• No results found

Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till //www.ltu.se/studentwebben.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till //www.ltu.se/studentwebben."

Copied!
13
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Tentamen i Numerik Amneskod ¨ C0002M Tentamensdatum 2009-03-25

Totala antalet uppgifter: 7 Skrivtid 09.00 – 14.00

L¨ arare: Ove Edlund

Jourhavande l¨ arare: Per Bergstr¨ om Tel: 070-2607893

Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. F¨ or att se n¨ ar den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut, g˚ a till //www.ltu.se/studentwebben.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare. Tabellsamling i matematik, t.ex. Beta eller Handbook of Mathematics and Computational Science

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

(2)

1 (a) Best¨ am L, U och P d˚ a LU-faktorisering med partiell piv˚ atering g¨ ors av f¨ oljande matris

A =

1 1 −1 1 −2 −2

−2 2 2

 (3 p)

(b) Anv¨ and din faktorisering ovan f¨ or att l¨ osa ek- vationssystemet Ax = [ 5 1 − 2 ]

T

(2 p)

(a) Find L, U and P when an LU-factorization with partial pivoting is made of the following matrix

A =

1 1 −1 1 −2 −2

−2 2 2

(3 p)

(b) Use your factorization above to solve the system of equations Ax = [ 5 1 − 2 ]

T

(2 p)

2 Felf¨ or¨ andringen under en Newtoniteration kan beskri- vas av f¨ oljande uttryck

e

k+1

= 1 2

f

00

(ξ) f

0

(x

k

) e

2k

.

Beskriv variablerna, och h¨ arled uttrycket. (3 p)

The chande in the error during one Newton iteration may be described by the following expression

e

k+1

= 1 2

f

00

(ξ) f

0

(x

k

) e

2k

.

Describe the variables, and derive the expression.

(3 p)

3 Matrisen Z har QR-faktorisering

Q = 1 2

1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1

R =

2 4 −1 0 2 −1 0 0 2

Anv¨ and QR-faktoriseringen f¨ or att finna det a som l¨ oser

min

a

ky − Zak

2

givet att y =  7 9 2 4 

T

. (3 p)

The matrix Z has QR-factorization

Q = 1 2

1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1

R =

2 4 −1 0 2 −1 0 0 2

Use this QR-factorization to find the a that solves min

a

ky − Zak

2

when y =  7 9 2 4 

T

. (3 p)

4 Givet f¨ oljande datapunkter x

i

0 1 3 4 y

i

3 2 2 4

Approximera y f¨ or x = 2 genom att anv¨ anda ett Newton-interpolations-polynom. (3 p)

Given the following set of data points x

i

0 1 3 4 y

i

3 2 2 4

Approximate y for x = 2 by using a Newton interpo-

lation polynomial. (3 p)

5 Approximera f¨ oljande integral

4

Z

0

e

√x

dx

(a) Med Simpsons formel f¨ or n = 2 och n = 4.

(2 p)

(b) Med Richardsson extrapolation av resultaten i (a). H¨ arled extrapolationsformeln. (2 p) (c) Med en 3-punkters Gauss-Legendre-formel.

Tips: F¨ or R

1

−1

f (x) dx v¨ aljs punkterna x

i

som [−p3/5, 0, p3/5] och vikterna c

i

som [5/9, 8/9, 5/9]. (2 p)

Approximate the following integral

4

Z

0

e

√x

dx

(a) With Simpson’s formula for n = 2 and n = 4.

(2 p)

(b) With Richardsson extrapolation of the results in (a). Derive the extrapolation formula. (2 p) (c) With a 3-point Gauss-Legendre formula.

Hint : For R

1

−1

f (x) dx the points x

i

are cho- sen as [−p3/5, 0, p3/5] and the weights c

i

as [5/9, 8/9, 5/9]. (2 p)

2 (3)

(3)

6 H¨ arled hur f (x), f (x + h) och f (x + 2 h) ska kom- bineras f¨ or att f˚ a en O(h

2

) approximation av f

0

(x).

(5 p)

Make a derivation of how to combine f (x), f (x + h) and f (x+2 h) to get an O(h

2

) approximation of f

0

(x).

(5 p)

7 Anv¨ and finita differensapproximation f¨ or att l¨ osa randv¨ ardesproblemet

y

00

+ 10 x

2

y

0

− y = e

x

, y(0) = 1, y(2) = 1 G¨ or en generell beskrivning av det linj¨ ara ekvations- system du f˚ ar d˚ a x-axeln delas in i n st intervall.

Ekvationssystemet ska du inte l¨ osa. (5 p)

Use a finite difference approximation to solve the boundary value problem

y

00

+ 10 x

2

y

0

− y = e

x

, y(0) = 1, y(2) = 1 Make a general description of the system of linear equations you get, when the x-axis is divided into n intevals. Do not solve the system of equations. (5 p)

3 (3)

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)

References

Related documents

Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan