Universitetet i Linköping Institutionen för
Fysik och Mätteknik Arno Platau
Lösningsförslag
Tentamen för "BFL 110, Tekniskt Basår, Fysik del 3"
Onsdagen den 26 Maj 2004, kl. 8:00 - 12:00
1. . I ett hamninlopp, där ebb och flod förekommer, ligger en sandbank 4,0 m
under lågvattennivån. En viss dag, med lugnt och vackert väder, inträffar lågvatten klockan 7.30 och nåsta högvatten kl 14.00. Maximala nivåskillnaden mellan ebb och flod är 8,0 m. När (efter 7.30) kan fartyget M/S Johanna av Umeå med 11,0 m djupgående tidigast lämna hamnen ? Tidvattennivåns rörelse kan
antas vara en harmonisk svängningsrörelse. (4p)
Lösningsförslag:
I diagrammet återges
vattennivån över sandbanken som funktion av tiden
(klockan).
Från lågvattennivån till högvattennivån går 6 timmar och 30 minuter. Denna tiden motsvarar halva periodtiden.
Periodtiden blir T = 13 timmar.
Maximala nivåskillnaden mellan ebb och flod är 8,0 m och är dubbla amplituden.
Vattennivån svänger omkring medelnivån på 8,0 m med amplituden 4,0 m mellan 4,0 m och 12,0 m.
Vi kan tecknar vattenhöjd som
y(t) är vattenhöjd, t = 0 klockan 10.45, mh är medelnivån, mh = 8,0 m, a är amplituden, vattenhöjd
tid
y t( ) = mh+a⋅sin( )ωt
a = 4,0 m, och .
Vi söker tiden t1, så att y(t1) = dg, dg är djuptgående, dg = 11,0 m.
som ger och
och slutligen
eller t1 = 1 h 45 min 17 sec.
Från starten går tiden T/4 + t1 och klockan blir 12.30.
Svar: Första möjlig passagetid är kl 12:30.
2. Vid hastigheten 83 km/h uppträder i en bil starka vibrationer,
ett resonansfenomen som ursakas av obalans i ett framhjul. Däcken har en
yttre diameter av 62 cm. Bestäm frekvensen hos de uppkomna vibrationerna. (4p)
Lösningsförslag:
Svängningarna beror på obalans i hjulet. En period, T, motsvarar tiden för hjulet att snurra ett varv. Däcken rullar, därför är hastigheten, v:
där r är hjulets yttre radie, och d är hjulets yttre diameter.
Frekvensen blir då:
Svar: Resonansfrekvensen är 12 Hz.
3. Vid spektraluppdelning av gult Na-ljus erhåller man två linjer med mycket liten våglängdsskillnad. Man finner vid ett försök med gitter att ljus som ger den första linjen, avlänkas 31,20o från gitternormalen och ljus som ger den andra 31,24o. Den kortare våglängden är 589,0 nm.
Beräkna härur den längre våglängden. Båda avläsningarna har gjorts i första
ordningens spektrum. Ljuset infaller vinkelrätt mot gittret. (4p)
Lösningsförslag:
Gitterformeln: där n är interferensordeningen, (0, 1, 2, osv), d är gitterkonstanten, och αn är avlänkningsvinkeln. Första ordning, n = 1.
ω 2⋅π ---T
=
y t( )1 = dg = mh+a⋅sin(ωt1)
a⋅sin(ωt1) = dg–mh sin(ωt1) dg–mh
---a 11 0, –8 0, 4 0,
--- 3 4---
= = =
t1
arcus 3
4---
sin
---ω 0 8481 T, ⋅ 2⋅π
--- 0 8481 13, ⋅ 3 1416,
--- h 1 7547 h,
= = = =
v 2πr ---T πd
---T
= =
f 1
T--- v πd---
83 10⋅ 3 60 60⋅ --- 3 1416 0 62, ⋅ ,
--- Hz 11 8 Hz,
= = = =
nλ = d⋅sinαn
Den kortare våglängden, λ1 = 589,0 nm, får den mindre avlänkningsvinkeln, α11 = 31,20o, och ger gitterkonstanten: och
Den sökta större våglängden beräknas ur , med α12 = 31,24o .
Svar: Våglängden är 589,7 nm.
4. En mattlackerad kub av massivt järn har kantlängden 25 cm. Kuben hettas upp och man mäter sedan den utsända strålningen vid olika våglängder. Intensiteten hos denna strålning är ritad som funktion av våglängden i diagrammet.
Vilken effekt avger järnkuben, om man kan
anta att dem strålar som en absolut svart kropp ? (4p)
Lösningsförslag:
Våglängden i spektralfördelningens maximum, λmax, läser vi ur diagrammet som, λmax = 5,0 µm. Wiens förskjutningslag ger
oss då kubens temperatur:
Enligt Stefan-Boltzmanns lag är emittansen:
med , T är temperatur i Kelvin, P är effekten.
Kubens area är (Kuben har 6 sidor.)
Det ger effekten: .
Svar: Den utstrålade effekten är 2,4 kW.
λ1 = d⋅sinα11 d λ1 α11 ---sin
=
λ2 = d⋅sinα12
λ2 λ1⋅sinα12 α11
---sin 589 0, ⋅sin(31 24, o) 31 20, o
( )
sin
--- nm 589 6788 nm,
= = =
5,0
λmax⋅T = 2 8978 10, ⋅ –3 mK
T 2 8978 10, ⋅ –3 5 0 10, ⋅ –6
--- K 579 56 K,
= =
M σ⋅T4 P
A----
= =
σ 5 67 10–8 W m2K4 ---
⋅ ,
=
6 0 25⋅ , 2 m2
P = A⋅ ⋅σ T4 = 6 0 25⋅ , 2⋅5 67 10, ⋅ –8⋅5804 W = 2 4062 kW,
5. En partikel har vilomassan m. Vid vilken hastighet blir dess rörelsemängd
lika stor som där c är ljushastigheten ? (4p)
Lösningsförslag:
Relativistiska uttrycken för rörelsemängd och totalenergi är:
(1) och (2)
(m är vilomassa)
Det följer: (3) eller (4) Triangelekvationen kan härledas ur (2) och (4):
Med (2) blir: och båda leden kvadrerade ger:
och med v/c enligt (4) fås:
som ger
och slutligen (triangelekvationen):
Enligt uppgiftsställningen är p = mc: det betyder att cp är lika med viloenergin mc2. och
Med ekvation (4) fås:
Svar: Hastigheten är m c⋅
p mv
1 v
---c
2 – ---
= E mc2
1 v
c---
2 – ---
=
p E--- v
c2 ---
= v
c--- cp ---E
=
E 1 v
---c
2
⋅ – = mc2
E2 1 v
c---
2
–
⋅ = (mc2)2
E2 1 cp
---E
2
–
⋅ = (mc2)2 E2–( )cp 2 = (mc2)2
E2 = ( )cp 2+(mc2)2
E2 = 2⋅( )cp 2 = 2⋅(mc2)2 E = cp⋅ 2 v
---c cp cp⋅ 2 --- 1
2 ---
= =
v c
2
--- 2 1 108 m ----s
⋅ ,
= =
6. En viss radioaktiv isotop sönderfaller med β+-sönderfall till 64Ni.
Den frigjorda energin är vid detta sönderfall 0,65 MeV.
64Ni har nuklidmassan 63,927968 u. Vilken är isotopen ? Bestämm också
vilket värde på isotopens massa som denna mätning ger. (4p)
Lösningsförslag:
Laddning och masstal bevaras vid en kärnreaktion. Reaktionsformeln blir:
Isotopen är alltså 64Cu. Dess massa bestäms ur reaktionsformeln.
Positronen har lika stor massa som en elektron. Denna assa m(e) erhälles från tabell. Eftersom nuklidmassan för 64Cu inkluderar 29 elektroner men
nuklidmassan för 64Ni endast inkluderar 28 elektroner måste 1 extra elektronmassa adderas till högerleden.
Dessutom bildas de ju en positron. I högerleden medräknas således totalt 2 elektronmassor:
Svar: Isotopen är 64Cu med massan 63,929763 u.
64 29
Cu 64
28
Ni 0
1
e 0 65 MeV + neutrino , ( )
+ +
→
m 64
29
Cu
m 64
28
Ni
2m e( ) 0 65, 931 5, --- u
+ +
=
m 64
29
Cu
63 927968, 2 0 00054859⋅ , 0 65, 931 5, ---
+ +
u 63 92976298 u,
= =
