Relativ translationsrörelse

ሜ𝑽

(Einstein….??)

(YF Kap. 3.5)

Relativ translationsrörelse

Hastigheter adderas!

Exempel: flyg i sidvind!

Betrakta två observatörer O och O´ som rör sig rätlinjigt relativt varandra längs X, X´_-axeln.

Lägesvektorn för O´ relativt O är ሜ𝑹.

lj𝒓 = ሜ𝑹 + lj𝒓^′ lj𝒓^′ = lj𝒓 − ሜ𝑹 Derivering ger:

𝑑ത𝒓^′

𝑑𝑡 = 𝑑 lj𝒓

𝑑𝑡 − 𝑑 ሜ𝑹 𝑑𝑡 lj𝒗 = 𝑑 lj𝒓

𝑑𝑡 lj𝒗^′ = 𝑑 lj𝒓^′

𝑑𝑡 ሜ𝑽 = 𝑑 ሜ𝑹 𝑑𝑡 lj𝒗^′ = lj𝒗 − ሜ𝑽

Viktigt specialfall av ”kurvlinjär” rörelse:

Cirkulär bana, radie R

OBS: Hastighetens riktning ändras  partikeln utsatt för acceleration.

Om farten är konstant är accelerationen vinkelrät mot hastigheten:

”Likformig cirkelrörelse”

Cirkelrörelse

Tillryggalagd sträcka: s = R q , där q är vinkeln i radianer .

 Farten: 𝑣 =

𝑑𝑡

= 𝑅

𝑑𝑡

= 𝑅𝜔 där 𝜔 =

𝑑𝑡

= ሶ𝜃

Storheten w kallas vinkelhastighet och har enheten rad/s.

Likformig cirkelrörelse

Konstant fart v  rörelsen periodisk!

Partikeln går ett varv på periodtiden T .

(YF Kap. 9.1)

 𝜔 =



𝑇

Position

Likformig cirkelrörelse

Cirkulär rörelse med konstant radie R i det horisontella planet

ෝ 𝒚

ෝ 𝒙

lj𝒓 = 𝑥

ෝ 𝒙 + 𝑦

𝒚 = (𝑅 cos 𝜃)ෝ ෝ 𝒙 + (𝑅 sin 𝜃)ෝ 𝒚 där radien 𝑅 = 𝑥

+ 𝑦

𝑅

ෝ 𝒙

ෝ 𝒚

xp

yp

R

q

Likformig cirkelrörelse

Hastighet

lj𝒗 = 𝑑 lj𝒓

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 𝑥_𝑝ෝ𝒙 + 𝑦_𝑝𝒚ෝ

= 𝑑

𝑑𝑡 (𝑅 cos 𝜃 (𝑡)ෝ𝒙 + 𝑅 sin 𝜃 (𝑡)ෝ𝒚)

= −𝑅 𝑑𝜃(𝑡)

𝑑𝑡 sin 𝜃 (𝑡)ෝ𝒙 + 𝑅 𝑑𝜃(𝑡)

𝑑𝑡 cos 𝜃 (𝑡)ෝ𝒚

= 𝑅 𝑑𝜃(𝑡)

𝑑𝑡 = 𝑅𝜔 = 𝑣

= −𝑣 sin 𝜃 ෝ𝒙 + 𝑣 cos 𝜃 ෝ𝒚 = 𝑣_𝑥ෝ𝒙 + 𝑣_𝑦𝒚ෝ där farten 𝑣 = lj𝒗 = 𝑣_𝑥² + 𝑣_𝑦²

lj𝒗 = (−𝑣 sin 𝜃) ෝ𝒙 + (𝑣 cos 𝜃) ෝ𝒚 =

sin 𝜃 = 𝑦_𝑝 𝑅 cos 𝜃 = 𝑥_𝑝

𝑅

= −𝑦_𝑝

𝑅 𝑣ෝ𝒙 + 𝑥_𝑝 𝑅 𝑣ෝ𝒚

Detta kan skrivas:

ෝ 𝒙 𝒚ෝ

lj𝒂 = 𝑎_𝑥ෝ𝒙 + 𝑎_𝑦𝒚ෝ där

𝑎_𝑥 = −𝑣²

𝑅 cos 𝜃 𝑎_𝑦 = − 𝑣²

𝑅 sin 𝜃

där 𝑎 = lj𝒂 = 𝑎

+ 𝑎

= 𝑣

𝑅

Acceleration

vilket kallas för

centripetalacceleration.

lj𝒂 = 𝑑 lj𝒗

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡 −𝑦_𝑝

𝑅 𝑣ෝ𝒙 + 𝑥_𝑝 𝑅 𝑣ෝ𝒚

= 𝑣

𝑅 (−𝑣_𝑦ෝ𝒙 + 𝑣_𝑥𝒚) =ෝ 𝑣_𝑥 = −𝑣 sin 𝜃 𝑣_𝑦 = 𝑣 cos 𝜃

= 𝑣

𝑅 (−𝑣 cos 𝜃 ෝ𝒙 + (−𝑣 sin 𝜃)ෝ𝒚)

= 𝑣²

𝑅 (− cos 𝜃 ෝ𝒙 − sin 𝜃 ෝ𝒚)

1 )

(sin )

(cos q

+ q

=

Likformig cirkelrörelse

Detta kan skrivas:

Accelerationens riktning

Vinkeln mellan accelerationskomponenterna fås via

riktad mot centrum.

tan( 𝜑) = 𝑎

𝑎

= −𝑎 sin( 𝜃)

−𝑎 cos( 𝜃) = tan( 𝜃) ⇒ 𝜑 = 𝜃

Likformig cirkelrörelse

lj𝒂 = 𝑎

ෝ 𝒙 + 𝑎

ෝ 𝒚 = 𝑎(− cos 𝜃 ෝ 𝒙 − sin 𝜃 ෝ 𝒚)

ෝ 𝒙

ෝ𝒚

ෝ 𝒙

ෝ 𝒚

Hastighet Acceleration

2

,

sin ,

cos y r r x y

r

x = q = q = +

q ^y

𝒙ෝ

ෝ𝒚 ො𝒓

𝜽෡

Obs: konstant r ger cirklar. Konstant q ger linjer som skär vinkelrätt mot cirklarna

lj𝒓 = 𝑥ෝ 𝒙 + 𝑦ෝ 𝒚 = 𝑟 cos 𝜃 ෝ 𝒙 + 𝑟 sin 𝜃 ෝ 𝒚

lj𝒓 = 𝑟

En partikels position (lägesvektor ) i ett plan kan också beskrivas med polära koordinater (r, q):

lj𝒓

⇒ lj𝒓 = 𝑟ො𝒓

ො𝒓 = lj𝒓

lj𝒓 ⇒ ො𝒓 = cos 𝜃 ෝ𝒙 + sin 𝜃 ෝ𝒚 Def.: Enhetsvektorn i - riktning ges avො𝒓 lj𝒓

⇒ ෡𝜽 = − sin 𝜃 ෝ𝒙 + cos 𝜃 ෝ𝒚

Praktisk matematik för beskrivning av cirkelrörelser:

Planpolära koordinater

Enhetsvektorn är vinkelrät mot , dvs . 𝜽෡ ො𝒓 ො𝒓 ⋅ ෡𝜽 = 0

Kartesiska enhetsvektorer är konstanta i tiden

Polära enhetsvektorer ändrar riktning med tiden

q^ˆ rˆ

t₁

xˆ yˆ

t₁

q^ˆ rˆ

t₂

xˆ yˆ

t₂

q^ˆ rˆ

t₃

xˆ yˆ

t₃

Allmän rörelse i planet uttryckt i planpolära koordinater

Partikelns hastighet ges då av: lj𝒗 = ሶlj𝒓 = 𝑑

𝑑𝑡 (𝑟ො𝒓) = ሶ𝑟ො𝒓 + 𝑟 ሶො𝒓 Men vad är och ???

ሶො𝒓

Hastighet uttryckt i planpolära koordinater

ሶො𝒓 = 𝑑

𝑑𝑡 (ො𝒓) = 𝑑

𝑑𝑡 (cos 𝜃 (𝑡)ෝ𝒙 + sin 𝜃 (𝑡)ෝ𝒚) = ሶ𝜃(𝑡)(− sin 𝜃 (𝑡)ෝ𝒙 + cos 𝜃 (𝑡)ෝ𝒚) = ሶ𝜃(𝑡)෡𝜽 ሶ෡𝜽 = 𝑑

𝑑𝑡 (෡𝜽) = 𝑑

𝑑𝑡 (− sin 𝜃 (𝑡)ෝ𝒙 + cos 𝜃 (𝑡)ෝ𝒚) = − ሶ𝜃(𝑡)(cos 𝜃 ෝ𝒙 + sin 𝜃 ෝ𝒚) = − ሶ𝜃(𝑡)ො𝒓 och bestäms genom derivering:

ሶො𝒓 ሶ෡𝜽

lj𝒗 = ሶ𝑟ො𝒓 + 𝑟 ሶො𝒓 = ሶ𝑟ො𝒓 + 𝑟 ሶ𝜃෡ 𝜽

Partikelns hastighet uttryckt i planpolära koordinater ges då av:

PH kap. F-1.5

Acceleration uttryckt i planpolära koordinater

lj𝒂 = ( ሷ𝑟 − 𝑟 ሶ𝜃

)ො𝒓 + (2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃)෡ 𝜽

Specialfallet likformig cirkelrörelse i polära koordinater

s

Likformig rörelse ⇒ 𝑣 konstant, sträckan 𝑠 = 𝑟𝜃

lj𝒂 = ሷ𝑟 − 𝑟 ሶ𝜃² ො𝒓 + 2 ሶ𝑟 ሶ𝜃 + 𝑟 ሷ𝜃 ෡𝜽 =

𝑟 = 𝑅 ሶ𝑟 = 0 ሷ𝑟 = 0 𝜃 = 𝑠

𝑟 = 𝑠 𝑅 ሶ𝜃 = 𝜔 = 1

𝑅 𝑑𝑠

𝑑𝑡 = 𝑣 𝑅 ሷ𝜃 = ሶ𝑣

𝑅 = 0

= −𝑣² 𝑅 ො𝒓

Periodtiden 𝑇, Omkrets = 2𝜋𝑅

⇒ 𝑣 = 2𝜋𝑅

𝑇 ⇒ lj𝒂 = −4𝜋²𝑅

𝑇² ො𝒓 lj𝒂 uttryckt i vinkelhastighet:

𝑣 = 𝑅𝜔 ⇒ lj𝒂 = −𝜔²𝑅ො𝒓