MARIA ELIS AB.

iL

D Ε

ANALYTICA CALCULI DIFFERENTIALIS

ET

INTEGRALIS THEORIA, INVENTA Α GEL, LA GRANGE.

SPECIMEN MATHEMATICUM.

QU O D

VENIA AMPL. FACULT. PHILOS. UPSALIENS.

Mag. JOH. PETR.

S T I Ρ. Α Η L O F ν.

ET

°fOH. AXELSON, EMAN.

WESTMANN I.

IN AUDIT. GUST. MAJ. D, V. DEC. MDCCCVH·

Η. Ρ. M. S»

P. IJ.

KONUNGENS TROTJENÄRE,

< '

MAJOREN,

WALBORNE HERR

EMANUEL

MIN HULDASTE FARBRODER^

PROSTINNAN,

HÖGADLA FRU

MARIA ELIS AB.

•MIN HULDASTE MODER?

SAMT

V. PASTORN OCH COMMINISTERN

I HEDS FORSAMLING,

'

e w J

"VALAREVORDIGE OCH HÖGLARDE

HERR mag,

A D* PE· ADD Ε

MIN VÖRDADE TORDNA LARARE

4

ÖDMJUKAST

AF

t

JOH. KMAN, AXELSON.

) i7 C

η

difierentiatione _nuper allatae funélionis u continetur; fed

tranfimus ad primorum hujus theoriae lineamentorum applicationem ad fun&iones tranfcendentes, qua mox inonftrabitur praeftantia hujus fyftematis, ipfius theore-

matis Taylori ufum in futuras occafiones refervantes.

Sumamus χ zzzLu & fubftituto u -4- du_{pro u} fit L(u+ du)

du du

= x, efl vero L(u-f du) =Lu-^L(i -4 —)

u u

du du7 du*

zzz Μ ( · η — &c/) ideoque L(u -f- du) ss

u 2u7 g μ3

du du

Lu -f-MC—— &c.) & LCu -f- du) ^— Lu zzzMC— ^— &c)

u u

Mdu

unde provenifc d.Lu =

-j-; in cafu autem logaritfemo-

rum hyperbolicorum vel potius Neperianorum d.Lu sr du

~7, quare incidimus in vulgarem cognitam regulam.

Sit funftio exponentialis a == y & fubftifcuendo

u-\—du u du u du

u-\-du, a =y, attamen a zn a .a eil vero

λ (Ϊ«Υ (ta)*

a ~i Cl'a) du -fr- du7 -fr- —-—ö?m34-&c. itaque

1.2 1.2.3

—du u u u~{■du u

a zzza +·« (la)du -fr- &c. ex quo α — a zzz

a du(i'a) -+ &c. & d.a = a

duCa;

u u

f

quentia differentialia inveniemus d* .a = a au2(l a)2,

d*a ss ada>(l'ap & fic porro. Si vero fubftituamus

C e

) >8 C

dy

e = 2,7182818 loco a

habebimus

M,

d2if d*y ^{\ u}

—r= e\ ^— *>u unde fequitur funftionem e illam

du1 du3

habere admirabilem proprietatem fe ipfam regenerandi in

quocunque fuorum

coefficientium differentialium.

Sit funftio trigonometrica y = Sinw, fubftituto au- tem η 4- du loco η mutabitur funétio propoiita in Sin (η

-4- du) = Sinu Cof du4-

Co/u

du; eft

Sin du

du* du* du2

du — {- — &c., Cofdu ^{=1 —} -f-

I.2.3 1.2.3.4.5 1.2

du4

— &c. unde Sin Qu-+· du) zzz Sinti4- du Cofu &c. f

1.2.3.4

Sin (u4- du) —Sinn=du Cofη&c. quare d.Sinu == duCofu;

rurius fi Cofuz=zy habemus CofQu 4- du) == Cofu Cofdu

— 5m «5m du & fubftituendo pro Cof du & 5m du fuos

valöres Cof(u-{-du) s= Cofu— du Sin 11 &c, unde d. Cofu

~ — du Sinu.

§. XII.

Ha£lenus nobis res fuit cum fun&ionibus unius tantum variabilis. Progrediamur nunc ad fun&iones,

quae pendent ^ex duobus iimul variabilibus, quarum ge¬

neralis forma haec esfe poteft f(u,x) in qua χ non pen- det ex u neque reciproce. Faéto ^{nunc u, u} 4- h & x,

χ 4- k hae quantitates fubftitiii debent in f{tt, x). Quo-

niam ^vero ηullan) particularem formam asfignavitn-ys

fuiyftioni f(u, χ), du^as fbbftituHones fimul effici fieri non

potefti at^amen idem omnino esfe, ii fequenti modo procedamus, per fe patet. Confideremus fcilicet pri-

rnum

) J9 (

mum u folum mutari & χ manere conftanfcem; tunc fun- θ;ίο propofita eft

fnnéfcio

(§.

dy d2y d%y

h -f- h2 -f- å3 4- &c.; fi nunc in qui-

du 1,2du* ^1.2.jdu2

busque hujns feriei terminis pro λ: fcribimus x -f-

k>

du d2 _ij k2 d3u k3

7* i ·+■ —— Η -f &c. deinde hac faéta fub-

dx d x*t . 2 dx3 z.2.5

dy dy

ftitutiöne in fecundo termino ejus coefficiens fit —- -f-

du du

du du k2 " du k3

du "du 1.2 du _z.2.j ■+■

&c.;

fe-

dx dx* dx3

dy

rie expresfiones

formse d (du) &c. indicant duas ibi fa-

dx

&as esfe differentiationes, unam refpedlu u folum va- riabilis & alteram refpeftu ^χ tantum variabilis, ut in ge-

"m d y

(—

nere dn du fignificat coefficientem

differentialem ordi-

dx

jn

dy

nis w,^' relatum ad funftiotiem _tn^, λ: ibidem ut variabili

v du

C % con-

) αο (

eonfiderato; qunm rurfus ipfa hsec funftio

eft

diiFerentialis ordinis ^m funétionis propofitae, u ibidem ut

variabiliconfiderato. Simplicioremverohujus generiscoef-

ficientibus diflerentialibus, aeque ac toti praecedenti feriei, dy d2y k

formam dare posfumns,^r eamita fcribendo: --_du 4--—rr

4"

dndx.

d3y k2 d*y k3

— 4- — h &c. ubi denominafcores du dx

dudx2 i.i dudx3 _1.2,3

&c. indicant dnas differentiationes. Eodem modo de-

d2 y day d3y d*y

k2

ducitur ex —·, 4- -—- k 4- ^{. ■}· 4-

du2 du2 du2dx du* dx2 1 ,1

d*y k3 d3y d3y d^y d%y

4~ &c. & ex ~ ) ~* ~ + ^4~

du3 dχ3 1.1,3

du3'

du3dx2

k2 d6_y k3

j_ _—__ feCt & porro. His demum

ι .2 du3 dx3 1.2.3

feriebus fubftifcutis in ferie evolutionis f(u 4- h, x) adi- pifcimur/ (u-t-h, χ 4- k) =

dy d2y h2 d%y h3

y __ fa 4- —— —· 4* ~~TZ 4™ &c»

du du2 i,2 du3 1.2,3

dy d2y kh d3y k2 h Λ

~j~_«.v

k

^ ^c°

d2y k2 d3y k.h2

— 4- ' 11 ri ■■ ■J■ &c>

dx2 1.2 du2 dx ι. 2

d3y k3

dx3 _1,2.3 ^■+ &c»

ide»·

) 21 (

dy d2y h2

ideoque f(ti4-h, χ 4- k) -f(*9x)zz --

h

&c.

dy ii2// Å/e

~ k -l·- h &c.

«χ ß7/ii.v /.ζ -+■ d2i/ k2

— *- &c.

dx2 7.2

di] dy dy

dy

Itaque^■ d.f(u,x)J = —~du

h

£

du

dx,

du & dx loco h & k foriρtis; itaque diiFerentiale fun&io-

nis duorum fimui variabilium duas continet partes, fei-

licet —dudy iive dififerentiale refpectu u tantum variabilis &

du

dy

—dx iive diiferentiale refpe&u χ tantum variabilis. U-

dx

nutn vel alterum exemplum afferre ad rem

eft. Sit

m η dy m__! n ^. a] ^. n—im

ii — η χ tunc 1—du zzz mu χ du,-7dx ^nx u dx

J du dx

m~τ » , κ—i m m— τ η—τ ,

ideoque dy — mu χ du-q-nx u dx^{zzz u} χ [vixau

4- nudx).

/ix dy axudu

Sit _{y =} ~ tunc τ" dw = — ,

&

j/772 4- Χ2

"

dy adx

ax2dx

j- dx t= ■— — ,

itaque dy

j/x2 4- τ/2 fw2 4-

an2dx — axudu

i"— debita

fa&a redu&ione.

(u*+x2)?

Pa-

) 22 (

Patet, expresfionem vel formolam diiferentialia -fcri-

dy dy

bendi —du & —- dx non esfe commifcendam cum dy.

du dx

§. XIII.

Eadem methodus valet & eaedem confequentias de-

ducuntur pro diiferentiatione fun&ionum trium vel p!u-

rium variabilium; feilicet Γι _y reprsefentat funftiones

quotcunque variabilium u, x> t, ζ &c. & fubftitutis loco

horum variabilium u h, χ + k, t ■+· g, ζ / &c.

hseo fun&io evoivi poteft in feriem terminorum, qui

m-\-η ρ-j-q &c.

generalifcer indicari posfunt per *- X

i m ^* n ι ρ , q

du dx dt dz

m η ρ q h k gr

— & ^ex _quo generali ter- (z.2^..,m)(i. 2.,.»)(z. ζ..,p) (z. 2...q)

mino omnes diverfi termini evolutionis funétionis _propo- iitae _, fubftitutis feilicet pro m, n,p, q &c. omnibus va·

loribus in numeris totis, erni posfunt. Hoc faéto obti-

nebimus f(u -f å, ^χ k^, / + s -f- /} -f(u,*,.1,2)

dy dy dy dy

IIve d.f(J K^u,x.9 t.' 2)J = —- du -f- — 4- — dt A dz

du dx dt dz

&c. mutando Å, g, / in du, dx, dt, dz^, quare difife-

rentiale fun&ionis cujusdam, continentis quotcunque va*

riabiles aequatur fummae diiferentialium iingulorum varia¬

bilium; diiferentialia vero ordinum fuperiorum inveniun-

tur, deducendo fuccesfive un um ab altero & a primo.

§. XIV.

Obfervare convenit, funftionem nnius variabilis in

quovivS ordine non nifi unum habere coefFicientem dif- fe·

; *3 c

ferentialem; _quum fundtio duorum variabilium duos habet

coefficientes difFerentiales primi ordinis, tres fecundi,

quatuor tertii & fic porro;

fundtiones

coefficientes difFerentiales

fundtione funt variabiles;

quod vero ad fuperiores ordines aliam

fervant

qu9s tarnen generalis eft,

cujuscunque variabilium

ri fint, fundtionibus, ^quamque ufus illius

causfa breviter

afFeramus.

dy dy

Habemus primum dyzzz—r du -f- —- dx five difFe-

du dx

rentiale primi ordinis duorum variabilium, tum d2y ⁼

du dy du d2y

d.C—) du -t- d,(—}_KdxJ dx eft vero d _du) = _du2-— du -f-

d2y dy

dz d1

dx & d C—} = ——— du dx, quare d2y

dudx dx dxdu dx2

d2y d2y d2y

-—du2-4- 2 " dudx -f—^— dx2, Eodem modo invenitur

du2 dudx dx2

d3w "xd^u 7d3tj d3u

d*u ~ du3 -|——- — , du2dx -f- ^— dudx2 Η dx3

du3 du7 dx dudx2 dx3

& fic porro. Facile videmus analogiam, quae ob-

tinet inter haec difFerentialia & evolutionem poteftat-

tum binomii du dx; & non· tantum per indudtio-

dy n » iici y ^ j nern colligi fas eft d ^{y =} —L- du du dx-jr

ii ti— I

du du dx

d*

η." η-ι L— _yu'1 Vjt2-F &c., fed etiam ftridliori ad-

ti— 1 1.2 du dx2

hue

) »4 )

huc modo cerfeiores de hac re fieri posfamtVs, earoque ob cansfam fufficit inquirere legem,quse regnat inter duo

immediate fe invicem fubfequentia generalia differentialia

& cuicunque obvia efh Eatidem omnino legem fer-

vant functiones plurium variabilium & eadem analogia

obtinet ^inter harum differentialia & poteffates polynomii cnjuseunque ac inter differentialia duorum variabilium

& poteftates binomii du -f- dx & cujus demonftratio rei

nihil habet difficultatis Uli , qui non deterreatur longitu·

dine calculi.

§. XV.

Reflanfc implicp.icc Fu

biff:

rentiationis dedutffdo ^ex doctnna Fuifftippum immenft

efir ufus per totu'm quantnm Änalyieos ^campum, & ^ma·

gnuui adfert lumen tenebris & tricis calculi integraüs.

Sit _{in genere} aequatio F(ii,x) — o. Patet, per fiolutio-

nem hujus aequationis, fieri χ fundb'onem qusndam τα u>

quam posiumus indicare perf (u)'·, ideoque F(u^fu) ^zzz

ο = (p(u) = y. Subftituto nunc u ~f- h loco η abit (p(uj

ht h?

in (p(u) -+■ φ\η)Η -f- φ"(ιι) — -+* φ"'{η)— -h &c. ~ o[;

2 2.J

quoniam vero incrementnm h omnino indeterminatum ma-

nebit, figillatim fint, necesfe eff φ{ιι) ο, φ'(υ) = ο,

^'(ίί) no, φ'"(η)~ο. Vocantur hm mquationes, quae ad originariam accesferunt cequatibws dedudtce & praeier-

fcim ceqnatio prima, ceqnatio fecunda & fic porro. Nunc eff:

(phi)p=z F(.e, x) = o; in hac mquatione, cum incremen«

tum h accipit «, mntationem efciam fubire debet χ, Va¬

riation! τα « fnbditam , qua quidem mutatione τα χ po- fita = k, erit F{u -f- h, χ -ρ K) ™ o; quoniam autein x

dx.

eff: funélio τα u, quum ii fit u +* h ^> fiet ilia χ -f. ·—·_du h

+

) »5 c

d*x h2 d>x h* dx d2x h*

^ ^ ___ HH &c. ideoqoe k = —h 4-

du2 2 du* 2.J du du2 2

d%x h%

Hl ^. Rurfus f§. XU) Fdu 4- h, χ 4- k) ^{. . . ,}

du3 2.J

di/ dzy k2

y 4- — & 4- --4- &c. ^„

ifor 2 Patet ^nunc hane forma-

dy dzy lam evolutionis duorum,

4- ^—- h -4-7 ^*

kh

&c.

au axau . , . , ... ,

ιτ vinculo, vanabilium redu-

L

— j. &c> ci posfe ad cafum impli-

du* 2 ! citarmn futnftronum, iub- ftitutione fcilicet faéta valoris ra k, ad ipfum hunc ^ca¬

fum relati, & quum fimul hancce opera ionem reftrin- gimus ad coefficientem termini, qui duci ur in primam poteftatem τα h habebimus F(u 4- h, χ 4- k) := y 4-

dy dy dx

(—4-_au —) h 4- &c. = o;.itaque (§. IX.) coefficiens

ax au

dy dy dx

differentialis primi ordinis ra φ(u) = —- 4—7 ~r du dx du

dy dy dx dy

φ'(u)^ ^{= o,} Eft autem heic '—4- ^{-7- — =} -ώ +

■ du dx du du

dy

— dx·, ideoque coefficiens differentialis primi ordinis im-

dx

plicitarum funftionum duorum vanabilium quaeri debet

eodem modo, ac (i esfent omnino a fe invicem inde- pendentes quantitates variabiles & fic impretatus coef-

dx ficiens ponatur ^— o & eruatur demum valör ra-—.

du

Exempli

D =

) »t c

= o & differentiando ifca , ac ii jndependentes a fe in-

vicem esfent «ί & ^x habemus (§. XII·) ju7du ^— ßaxdu

dx dx

— jaudx +jx2dx zzz o, ju2 - $cix - 3^au -—(- ==* 0 dx βχ - Μ*

& ^— == — . Quoniam in hoc exemplo per aequa-

chfj ^"" an

tionem cubicam data eft funftio φ, tres habere debet va¬

löres, qui, unus poft alterum, iubftituti in expressfione

dx

78 — parem dabunt numerum valorum coefficientis dif-

dn

ferentialis & iic porro fi fuisfent fuperioris adhuc or·

dinis aequatio

propofita,

§. XVI.

Facilis eft formatio coefficientium differentialium fu-

periorum ordinum; attendas"tantum, quod unusquisque, praeter variabiies u & x, comprehendit etiam anteceden-

tes coefficientes differentiales inferiorum ordinum. Sit

n dx d2x

d3x

in genere φ («), continens u, χ, —·, , ,

du du2 du3 dx

&c.; tranfeunte nunc η in u h fiunt _{χ, χ} — h ·+■

du

dx dx d2x d7x d7x d3x

&C,J _T'a« du

T7Ä^&c.,—,

TTH&CO &C.;

Ii

ipfa vero fünftio <f>' '* (V), brevitatis crgo poiita =2",

& evolutione, ut debet, reitrifta ad primas poteftates

inutationis, quam fub'eunt quantitates, lnutationi origi-

. ο dY

nariae fun&tonis » fubditae, fit (§.§. XII, XV.) — h

) 27 (

dr d2x dr d*x

4~ ^{—— —}ä -4- ef* du*

^

-f-&c,ergo

dx du d ~7~ d ^—·—

λμ af«2

<*r _d*x

ciens ra h _{erit ~j~ , — τ~ , —~ —r — ττ}

du -f- dx du 4- dx au2 4- d2x du*

d T d TT

«« fifzt2

/ »i«« I

·+■ &c. =

φ"'

tionem inter coefficientes differentiales fundtionis cu-

jusdam implicit«, datse per aequåtionem inter duos va¬

riables, deduci, unam ab altera, _per fuccesfivas difFe- rentiationes, confiderando _quemque horum coefficien- tium _, ut novum variablem.

Quaecunque etiam fit sequatio y = o, erit illius pri-

dy dy

mum difFerentiale —du-f-— dx_{du dx} = o; ideoque formse Mdu _-f- Ndx ^{= o} & illius fecundum difFerentiale, _quia

dy dy d2y idzy

non continet — & — ro dx erit -— du* -f- dxdu

du dx du2 dxdu

d*y dy

dx2

^χΖ

dZx = ° e* **orrn8e Ρdu2

Qdxdu

Rdx2 _p. J\ld*x = o & ulterius difFerentiando habebimus difFerentiale tertium formae Sdu* Tdu*dx 4- Vdudx2 Hr f^dx* 4-

^fx\d2x ^{4- Nd*x}

&c. &c.

has generales formas ^eam ob causfam, quod omnes hse aequationes inter Fe homogenem funt refpedhi difFerentia-

D 2 lium

) 38 t

üum τα χ & poteftatum ^ra coraparando

dx

dut

d%x cum du2 & d*χ cum du* to.; itaque dividendo per du, i/«2", <åi5 to*. refpeétive ^, facile ante oculos ponitur

relatio, _quae obtinet, inter coefficieotes

diiferentiales,,

fei licet:

Μ-i- _{au_} ^{= o}

N^-

dx dx2 iPx·

P 4-+= 0;

ί/« i/zi2 du?

dx dx2 i/x5 i/x ί/2χ· ί/5χ-

S + τ— +v—— -+- IV~+(X+. r-y—+ JV-—=0;

du diL3, du3 du dur du3

to. to*. to.

§. XVII..

»Si aequatiönes datae esfent ad unum minores, quam variåbiles, quos continent, üve una tantum esfet ^-se-

quatio, tres vel plures variabiies continens, in priori

cafu unum ex bis variabibbus ut mdependentem confi-

derare fas eft vel ad arhitriuin asiuiiie^e & cujus tunc

implicirae funétlones ceteri flint;. in poiteriori eidem ar- bitrio fubjicere posfum duos vel plures, femper tarnen ad ^{eum numerum} ibmtos, ut unus tan tum adbuc reftat defcerminandus„ quique fundtio eil cetero um, Hoc fa- éto, eamdem, ac in paragrapbis antecedentibus ftrata

eft, viam fequacis ad obiinendum valorem coefficientium differentialium, quamque repetere, licet etiam multum novi, magnos & di vites f uélus prseberet cuicunque, qui genium fundtionum doftrinae arripuit, nos vero,

prolixitatem evitanteS, omittimus. Piura etiam fummi ponderis. in mathemati fublimiori addi potuisfet de träns- fprmarionibus, quas fubire posfunt aequationes diiferen-

$§ales; quas vero, potius ad mechanismum calculi per- ti,

) 29 C

tinentes, quam ad expoiitionem primorum prineipiornm- analyticorum preefentis dodtfrinae ^eo

majori jure

heic posTumus, quod reveniünt ia illa paite

opellse

fpeéfat.

§; xviir.,

A re hand alienum, duximtis ad harmoniam attende-

re, quse obtinet iriter dedudh'onem diiferentiaiium oinnium

harum , in annecedenti expoiitione allatarum,. diverfarum

iundtionum ; ita ut diiferentiaiia earum ad unam posfunt

reduci formulam, quse cum generaütate Γη^a,, id etiam conjungit commodi, ut opportuna & Facilis ili

memoriae.

Scilicet , il in for mula §. X. Fcribas, locp, A, dy abit illi

dy d2y dMj d*y

in y -4- 4- 4 —1—h ^— 4" Quod- vero

i i 2 1.2.3 1·2'3 4

attinet ad formulam duorum. variabilium §. XIL illa ila

icribi poteih.

£

ζ dy dy ^Λ

+

~idüh +

ι ,d2y d2y d-y ^Λ

4-

—Η

1.2 "du2 dudx dx- ^

ι .d3y dyy d*ir dry ^.

4-·· £——--Å5-Η3 ^2^-+~3τ~Ί—hk2 +—7k?

I'

1.2.3 'du* du2dx dudx2· dx1 >■

&c.. &c.. &c.

Subftifcuendo nunc du & dx pro h & k dev.eniet hsec

evolutio duorum variabilium funcliontfm. _{etiam y 4. —}dy

l'

d7y d>y

4 h -+- &c. 'Hsec feries eontinet diiferentiaiia

ι. 2 1,2.3 1

omnium

) 30 C

omnium ordinum fun&ionis _y & convenit pariter fun«

itionibus unius ac duorum variabilium , a fe invicem in-

dependentium , modo hsec difFerentialia cuique horum

cafuum convenienter furnantur. Plurium vero variabilium,

a fe invicem independentium ^, rnque ac implicitarum fun-

ftionum difFerentialia, iisdem principiis, ac duorum fun-

ftionum variabilium nituntur; hancque feriem de illis etiam valere fe ipfum certiorem facere poteft quicunque.

§.

Ex hifce, in antecedentibus paragraphis breviter ^ex·

pofitis, principiis effici poteft quarumcunque funftionum

& quantitatum difFerentiatio. _{Magnum fåne} & immor- tale meritum eft Celrmi La Grange operationen! hane evi-

dentibus & certis fuperftruétam praebuisfe fundamentis,

opus, quod, in applicatione fua & evolutionibus, ad quas anfam det, cultoribus hujus fcientise fecundisfimi ominis adfert fpem, novos, de quibus alioquin ^, fi non defpera- bas, _{qnos vero} faltein tardisfime exfpedftabas, in immen- fo mathematis campo, progresfus faciendi & novas cer- te aperiet vias in arcana naturae illiusque ftrufturam al-

tius penetrandi. Quas vero de facilitate hujus methodi,

tironibus inftillandae , obfervanda habemus , ad _compara-

tionem fupra promisfam inter hane & ceteras theorias refervamus; initium fequentium partium opellae hujus

fafturi _per appücationem, brevem licet, ut cogimur,

ad problemata, quorum huc usque eguerit folutio cal-

culo infinitefiuiali.