Tentamen i Numerik Amneskod ¨ C0002M Tentamensdatum 2009-03-25
Totala antalet uppgifter: 7 Skrivtid 09.00 – 14.00
L¨ arare: Ove Edlund
Jourhavande l¨ arare: Per Bergstr¨ om Tel: 070-2607893
Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till //www.ltu.se/studentwebben.
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare. Tabellsamling i matematik, t.ex. Beta eller Handbook of Mathematics and Computational Science
Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨ or matematik
1 (3)
1 (a) Best¨ am L, U och P d˚ a LU-faktorisering med partiell piv˚ atering g¨ ors av f¨ oljande matris
A =
1 1 −1 1 −2 −2
−2 2 2
(3 p)
(b) Anv¨ and din faktorisering ovan f¨ or att l¨ osa ek- vationssystemet Ax = [ 5 1 − 2 ]
T(2 p)
(a) Find L, U and P when an LU-factorization with partial pivoting is made of the following matrix
A =
1 1 −1 1 −2 −2
−2 2 2
(3 p)
(b) Use your factorization above to solve the system of equations Ax = [ 5 1 − 2 ]
T(2 p)
2 Felf¨ or¨ andringen under en Newtoniteration kan beskri- vas av f¨ oljande uttryck
e
k+1= 1 2
f
00(ξ) f
0(x
k) e
2k.
Beskriv variablerna, och h¨ arled uttrycket. (3 p)
The chande in the error during one Newton iteration may be described by the following expression
e
k+1= 1 2
f
00(ξ) f
0(x
k) e
2k.
Describe the variables, and derive the expression.
(3 p)
3 Matrisen Z har QR-faktorisering
Q = 1 2
1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1
R =
2 4 −1 0 2 −1 0 0 2
Anv¨ and QR-faktoriseringen f¨ or att finna det a som l¨ oser
min
aky − Zak
2givet att y = 7 9 2 4
T. (3 p)
The matrix Z has QR-factorization
Q = 1 2
1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1
R =
2 4 −1 0 2 −1 0 0 2
Use this QR-factorization to find the a that solves min
aky − Zak
2when y = 7 9 2 4
T. (3 p)
4 Givet f¨ oljande datapunkter x
i0 1 3 4 y
i3 2 2 4
Approximera y f¨ or x = 2 genom att anv¨ anda ett Newton-interpolations-polynom. (3 p)
Given the following set of data points x
i0 1 3 4 y
i3 2 2 4
Approximate y for x = 2 by using a Newton interpo-
lation polynomial. (3 p)
5 Approximera f¨ oljande integral
4
Z
0
e
−√x
dx
(a) Med Simpsons formel f¨ or n = 2 och n = 4.
(2 p)
(b) Med Richardsson extrapolation av resultaten i (a). H¨ arled extrapolationsformeln. (2 p) (c) Med en 3-punkters Gauss-Legendre-formel.
Tips: F¨ or R
1−1
f (x) dx v¨ aljs punkterna x
isom [−p3/5, 0, p3/5] och vikterna c
isom [5/9, 8/9, 5/9]. (2 p)
Approximate the following integral
4
Z
0
e
−√x
dx
(a) With Simpson’s formula for n = 2 and n = 4.
(2 p)
(b) With Richardsson extrapolation of the results in (a). Derive the extrapolation formula. (2 p) (c) With a 3-point Gauss-Legendre formula.
Hint : For R
1−1