −𝑞𝑥²

2 = 𝑞𝑙

2 𝑥 −𝑞𝑥² 2 Dosazením momentu do vztahu (5.14) se získá

𝑤´´ 𝑥 = − 1 𝐸𝐽_𝑦

𝑞𝑙

2𝑥 −𝑞𝑥² 2 , a pomocí okrajových podmínek 𝑤 0 = 0

𝑤 𝑙 = 0,

𝑤 =𝑥(−1𝑞𝑙³+ 6𝑞𝑙²− 6𝑞𝑙𝑥 + 𝑞𝑥³) 24𝐸𝐽_𝑦

𝜑 =−1𝑞𝑙³+ 6𝑞𝑙²− 6𝑞𝑙𝑥 + 𝑞𝑥³ 24𝐸𝐽_𝑦

−𝑥(6𝑙𝑞 − 3𝑞𝑥²) 24𝐸𝐽_𝑦

Obr. 6.16Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 5

(41)

41 6. 6 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a silou na

něm

𝑎 = 2 𝑏 𝑅_𝐴 = −^𝐹𝑏

𝑎

𝑅_𝐵 = 𝐹 +𝐹𝑏 𝑎 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑎)

𝑀_𝐼 𝑥 = −𝑅_𝑎𝑥 =𝐹𝑏 𝑎 𝑥 𝐼𝐼: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏

𝑀_𝐼𝐼 𝑥 = −𝑅_𝐴𝑥 + 𝑅_𝐵 𝑥 − 𝑎 = 𝑀_𝐼𝐼 𝑥 = 2 𝐹𝑏𝑥

𝑎 + 𝐹(𝑥 − 𝑎 − 𝑏) Dosazením momentů do vztahu (5.14) se získají dvě diferenciální rovnice 𝑤´´_𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 𝐹𝑏

𝑎 𝑥 ; 𝑤´´𝐼𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 2 𝐹𝑏𝑥

𝑎 + 𝐹 𝑥 − 𝑎 − 𝑏 a pomocí okrajových podmínek

𝑤_𝐼 𝑎 = 0 𝑤_𝐼𝐼 𝑎 = 0

𝑤_𝐼 0 = 0 𝑤´_𝐼 𝑎 = 𝑤´_𝐼𝐼 𝑎

Obr. 6.20 Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 6

(42)

42 se vypočte průhyb w a natočení υ.

𝑤_𝑎 = 𝐹𝑎𝑏𝑥

6𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑏𝑥³

6𝐸𝐽_𝑦𝑎 ; 𝜑_𝑎 = 𝐹𝑎𝑏

6𝐸𝐽_𝑦 − 𝐹𝑏𝑥² 2𝐸𝐽_𝑦𝑎 𝑤_𝑏= 𝐹𝑎³+ 𝐹𝑏𝑎²

6𝐸𝐽_𝑦 −𝑥 3𝐹𝑎² + 2𝐹𝑎𝑏

6𝐸𝐽_𝑦 −𝐹𝑥³ 𝑎 + 2𝑏

6𝐸𝐽_𝑦𝑎 +𝐹𝑥² 2𝑎²+ 2𝑎𝑏 4𝐸 𝐽_𝑦𝑎 𝜑_𝑏 =𝐹𝑥 2𝑎²+ 2𝑎𝑏

2𝐸𝐽_𝑦𝑎 −3𝐹𝑎² + 2𝐹𝑎𝑏

6𝐸𝐽_𝑦 −𝐹𝑥² 𝑎 + 2𝑏 2𝐸𝐽_𝑦𝑎

(43)

43 6. 7 Nosník na dvou podpěrách s převislým koncem a spojitým

zatí žením po celé délce

𝑎 = 2 𝑏

𝑅_𝐴 = 𝑞 𝑎 + 𝑏 1 −𝑎 + 𝑏 2𝑎 𝑅_𝐵 =𝑞(𝑎 + 𝑏)²

2𝑎 𝐼 ∶ 𝑥 ∈ (0, 𝑎) 𝑀_𝐼 𝑥 = 𝑅_𝑎𝑥 −𝑞𝑥²

2

𝑀_𝐼 𝑥 = 𝑞 𝑎 + 𝑏 1 −𝑎 + 𝑏

2𝑎 𝑥 −𝑞𝑥² 2 𝐼𝐼: 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏

𝑀_𝐼𝐼 𝑥 = 𝑅_𝐴𝑥 + 𝑅_𝐵 𝑥 − 𝑎 −𝑞𝑥² 2 = 𝑀_𝐼𝐼 𝑥 = 𝑞 𝑎 + 𝑏 1 −𝑎 + 𝑏

2𝑎 𝑥 +𝑞(𝑎 + 𝑏)²

2𝑎 𝑥 − 𝑎 −𝑞𝑥² 2

Dosazením momentů do vztahu (5.14) se získají dvě diferenciální rovnice 𝑤´´_𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 𝑞 𝑎 + 𝑏 1 −𝑎 + 𝑏

2𝑎 𝑥 −𝑞𝑥² 2 𝑤´´_𝐼𝐼 𝑥 = − 1

𝐸𝐽_𝑦 𝑞 𝑎 + 𝑏 1 −𝑎 + 𝑏

2𝑎 𝑥 +𝑞(𝑎 + 𝑏)²

2𝑎 𝑥 − 𝑎 −𝑞𝑥² 2 , a pomocí okrajových podmínek

𝑤_𝐼 𝑎 = 0 𝑤_𝐼𝐼 𝑎 = 0 𝑤_𝐼 0 = 0

𝑤´_𝐼 𝑎 = 𝑤´_𝐼𝐼 𝑎

𝑤_𝑎= 𝑞𝑥⁴

24𝐸𝐽_𝑦−𝑥(2𝑞𝑎⁵+ 4𝑞𝑎⁴𝑏 + 2𝑞𝑎³𝑏²− 3𝑞𝑎³− 4𝑞𝑎²𝑏)

24𝐸𝐽_𝑦 +𝑞𝑥³(3𝑎³− 6𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏²− 6𝑎 − 6𝑏) 36𝐸𝐽_𝑦

𝜑_𝑎 = 𝑞𝑥³

6𝐸 𝐽_𝑦−2𝑞𝑎⁵+ 4𝑞𝑎⁴𝑏 + 2𝑞𝑎³𝑏²− 3𝑞𝑎³− 4𝑞𝑎²𝑏

24𝐸 𝐽_𝑦 +𝑞𝑥² 3𝑎³− 6𝑎²𝑏 + 3𝑎𝑏²− 6𝑎 − 6𝑏 12𝐸𝐽_𝑦

Obr. 6.24 Zadání na uvolnění pro podkapitolu 6. 7