Övningstentamen i MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!
Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!
Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.
Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien “Något om...”.
För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.
Lycka till! Bertil Del A
10 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.
1. Separera xy' y xy. (1p)
Lösningsförslag: Separabel xy' y xy y'y 1 1x 1y y 1 1x x.
Rätt svarsalternativ: d a Går ej b 1y y x 1 x c y y 1 1x x d 1y y 1 1x x e Inget av a till d.
2. Lös differentialekvationen x 2yy'. (1p)
Lösningsförslag: Separabel x 2 yy' 2 yy' 1x 2 y1 y 1x x 21ln y ln x C1 2C1 ln C1 y C1x2.
DSolvex
2 y x
y ' x , y x , x
y x x2c1
Rätt svarsalternativ: e a y x C1 1
2x2 b y x C1x3 c y x xln y C1 d y x C1x e Inget av a till d.
3. Lös differentialekvationen yy' x y'. (1p)
Lösningsförslag: Separabel yy' x y' y 1 y' x y 1 y x x 12y2 y 12x2 C1
y2 2 y x2 C1. Implicit form på svaret duger gott!
DSolve y x y ' x x y ' x , y x , x
y x 1 x2 2 c1 1,y x x2 2 c1 1 1
Rätt svarsalternativ: d a y2 y x2 C1 b y2 2 y 12x2 C1
c 12y2 y x2 C1 d y2 2 y x2 C1 e Inget av a till d.
4. Bestäm integrerande faktorn y' 6 y x. (1p)
Lösningsförslag: Linjär med integrerande faktorn IF 6 x 6x.
Rätt svarsalternativ: e a Går ej b IF 6x c IF 3x2 d IF x e Inget av a till d.
5. Lös differentialekvationen y' 3xy 1x. (1p)
Lösningsförslag: Linjär med IF 3x x 3ln x ln x3 x3 så xx3y x3 x 1 {Separabel}
x3y x2 x C1 x3y 2 11 x2 1 C1 y 13 C1x 3.
DSolvey ' x 3 x
y x 1
x
, y x , x
y x c1 x3
1 3
Rätt svarsalternativ: d a y x x42 Cx21 b y x x53 Cx1 c y x Cx31 d y x 13 Cx31 e Inget av a till d.
6. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 4 y x 1. (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4r 4 0 har dubbelrötterna r1,2 2, så vi har direkt homogena lösningen enligt
"Fall 2": yhx 2x C1 C2x .
DSolve y ' ' x 4 y ' x 4 y x 0, y x , x
y x 2 xc1 2 xx c2
Rätt svarsalternativ: b a y x 2x C1cos 2x C2sin 2x b y x 2xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 2x C2 4x e Inget av a till d.
7. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 3 y 9x. (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4r 3 0 har rötterna r1 3 och r2 1 så vi har direkt homogena lösningen enligt "Fall 1": yhx C1 3x C2 x.
DSolve y ' ' x 4 y ' x 3 y x 0, y x , x
y x 3 xc1 xc2
Rätt svarsalternativ: d a y x 3x C1cos 2x C2sin 2x b y x 3xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 3x C2 x e Inget av a till d.
8. Bestäm homogena lösningen till y'' 4 y' 5 y cos x . (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4r 5 0 har rötterna r1,2 2 , så vi har direkt homogena lösningen enligt
"Fall 3": yhx 2x C1cos x C2sin x .
DSolve y ' ' x 4 y ' x 5 y x 0, y x , x
y x 2 xc2cos x 2 xc1sin x
Rätt svarsalternativ: a a y x 2x C1cos x C2sin x b y x 2xC1 C2x
c y x C1 2x C2 x d y x C1 2x C2 4x e Inget av a till d.
9. Bestäm en partikulärlösning till y'' y' 2x 1. (1p)
Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 r 0 har rötterna r1 0 och r2 1, så vi har direkt homogena lösningen enligt
"Fall 1": yhx C1 x C2. Sedan yp x Ax B yh x ypx Ax2 Bx yh x 2A 2Ax B 2x 1 Identifiera 2A 2
2A B 1
A 1 B 1. DSolve y ' ' x y ' x 2 x 1, y x , x
y x x2 x xc1 c2
Rätt svarsalternativ: c a y x 2 b y x 2x2 c y x x2 x d y x 2x e Inget av a till d.
10. Lös BVP t y' 2 y 3t 1 ODE
y 2 1 BV . (1p)
Lösningsförslag: Efter division med t får vi en linjär (ODE), y' 2ty 3 1t, och därmed är vi i välkänd terräng. Vi får direkt IF 2t t 2 ln t ln t2 t2, så t t2y t23 1t {Separationsångest verkar vara vårt ständigt återkommande bekymmer}
t2y t3 12t2 C1 y t 12 Ct21. Slutligen med BV y 2 1 : 1 2 12 C221 C1 2.
DSolve t y ' t 2 y t 3 t 1, y 2 1 , y t , t Simplify
y t t 1 2
2 t2
Rätt svarsalternativ: d
a DSolve t y' t 2 y t 3 t 1, y 2 1, y t , t b DSolve t y' t 2 y t 3 t 1, y 2 1, y t , t c DSolve t y ' t 2 y t 3 t 1, y 2 1 , y t , t d DSolve t y ' t 2 y t 3 t 1, y 2 1 , y t , t e Inget av a till d.
Del B
10 poäng med fokus på modellering och Mathematica.
11̅15.Antalet bakterier på ett julbord tillväxer vid varje tidpunkt med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier.
11. Låt b t vara antalet bakterier vid tiden t och k proportionalitetskonstanten. Formulera och lös (BVP) om b 10 då t 0. (1p)
Lösningsförslag: Enda meningen i problemtexten ger oss direkt (ODE) som bt kb t . Ett (BV) behövs eftersom (ODE) är av första ordningen, så med givna numeriska värden har vi (BVP)
BVP
b
t kb t ODE
b 0 10 BV som naturligtvis löses med DSolve.
bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10 , b t , t First
b t 10 k t
Rätt svarsalternativ: d
a bAvt DSolve b ' t k b t , b 10 0, b t , t
b bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10, b t , t
c bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10 , b t , t
d bAvt DSolve b ' t k b t , b 0 10 , b t , t
e Inget av a till d.
12. Bestäm proportionalitetskonstanten om b 5 100 st. (1p)
Lösningsförslag: Proportionalitetskonstanten ur villkoret b 5 100, som löses med Solve.
kVärde Solve b t 100 . bAvt . t 5, Reals Simplify
k log 10 5
Rätt svarsalternativ: c
a kVärde Solve b 5 100 . bAvt, k
b kVärde Solve b t 100 . t 5 . bAvt, k
c kVärde Solve b t 100 . bAvt . t 5, k
d kVärde Solve b t 100 . bAvt . t 5, k
e Inget av a till d.
13. Rita b t , t 0, 10 , i orange och dekorera axlarna med lämplig text. (1p) Lösningsförslag: Önskad reseberättelse.
Plot b t . bAvt . kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
2 4 6 8 10 t 200
400 600 800 1000
bt
Rätt svarsalternativ: d
a Plot bAvt . kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
b Plot bAvt . k kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
c Plot b t . kVärde, t, PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
d Plot b t . bAvt . kVärde, t, 0, 10 , PlotStyle Orange, AxesLabel "t", "b t "
e Inget av a till d.
14. Hur många bakterier är det vid t 8? (1p) Lösningsförslag: Det är bara att beräkna b 8 .
bAvt . kVärde . t 8.
b 8. 398.107
Rätt svarsalternativ: d
a bAvt . t 8 . k kVärde b b 8 . bAvt . kVärde
c b t . bAvt . t 8 . kVärde d bAvt . kVärde . t 8 e Inget av a till d.
15. Vid vilken tidpunkt är det 1000 bakterier? (1p)
Lösningsförslag: Väntetid t tills b t 1000. Ekvationen löses med exempelvis Solve eller NSolve.
NSolve b t 1000 . bAvt . kVärde, t, Reals t 10.
Rätt svarsalternativ: c
a Solve b t 1000 . bAvt . k kVärde, t b Solve b t 1000 . kVärde . bAvt, t c NSolve b t 1000 . bAvt . kVärde, t d NSolve bAvt 1000 . kVärde, t
e Inget av a till d.
16̅20.En sportbilstillverkare begränsar prestandan för en av modellerna genom att vid full gas styra bränsletillförseln så att accelerationen i varje ögonblick är proportionell mot skillnaden mellan önskad toppfart 80 m s och aktuell fart med proportionalitetskonstanten till 0.1 s 1. Låt bilen starta från stillastående med gasen i botten.
16. Formulera och lös det (BVP) som bestämmer bilens läge x t . (1p)
Lösningsförslag: Rulla ut en koordinat x t för bilens läge och vaska fram en andra ordningens linjär (ODE) + (BV).
BVP x t 0.180 x t ODE x 0 0, x 0 0 BV BVP löser vi naturligtvis med DSolve.
xAvt DSolve x ' ' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t First Simplify
x t 80. t 800. 0.1 t 800.
Rätt svarsalternativ: d
a xAvt DSolve x '' t 80 0.1 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t
b xAvt DSolve x '' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t
c xAvt DSolve 0.1 x '' t 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t
d xAvt DSolve x '' t 0.1 80 x ' t , x 0 0, x ' 0 0 , x t , t
e Inget av a till d.
17. Rita x t under den första minuten. Låt grafen vara grön och pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Tydligen ska vi måla de första 60 s.
Plot x t . xAvt, t, 0, 60 , PlotRange 0, 4000 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
0 10 20 30 40 50 60 t
1000 2000 3000 4000
xt
Rätt svarsalternativ: b
a Plot xAvt, t, 0, 1 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
b Plot x t . xAvt, t, 0, 60 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
c Plot xAvt . x t , t, 0, 60 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
d Plot x t . xAvt, t, 0, 1 , PlotStyle Green, AxesLabel "t", "x t "
e Inget av a till d.
18. Rita x t och tillåten maxfart under den första minuten i samma figur med blå respektive röd färg. Pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Tydligen ska vi måla de första 60 s.
PlotEvaluate x ' t , 80 . D xAvt, t , t, 0, 60 , PlotRange 0, 100 , PlotStyle Blue, Red, Dashed , AxesLabel "t", "x t "
0 10 20 30 40 50 60 t
20 40 60 80 100x t
Rätt svarsalternativ: e
a PlotD xAvt, t , 80, t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
b Plotx' t . xAvt, 80, t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
c Plot x' t , 80 , D xAvt, t , t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
d Plot xAvt, 80 , x t , t, 0, 60 , PlotStyle Blue, AxesLabel "t", "x t "
e Inget av a till d.
19. Rita x x under den första halvminuten. Låt grafen vara brun och pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Tydligen ska vi måla ett så kallat fasdiagram.
ParametricPlotEvaluate x t , x ' t . xAvt . D xAvt, t ,
t, 0, 30 , AspectRatio 0.5, PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
500 1000 1500 xt
20 40 60 80
x t
Rätt svarsalternativ: c
a Plot x t , x' t . xAvt . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
b Plot x t , x' t . xAvt, t, 0, 30 ,
PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
c ParametricPlot x t , x' t . xAvt . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
d ParametricPlotx t . xAvt, x ' t . D xAvt, t , t, 0, 30 , PlotStyle Brown, AxesLabel "x t ", "x t "
e Inget av a till d.
20. Bestäm tidpunkt och fart då bilen kört en kvarts engelsk mile. En mile är ungefär 1609 m. (1p)
Lösningsförslag: Räkna på. Naturligtvis använder vi det självdokumenterande regelformatet, där vi får både tidpunkt och fart på ett funktionsmässigt snyggt sätt!
D xAvt, t . FindRootx t 1609 4
. xAvt, t, 10
x 12.0231 55.9602
Rätt svarsalternativ: a
a D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 . xAvt, t, 10 b D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 , t, 10 . xAvt c D xAvt, t . FindRootx t 1609
4 . D xAvt, t , t, 10 d xAvt . FindRootx t 1609
4 , t, 10 . D xAvt, t e Inget av a till d.
