T i l l en b ö r j a n u p p r ä k n a s de s k ä l , som a n d r a g i t s m o t en o m o r g a n i s a t i o n af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , för a t t se- d a n h v a r för sig n ä r m a r e granskas.

U n d e r r u b r i k e n » U m k e h r oder F o r t s c h r i t t ? » l ä m n a r A. Schillke i a n d r a häftet för i n n e v a r a n d e å r af Z e i t s c h r i f t fur m a t h e m a t i s e h e n u n d n a t u r w i s s e n s c h a f t l i c h e n U n t e r - r i e h t en i n t r e s s a n t redogörelse för en d e b a t t , s o m f r a m k a l l a t s af u n i v e r s i t e t s p r o f e s s o r n E. Sittdy i B o n n , g e n o m de s k a r p a a n g r e p p denne r i k t a t m o t f ö r e s l a g n a r e f o r m e r i m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g e n . Ä f v e n Hos oss h a r e t t m e n i n g s u t b y t e k o m - m i t t i l l s t å n d i d e n n a f r å g a , n ä r m a s t f r a m k a l l a d t af F e k t o r A. Meyer, för n ä r v a r a n d e m o t s t å n d a r e t i l l r e f o r m e n , för h v i l k e n h a n t i d i g a r e v a r i t s y m p a t i s k t s t ä m d . D i s k u s s i o n e n har dels förts i Svenska D a g b l a d e t i en serie af 7 a r t i k l a r u n - der t i d e n 5 — 2 2 M a r s d e t t a år, dels o c k s å v i d det f ö r r a m å - n a d e n i Falun h å l l n a l ä r a r m ö t e t , d ä r F e k t o r Meyer i n l e d d e f ö l j a n d e af h o n o m u p p s t ä l l d a d i s k u s s i o n s ä m n e : » B ö r en k u r s i d i f f e r e n t i a l - och i n t e g r a l k a l k y l ( e v e n t u e l l t endast det förra) i n f ö r a s i g y m n a s i a l k u r s e n ? » F ö r d e t i n t r e s s a n t a m e n i n g s - u t b y t e , 'som af i n l e d n i n g s f ö r e d r a g e t och det f r a m l a g d a reso- l u t i o n s f ö r s l a g e t , h v a r i det u t m y n n a d e , f r a m k a l l a d e s , k o m m e r

mö/tesberättelsen i s i n o m t i d a t t r e d o g ö r a . D å m i t t n a m n i s a m b a n d m e d d e n n a f r å g a b l i f v i t n ä m n d t , har j a g emeller- t i d f u n n i t l ä m p l i g t a t t p å e t t s t ä l l e s a m m a n f ö r a och n å g o t n ä r m a r e s k ä r s k å d a de v i k t i g a s t e af de i n v ä n d n i n g a r , refor- m e n s m o t s t å n d a r e h ä r och u t o m l a n d s f r a m k a s t a t m o t d e n - s a m m a .

T i l l en b ö r j a n u p p r ä k n a s de s k ä l , som a n d r a g i t s m o t en o m o r g a n i s a t i o n af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , för a t t se- d a n h v a r för sig n ä r m a r e granskas.

1 : 0 . D e n f ö r e s l a g n a r e f o r m e n af m a t e m a t i k u n d e r v i s - n i n g e n s k u l l e f ö r a n l e d a öfi'et•ansträngning i s k o l a n och ytlig- het i k u n s k a p e r n a .

2 : 0 . D e n s k u l l e leda t i l l öjv er skattning af s t u d e n t e r n a s

k u n s k a p e r ej b l o t t hos d e m s j ä l f v a u t a n o c k af professorerna

v i d de högre l ä r o a n s t a l t e r n a .

3:0. D e t t i l l f o g a d e n y a lärostoffet s k u l l e i c k e l ä m p a sig a t t skola lärjungarna i logiskt tänkande.

4:0. V i d a r e s k u l l e n u v a r a n d e l ä r a r e icke äga tillräcklig kompetens a t t f ö r e d r a g a de n y a m o m e n t e n .

5:0. D e t s k u l l e v i d a r e v a r a o l ä m p l i g t a t t g e n o m rege- r i n g s p å b u d å l ä g g a i n f ö r a n d e t af e t t m o m e n t i m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g e n , h v a r o m m e n i n g a r n a ä r o delade.

6:0. M a n har v i d a r e a n t y d t a t t g e n t e m o t v e t e n s k a p e n s n y a f r a m s t e g b ö r s k o l a n s t ä l l a sig af v a k t a n d e .

7:0. Ä n d t l i g e n har m a n sagt, a t t d e n f ö r e s l a g n a k u r s e n i d i f f e r e n t i a l k a l k y l ä r a l l t för o b e t y d l i g för a t t m e d f ö r a n å -

gon s o m h ä l s t n y t t a . 1.

F ö r h v a r j e g å n g det v a r i t i f r å g a s a t t a t t u p p t a g a e t t n y t t m o m e n t p å u n d e r v i s n i n g s p r o g r a m m e t , h a r d e t t a steg — för- k l a r l i g t n o g för resten — b e t r a k t a t s m e d m i s s t r o . M a n er- i n r e sig e x e m p e l v i s , h u r den g e n o m 1859 å r s skolstadga f ö r e s k r i f n a k u r s e n i a n a l y t i s k g e o m e t r i , r e d a n 6 å r senare, i n - n a n s k o l r e f o r m e n ä n n u k n a p p a s t h u n n i t a t t i hela s k o l a n g e n o m f ö r a s , uteslöts u r u n d e r v i s n i n g e n

) . K u n g l i g a k u n - g ö r e l s e n af 1865 v a r u t f ä r d a d för a t t f ö r e b y g g a ö f v e r a n - s t r ä n g n i n g och l i k a s å k u n g ö r e l s e n af 1869. C. E. Björling i V ä s t e r å s o m f ö r m ä l e r , a t t det v a r det k o m p a k t a m o t s t å n - det af a l l a d e m , som v o r o af den g a m l a s k o l a n , h v i l k a g e n o m t a l e t o m ö f v e r a n s t r ä n g n i n g f ö r m å d d e för en t i d m i n s k a for-

d r i n g a r n a . D e t d r ö j d e 13 år d. v . s. t i l l 1878, i n n a n d e n ana- l y t i s k a g e o m e t r i n d e f i n i t i v t infördes. Ä n n u så sent som 1 8 8 7

) klagades öfver, »att ä f v e n g a m l a r u t i n e r a d e l ä r a r e s t u n d o m s t å h a n d f a l l n a och h a f v a s v å r t a t t p å e t t k l a r t s ä t t b i b r i n g a l ä r j u n g a r n a j u s t de g r u n d l ä g g a n d e p r i n c i p e r n a i d e n n a v e t e n s k a p , o m o c k s å dessa p r i n c i p e r från deras egen

u n i v e r s i t e t s t i d s t å k l a r a n o g för d e m s j ä l f v a . » H ä r i ligger n o g o c k s å t i l l v ä s e n d t l i g del d e t m o t s t å n d , som ä f v e n från f a c k l ä r a r e s sida s t u n d o m g ö r e s m o t n y a m o m e n t s u p p t a -

') E . Göransson, Bidrag till kännedom om undervisningen i Sverige under 1800-talet, Stockholm 1905, Separat.

*) Äd. Meyer, Några ord om den analytiska geometrin och undervisningen

däri, Pedagogisk Tidskrift 1887.

gande p å u n d e r v i s n i n g s p r o g r a m m e t : d e t e r b j u d e r s v å r i g - heter »äfven för en g a m m a l r u t i n e r a d l ä r a r e » a t t s ä t t a sig i n i , h u r u de n y a sakerna l ä m p l i g a s t s k o l a införas i u n d e r - v i s n i n g e n .

I v å r a dagar har i l ä r o b ö c k e r o. s. v . h u n n i t u t b i l d a s en viss m e t o d för u n d e r v i s n i n g e n i a n a l y t i s k g e o m e t r i , o c h m o t - s t å n d a r n a t i l l n u p å d a g o r d n i n g e n s t å e n d e reformer ha i c k e y t t r a t sig för e t t b o r t t a g a n d e eller ä n d r i n g af d e t t a k a p i t e l . I s k o l u n d e r v i s n i n g e n har a n a l y t i s k a g e o m e t r i n h i t t i l l s som b e k a n t v a r i t en f r a m s t ä l l n i n g af k o n i s k a sektioner i real-

linjens h ö g s t a klass. D e t är j u s t d e n n a u p p f a t t n i n g , som i f r ä m s t a r u m m e t b e h ö f v e r m o d i f i e r a s . D e t ä r k l a r t , a t t d e t för m å n g a l ä r j u n g a r v a r i t s v å r t a t t o f t a p å e t t enda l ä s å r g ö r a s i g f ö r t r o g n a först och f r ä m s t m e d k o o r d i n a t b e g r e p p e t o c h v i d a r e m e d d e t t a s t i l l ä m p n i n g för s t u d i u m af k o n i s k a s e k t i o n e r n a s egenskaper s a m t dessutom f ö r v ä r f v a f ä r d i g h e t a t t l ö s a g a n s k a i n v e c k l a d e u p p g i f t e r . S a m t i d i g t h ä r m e d s k u l l e icke b l o t t den t i d i g a r e i n h ä m t a d e k u r s e n g r u n d l i g t repeteras u t a n d ä r t i l l s k u l l e o c k s å en del n y a m o m e n t i alge- b r a n i n l ä r a s . A t t d å ö f v e r a n s t r ä n g n i n g l ä t t k a n k o m i n a i f r å g a , ä r k l a r t .

D e t ä r d å f ö r u n d e r l i g t , a t t dessa l ä r a r e , som i f r i g a s t t a l a o m ö f v e r a n s t r ä n g n i n g , icke v i l j a v a r a m e d o m , a t t k o o r d i n a t - b e g r e p p e t m e d t i l l ä m p n i n g a r t i l l en del r y c k e r l ä n g r e n e d å g y m n a s i e t . M e t o d i k e n i n o m d e t t a o m r å d e af m a t e m a t i k e n h a r sedan 1856 u t v e c k l a t s s å m y c k e t , a t t grafisk f r a m s t ä l l - n i n g u p p t a g i t s i realskolans u n d e r v i s n i n g s p l a n . D e t för- t j ä n a r o c k s å beaktas a t t s a m m a år, nyss citerade u t t r y c k f ä l l d e s af hr Ad. Meyer, u t g a f en a n n a n l ä r o v e r k s l ä r a r e l e k - t o r K. P. Nordlund i Gefle en s å l ä t t f a t t l i g f r a m s t ä l l n i n g af k o o r d i n a t b e g r e p p e t o c h e n k l a r e f u n k t i o n e r s g r a f i s k a f r a m - s t ä l l n i n g , a t t dessa saker u t a n s v å r i g h e t e r k u n d e i n h ä m t a s af f j ä r d e k l a s s i s t e n g e n o m s j ä l f s t u d i u m af hans b o k .

)

E m e l l e r t i d saknas som n ä m n d t i c k e l ä r a r e , s o m ej v i l j a v e t a af, a t t d e t f u n k t i o n s t e o r e t i s k a m o m e n t e t g ö r e s t i l l d e t c e n t r a l a i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , o c h h v i l k e t endast m ö j l i g g ö r e s g e n o m e t t t i d i g t i n f ö r a n d e af f u n k t i o n e r s g r a -

f i s k a f r a m s t ä l l n i n g . I l i k h e t m e d h v a d hr Meyer y t t r a r be-

') K. P. Nordlund, Elementarbok i algebra, Upsala, Schultz, 1887.

t r ä f f a n d e d i f f e r e n t i a l k a l k y l e n , s ä g a de s i g i c k e h a f v a hört n å g o t a n n a t s k ä l för, a t t m a n s t r ä f v a r , a t t å t d e t t a m o m e n t gifves en c e n t r a l s t ä l l n i n g i u n d e r v i s n i n g e n , ä n a t t d e t i T y s k l a n d funnes en s å d a n tendens. F ö r m o d l i g e n b e h ö f v a dessa i c k e mer än k a s t a en b l i c k i n å g o t m o d e r n t s t a t i s t i s k t v e r k för a t t inse, a t t f u n k t i o n s b e g r e p p e t , baseradt p å g r a - fisk f r a m s t ä l l n i n g , ä r n å g o t , som h v a r j e m ä n n i s k a b e h ö f v e r k ä n n a t i l l , för s å v i d t h o n i c k e v i l l stå f r ä m m a n d e för den n u v a r a n d e k u l t u r e n . K a n h ä n d a medgifves därefter, a t t b e t r ä f f a n d e storheter, för h v i l k a s f u n k t i o n e l l a beroende af h v a r a n d r a i c k e k a n u p p s t ä l l a s e t t a l g e b r a i s k t u t t r y c k , denna grafiska m e t o d ä r ö f v e r l ä g s e n e t t än s å i n g å e n d e s t u d i u m af i tabeller o r d n a d t s t a t i s t i s k t m a t e r i a l , h v i l k e t l ä s a r e n i c k e k a n p å en g å n g ö f v e r b l i c k a u t a n a t t b e s i t t a e t t o e r h ö r d t s i f f e r m i n n e , m e n a t t d e t t a icke g ä l l e r i n o m den rena m a t e m a - t i k e n .

H ä r e m o t k a n e m e l l e r t i d i n v ä n d a s f ö l j a n d e . J ä m f ö r m a n de t r e s ä t t , som m a n har a t t s t u d e r a en s t o r h e t s f u n k - t i o n e l l a beroende af en annan n ä m l i g e n : 1:0) a t t af det a r i t - m e t i s k a u t t r y c k e t s beskaffenhet i n t u i t i v t b i l d a sig en före- s t ä l l n i n g o m f ö r l o p p e t ; 2:0) a t t af u p p g j o r d a tabeller, som u t v i s a , h u r f u n k t i o n e n v a r i e r a r m e d den oberoende v a r i a - b e l n s ö k a f å en i n b l i c k h ä r i ; eller ä n d t l i g e n 3:0) a t t g e n o m g r a f i s k f r a m s t ä l l n i n g m e d e t t enda ö g o n k a s t k u n n a ö f v e r - s k å d a s a m m a n h a n g e t , s å f ö r e s t ä l l e r j a g m i g , a t t d e n n a j ä m - förelse m å s t e u t f a l l a t i l l det senare f r a m s t ä l l n i n g s s ä t t e t s för- m å n . F ö r i c k e l ä n g e sedan hafva de b å d a f ö r s t n ä m n d a s ä t t e n v i d m a t e m a t i k e n s s t u d i u m i s k o l a n v a r i t så g o d t s o m de enda a n v ä n d a , n ä m l i g e n det f ö r s t a v i d den t r a d i t i o n e l l a b e h a n d l i n g e n af m a x i m u m - och m i n i m u m u p p g i f t e r

) o c h det a n d r a e x e m p e l v i s v i d s t u d i e t af l o g a r i t m e f u n k t i o n e n o c h t i l l en del ä f v e n , å t m i n s t o n e i b ö r j a n , v i d s t u d i e t af de t r i g o - n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a .

) D e t k a n e m e l l e r t i d m e d s t ö r s t a s a n n o l i k h e t p å s t å s , a t t i n g e n , s o m p r ö f v a t det grafiska f r a m - s t ä l l n i n g s s ä t t e t s f ö r d e l a r , k o m m e r a t t u t e s l u t a d e t från u n -

') Se t. ex. Haglund, I,ärobok i Algebra, 6:te uppl., Stockholm, Carlsson 1895, sid. 176 och följ.; jfr ock Jonsson, Öfningsexempel i algebra I I , Stock- holm, Norstedt & Söner 1898, sid. 54, som intager en mellanställning.

2

) Jfr t. ex. L . Phragméns bekanta lärobok första kursen.

d e r v i s n i n g e n , l i k a l i t e t , s o m en n u t i d s m ä n n i s k a k a n u n d g å a t t s t ö t a p å d e t ö f v e r a l l t t . o. m . i de d a g l i g a t i d n i n g a r n a . E t t f r a m s t ä l l n i n g s s ä t t för t v å storheters f u n k t i o n e l l a bero- ende af h v a r a n d r a , som ä r s å l ä t t f a t t l i g t , a t t d e t u t a n v i d a r e s v å r i g h e t begripes af menige m a n , o c h som i m a t e m a t i k e n ö f v e r a l l t v u n n i t b u r s k a p a l l t från Cartesii t i d , l ä m p a r sig o c k s å s y n n e r l i g e n v ä l a t t u t n y t t j a s v i d u n d e r v i s n i n g å g y m - n a s i u m . H i n n a l ä r j u n g a r n a s å l e d e s i l u g n o c h ro a t t s m ä l t a dessa saker — det s k a l l införas a l l t från f ö r s t a r i n g e n — d å t o r d e den of v a n o m t a l a d e ö f v e r a n s t r ä n g n i n g e n i den fjärde icke b e h ö f v a i f r å g a k o m m a .

M e n medgifves n ö d v ä n d i g h e t e n af, a t t m a t e m a t i k u n d e r - v i s n i n g e n s t ä l l e s i i n t i m t s a m b a n d m e d t i d e n s k u l t u r e l l a s t r ä f v a n d e n och a t t p å g r u n d häraf f u n k t i o n s b e g r e p p e t i s i n g e o m e t r i s k a f o r m har en g i f v e n p l a t s i u n d e r v i s n i n g s p l a n e n , d å följer d ä r a f o c k s å k o n s e k v e n t , a t t p å d e t h ö g r e s k o l s t a - d i e t d e r i v a t b e g r e p p e t i c k e k a n u t e s l u t a s .

) V i l l m a n m e r a i n g å e n d e d i s k u t e r a e t t u p p r i t a d t d i a g r a m , f r a m t r ä d a genast a f g ö r a n d e t af s å d a n a f r å g o r s o m f u n k t i o n e n s v ä x a n d e o c h aftagande, den h a s t i g h e t , h v a r m e d v ä x a n d e t eller a f t a g a n d e t f ö r s i g g å r , m a x i m u m o c h m i n i m u m o. s. v . , e l l e r m e d e t t o r d f r å g a n o m t a n g e n t e n s r i k t n i n g i k u r v a n s o l i k a p u n k t e r o c h h u r d e n n a r i k t n i n g ä n d r a s .

P å l ä r a r m ö t e t i Falun f r a m h ö l l s af en t a l a r e m e d s k ä r p a , a t t dessa saker b o r d e i s k o l a n b e h a n d l a s f o r t f a r a n d e s o m h i t t i l l s , d. v . s. h e u r i s t i s k t u t p r e p a r e r a s för h v a r t s ä r s k i l d t f a l l o c h s o m e x e m p e l f r a m h ö l l s begreppet h a s t i g h e t v i d för- ä n d e r l i g rörelse. E ä r j u n g e n s k u l l e ej få lefvande å s k å d - l i g g j o r d t f ö r sig i n n e b ö r d e n af d e t t a begrepp, o m h a n af d e t h a n i n h ä m t a t i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , n ä r h a n k o m t i l l f y s i k l e k t i o n e n , hade k l a r t för sig, a t t v = - j | p , u t a n a t t d e t t a i d e t a l j h ä r l e d d e s , s å s o m n ä r h a n i c k e k ä n d e t i l l d e r i v a t b e - greppet. M e d e t t o r d : p å d e t t a s t a d i u m s k u l l e d e t v a r a n ö d - v ä n d i g t a t t f ö r f a r a s o m h i t t i l l s , d. v . s. g ö r a o m s a m m a e l l e r

analoga g r ä n s b e t r a k t e l s e r för h v a r j e g å n g en f ö r d o l d diffe- r e n t i a t i o n eller i n t e g r a t i o n f ö r e k o m m e r .

') I,ektor Meyer, som förut anförts, som den ifrigaste motståndare till reformen, var i det förut citerade arbetet af 1887 af en annan mening än nu.

Där heter det: »studiet af den analytiska geometriens grunder bör hälst gå

hand i hand med studiet af differentialkalkylens första begrepp.»

I n t e t h i n d r a r a t t v i d i n f ö r a n d e t i begreppet d e r i v a t a i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n t a g a j u s t d e t t a e x e m p e l s o m e t t af de i n l e d a n d e , för h v i l k e t ä n d a m å l det förträffligt l ä m p a r sig. I e t t l i t e t arbete af L . Tesar, E l e m e n t e der D i f f e r e n t i a l - u n d I n t e g r a l r e c h n u n g¹) f u l l f ö l j e s denna t a n k e g å n g , precis s o m d e n ä r a d e t a l a r e n i F a l u n föreslog, a t t g r ä n s ö f v e r g å n g e n borde prepareras. D e t , s o m k o m m e r t i l l hos Tesar, ä r e t t h e l t l i t e t , m e n d e t o a k t a d t s y n n e r l i g e n v i k t i g t steg, h a n inför n a m n e t d e r i v a t a och en s y m b o l i s k b e t e c k n i n g för d e t t a g r ä n s - v ä r d e .

M e n i n g e n s k a d a är v ä l s k e d d , o m m a n r å k a t h ä m t a i n l e d a n d e e x e m p l e t från a n d r a o m r å d e n , s o m l i g g a n ä r m a r e t i l l h a n d s , n ä r saken f ö r s t a g å n g e n v ä c k e s p å t a l . S å f ö r e s l å r Ph. Weinmeisier i en u p p s a t s U n e n d l i c h k e i t s r e c h n u n g i n der S c h u l e²) t i l l i n l e d a n d e e x e m p e l en p a r a b e l y = y X³. F ä r - j u n g e n r ä k n a r u t de m o t abskissorna x = i , x = 2 , x = 3 , x = 4, x = o , x = — i , . . . s v a r a n d e o r d i n a t o r n a o c h b e s t ä m m e r l u t n i n g e n af de sekanter, s o m f r å n d e n f ö r s t a p u n k t e n p å k u r v a n dragas t i l l h v a r och en af de a n d r a . H a n i n s k j u t e r så a n d r a p u n k t e r , s v a r a n d e m o t X = I , I ; X = I , O I ; X = I , O O I

och h ä r b e g y n n e r a b s t r a k t i o n e n . H a n k a n ej u t f ö r a t e c k - n i n g e n p å f i g u r e n , m e n b e s t ä m m e r ä n d å » k u r v a n s s t i g n i n g » . V ä l j e r h a n s å de p u n k t e r , s o m s v a r a m o t x = i o c h x = i + S, s å erhålles det f ö r e g å e n d e , o m 6 gifvas v ä r d e n a 4, 3, 2 , 1,:—1,

— 2 , . . . , m e n l ä r j u n g e n k a n d å ej g ä r n a u n d g å a t t r e f l e k t e r a öf- ver, h u r d e t g e s t a l t a r sig i d e t f a l l a t t å är o eller n ä r m a r sig o.

H ä r a f t o r d e t i l l f u l l o f r a m g å , a t t g r ä n s b e g r e p p e t d e r i - v a t a k a n u t p r e p a r e r a s f u l l t h e u r i s t i s k t m e d k o n k r e t a ex- e m p e l , m e n a t t m a n b e h ö f v e r g ö r a o m d e t i a l l a d e t a l j e r för h v a r j e speciellt f a l l s å s o m h i t t i l l s i r i n g 4 v a r i t h ä n d e l s e n för c i r k e l n , p a r a b e l n , ellipsen, h y p e r b e l n , v i d h ä r l e d n i n g af h a s t i g h e t , acceleration, c e n t r a l r ö r e l s e e t c , d e t synes v a r a e t t slöseri m e d t i d och k r a f t e r . D e t s t r i d e r , s å s o m j a g i d e n förut c i t e r a d e u p p s a t s e n af 1905 f r a m h å l l i t m o t d e n af Mach först f o r m u l e r a d e p r i n c i p e n för t ä n k a n d e t s e k o n o m i , h v i l -

' ) I<eipzig, Teubner, 1906.

") Zeitschrift fiir mathematischen und naturwissenschaftlichen TJnter- richt, Bnd 38, I,eipzig und Berlin, Teubner, 1907.

ken p r i n c i p ä r f u n d a m e n t a l för m a t e m a t i k e n l i k a v ä l s o m för h v a r j e a n n a n v e t e n s k a p .

Sedan g r ä n s b e g r e p p e t d e r i v a t a p å a n t y d t s ä t t u r k o n - k r e t a e x e m p e l b l i f v i t h ä r l e d t och p å det s ä t t e t b l i f v i t l ä r j u n g - ens a n d l i g a egendom, d å k a n o c h b ö r m a n generalisera. D e t förefaller a t t d e t t a f ö r f a r i n g s s ä t t s k a l l minska f a r h å g a n f ö r ö f v e r a n s t r ä n g n i n g , j ä m t e d e t a t t l ä r j u n g e n får en v i d g a d s y n p å saken.

V i d a l l a diskussioner ö f v e r d e n n a f r å g a f r a m g å r t y d l i g t a t t m o t s t å n d a r n a t i l l r e f o r m e n t ä n k a sig, a t t f ö r s t s k a l l hela den g a m l a m a t e m a t i k k u r s e n b i b r i n g a s p å s a m m a s ä t t som h i t t i l l s i n å g o t s a m m a n t r ä n g d f o r m f ö r a t t f å r u m m e d d e t n y a , o c h d ä r e f t e r s k a l l som en spets p å d e t hela l ä s a s en s m u - l a d i f f e r e n t i a l k a l k y l . D e n u p p f a t t n i n g e n h a f v a reformens m o t s t å n d a r e i T y s k l a n d

) l i k a v ä l som i Sverige. D e t ä r d e n n a m i s s u p p f a t t n i n g , som g ö r sig g ä l l a n d e , d å m a n s å s o m herr Meyer s ö k e r r ä k n a u t h u r m å n g a t i m m a r , för a t t ej s ä g a m i n u t e r , d e t s k u l l e t a g a a t t b i b r i n g a l ä r j u n g e n d e n i u n d e r v i s n i n g s p l a n e n u p p t a g n a k u r s e n i d i f f e r e n t i a l r ä k n i n g . D ä r m e d f ö r k l a r a s o c k s å de f r å n m o t s t å n d a r n e s sida y p p a d e f a r h å g o r n a för ytlighet och öfveransträngning.

M a n har sagt, a t t u n d e r n u v a r a n d e f ö r h å l l a n d e u ä r o k u n s k a p e r n a fasta, t y l ä r a r e n k a n b e s t ä m d t s ä g a ,

) h v a d l ä r j u n g e n v e t eller i c k e v e t . H a r h a n d ä r e m o t f ö r v ä r f v a t f ö r t r o g e n h e t m e d d e r i v a t b e g r e p p e t , s å b l i f v a k u n s k a p e r n a y t l i g a . D e t är s v å r t a t t t r o , a t t k u n s k a p e r n a b e h ö f v a v a r a y t l i g a e l l e r l ä r j u n g a r n a ö f v e r a n s t r ä n g d a , o m de u t a n a t t haf- v a f å t t v a r e sig u n d e r v i s i i i n g s t i m m a r n a s a n t a l f ö r s t o r a d t eller h e m a r b e t e t f o r ö k a d t s å l e d e s m e d u n g e f ä r s a m m a ar- b e t s k v a n t i t e t s o m förut b l i f v i t h ö j d a t i l l en h ö g r e n i v å .

2 .

I s i t t a r b e t e E l e m e n t a r m a t h e m a t i k v o m h ö h e r e n S t a n d - p u n k t e a u s

) ger F. Klein en f r a m s t ä l l n i n g af t v å v ä s e n t l i - gen o l i k a r i k t n i n g a r i m a t e m a t i k e n s u t v e c k l i n g s h i s t o r i a . D e n

') Weinmeister loc. cit.

*) Yttrande vid lärarmötet i Falun 1909.

8

) Del I , Autograferade föreläsningar, Leipzig, Teubner, 1908.

ena r i k t n i n g e n , h v i l k e n , s å s o m v a r a n d e d e n ä l d r e , l i g g e r t i l l g r u n d för s k o l m a t e m a t i k e n , k a r a k t ä r i s e r a s s å s o m en ftarti-

kularistisk u p p f a t t n i n g af vetenskapen, h v i l k e n s ö n d e r s t y c - k a r dess t o t a l a o m r å d e i en serie af från h v a r a n d r a s k a r p t b e g r ä n s a d e delar. I d e a l e t för d e n n a r i k t n i n g är en » v a c - k e r t u t k r i s t a l l i s e r a d l o g i s k t i sig s l u t e n u p p b y g g n a d af h v a r t o c h e t t af dessa s p e c i a l o m r å d e n . »

Med d e n b e g r ä n s n i n g , s k o l m a t e m a t i k e n h i t t i l l s haft, ä r d e t s å l e d e s l ä t t f ö r k l a r l i g t , o m m a n f ö r e s t ä l l e r sig »att m a - t e m a t i k e n i s i n helhet i c k e b e s t å r i n å g o t a n n a t än en f y l l i g a - re, t . o. m . öf verflödig, u t v i d g n i n g af de delar, som e l e m e n t a r - m a t e m a t i k e n o m f a t t a r » ; e t t sysslande m e d » s v å r a r e k o n - s t r u k t i o n s u p p g i f t e r , » d e d u k t i o n af » m ö j l i g a s t i n å n g a f o r m - l e r , » o. s. v .

) D e t n u v a r a n d e s y s t e m e t v i d m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g e n leder v ä l o m n å g o t t i l l , a t t s t u d e n t e n öfver- skattar s i n a egna m a t e m a t i s k a k u n s k a p e r o c h underskattar m a t e m a t i k e n ö f v e r h u f v u d t a g e t som v e t e n s k a p .

U p p f o s t r a d e u n d e r s å d a n a f ö r h å l l a n d e n , är d e t o c k s å f ö r k l a r l i g t a t t f i l o l o g e r o c h teologer u n d e r s k a t t a m a t e m a - t i k e n s betydelse för a l l m ä n b i l d n i n g e n , cl. v . s. f ö r m å g a a t t t i l l g o d o g ö r a sig och d e l t a g a i n u t i d a k u l t u r e l l a s t r ä f v a n d e n . E r k ä n n a n s v ä r d a u n d a n t a g finnas, s å s o m de, som beklaga a t t d e t m a t e m a t i s k t - n a t u r v e t e n s k a p l i g a i n f l y t a n d e t v i d v å r a gymnasiers o r g a n i s a t i o n l e d t d ä r h ä n , a t t de l ä r j u n g a r , som s t u d e r a g r e k i s k a , i c k e k u n n a d e l t a g a i m a t e m a t i k u n d e r - v i s n i n g e n , h v i l k e t i s i n t u r b i d r a g e r t i l l , a t t a n t a l e t a l u m n e r å d e n n a b i l d n i n g s l i n j e a l l t m e r decimeras. P å m ö t e t i Falun å t e r y t t r a d e s u n d e r l i f l i g a b i f a l l s r o p : »förskona oss från a l l m a t e m a t i k p å v å r a klassiska g y m n a s i e r ! »

Dessa, som u p p e n b a r l i g e n representera den a l l m ä n n a m e n i n g e n i n o m vissa k r e t s a r i S v e r i g e

) , k u n n a för sin å s i k t

') A. Voss, tiber das Wesen der Mathematik, I,eipzig und Berlin, Teubner 1908.

a

) Det förtjänar å andra sidan framhållas, att humanistiska kunskapernas bildningsvärde ofta underskattas af matematici och naturvetenskapsmän.

Exempelvis har detta tagit sig uttryck i ett vrkaude på, att kristendomsunder- visningen bör utgå på gymnasium, eller i allmänhet när gossen konfirmerats, och däri skulle jag själf vara den förste att instämma, om jag icke vore öfver- lygad, att undervisningen sedan min egen skoltid reformerats i detta ämne.

I Tyskland finner man också dylika motsättningar mellan målsmännen för oli-

ka bildningslinjer. Så t. ex. diskuterades vid ett sammanträde af Verein zur

å b e r o p a t a l r i k a a u k t o r i t e t e r från s i t t eget l ä g e r , e t t n a m n , s å d a n t s o m Mommsen för a t t ej t a l a o m g r u n d l ä g g a r e n af d e t m o d e r n a t y s k a s k o l v ä s e n d e t Johannes Schulze, som 1837 fällde d e t o f t a citerade y t t r a n d e t : »i en enda r a d af Corne- l i u s l i g g e r m e r b i l d a n d e k r a f t än i hela m a t e m a t i k e n . » G e n t h ä r e m o t m å d e t t i l l å t a s m i g a n f ö r a e t t y t t r a n d e af F. Lincle- mann, själf en m a t e m a t i k e r af r a n g , som v i s a r sig hysa en s y n n e r l i g e n ' h ö g u p p s k a t t n i n g af den k l a s s i s k a b i l d n i n g e n :

» E h u r u n u för t i d e n m a t e m a t i k e n ä r det e n d a s p r å k , g e n o m h v i l k e t i f o r n t i d e n k n a p p t anade n a t u r l a g a r l å t a f o r m u l e r a sig, o c h e h u r u m a t e m a t i k e n är v å r t enda h j ä l p m e d e l a t t förstå d e m , h u r få i n h ä m t a ä n d å i v å r a dagar, h v a d m a t e - m a t i k e n ä r t i l l s i t t v ä s e n ! D e t senare b e s t å r i c k e i k o n s t r u k - t i o n af t r i a n g l a r u r o l ä m p l i g a s t m ö j l i g t v a l d a element, i c k e i s l å e n d e i l o g a r i t m e t a b e l l e n eller u p p r a b b l a n d e af t r i g o n o m e - t r i s k a f o r m l e r , h u r n y t t i g a d y l i k a öfningar ä n a r o . M a n k a n t r y g g t s ä g a , a t t den, som i v å r a dagar l ä m n a r g y m n a s i e t , i c k e har d e n m i n s t a a n i n g o m , h v a d m a t e m a t i k egentligen är, h v a d d e n n a v e t e n s k a p p r e s t e r a r eller h v a d v i h a f v a d e n a t t t a c k a för. H o n o m f a t t a s en g o d del af k u n s k a p e n o m l a g b u n d e n h e t e n i n a t u r e n , h o n o m f a t t a s j u s t det, som de g r e k i s k e filosoferna s t r ä f v a d e efter som d e t h ö g s t a » . S a m t v i d a r e : » H u r m å n g a v ö r d a en Newton eller en Leibnitzl H u r m å n g a h a f v a en d j u p a r e föreställning" o m det o f ö r g ä n g l i g a i h v a d desse m ä n s k a p a t ! H ä r i l i g g a r ö t t e r n a t i l l v å r n u t i d a b i l d n i n g , h ä r d e n s a n n a f o r t s ä t t n i n g e n , t i l l h v i l k e n den an- t i k a v i s h e t e n s t r ä f v a d e , h v i l k e n för m e r ä n t v å t u s e n år sedan k o m a t t s t å s t i l l i sin u t v e c k l i n g g e n o m Aristoteles' f ö r t i d i g t

Förderung des mathematischen uud naturwissenschaftlichen Unterricht, huru-

vida det icke vore lämpligare att kalla reformsträfvandena naturvctenskap-

ligt-matematiska, tör att ej betona det matematiska momentet, hvilket har en

dålig klang i en del öron. Men framförallt må framhållas det samarbete, som där

gör sig gällande vid reformförslag i olika ämnen och den förståelse för olika

bildningsämnens kraf, som där tager sig tittryck vid gemensamma förhand-

lingar mellan olika ämnens representanter. Som bevis härpå må anföras sam-

mankomsten af tyske skolman och filologer i Basel 1907. Frän detta möte

föreligger en samling synnerligen läsvärda föredrag: matematik och naturve-

tenskap, fornkunskap, moderna språk, historia och religion, rivart och ett af

märkesmän inom sitt fack, nämligen af respektive F . Klein, P. Wendland,

Al. Brandl och Ad. Harnack samt utgifna under den gemensamma titeln Uni-

versität und Schule, I<eipzig, Teubner, 1907.

a f s l u t a n d e eller å t m i n s t o n e s o m f u l l ä n d a n d e b e t r a k t a d e arbete. »

)

D e t t a o m v e r k n i n g a r n a af d e n h i t t i l l s r å d a n d e r i k t n i n g - en i n o m s k o l m a t e m a t i k e n . A n h ä n g a r n a af d e n a n d r a me- n i n g e n å t e r i g e n s t r ä f v a efter e n h e t l i g h e t o c h c e n t r a l i s a t i o n . Deras i d e a l är: u p p f a t t n i n g af alla de m a t e m a t i s k a d i s c i p l i - n e r n a s o m e t t h e l t .

)

I n g e n k a n v ä l p å a l l v a r i n b i l l a sig, a t t l ä r j u n g a r n a s k o l a ö f v e r s k a t t a s i n a k u n s k a p e r o c h t r o sig f u l l ä r d a , d ä r f ö r a t t de i s k o l a n i n h ä m t a t n å g o t o m f u n k t i o n s b e g r e p p e t o c h i a n s l u t n i n g d ä r t i l l en s m u l a d i f f e r e n t i a l - o c h i n t e g r a l r ä k n i n g , saker, som v i s a t sig s å u t o m o r d e n t l i g t f r u k t b ä r a n d e för f y - sik, k e m i , fysiologi, s t a t i s t i k , f ö r s ä k r i n g s v ä s e n d e o. s. v . A. Schulke s ä g e r m e d f u l l r ä t t , a t t g e n o m i n f i n i t e s i m a l - k a l k y l e n h a r m a t e m a t i k e n s p r e s t a t i o n s f ö r m å g a k a n s k e v u x i t i h ö g r e g r a d a n ö g a t s g e n o m u p p f i n n i n g e n af m i k r o s k o p e t och k i k a r e n .

) T v ä r t o m bör l ä r j u n g e n , o m u n d e r v i s n i n g e n i a n t y d d r i k t n i n g reformeras, få en f ö r e s t ä l l n i n g o m , »att d e n m a t e m a t i s k a t a n k e g å n g e n a l d r i g har e t t s l u t , s a m t a t t o m n å g o n s ä g e r v i d en viss p u n k t , a t t h ä r s t å r d e t m a t e m a t i s k a b e g r i p a n d e t s t i l l a , d å först k a n m a n v a r a ö f v e r t y g a d o m , a t t d e n e g e n t l i g t i n t r e s s a n t a p r o b l e m s t ä l l n i n g e n t a g e r v i d . »

)

D i k a obefogadt v e r k a r t a l e t o m , a t t de h ö g r e u n d e r v i s - n i n g s a n s t a l t e r n a s k u l l e få s v å r t a t t anpassa sig efter de n y a s k o l k u r s e r n a . V i d t e k n i s k a h ö g s k o l a n s a m m a n f a t t a s s k o l - k u r s e n , i n n a n m a n g å r ö f v e r t i l l i n f i n i t e s i m a l k a l k y l e n . D e t ä r j u s t v i d d e n n a ö f v e r g å n g s v å r i g h e t e r i n t r ä d a för s o m l i g a . S ä k e r t s k u l l e d å m å n g e n t e k n o l o g ha n y t t a af, a t t h a n r e d a n i s i n s k o l t i d g j o r t s förtrogen m e d begreppen d e r i v a t a o c h i n t e g r a l , och s ä k e r t är, a t t dessa begrepp, i l u g n och ro b i - b r i n g a d e i s k o l a n , s i t t a fastare k v a r , ä n h v a d s t u n d o m n u v i s a t sig v a r a f a l l e t .

)

') F . Lindemann, Eehreu und I^ernen in der Mathematik, Jliinchen, Wolf

& Sohn, 1904.

2

) F. Klein, Elementarmathematik etc. loc. cit.

3

) A. Schulke, iiber die Reform des matheinatischen Unterrichts an hö- heren Schulen, Zeitschrift fur mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht, Bnd 37, JL,eipzig, Teubner, 1906.

*) F . Klein, Elementarmathematik etc. loc. cit.

") Klein-Schimmach, der mathematische Unterricht an den höheren Schu-

len, I , Leipzig, Teubner 1907.

3-

T a l e t o m a t t m a t e m a t i k e n s formella b i l d n i n g s f ö r m å g a , dess f ö r m å g a t i l l s k o l n i n g i l o g i s k t t ä n k a n d e , ä f v e n t y r a s g e n o m den i f r å g a s a t t a o m l ä g g n i n g e n af m a t e m a t i k u n d e r - v i s n i n g e n har i en af h r Meyers a r t i k l a r y t t e r l i g a r e u n d e r - s t r u k i t s . H r Meyer e r k ä n n e r d ä r v i d ö p p e t , a t t sysslandet m e d vissa » b e s y n n e r l i g a » p r o b l e m , som i c k e h a f v a m o t s v a - r i g h e t i v e r k l i g h e t e n , eller m e d g r u p p e r af p r o b l e m , som i en del l ä r o b ö c k e r k l a s s i f i c e r a s

) och behandlas efter vissa u p p - s t ä l l d a schema och som d r i f v a s d ä r h ä n , a t t l ä r j u n g a r n a s t å h a n d f a l l n a , o m de i c k e k u n n a i n r a n g e r a u p p g i f t e n u n d e r en viss s c h a b l o n , afser a t t u t g ö r a en h ä l s o s a m g y m n a s t i k för s j ä l e n u n g e f ä r s o m d e n l i n g s k a för k r o p p e n , d ä r s a m m a p å f ö r h a n d b e s t ä m d a rörelser i d e l i g e n å t e r k o m m a . D e n n a u p p - f a t t n i n g af m a t e m a t i k e n s b i l d n i n g s v ä r d e b e k r ä f t a r a l l t s å r i k t i g h e t e n af F. Lindemanns utsago: »die M a t h e m a t i k g i l t h e u t e a n d e n S c h u l e n n u r als formales B i l d u n g s m i t t e l , als T u r n g e r ä t f i i r die t J b u n g e n des Geistes; dass sie d e n h ö c h - sten i d e a l e n G e h a l t f i i r unsere E r k e n t n i s des W e l t g a n z e n umschliesst, d ä r a n w a g t m a n b e i m h e u t i g e n U n t e r r i c h t k a u m zu d e n k e n . »

)

D ä r o m v a r m a n e m e l l e r t i d , s å v i d t d e t k u n d e f ö r s p ö r j a s p å e t t u n d a n t a g n ä r , v i d E a l u m ö t e t ense, a t t d e t v a r b o r t - k a s t a d t i d a t t d r i f v a dessa saker p å e t t s å d a n t s ä t t i f ö r s t a och a n d r a r i n g a r n a . D e n erfarenheten hade a l l m ä n t g j o r t s , a t t i de b å d a öfre r i n g a r n a redde sig l ä r j u n g a r n a m e d u p p - g i f t e r o m » r ö r e l s e p r o b l e m » , » r ö r p r o b l e m » , » k l o c k p r o b l e m » e t c , etc. u t a n a t t n å g o n s i n h a f v a u p p s t ä l l t e t t enda schema för d e m , s å a t t d e n t i d i g a t r ä n i n g e n i d y l i k a saker är f u l l - k o m l i g t o n ö d i g , o c h o m d e n l i g g e r ö f v e r l ä r j u n g a r n a s k r a f t e r , r e n t af s k a d l i g .

E m e l l e r t i d b e h ö f v e r en a n n a n s y n p u n k t f r a m h å l l a s . J ä m t e de b å d a förut o m n ä m n d a h i s t o r i s k a u t v e c k l i n g s s e r i - e r n a i n o m m a t e m a t i k e n finnes o c k s å e t t tredje m o m e n t , s o m i n g å r i b å d a de f ö r r a o c h betecknas m e d n a m n e t algoritm. D e t

' ) Exempelvis Jonssons, Emdmans och Haglunds läroböcker.

2) F. Lindemann, Eehren und Eernen etc. loc. cit. På liknande sätt uttalar

sig också Gino Lotia på ett föredrag i Milano, utgifvet på tyska, Vergangene

ä r i n g e n t i n g a n n a t ä n hvarje ordnad, formell räkning, i syn- nerhet bokstafsräkning. D e t t a r e n t f o r m e l l a m o m e n t b e t e c k - nar Klein som en grundval för den matematiska utvecklingen o c h

»det v o r e en o h i s t o r i s k u p p f a t t n i n g , o m m a n , s å s o m n u f ö r t i d e n o f t a sker, m e d r i n g a k t n i n g s k j u t e r d e t m o m e n t e t å t sidan, d ä r f ö r a t t det ä r af f o r m e l l a r t . >> T v ä r t o m f r a m h å l l e r h a n v i d flere tillfällen, a t t d e t a l g o r i t m i s k a f ö r f a r a n d e t spe- l a t en v i k t i g r o l l v i d v e t e n s k a p e n s u t v e c k l i n g , »som en själf- s t ä n d i g t f r a m å t d r i f v a n d e i f o r m e l n i n n e b o e n d e k r a f t , obe- roende af m a t e m a t i k e r n s a f s i k t o c h o f t a t i l l och m e d m o t s a t t den.»

)

Öfning i b o k s t a f s r ä k n i n g , som i r e a l s k o l a n n u m e r a i c k e k a n d r i f v a s s å s y n n e r l i g e n l å n g t , ä r den f o r m e l l a m a t e m a t i k , som m å s t e b e d r i f v a s i de b å d a l ä g s t a r i n g a r n a . I de t v å h ö g s t a e r b j u d e r b l a n d a n n a t d i f f e r e n t i e r i n g f o r t s a t t a ö f n i n g - ar l i k a l e d e s af f o r m e l l a r t . D e t ä r för dessa saker, ö f n i n g a r n a i i n k l ä d d a e k v a t i o n s u p p g i f t e r s l ö s n i n g få m a k a å t sig, dels s å l e d e s p å g r u n d af o m s t ä n d i g h e t e r n a s m a k t , a t t a l g e b r a i s k a r ä k n i n g a r i c k e t i d i g a r e h u n n i t tillbörligen b e d r i f v a s , dels d ä r f ö r a t t de ä n d a t i l l s l e n t r i a n d r i f n a ö f n i n g a r n a m e d f o r m - ler s å s o m v = h t h = y , t=~ e t c , v i s a t sig alldeles o n ö d i g a .

Studys angrepp p å r e f o r m s t r ä f v a n d e n a

) i skolans m a t e - m a t i k u n d e r v i s n i n g g r u n d a r sig p å , a t t i g y m n a s i e r n a k a n icke d i f f e r e n t i a l r ä k n i n g e n b e d r i f v a s m e d e r f o r d e r l i g s t r ä n g - het och g r u n d l i g h e t . D ä r i g e n o m blefve m a t e m a t i k e n s u p p - g i f t a t t s k o l a d e t l o g i s k a t ä n k a n d e t förfelad. H ä r e m o t i n - v ä n d e r Schiilke,

) a t t m e d stringensen ä r d e t en v a n s k l i g sak.

H v a r j e ä l d r e m a t e m a t i k e r v e t , a t t d e t som förr g ä l l d e för e t t s t r ä n g t bevis, n u ej l ä n g r e h å l l e r m å t t e t , o c h l i v a d som n u g ä l l e r som s t r ä n g t bevis, i en f r a m t i d s ä k e r l i g e n k r ä f v e r s k a r p a r e f o r m u l e r i n g , t y i n o m v e t e n s k a p e n finnes i n t e t s t i l l a - s t å e n d e . I l i k h e t m e d Mach, h v a r s n a m n h a r en g o d k l a n g b å d e i n o m u n i v e r s i t e t s - o c h l ä r a r k r e t s a r , f r a m h å l l e r Schiil- ke, a t t i s k o l a n s k a l l h u f v u d v i k t e n l ä g g a s v i d k l a r h e t o c h å s k å d l i g h e t , i c k e s å m y c k e t p å d e n v e t e n s k a p l i g a o a n t a s t l i g -

') Klein, Elementarnuitheitiatik etc. loc. cit.

2

) Blätter fur höheres Schulwesen 1908, sid. 385.

*) Zeitshrift fiir matheuiatischen und natunvissenschaftlichen Unter-

richt, Bnd 40, I,eipzig, Teubner, 1909.

h e t e n . S a m m a s y n p u n k t e r f r a m h å l l a s o c k af Volkmann

) s a m t f r a m f ö r a l l t af Klein

)

F ö r öfrigt t o r d e d e t k n a p p a s t förefinnas en p r i n c i p i e l l o l i k h e t m e l l a n Study o c h de, som a r b e t a för en r e f o r m e r a d m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g . Study ser saken från en a l l t för hög s t å n d p u n k t . H a n t a g e r för g i f v e t , a t t m e n i n g e n ä r , a t t i s k o l a n s k a l l i n f ö r a s e t t a l l m ä n t f u n k t i o n s b e g r e p p i en ab- s t r a k t f o r m m e d en d ä r p å g r u n d a d v e t e n s k a p l i g k u r s i i n - f i n i t e s i m a l r ä k n i n g . D e t t a f r a m g å r t y d l i g t af y t t r a n d e n s å - d a n a , som a t t de g r u n d l ä g g a n d e begreppen i c k e k u n n a b i - b r i n g a s m e d m i n d r e än, a t t l ä r j u n g e n j ä m s i d e s göres förtro- gen m e d e x e m p e l , d å d i f f e r e n t i e r i n g , i n t e g r e r i n g och a n d r a g r ä n s ö f v e r g å n g a r visa sig o u t f ö r b a r a . I n l e d n i n g e n i diffe- r e n t i a l r ä k n i n g b l i r p å d e t t a s ä t t , s å s o m Study o c k s å b e t o n a r , de s v å r a s t e u n i v e r s i t e t s f ö r e l ä s n i n g a r . M e n å a n d r a s i d a n h a r Study i n t e t a t t i n v ä n d a m o t a t t d e r i v a t b e g r e p p e t be- h a n d l a s i f r å g a o m de a l l r a enklaste speciella f u n k t i o n e r , m e d h v i l k a l ä r j u n g e n ä r f u l l t f ö r t r o g e n och »med i n s k r ä n k n i n g t i l l reell v a r i a b e l (!). »

H ä r t i l l k a n y t t e r l i g a r e l ä g g a s : v i ha j u r e d a n fördold d i f f e r e n t i a l - och i n t e g r a l r ä k n i n g i den n u v a r a n d e s k o l m a t e - m a t i k e n . H a f v a de ställen, d ä r d y l i k a saker f ö r e k o m m a , h i t t i l l s g e n o m h v a r j e h a n d a a r t i f i c i e r k u n n a t f ö r e d r a g a s m e d så pass s t r ä n g h e t , a t t l ä r a r e n s s a m v e t e ä r fredadt, s å l ä r a v ä l dessa p a r t i e r , efter d e t begreppen d e r i v a t a och i n t e g r a l i n - förts, i c k e b l i f v a s ä m r e f r a m s t ä l l d a . H a r d e n t i d i g a r e be- h a n d l i n g e n k u n n a t t i l l f r e d s s t ä l l a s k o l m a t e m a t i k e n s a n s p r å k p å a t t t i l l g o d o s e den f o r m e l l a b i l d n i n g e n s kraf, s å l ä r v ä l d e t t a i c k e b l i s ä m r e t i l l g o d o s e d t g e n o m det f ö r e s l a g n a n y a f r a m s t ä l l n i n g s s ä t t e t . Ä f v e n i dessa h ä n s e e n d e n k a n m a n m e d t i l l f ö r s i k t s ä g a tvärtom.

4-

J ä m s i d e s m e d f r å g a n o m en r e f o r m af m a t e m a t i k u n d e r - v i s n i n g e n d r y f t a s i T y s k l a n d f r å g a n o m l ä r a r u t b i l d n i n g e n . Study f ö r k l a r a r p å d e t bestämdaste, a t t d e n b e s t å e n d e s t a t s -

') Erkenntnistheoretische Grundziige der Nalirnvissenschaften och Ein- fuhrung in das Studium der theoretisehen Physik, Eeipzig, Teubner 1905.

2

) Klein, Elementarmathematik etc. loc. cit.

e x a m e n i c k e e r b j u d e r t i l l r ä c k l i g g a r a n t i för, a t t l ä r a r k a n d i - d a t e r n a senare ä r o v u x n a u p p g i f t e n a t t meddela u n d e r v i s - n i n g i d i f f e r e n t i a l r ä k n i n g o c h h a n angifver a t t Mven Prings- heim p å m ö t e t i B r e s l a u 1904 y t t r a t sig i s a m m a r i k t n i n g . I s j ä l f v a v e r k e t å d a g a l ä g g e r h a n g e n o m c i t a t u r af g y m n a - s i a l l ä r a r e s k r i f n a l ä r o b ö c k e r s l å e n d e bevis p å r i k t i g h e t e n af sin u p p f a t t n i n g .

Å a n d r a s i d a n g r u n d a r sig s ä k e r l i g e n Studys u p p f a t t - n i n g p å hans k ä n n e d o m o m l ä r a r k a n d i d a t e r n a , d å de l ä m n a u n i v e r s i t e t e t . H a n t a g e r ej i b e t r a k t a n d e , a t t n ä r d e n unge l ä r a r e n b ö r j a r s i n v e r k s a m h e t , h a r h a n i s y n n e r h e t u n d e r de f ö r s t a l ä s å r e n e t t d u k t i g t arbete a t t k o m m a t i l l r ä t t a m e d sin u p p g i f t . D e n erfarenheten ha v i m a t e m a t i k l ä r a r e n o g h a f t l i t e t h v a r , d å den m a t e m a t i k , som bedrifves v i d u n i v e r - s i t e t e n , h i t t i l l s i c k e h a f t n å g o t m e d s k o l m a t e m a t i k e n a t t skaffa. A t t fel i l ä r o b ö c k e r b l i f v i t b e g å n g n a , ä r visserligen f a t a l t , m e n d e t d r ö j e r n o g ej l ä n g e f ö r r ä n d y l i k a u p p t ä c k a s o c h k o r r i g e r a s . E n v i k t i g sak är, a t t m a n har g o d t i l l g å n g p å l ä r o b ö c k e r , l ä m p a d e efter skolans b e h o f .

)

I Sverige har, s å v i d t j a g v e t , i n g a f a r h å g o r u t t a l a t s i n u a n t y d d r i k t n i n g , d å ö f v e r h u f v u d t a g e t från u n i v e r s i t e t s - m ä n n e n s sida i n g a y t t r a n d e n f ö r e l i g g a o f f e n t l i g g j o r d a , o c h l ä r a r n a n a t u r l i g t v i s ej s j ä l f v a v i l j a f ö r k l a r a sig m i n d r e k o m - p e t e n t a . D e n u t b i l d n i n g l e k t o r e r n a h i t t i l l s f å t t b o r g a r v ä l för, a t t de m e d t i l l r ä c k l i g förberedelse ä r o v u x n a den u p p g i f t , n y a u n d e r v i s n i n g s p l a n e n k r ä f v e r af d e m . S ä k e r t s k a l l o c k s å s ö r j a s för, a t t f o r d r i n g a r n a i den n y a l ä r a r e e x a m e n k o m m a a t t l ä m p a sig efter l ä r o v e r k e n s k r a f .

P å s t å e n d e t o m b r i s t a n d e k o m p e t e n s hos de n u v a r a n d e l ä r a r n a ä r för öfrigt ganska e n s t a k a . D e t beror m e d a l l sanno- l i k h e t p å en o r i k t i g u p p f a t t n i n g af den k u r s i d i f f e r e n t i a l - k a l k y l , som ä r föreslagen, s a m t af en o h å l l b a r u p p f a t t n i n g o m , h v a d d e t i n n e b ä r a t t p å s k o l s t a d i e t l ä m n a en v e t e n s k a p l i g u n d e r v i s n i n g . O m d e n saken y t t r a r sig Klein s å l u n d a :

)

1

) På svenska äro blott utkomna två för if rågavai ande ändamål af sedda handledningar nämligen: E . Hallgren, De första grunderna af läran om funk- tioner, deras derivator och integraler, Upsala, Almqvist & Wiksell, 1908;

samt 0. Josephson, Om begreppet derivata och dess användning för studiet af enkla funktioner, Växjö, Läroverksprogrammet 1909.

2

) Elementarmathematik etc. loc. cit.

» W i s s e n s c h a f t l i c h u n t e r r i c h t e n k a n n n u r heisen, den M e n s c h e n d a h i n b r i n g e n , dass er wissenschaftlich d e n k t , keineswegs aber i h m v o n A n f a n g an m i t einer k a l t e n , w i s s e n s c h a f t l i c h a u f g e p u t z t e n S y s t e m a t i k ins Gesicht s p r i n g e n . »

5-

I b ö r j a n af s i s t l i d n e v å r t e r m i n , d å n y a k u r s b e s t ä m m e l - serna, sedan y t t r a n d e n från o l i k a personer och en del ä m n e s - konferenser i n f o r d r a t s , b l i f v i t af Ö f v e r s t y r e l s e n u t a r b e t a d e , u t l y s t e s p å e n s k i l d t i n i t i a t i v e t t m ö t e för m a t e m a t i k l ä r a r n e i S t o c k h o l m . S y f t e t m e d n ä m n d a s a m m a n k o m s t v a r , s å s o m m ö t e t s sekreterare sedermera i Svenska D a g b l a d e t u p p l y s t e ,

» a t t l ä m n a tillfälle för de l ä r a r e , som i c k e af Ö f v e r s t y r e l s e n h ä r o m d i r e k t a n m o d a t s , a t t n u få y t t r a sig ö f v e r d e t n y a f ö r s l a g e t . »

D e t t a m ö t e , som beslöt a t t i c k e g ö r a n å g o t u t t a l a n d e v a r e sig i ena eller a n d r a r i k t n i n g e n , och d ä r e t t a l l m ä n t me- n i n g s u t b y t e i c k e k o m t i l l s t å n d , fattades sedermera af hr Meyer som e t t u t t r y c k för en s t o r m af o v i l j a m o t förslaget t i l l u n d e r v i s n i n g s p l a n i m a t e m a t i k .

A f r e d o g ö r e l s e r för l i k n a n d e diskussioner i t y s k a peda- g o g i s k a t i d s k r i f t e r f i n n e r m a n , a t t u n g e f ä r e n a h a n d a f e n o m e n d ä r g å i g e n . I^örst o m f a t t a s r e f o r m s t r ä f v a n d e n a t i l l synes a l l m ä n t . N ä r de s å b l i f v i t d e t a l j e r a d t u t a r b e t a d e , d å y p p a sig hos e t t f å t a l b e t ä n k l i g h e t e r . I b l a n d synas dessa k n a p - p a s t a l l v a r l i g t menade,, n ä r m a s t f ö r a n l e d d a af en k ä n d pe- dagogs o c h dennes a n h ä n g a r e s f ö r f ä k t a n d e af p r i o r i t e t s r ä t t , en i och för sig alldeles l i k g i l t i g f r å g a , a l l r a h ä l s t d å i n g e n v e l a t f r å n t a g a h o n o m d e n n a r ä t t . * )

') E . Brocke, Die Frage der Neugestaltung des mathematischen Unter-- richts lind die Strassburger Vorsehläge von 1895, I,eipzig, Teubner 1907, se- parat. Jfr. Bericht tiber einc in Basel veranstaltete Bespreehung etc., Zeit- schrift f. matli. und natur. Unterrieht, Bnd 39, 1908. Se ock iiber die Gestal- tung des niatheniatischen Unterrichts im Sinne der neueren Reformideen, föredrag vid en feriekurs i Göttingen påsken 1908 samt en redogörelse för däraf föranledd diskussion, där meddelande lämnats, att Max Simon protesterat mot hela reformrörelsen vid matematikerkongressen i Rom: »was gut däran sei, sei nicht neu und was neu sei, sei nicht gut»; Zeitschrift f. math. und naturw.

Unterrieht Bnd 39.

I T y s k l a n d förspörjes från s k o l m a n n e n k n a p p a s t någon o p p o s i t i o n m o t a t t införa differentialräkning i de högsta klasserna — j a g h a r endast sedt två personer göra invänd- n i n g a r och af d e m h a r d e n mest i n f l y t e l s e r i k e , en b e k a n t läroboksförfattare, sedermera g i f v i t e f t e r

) o c h k o m m i t t i l l f u l l t samförstånd m e d reformsträfvarna. D e t ser u t , som o m d e t k a p i t l e t r e d a n v o r e å n y o infördt v i d f l e r t a l e t läro- a n s t a l t e r

) — s o m b e k a n t p å b j ö d s dess b o r t t a g a n d e på 1880-talet.

D ä r e m o t råder på en d e l håll missnöje öfver, a t t det u t a r b e t a d e förslaget t i l l läroplan, »Meranplanen», nästan u t e s l u t a n d e t a g i t hänsyn t i l l den helklassiska l i n j e n (således m e d g r e k i s k a )

) D e r e a l a a n s t a l t e r n a s kurser s k u l l e endast u t g ö r a en d j u p a r e u t v i d g n i n g af dessa. E n m i s s u p p f a t t n i n g råder flerstädes såsom förut i a n n a t s a m m a n h a n g omför- m ä l t s , o m själfva kärnpunkten, a t t d i f f e r e n t i a l k a l k y l e n s k a l l o r g a n i s k t i n a r b e t a s i den öfriga k u r s e n , i d e t a t t den s k a l l utgöra en följdriktig u t b i l d n i n g af den g r a f i s k a f r a m - ställningen af två storheters f u n k t i o n e l l a beroende af h v a r - a n d r a . D e n n a m i s s u p p f a t t n i n g gör sig o c k gällande i läro- böcker. I förordet t i l l en af dessa y t t r a s u t t r y c k l i g e n , a t t d e n är afsedd a t t användas »sedan den a n a l y t i s k a g e o m e t r i e n och e l e m e n t e n af d e n lägre a n a l y s e n behandlats.»*)

Ä f v e n beträffande d e t s t a d i u m , å h v i l k e t den g r a f i s k a framställningen s k a l l inträda, märkes m e n i n g s s k i l j a k t i g h e t . På s o m l i g a håll h a r m a n f u n n i t , a t t m a n å n e d e r s k o l a n bör s t a n n a m e d k u r v o r k o n s t r u e r a d e på g r u n d v a l af s t a t i s t i s k t m a t e r i a l , en m e n i n g , s o m ock hade s y m p a t i e r af t a l a r e v i d m ö t e t i F a l u n . I de klasser, som s v a r a m o t vårt g y m n a s i u m , bör d o c k g r a f i s k framställning af k u r v o r , definierade af e k v a t i o n e r , r e d a n från början förekomma. Å a n d r a s i d a n v i l j a s o m l i g a a t t början m e d g r a f i s k framställning — n a t u r -

') Klein-Schitnmach, loc. cit.

") Jfr Silzung der Berliner Mathematisehen Gesellschaft von 20 Januar 1909, Zeitschrift fiir luath. und naturw. Unterricht, Bnd 40, 1909.

3

) Bericht iiber die XV. Hauptversammlung des Vereins zur Förderung des Unterrichts in der Mathematik und der Naturwissensehaften, Zeitschrift f. math. uud naturw. Unterricht, Bnd 37, 1906.

4

) R. Schröder, Die Anfangsgriinde der Differential- und Integralrechnung,

Leipzig, Teubner, 1905.

l i g t v i s i c k e af algebraiska f u n k t i o n e r eller t i l l en början ens i f o r m af k u r v o r , u t a n g e n o m färgläggning af c i r k e l s e k t o r e r t i l l o l i k a utsträckning, u p p r i t n i n g och målning af rektangulära remsor t i l l o l i k a s t o r l e k , färgläggning af kartskisser m e d o l i k a n y a n s e r etc. — bör inträda m y c k e t t i d i g t .

) Så y r k a r d e n b e k a n t e s k o l m a n n e n , f y s i k e r n Grimsehl i H a m b u r g , på, a t t början s k a l l ske i första klassen, där den möter lärjungen i l ä r o b ö c k e r i geografi. Likaså k l a g a r Goldziher i B u d a p e s t

) öfver, a t t i d e n f r a n s k a k u r s p l a n e n o c h likaså i d e t t y s k a förslaget t i l l k u r s p l a n först å m e l l a n s t a d i e t lämnas tillfälle a t t ställa f u n k t i o n s b e g r e p p e t o c h d e n g r a f i s k a framställ- n i n g e n i u n d e r v i s n i n g e n s m e d e l p u n k t . R e f o r m e n bör en- l i g t hans m e n i n g tränga n e d t i l l b o t t n e n . I anförda u p p s a t s redogör Goldziher i d e t a l j , h u r h a n v e r k l i g e n p r a k t i s e r a t saken i a n d r a o c h t r e d j e klasserna de t v å sista åren. H a n genomgår därvid en hel del g r a f i s k a metoder, för a t t t i l l sist k o m m a f r a m t i l l k u r v o r u t a r b e t a d e på g r u n d v a l af s t a t i s - t i s k t m a t e r i a l . H a n försäkrar, a t t lärjungarne hade s t o r t n ö j e af denna u n d e r v i s n i n g .

Säkert är, a t t alla anse, a t t på det s t a d i u m , s o m m o t - s v a r a r r i n g i , äro lärjungarna f u l l t m o g n a för g r a f i s k f r a m - ställning af d e n a r t , s o m s v a r a r m o t bestämmelserna i sven- s k a u n d e r v i s n i n g s p l a n e n . I F r a n k r i k e , där k u r s p l a n e n af 1902 v a r i t r e f o r m e r a n d e för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , ingå dessa saker r e d a n i den klass, s o m svarar m o t vår f e m t e , och stadgeändringarna af 1905, g e n o m h v i l k a m a t e m a t i k e n er- hållit n å g o t ö k a d t t i m a n t a l , har medfört en förskjutning n e d å t , så a t t i nyssnämnda klass ingår r e d a n k o n s t r u k t i o n af u t t r y c k af f o r m e n

— \ •

.1

x + b'

D å m e n i n g s s k i l j a k t i g h e t e n i v i k t i g a detaljer äfven b l a n d r e f o r m e n s anhängare sålunda är så s t o r s a m t äfven en o c h a n n a n motståndare t i l l d e n s a m m a finnes, är det lätt förklar- l i g t , a t t m a n i Preussen på s o m l i g a håll är rädd för, a t t ge- n o m e t t regeringspåbud M e r a n p l a n e n s k a l l o m e d e l b a r t på- '.) I dylika framställningars ofantliga nytta får man en klar inblick i det öfverlägsna verket: Sveriges jordbruk vid 1900-talets början af Flacli, Juhlin- Dannfelt och Sundbärg, Göteborg, r909.

-) Die Rechenunterricht auf der Unterstufe der höheren Schulen, Zeit-

schrift f. math. und naturw. Unterrieht Bnd 39, 1908.

bjudas t i l l efterrättelse. M a n påpekar, a t t d e t i c k e v a r i t l y c k l i g t , a t t i F r a n k r i k e regeringen t a g i t i n i t i a t i v e t t i l l re- f o r m e n o c h a t t på g r u n d af en kommittés utlåtande dess för- slag u t a n lärarnes d i s k u s s i o n påbjudits. Särskildt lär d e t t a tillvägagångssätt i c k e v a r i t fördelaktigt för d e n helklassiska l i n j e n , och d e t är denna b i l d n i n g s l i n j e r e f o r m e n i T y s k l a n d speciellt gäller. D e t t a är heller i c k e u n d e r l i g t , o m m a n be- s i n n a r , a t t i F r a n k r i k e s h u m a n i s t i s k a g y m n a s i e r t i m a n t a l e t p e r v e c k a i högsta klassen är 2 , och k u r s e n sträcker sig så långt, a t t d e n o m f a t t a r d i f f e r e n t i a l k a l k y l e n s element.

Dedande personer i Preussen, där s o m b e k a n t rörelsen u t g å t t från u n i v e r s i t e t s - o c h s k o l m a n försäkra e m e l l e r t i d , a t t n å g o t l i k n a n d e där i c k e behöfver befaras. D e n r e d a n n u gällande u n d e r v i s n i n g s p l a n e n är så b r e d t a f f a t t a d , a t t re- f o r m e r n a k u n n a däri i n r y m m a s u t a n några k a t e g o r i s k a rege- ringsbestämmelser. I e n s k i l d a f a l l k a n d e t t a visserligen leda t i l l s l i t n i n g a r , där i n o m s a m m a läroanstalt m e n i n g a r n a b l a n d matematiklärarna äro delade. » M y c k e t bättre än e t t v å l d s a m t genomförande af r e f o r m e n är, a t t a l l t efter o l i k a öfvertygelse, s o m l i g a förblifva v i d d e t g a m l a , m e n a n d r a slå i n på den n y a r i k t n i n g e n , o c h må m a n så t i d efter a n n a n rådgöra o m sina e r f a r e n h e t e r . »

)

D e n utgång frågan fått i Sverige i n t a g e r en förmedlande ställning så t i l l v i d a , a t t d e t visserligen betonas i unclervis- n i n g s p l a n e n , a t t f u n k t i o n s b e g r e p p e t s k a l l v a r a e t t v i k t i g t m o m e n t i u n d e r v i s n i n g e n , m e n i c k e a t t d e t s k a l l v a r a d e t c e n t r a l a . I a l l a händelser k a n d e t t a i s i n o m t i d ske, t r o t s de små k u r s e r n a , s o m väl omöjligen k u n n a afskräcka refor- mens motståndare.

Den öfverallt l i k a r t a d e s t u d e n t e x a m e n n ö d v ä n d i g g ö r detaljerade bestämmelser. M e d k ä n n e d o m o m förhållandena h i t t i l l s , då de m a t e m a t i s k a s t u d e n t s k r i f n i n g a r n a mången gång v a r i t sådana, a t t de k u n s k a p e r , klassen 6 : 2 b i b r i n g a t , v a r i t tillräckliga för a t t bestå p r o f v e t , behöfver m a n näppe- l i g e n befara, a t t f o r d r i n g a r n a skola b l i f v a . så höga, a t t äfven de lärare, s o m ej ha sinne för o c h e n d a s t m o t v i l l i g t foga sig i de n y a förhållandena, i c k e skola känna sig tillfredsställda.

O m det således också från vissa s y n p u n k t e r — m e n m a n

') Klein, Anförande vid förut omtalade diskussion 1908 i Göttingen.

m å d o c k besinna a t t h ä r är f r å g a o m h ä n s y n t i l l en m y c k e t l i t e n m i n o r i t e t — ä r a t t beklaga, a t t den n u p å b j u d n a u n d e r - v i s n i n g s p l a n e n i c k e k u n n a t s k r i f v a s s å b r e d t , a t t d e n even- t u e l l t t i l l å t i t e t t b i b e h å l l a n d e af d e t g a m l a u n d e r v i s n i n g s - s ä t t e t , s å har m a n m e d de n u g i f n a s n ä f v a b e s t ä m m e l s e r n a v u n n i t , dels a t t den af a l l a , å t m i n s t o n e e n l i g t h v a d d i s k u s - sionen i F a l u n gaf v i d handen, o m t y c k t a o r g a n i s a t i o n e n m e d en l i k f o r m i g o c h p å n u v a r a n d e s ä t t k o n t r o l l e r a d s t u - d e n t e x a m e n , k u n n a t b i b e h å l l a s , dels o c k s å , a t t i n g e n som h ä l s t ö f v e r a n s t r ä n g n i n g för en gosse m e d g e n o m s n i t t s b e - gåfning b e h ö f v e r i f r å g a k o m m a , å t m i n s t o n e för m a t e m a t i k - k u r s e r n a s s k u l l .

6.

U n d e r de sista å r t i o n d e n a har d e t i T y s k l a n d r å d t en s t r ä f v a n a t t s t ä l l a d e n r e n a m a t e m a t i k e n i i n t i m t s a m b a n d m e d t i l l ä m p n i n g a r n a . D e n n a r i k t n i n g s f ö r k ä m p a r h a f v a

i s y n n e r h e t l y c k a t s g ö r a sig h ö r d a , d å det g ä l l d e a t t fast- s t ä l l a f o r d r i n g a r n a i ä m b e t s e x a m e n för b l i f v a n d e l ä r a r e , h v i l k a f o r d r i n g a r ä r o f o r m u l e r a d e i »Ordnung der P r i i f u n g f i k das F e h r a m t an h ö h e r e n S c h u l e n » af 1898. D e n s t o r a u n d e r v i s n i n g s k o m m i s s i o n e n , t i l l s a t t af l ä k a r e och n a t u r - forskare, har j ä m v ä l t a g i t d e n f r å g a n o m h a n d o c h f u n n i t a t t de g ä l l a n d e b e s t ä m m e l s e r n a b ö r a i vissa p u n k t e r r e v i - deras. D e n g r u n d p r i n c i p e n s t å r d o c k fast: h v a r j e m a t e m a - t i k l ä r a r e s k a l l k o m b i n e r a e x a m e n i ren m a t e m a t i k m e d exa- m e n i tillämpad m a t e m a t i k . I d e t t a senare ä m n e i n g å r de- s k r i p t i v g e o m e t r i , e l e m e n t ä r m e k a n i k m e d g r a f i s k a o c h n u - m e r i s k a metoder, t e o r i e n för m ä t n i n g a r k o m b i n e r a d m e d s a n n o l i k h e t s r ä k n i n g , a s t r o n o m i o c h geofysik. D ä r t i l l k o m - m e r t e o r e t i s k f y s i k i n ä r a a n s l u t n i n g t i l l e x p e r i m e n t a l f y s i k .

)

M a n t i l l s k r i f v e r t i l l en del d e n g a m l a l ä r a r u t b i l d n i n g e n , d å m a n endast behöfde s t u d e r a d e n »rena» m a t e m a t i k e n för a t t v i n n a l ä r a r k o m p e t e n s i ä m n e t , d e t s t i l l e s t å n d , h v a r i den m a t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n r å k a t i j ä m f ö r e l s e m e d a n d r a s k o l ä m n e n . M a t e m a t i k e n har s o m s k o l ä m n e en far- l i g k o n k u r r e n t i f y s i k e n D e t t a senare ä m n e har u n d e r

') A. Gutzmer, Die Tätigkeit der Unterrichtskommission der Gesellschaft

deutscher Naturforscher und Ärzte, Leipzig und Berlin, Teubner, 1908.

h i t t i l l s rådande förhållanden t i l l d r a g i t sig d e t större i n t r e s - set hos både lärare och lärjungar o c h d e t t a t i l l väsentlig d e l ' på g r u n d af d e t u p p s v i n g f y s i k e n g j o r t g e n o m oupphörligen n y a upptäckter, som g r i p a d i r e k t i n i d e t d a g l i g a l i f v e t . När d e t gäller, a t t v i d f y s i k u n d e r v i s n i n g e n i s k o l a n följa vetenskapens framsteg, då s k y r läraren i n g e n m ö d a för a t t m e d u p p o f f r i n g af t i d , k r a f t e r , för a t t ej t a l a o m p a n g a r , söka göra lärjungarna förtrogna m e d n y a fysiska upptäckter, s o m t i d n i n g a r n a o m t a l a .

) O f t a föredragas de i u n d e r v i s n i n g e n , i n n a n de k o m m i t i n i läroböckerna. I n t e t u n d e r då, a t t f y s i k u n d e r v i s n i n g e n v i n n e r l e j o n p a r t e n af intresset hos både lärare och lärjungar, när m a n besinnar, a t t m a t e m a t i k u n d e r - v i s n i n g e n v a r i t e t t e v i g t e n a h a n d a , s a m m a f o r m l e r o c h s a t - ser från släkte t i l l släkte, i d e t stora hela oberörda af sista år- h u n d r a d e t s f r a m s t e g !

D e t v ä c k t e därför för flere år sedan e t t s t o r t b i f a l l , när Kranier framställde s i t t förslag, a t t i s k o l u n d e r v i s n i n g e n m a t e m a t i k e n endast s k u l l e b e t r a k t a s s o m en hjälpveten- skap för f y s i k e n . D e n n a t a n k e h a r på sätt o c h v i s å n y o g å t t igen. V i d diskussionen o m , a t t m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n b o r d e reformeras g e n o m a t t däri i n r y m m a s f u n k t i o n s b e - greppet i dess g e o m e t r i s k a f o r m s a m t i a n s l u t n i n g därtill begreppen d e r i v a t a o c h i n t e g r a l , har det, h v a r o m e x e m p e l v i s Grimsehl u p p l y s e r ,

) v a r i t a l l v a r l i g t på t a l a t t öfverföra alla dessa n y h e t e r t i l l f y s i k u n d e r v i s n i n g e n . Så l i t e n t i l l t r o hyses t i l l förverkligandet af r e f o r m e r i n o m m a t e m a t i k u n d e r - visningens innehåll o c h m e t o d i k , o c h d e t t a v i n n e r , såsom framgår, af d e t o f v a n anförda, sin förklaring, när m a n ser saken h i s t o r i s k t .

N u är d e t sannt, a t t de m a t e m a t i s k a f r a m s t e g e n i de flesta f a l l i c k e äga e t t sådant a k t u e l l t intresse som n a t u r - vetenskapernas, • särskildt fysikens o c h kemiens, o c h a t t d e t därför är alldeles i sin o r d n i n g , a t t det dröjer en ganska r u n d - l i g t i d , i n n a n d e n n a v e t e n s k a p s f r a m s t e g k u n n a göra sig gällande i s k o l o r n a . Klein k a l l a r d e t t a skämtsamt en viss ') P. Weinmeister, TJnendlichkeitsrechnung in der Schule, Zeitschrift f

math. und naturw. Unterrieht, Bnd 3S, 1907.

2

) Berättelse öfver I5:de årsmötet inom der Verein zur Förderung des~

Unterrichts in der Math. und den Naturw., Zeitschrift f.den math. und naturw..

Unterrieht, Bnd 37, 190C.