Lösningsförslag:
Tentamen i Modern Fysik, 5A1246, 2006-06-02
Hjälpmedel: 1 A4-blad med egna anteckningar (på båda sidor), Beta och fickkalkylator samt institutionens tabellblad utdelat under tentamen.
Examinatorer: Vlad Korenivski och Bengt Lund-Jensen
Tentamen har 8 problem som vardera ger 5 poäng. För godkänt krävs preliminärt 16 p.
Vid minst 14 p kommer möjlighet att komplettera till betyg 3 att finnas.
1. μ- i vila sönderfaller till e- och neutriner. Beräkna maximala hastigheten hos e- som bildas. Neutrinerna antas masslösa. (Tips: Vid beräkning av elektronens kinetiska energi får dess viloenergi försummas.)
Lösning: Viloenergin hos μ- (mμc2) övergår till kinetisk energi hos elektronen och neutrinerna samt till elektronens vilomassa. Om vilomassorna bortses ifrån, kan elektronens kinetiska energi vara högst hälften av myonens viloenergi eftersom rörelsemängden skall bevaras. Detta ger att elektronens totala energi är
Ee = ½ mμc2 + mec2 = γ mec2 vilket ger γ = mμ/(2me) + 1 ≈ 104,3 ur vilket hastigheten ges av 1 0,99995
2
2 − ≈
= γ
β γ
2. A hydrogen atom initially at rest undergoes a transition from the first excited state to the ground state with an emission of a photon. Find the velocity acquired by the atom as a result. What is the percentage difference between the energy of the emitted photon and the energy of the given atomic transition. (5p)
Lösning:
3. A linear beam of particles is normally incident onto a plate with a double-slit and forms an interference pattern on a screen behind the double-slit. Show that any attempt to determine (using some microscopic detector/indicator) through which slit any individual incident particle has passed destroys the interference pattern. For simplicity assume that the diffraction angles are small. (Hint: recall the Heisenberg microscope gedanken experiment.) (5p)
Lösning:
4. A particle with energy E is incident onto a barrier of height U such that E<U. Find (a) the reflection coefficient; (b) probability density as a function of the position of the particle P(x); (c) make an approximate graph of the found P(x) and compare it with the classically expected distribution. (5p)
Lösning:
5. A particle is placed in a spherically symmetric potential of radius a, with U(r<a)=0 and U(r=a)=∞. (a) Find the allowed energy values and the properly normalized s-wave functions (l=0). [Hint: solve the radial Schrödinger equation by substituting ψ(r)=χ(r)/r].
(b) Find and sketch the probability density and the radial probability density. (c) Find the most probable value of r.
Lösning:
6. Vid en mätning av radioaktivitet av ett prov efter aktivering erhölls mätserien nedan.
a) Hur många olika nukleider består provet minst av? (2p) b) Beräkna dessas halveringstider. (2p)
c) Hur många kärnor av dessa nukleider fanns vid tiden t = 0? (1p)
Lösning: Genom att rita upp ett diagram av logaritmen som funktion av tiden ser man att det rör sig om två distinka sönderfallskonstanter. Genom att betraka antal sönderfall per tidsenhet vid 100 respektive 200 s syns tydligt att den ena halveringstiden är nära 100 s.
Mha sönderfallskonstanten 3
2 / 1
10 93 . 2 6
ln −
⋅
≈
=T
λ s-1 kan bidraget från sönderfallen från av komponenten med den längre halveringstiden vid 0, 5, 10 och 20 s beräknas med R = R0 e-λt där R0 ≈ 485.2 till 485, 469, 453 och 422 vilket ger att sönderfallraten av den kortlivade nukleiden är 41580, 20793, 10398, 2601. Av detta ser man att den
kortlivade nukleiden har en halveringstid som är nära 5 s.
Sönderfallskonstanten är 0.1386
20 41580 ln 2601 ln
0 ≈
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
⎟⎟ ≈
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
− ⎛
= t
R R
λ .
Vid tiden t = 0 förväntas vi ha N0 = R0/λ kärnot av vardera nukleiden dvst totalt N ≈ 41580/0.1386 + 485.2/0.00693 ≈ 300000 + 70000 ≈ 3,70 105 kärnor
7. Comptonspridning kan användas både för att mäta riktning och energi hos fotoner i kärnfysikexperiment. För ett visst preparat mättes ett spektrum hos comptonspridda elektroner som tydligt motsvarar en i stort sätt monokromatisk gamma-strålning. Den maximala elektronenergin mättes till 341 keV. Beräkna våglängden för den inkommande monokromatiska strålningen. (Tips: för att förenkla beräkningen kan noteras att 341 keV utgör 2/3 av elektronens viloenergi) (5p)
Tid (s) Antal sönderfall per s
ln (sönderfall/s)
0 42065 10.647
5 21262 9.9645
10 10851 9.2920
20 3023 8.0139
30 1044 6.9511
40 530.3 6.2734
50 383.7 5.9500
60 330.2 5.8000
80 279.3 5.6322
100 242.6 5.4915
120 211.2 5.3528
140 183.9 5.2142
160 160.1 5.0756
180 139.3 4.9370
200 121.3 4.7983
Lösning: Maximal energiöverföring fås när den spridda fotonen är riktat mot den
inkommande, dvs då spridningvinkeln vinkeln θ = π. Då gäller att den spridda fotonens våglängd är
c m
h
e
'=λ0 + 2 λ
Överförd energi, dvs elektronens kinetiska energi, är
e e
e
e e
e
h E c
m h h
c m
c m h c
hc m
c m
h hc hc
hc hf hc
hf =
= +
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+
−
= + +
−
=
−
=
− ( 2 )
2 )
2 (
2 ' 2
´'
0 0
2
0 0
0 0
0 0 0
0 λ λ λ λ
λ λ
λ λ λ λ Detta stuvas om:
( ) nm nm
nm keV nm
nm eV
E c m
c h c
m c h c
m hc E
c m
c h c m
h
e e e
e e
e e
0243 . 511 0
240 . 3 1 1 511 1
240 . 1 341
511 240 . 1 2 511
240 . 1 511
1240
0 2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 4
2 2 0 2
2 2 2 0
2 0
≈
≈ + +
−
⎟⎟ ≈
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅ + ⋅
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
− ⋅
≈
≈ +
±
−
=
⇒
=
−
+λ λ
λ
8. Följande diagram visar spektrum för övergångar i HBr-molekyler. Beräkna kraftkonstanten för denna molekyl. (5p)
Lösning:
Övergångarna motsvarar en ändring av vibrationskvanttalet en enhet samtidigt med ett antal olika rotationsövergångar vardera med Δl=±1. En övergång i mitten ”saknas”.
Denna motsvarar Δl=0 och ger då energin för vibrationsövergången: ≈ 0.317 eV.
Vi har då att ΔE=hω. Den söka kraftkonstanten ges av ( )ω 2μ ⎟2μ
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ Δ
= h
K E
Där den reduducerade massan för HBr är
kg u
kg m u
m m m
Br H
Br
H 0.9953 1.6605 10 27 / 1.653 10 27
904 . 79 0079 . 1
904 . 79 0079 .
1 ≈ ⋅ ⋅ − ≈ ⋅ −
+
= ⋅ +
= ⋅ μ
Vi får 1.653 10 kg 383N/m
s eV 10 6.582
eV 317 .
0 2 27
16 - 2
≈
⋅
⎟ ⋅
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⋅
≈ ⋅
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ Δ μ −
h
K E
(jmfr 410 N/m i tabell 11.2 i boken)
