f¨ or a ∈ R \ {0} och n ∈ N.

TATA79/TEN1 Inledande matematisk analys Omdugga 1, 2015-11-28

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns fem uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 7p. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Definiera a

f¨ or a ∈ R och n ∈ N, och a

f¨ or a ∈ R \ {0} och n ∈ N.

(b) Bevisa att (ab)

= a

b

f¨ or a, b ∈ R och n ∈ N.

(c) Skriva 0.325325325 . . . (det vill s¨ ager a

= 3, a

= 2 och a

= 5 f¨ or k ∈ N) som ett br˚ ak.

(2) (a) Definiera vad det betyder att s¨ aga ` ¨ ar en infimum till en m¨ angd A.

(b) Betrakta f¨ oljderna (a

)

och (b

)

som definieras enligt a

= n + 3

n och b

= − 3 n f¨ or alla n ∈ N.

(i) Bevisa att inf

a

= 1.

(ii) Bevisa att inf

b

= −3.

(3) Bevisa att

n

X

k=1

(3k

− k) = n

(n + 1).

(4) (a) Definiera begreppet str¨ angt v¨ axande som g¨ aller f¨ or en funktion f : R → R.

(b) Betrakta en funktion f : R → R som definieras enligt formeln f (x) = x

− 6x

+ 12x − 8

f¨ or alla x ∈ R. Visa att f ¨ ar str¨ angt v¨ axande. [Tips: Faktorisera polynomet.]

(5) (a) R¨ akna summan

8

X

k=1

5(6)

.

(b) R¨ akna summan

42

X

k=1

7 2

.

H¨ ar beh¨ over du inte r¨ akna ut potenser, det r¨ acker att skriva om summan s˚ a att det har h¨ ogst tv˚ a termer som inneh˚ aller eventuella potenser.

Sida 1 av 1