Mechanický kalkulátor Nisa, jeho historie, konstrukce a užití Bakalářská práce

Mechanický kalkulátor Nisa, jeho historie, konstrukce a užití

Bakalářská práce

Studijní program: B1101 Matematika

Studijní obory: Matematika se zaměřením na vzdělávání Informatika se zaměřením na vzdělávání

Autor práce: Kateřina Čiháčková

Vedoucí práce: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Liberec 2020

Zadání bakalářské práce

Mechanický kalkulátor Nisa, jeho historie, konstrukce a užití

Jméno a příjmení: Kateřina Čiháčková Osobní číslo: P16000166

Studijní program: B1101 Matematika

Studijní obory: Matematika se zaměřením na vzdělávání Informatika se zaměřením na vzdělávání Zadávající katedra: Katedra matematiky a didaktiky matematiky Akademický rok: 2017/2018

Zásady pro vypracování:

Potřeba provádět velké množství matematických výpočtů, resp. elementárních operací podobného typu vzniká ruku v ruce s rozvojem matematiky a matematizace okolního světa. Přelom konec devatenáctého a začátek dvacátého století přinesl, ještě před nástupem elektronických počítačů, několik efektivních postupů, přesněji řečeno konstrukcí, jak takové výpočty zvládat čistě

mechanickou cestou, později doplněnou elektrickým pohonem.

Do historie libereckého regionu se v tomto ohledu nejvýrazněji zapsal podnik Nisa vyrábějící převážně v druhé polovině 20. století stejnojmenné mechanické a elektromechanické kalkulátory.

Cílem této bakalářské práce je zmapovat historii výroby jako takové, evoluci jednotlivých variant a typů kalkulátoru (mj. právě i z pohledu konstrukce funkčních prvků) a nakonec také možnosti jejich využití z pohledu ryze matematického. Mechanické kalkulátory zvládají čtyři základní aritmetické operace: sčítání, odečítání, násobení a přibližné dělení (resp. dělení se zbytkem), práce zde čtenáře seznámí zejména s tím, jak na takovém stroji provést výpočet druhé odmocniny.

Požadavky: Tato bakalářská práce zasahuje do oblastí elementární výpočetní matematiky, algoritmizace a informatiky, ale také regionální historie a okrajově též konstrukce mechanizmů.

Student by se měl orientovat právě v základech matematiky a informatiky, zájem o historii je výhodou. Práce by měla být psaná v LaTeXu, bude-li to v možnostech studenta.

Rozsah grafických prací:

Rozsah pracovní zprávy:

Forma zpracování práce: tištěná/elektronická

Jazyk práce: Čeština

Seznam odborné literatury:

V. Elznic: Počítacie stroje v praxi, Slovenské vydavateľstvo technickej literatúry, SVTL, Bratislava, 1958.

N. J. Higham: Accuracy and stability of numerical algorithms. Second edition, SIAM, Philadelphia, 2002.

J. Klír: Matematické stroje, edice Technický výběr do kapsy, svazek 31, Práce, Praha, 1961.

K. Lenz: Die Rechenmaschinen und das Maschinenrechnen, edice Aus Natur und Geisteswelt, Bándchen 490, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1915.

K. Lenz: Die Rechenmaschinen und das Maschinenrechnen, Springer Fachmedien, Wiesbaden, 1924.

http://www.springer.com/gp/book/9783663155041 https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-663-16076-2

E. Martin: The Calculating Machines (Die Rechnenmaschinen), Their History and Development (transl. P. A. Kidwell, M. R. Williams), Volume 16 in the Charles Babbage Institute Reprint Series for the History of Computing, The MIT Press, Cambridge MA and London, and Tomash Publishers, Los Angeles and San Francisco, 1992.

V. Mrázek: Matematické stroje, edice Příruční učební texty – kurs technických znalostí, svazek 92, Státní nakladatelství technické lieratury, SNTL, Praha, 1964.

W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery: Numerical recepies in C++. The arto of scientific omputing. Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 2005.

V. Ryšavý: O počítacích strojích, Jednota československých matematicků a fysiků v Praze, Praha 1928.

Rechenmaschinen Illustrated http://www.rechenmaschinen-illustrated.com/

Rechnerlexikon http://www.rechnerlexikon.de/artikel/Hauptseite

John Wolff’s Web Museum, Calculating Machines http://www.johnwolff.id.au/calculators/index.htm Mechanická matematika http://user.mendelu.cz/marik/mechmat/

Mechanical Caluclators http://w-hasselo.nl/mechn/

Vedoucí práce: doc. Ing. Martin Plešinger, Ph.D.

Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Datum zadání práce: 5. května 2018 Předpokládaný termín odevzdání: 18. dubna 2019

prof. RNDr. Jan Picek, CSc.

děkan

L.S.

doc. RNDr. Jaroslav Mlýnek, CSc.

vedoucí katedry

Prohlášení

Prohlašuji, že svou bakalářskou práci jsem vypracovala samostatně jako původní dílo s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s ve- doucím mé bakalářské práce a konzultantem.

Jsem si vědoma toho, že na mou bakalářskou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo.

Beru na vědomí, že Technická univerzita v Liberci nezasahuje do mých au- torských práv užitím mé bakalářské práce pro vnitřní potřebu Technické univerzity v Liberci.

Užiji-li bakalářskou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si vědoma povinnosti informovat o této skutečnosti Technickou univerzi- tu v Liberci; v tomto případě má Technická univerzita v Liberci právo ode mne požadovat úhradu nákladů, které vynaložila na vytvoření díla, až do jejich skutečné výše.

Současně čestně prohlašuji, že text elektronické podoby práce vložený do IS/STAG se shoduje s textem tištěné podoby práce.

Beru na vědomí, že má bakalářská práce bude zveřejněna Technickou uni- verzitou v Liberci v souladu s § 47b zákona č. 111/1998 Sb., o vysokých školách a o změně a doplnění dalších zákonů (zákon o vysokých školách), ve znění pozdějších předpisů.

Jsem si vědoma následků, které podle zákona o vysokých školách mohou vyplývat z porušení tohoto prohlášení.

11. července 2020 Kateřina Čiháčková

Anotace

Tato pr´ace se vˇenuje (elektro)mechanick´ym kalkul´ator˚um znaˇcky Nisa, kter´e se ve 20. stolet´ı vyr´abˇely na Liberecku. Pr´ace obsahuje dvˇe ˇc´asti. V prvn´ı se podrobnˇeji vˇenujeme numerick´ym v´ypoˇct˚um, kter´e lze na kalkul´atorech realizovat. Kromˇe kla- sick´eho sˇc´ıt´an´ı, odeˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı a dˇelen´ı se zbytkem, kter´e jsou trivi´aln´ı, se vˇenujeme hlavnˇe numerick´emu v´ypoˇctu odmocniny z pˇrirozen´eho, resp. kladn´eho racion´aln´ıho ˇc´ısla. Podrobnˇe vyloˇz´ıme, jak jednotliv´e numerick´e metody funguj´ı, jak spolu souvisej´ı a vybereme metodu, kter´a je pro v´ypoˇcet na jednoduch´em kalkul´atoru nejvhodnˇejˇs´ı.

Ve druh´e ˇc´asti pr´ace se struˇcnˇe vˇenujeme historii v´yroby. Pop´ıˇseme tˇri odliˇsn´e varianty konstrukc´ı v´ypoˇcetn´ıho mechanizmu, kter´e se n´am podaˇrilo dohledat. D´ale se pak v r´amci jednotliv´ych konstrukˇcn´ıch variant soustˇred´ıme na jednotliv´e modely, modelov´e ˇrady, barevn´e varianty atd., kter´e se zde v pr˚ubˇehu let vyr´abˇely.

Kl´ıˇ cov´ a slova:

numerick´y v´ypoˇcet; druh´a odmocnina; babylonsk´a metoda; Newtonova metoda; Ta- ylor˚uv polynom; (elektro)mechanick´y kalkul´ator; kalkul´ator Nisa; v´yroba na Libe- recku

Abstract

This work is focused to (electro)mechanical calculators Nisa that were produced throughout the 20th century in Liberec region. The work consists of two parts. To first part focused in detail to numerical calculator, that are applicable on such ca- lulcators. With the exception of trivial calulations, such as addition, subtraction, multiplication and division with remainders, we focus mainly on the numerical me- thods for the calculators the square-root of a natural, or positive rational number.

We explain in detail how these methods work, how they relate to each other, and finally we propose the one, which fits the best for such simple calulator.

In the other part, we briefly go through the history of the production. We de- scribe three construction variants of the computaional mechanism, that we were able to identify. Further, we show which models, model lines, color variants, etc.

were produced within the individual construction variant throughout the years.

Key words:

numerical computtion; square-root; Babylonian method; Newton’s method; Taylor’s polynomial; (electro)mechanical calculator; calculator Nisa; industry in Liberec re- gion

Podˇ ekov´ an´ı

Chtˇela bych podˇekovat doc. Ing. Martinu Pleˇsingerovi Ph.D. za veden´ı m´e bakal´aˇrsk´e pr´ace, trpˇelivost a ochotu, cenn´e rady a odborn´y dohled.

Obsah

Anotace 5

Abstract 6

Seznam obr´azk˚u 10

Seznam tabulek 11

Pouˇzit´e znaˇcen´ı a zkratky 12

Uvod´ 13

1 Element´arn´ı v´ypoˇcty na mechanick´ych kalkul´atorech 15

1.1 Sˇc´ıt´an´ı a odeˇc´ıt´an´ı . . . 15

1.2 N´asoben´ı a dˇelen´ı se zbytkem . . . 16

2 Metody v´ypoˇctu druh´e odmocniny pˇrirozen´eho ˇc´ısla 18 2.1 Iteraˇcn´ı metody v´ypoˇctu . . . 18

2.2 Babylonsk´a metoda . . . 19

2.2.1 Horn´ı odhad . . . 20

2.2.2 Monotonie posloupnosti {aⁿ} . . . 21

2.2.3 Limita posloupnosti {aⁿ} . . . 23

2.2.4 Algoritmus . . . 23

2.3 Newtonova metoda teˇcen . . . 24

2.3.1 Konstrukce teˇcny a pˇribliˇzn´eho ˇreˇsen´ı . . . 25

2.3.2 Iteraˇcn´ı sch´ema . . . 25

2.3.3 Nalezen´ı odmocniny pomoc´ı Newtonovy metody. . . 26

2.4 Taylorova metoda . . . 26

2.4.1 Taylorova metoda prvn´ıho stupnˇe pro v´ypoˇcet odmocniny . . . 28

2.4.2 Newtonova metoda a metoda vyuˇz´ıvaj´ıc´ı Taylorova polynomu prvn´ıho stupnˇe pro obecnou funkci f(x) . . . 29

2.4.3 Taylorova metoda druh´eho stupnˇe pro v´ypoˇcet odmocniny . . 30

2.4.4 Taylorova metoda k-t´eho stupnˇe pro v´ypoˇcet odmocniny . . . 32

2.5 Bakhshaliho metoda . . . 33

2.6 Metoda ˇretˇezov´ych zlomk˚u . . . 35

2.6.1 Re´aln´a ˇc´ısla a ˇretˇezov´e zlomky . . . 36

2.6.2 Sbl´ıˇzen´e zlomky . . . 37

2.6.3 Konstrukce ˇretˇezov´eho zlomku pro√ s. . . 38

2.7 Algoritmus postupn´eho v´ypoˇctu druh´e odmocniny . . . 40

2.7.1 Z´akladn´ı princip . . . 42

2.7.2 Praktick´y v´ypoˇcet . . . 42

3 Kalkul´atory Nisa a jejich v´yroba v Proseˇci nad Nisou – historick´e pozn´amky 46 3.1 Historie v´yroby pˇredch´azej´ıc´ı kalkul´ator˚um . . . 46

3.2 Struˇcn´a historie v´yroby kalkul´ator˚u Nisa. . . 47

4 Katalog dohledan´ych (elektro)mechanick´ych kalkul´ator˚u Nisa 48 4.1 Kalkul´atory Odhnerova typu – Nisa typ P . . . 49

4.2 Kalkul´atory s vahadly – Nisa typ C . . . 50

4.3 Kalkul´atory s kl´avesnic´ı a Leibnitzova kola – Nisa typ M a typov´e ˇrady K a PK . . . 51

4.3.1 Nisa typ M . . . 52

4.3.2 Nisa typ K . . . 53

4.3.3 Nisa typ K1 a PK1 (pravdˇepodobnˇe starˇs´ı varianta) . . . 54

4.3.4 Nisa typ K1 a PK1 (pravdˇepodobnˇe novˇejˇs´ı varianta) . . . 55

4.3.5 Nisa typ K2 . . . 56

4.3.6 Nisa typ K5 a PK5 . . . 57

Z´avˇer 58

Reference 59

Seznam obr´ azk˚ u

1.1 Sch´ema jednoho z typ˚u mechanick´ych kalkul´ator˚u . . . 16

3.1 Historick´y v´yvoj loga kalkul´ator˚u Nisa . . . 47

4.1 Srovn´an´ı tˇr´ı r˚uzn´ych technologi´ı pouˇz´ıvan´ych pˇri v´yrobˇe kalkul´ator˚u Nisa. . . 48

4.2 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ P. . . 49

4.3 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ C. . . 50

4.4 Srovn´an´ı mechanick´ych kalkul´ator˚u Nisa typ˚u M, K, a PK . . . 51

4.5 Srovn´an´ı tˇr´ı exempl´aˇr˚u kalkul´ator˚u typu M . . . 52

4.6 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ M . . . 52

4.7 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ K . . . 53

4.8 Srovn´an´ı mechanick´ych kalkul´ator˚u Nisa typ K1 a PK1 (starˇs´ı varianta) 54 4.9 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ K1 a PK1 (starˇs´ı varianta) . . . 54

4.10 Srovn´an´ı mechanick´ych kalkul´ator˚u Nisa typ K1 a PK1 (novˇejˇs´ı vari- anta) . . . 55

4.11 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ K1 a PK1 (novˇejˇs´ı varianta) . . . 55

4.12 Srovn´an´ı tˇr´ı exempl´aˇr˚u kalkul´ator˚u modelu K2 . . . 56

4.13 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ K2 . . . 56

4.14 Srovn´an´ı mechanick´ych kalkul´ator˚u Nisa typ K5 a PK5 . . . 57

4.15 Mechanick´y kalkul´ator Nisa typ K5 a PK5 . . . 57

Seznam tabulek

2.1 Taylor˚uv polynom prvn´ıho stupnˇe vs. Newtonova metoda . . . 29 2.2 Sbl´ıˇzen´e zlomky ˇc´ısla √

28977 . . . 41 2.3 Algoritmus postupn´eho v´ypoˇctu druh´e odmocniny . . . 45

Pouˇ zit´ e znaˇ cen´ı a zkratky

V textu pouˇz´ıv´ame zejm´ena n´asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı:

Znaˇcen´ı V´yznam

N mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel (at’ uˇz s nebo bez nuly) N⁰= N ∪ {0} mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel s nulou

N⁺= N ∖ {0} mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel bez nuly

Q, Q⁺ mnoˇzina racion´aln´ıch, resp. kladn´ych racion´aln´ıch ˇc´ısel K mnoˇzina kvadratick´ych iracionalit, tj. ˇc´ısel ^p+

√n q

R, R⁺ mnoˇzina re´aln´ych, resp. kladn´ych re´aln´ych ˇc´ısel n! faktori´al pˇrirozen´eho ˇc´ısla n!= n ⋅ (n − 1)!, 0! = 1 {aⁿ}^∞n=0 posloupnost ˇc´ısel a₀, a₁, a₂, . . .

f⁽ⁿ⁾= dx^df⁽ⁿ⁻¹⁾ n-t´a derivace funkce f(x), f⁽⁰⁾(x) = f(x) speci´alnˇe je pak obvykle

f^′(x) = f⁽¹⁾ prvn´ı derivace funkce f(x) f^′′(x) = f⁽²⁾ druh´a derivace funkce f(x) f^′′′(x) = f⁽³⁾ tˇret´ı derivace funkce f(x)

f⁻¹(x) inverzn´ı funkce k funci f(x); f(f⁻¹(x)) = x, f⁻¹(f(x)) = x [x⁰; x₁, x₂, . . . , x_n] koneˇcn´y ˇretˇezov´y zlomek

[x⁰; x₁, x₂, x₃, . . .] nekoneˇcn´y ˇretˇezov´y zlomek

[x⁰; x1, . . . , xk, . . . , xk+d, . . .] nekoneˇcn´y periodick´y ˇretˇezov´y zlomek

Uvod ´

Tato pr´ace je rozdˇelena do dvou ˇc´ast´ı. V prvn´ı ˇc´asti se zab´yv´ame zejm´ena v´ypoˇctem druh´e odmocniny ˇc´ısla 2. Budeme cht´ıt nal´ezt druhou odmocninu, nejˇcastˇeji oznaˇco- vanou √

s, √²

s, nebo s^1/2, z pˇrirozen´eho ˇc´ısla s∈ N⁺, tedy nez´aporn´eho racion´aln´ıho ˇc´ısla s = p/q ∈ Q⁺, kde p, q ∈ N⁰, q ≠ 0. Odmocnina z pˇrirozen´eho ˇc´ısla je vˇsak bud’ opˇet ˇc´ıslo pˇrirozen´e, nebo ˇc´ıslo iracion´aln´ı. N´as budou zaj´ımat pˇredevˇs´ım ira- cion´aln´ı pˇr´ıpady. Nal´ezt odmocninu pˇrestˇe tak nebude moˇzn´e. Budeme tak nuceni hledat nˇejakou jej´ı pˇribliˇznou hodnotu – aproximaci. K n´ı se budeme cht´ıt dostat tzv. numerick´ymi v´ypoˇcetn´ımi metodami. Mohli bychom pouˇz´ıt i dnes jiˇz ˇcasto poza- pomenut´e - metody geometrick´e. Geometricky m˚uˇzeme ´ulohu nejsn´az pˇreformulovat jako nalezen´ı (strany) ˇctverce s pˇredepsanou plochou s. Pro geometrick´y v´ypoˇcet je vˇsak nejlepˇs´ı pouˇz´ıt tzv. Euklidovu vˇetu o v´yˇsce. Nejbˇeˇznˇejˇs´ı numerick´e v´ypoˇcetn´ı metody pro nalezen´ı odmocniny jsou iteraˇcn´ı. Nˇekter´e metody, se kter´ymi se zde sezn´am´ıme, budou matematicky elegantn´ı, jako napˇr. Newtonova metoda, a budou m´ıt spoustu dalˇs´ıch souvislost´ı, jak se pokus´ıme uk´azat. Jin´e, ne tak elegantn´ı, jsou vhodnˇejˇs´ı napˇr. pro v´ypoˇcet z hlavy, resp. provediteln´y jednoduˇse tuˇzkou na pap´ıˇre.

Jeden takov´y algoritmus pro v´ypoˇcet odmocniny bude vhodn´y i pro v´ypoˇcet na naˇsich kalkul´atorech.

Nejprve pˇredstav´ıme babylonskou metodu, zˇrejmˇe prvn´ı algoritmus pouˇzit´y pro aproximaci√

s. Babylonsk´y algoritmus v´ypoˇctu odmocniny je proces, pˇri kter´em se generuje posloupnost ˇc´ısel a_n, kter´a se opakuje, dokud nen´ı dosaˇzeno poˇzadovan´e pˇresnosti. Jedn´a se o algoritmus, kdy se poˇcet ˇc´ıslic pomoc´ı aproximace s kaˇzdou iterac´ı zhruba zdvojn´asob´ı viz 2.7.

V dalˇs´ı kapitole pˇredstav´ıme Newtonovu–Raphsonovu metodu neboli metodu teˇcen, viz [2]. Princip t´eto metody spoˇc´ıv´a v hled´an´ı pˇribliˇzn´e polohy pr˚useˇc´ıku grafu funkce y= g(x) s vodorovnou osou (y = 0) tak, ˇze funkci v nˇejak´em bodˇe ̃x nahrad´ıme teˇcnou t´eto funkce v tomto bodˇe. M´ısto hled´an´ı pr˚useˇc´ıku neline´arn´ı funkce hled´ame pr˚useˇc´ık teˇcny popsan´y line´arn´ı funkc´ı. Dojdeme k z´avˇeru, ˇze babylonsk´a metoda v´ypoˇctu odmocniny & Newtonova metoda pouˇzit´a na funkci g(x) = x²+s jsou tot´eˇz.

D´ale nav´aˇzeme na Taylorovu metodu, kter´a je zaloˇzena na aproximaci odmo- ciny pomoc´ı Taylorova rozvoje. Uk´aˇzeme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe je Taylorova metoda identick´a s babylonskou metodou.

Dalˇs´ı metoda nalezen´ı aproximace druh´e odmocniny byla pops´ana ve starovˇek´em rukopisu zvan´em Bakhshaliho rukopis, viz [3]. Odpov´ıd´a dvˇema po sobˇe jdouc´ım iterac´ım babylonsk´e metody zaˇc´ınaj´ıc´ı s poˇc´ateˇcn´ım odhadem a0. Tj. jeden krok Bakhshaliho metody pˇresnˇe opov´ıd´a dvˇema po sobˇe jdouc´ım krok˚um babylonsk´e metody.

Jednou z dalˇs´ıch moˇznost´ı jak vyj´adˇrit odmocniny je metoda ˇretˇezov´ych zlomk˚u x = [x⁰; x₁, x₂, . . . , x_n]. Rekurentn´ı vztahy v t´eto kapitole pouˇzijeme pro v´ypoˇcet sbl´ıˇzen´ych zlomk˚u – aproximac´ı hledan´e odmocniny. Konkr´etn´ı v´ypoˇcet si uk´aˇzeme opˇet na naˇsem pˇr´ıkladu√

s. Nalezli jsme ˇretˇezov´y zlomek n´ami hledan´e odmocniny

√28977, ale ovˇsem s racion´aln´ımi.

V druh´e ˇc´asti t´eto kapitoly pˇredstav´ıme mechanick´e kalkulaˇcn´ı stroje Nisa. Tyto kalkul´atory se vyr´abˇely v z´avodˇe Nisa Proseˇc nad Nisou a dod´avaly se do 35 zem´ı.

Modely jsou rozdˇeleny do tˇr´ı skupin dle pouˇz´ıvan´ych technologi´ı, tzv. Leibnitzova ozuben´a kola (Leibnitz wheel, stepped drum, d´ale Odhnerova ozuben´a kola (pinwheel, varianta Leibnitzova kola) a tzv. vahadlov´y mechanizmus. Nˇekter´e stroje byly plnˇe mechanick´e, na kliku a s postupn´ymi drobn´ymi ˇci vˇetˇs´ımi inovacemi z˚ustaly v pouˇz´ıv´an´ı aˇz do 70. let dvac´at´eho stolet´ı. Novˇejˇs´ı modely byly jiˇz elektromechanick´e. V sedmde- s´at´ych letech byly mechanick´e stroje vytlaˇceny levn´ymi elektronick´ymi kalkulaˇckami.

1 Element´ arn´ı v´ ypoˇ cty na mechanick´ ych kal- kul´ atorech

Nejprve se velmi struˇcnˇe okomentujeme element´arn´ı operace, kter´e lze prov´adˇet na mechanick´ych kalul´atorech prov´adˇet.

1.1 Sˇ c´ıt´ an´ı a odeˇ c´ıt´ an´ı

Z pohledu modern´ıch v´ypoˇcetn´ıch prostˇred˚u mechanick´e kalkul´atory zpravidla pou- ˇz´ıvaj´ı nˇekolik displej˚u slouˇz´ıc´ıch z´aroveˇn jako pamˇeti nebo registry:

• jeden pro zobrazov´an´ı aktu´aln´ıho operandu – ˇcasto nepˇr´ıtomn´y jako displej, z´apis, uloˇzen´ı i ˇcten´ı hodnoty operandu ˇclovˇekem lze totiˇz ˇcasto prov´est pˇr´ımo prostˇrednictv´ım kl´avesnice (vstupu) kalul´atoru,

• druh´y pro zobrazov´an´ı aktu´aln´ıho stavu meziv´ypoˇctu – slouˇz´ıc´ı z´aroveˇn jako akumul´ator klasick´eho procesoru

• tˇret´ı slouˇz´ıc´ı pro evidenci poˇctu proveden´ych operac´ı.

Viz tak´e obr´azek ??. Tyto registry jsou schopny uchovat nˇekolik des´ıtkov´ych cifer.

Pamˇet’ tedy nepracuje jako u klasick´eho poˇc´ıtaˇc v bin´arn´ı, ale pˇr´ımo v dekadick´e ˇc´ıseln´e soustavˇe.

Sˇc´ıt´an´ı a odeˇc´ıt´an´ı je vˇsak prov´adˇeno zcela analogicky jako napˇr. sˇc´ıt´an´ı a ode- ˇc´ıt´an´ı jednoduch´ych ˇc´ıseln´ych typ˚u (integer) v poˇc´ıtaˇci. Zejm´ena tedy, kdyˇz dojde k pˇreteˇcen´ı, tedy pˇriˇcten´ı takov´eho ˇc´ısla do akumul´atoru, ˇze souˇcet je vˇetˇs´ı neˇz zobraziteln´y rozsah, dojde k vynulov´an´ı cel´e pamˇeti a pˇriˇcten´ı jen toho

”co je nav´ıc“.

Schematicky, na pˇeticifern´em displeji

[12345] + [98765] → [11110].

Obdobnˇe pˇri odeˇc´ıt´an´ı m˚uˇze doj´ıt k podteˇcen´ı, kdyˇz menˇsitel je vˇetˇs´ı neˇz aktu´aln´ı stav akumul´atoru. Opˇet schematicky na stejn´em displeji

[00000] − [00001] → [99999].

Matematicky jde o sˇc´ıt´an´ı, resp. odeˇc´ıt´an´ı modulo 10⁵, resp. 10^d, kde d je poˇcet cifer displeje.

Obr´azek 1.1: Sch´ema jednoho z typ˚u mechanick´ych kalkul´ator˚u. Oznaˇceny jsou v´yˇse zmiˇnovan´e pamˇeti, resp. registry, resp. dispeleje, resp. ovl´adac´ı prvky: (A) pamˇet’

aktu´aln´ıho operandu a z´aroveˇn vstup, (B) akumul´ator, hlavn´ı registr v´ysledku, (C) poˇc´ıtadlo operac´ı. N´aˇcrt pˇrevzat z manu´alu kalkul´atoru Nisa PK5, [14].

1.2 N´ asoben´ı a dˇ elen´ı se zbytkem

Operace n´asoben´ı, resp. dˇelen´ı se zbytkem, tj. dˇelen´ı cel´eho ˇc´ısla a cel´ym ˇc´ıslem b, a≥ b, tak, ˇze

a= b ⋅ q + r, q, r∈ N⁰, r< b,

je realizov´ano jednoduˇse postupn´ym sˇc´ıt´an´ım, resp. postupn´ym odeˇc´ıt´an´ım.

V pˇr´ıpadˇe n´asoben´ı je tedy typicky na zaˇc´atku pr´azdn´y akumul´ator. Na vstupu nastav´ıme jeden z operand˚u, ˇreknˇeme a, a postupnˇe ho pˇriˇc´ıt´ame do akumul´atoru.

Tˇret´ı displej zobrazuj´ıc´ı poˇcet operac´ı n´am pˇritom ˇr´ık´a, kolikr´at jsme pˇriˇcten´ı pro- vedli. Je-li druh´y souˇcinitel napˇr. b, souˇcin se v akumul´atoru objev´ı v ten okamˇzik, kdyˇz se v registru poˇctu operac´ı objev´ı b.

Obdobnˇe u dˇelen´ı se zbytkem. Zde je typicky na zaˇc´atku v akumul´atoru dˇelenec a, tedy prvn´ı z operand˚u. Na vstupu nastav´ıme druh´y z operand˚u, tedy dˇelitel b.

Odeˇc´ıt´an´ı prov´ad´ıme tak dlouho, neˇz dojde k podteˇcen´ı (pˇresnˇeji ˇreˇceno, pokud k nˇemu dojde, mus´ıme jedno odeˇc´ıt´an´ı vr´atit). Na konci procesu tak v akumul´atoru zbyde reziduum tedy zbytek po dˇelen´ı r a registr poˇctu operac´ı obsahuje celoˇc´ıseln´y pod´ıl q.

Vˇsechny tyto v´ypoˇcty lze samozˇrejmˇe analogicky prov´adˇet i na vybran´ych ra- cion´aln´ıch ˇc´ıslech (takov´ych, kter´a maj´ı v des´ıtkov´e soustavˇe ukonˇcen´y desetinn´y

rozvoj a kter´a obsahuj´ı jen nˇekolik nenulov´ych cifer dostateˇcnˇe bl´ızko u sebe). Staˇc´ı jen vhodnˇe posunout desetinnou ˇc´arku a ˇc´ısla interpretovat jako cel´a.

V praxi pak m˚uˇzeme vyuˇz´ıvat ˇrady r˚uzn´ych technick´ych

”vychyt´avek“, kter´e kalkul´atory maj´ı. Budeme-li napˇr. n´asobit ˇc´ısla 64 a 122, staˇc´ı fakticky prov´est pˇriˇcten´ı jen nˇekolik. Kalkul´ator totiˇz umoˇzˇnuje velmi efektivnˇe n´asobit a dˇelit de- seti, prost´ym posunut´ım vstupu oproti akumul´atoru. Tedy v´ypoˇcet 64⋅ 122 bychom technicky provedli na pˇet sˇc´ıt´an´ı a dvˇe posunut´ı

[00000]^ac+ [00064]ⁱⁿ+ [00064]ⁱⁿ→ [00128]^ac, [00064]in⋅ 10 → [00640],

[00128]^ac+ [00640]ⁱⁿ+ [00640]ⁱⁿ→ [01408]^ac, [00640]ⁱⁿ⋅ 10 → [06400],

[01408]^ac+ [06400]ⁱⁿ= [07808]^ac.

Doln´ı indexy zde upˇresˇnuj´ı, co je obsahem akumul´atoru ([xxxxx]^ac) a co je na vstupu ([xxxxx]ⁱⁿ).

D´ale jiˇz nebudeme takto detailn´ı popis potˇrebovat. Je jasn´e, ˇze kdyˇz budeme cht´ıt nˇejak´y sloˇzitˇejˇs´ı v´ypoˇcet prov´est, budeme ho muset

”rozb´ıt“ na operace zde prezentovan´e. Tedy na sˇc´ıt´an´ı, odeˇc´ıt´an´ı, n´asoben´ı a dˇelen´ı se zbytkem. V n´asleduj´ıc´ı kapitole se detailnˇeji pod´ıv´ame na v´ypoˇcet odmocniny.

2 Metody v´ ypoˇ ctu druh´ e odmocniny pˇ rirozen´ eho ˇ c´ısla

V t´eto kapitole se budeme zab´yvat t´ım, jak poˇc´ıtat druhou odmocninu. Postupy pro nalezen´ı druh´ych koˇren˚u (zejm´ena druh´e odmocniny 2) jsou zn´amy alespoˇn od obdob´ı starovˇek´eho Babylonu v 17. stolet´ı pˇred Kristem (tzv. babylonsk´a me- toda). Modern´ı analytick´e metody se zaˇcaly rozv´ıjet po zaveden´ı arabsk´eho ˇc´ıseln´eho syst´emu do z´apadn´ı Evropy na poˇc´atku renesance, viz napˇr. [1].

2.1 Iteraˇ cn´ı metody v´ ypoˇ ctu

My budeme cht´ıt nal´ezt druhou odmocninu, oznaˇcovanou zpravidla √ s, √²

s, nebo s^1/2, z pˇrirozen´eho ˇc´ısla s ∈ N⁺, resp. nez´aporn´eho racion´aln´ıho ˇc´ısla s = p/q ∈ Q⁺, kde p, q∈ N⁰, q≠ 0. Obˇe ´ulohy jsou v podstatˇe identick´e proto, ˇze

√p q = √p

√q.

Odmocnina z pˇrirozen´eho ˇc´ısla je vˇsak bud’ opˇet ˇc´ıslo pˇrirozen´e, nebo ˇc´ıslo ira- cion´aln´ı. N´as budou zaj´ımat pˇredevˇs´ım ty druh´e pˇr´ıpady. Nal´ezt odmocninu pˇrestˇe tak nebude moˇzn´e. Budeme tak nuceni hledat nˇejakou jej´ı pˇribliˇznou hodnotu – aproximaci. K n´ı se budeme cht´ıt dostat tzv. numerick´ymi v´ypoˇcetn´ımi metodami.

Poznamenejme, ˇze numericky m˚uˇzeme hledat pˇr´ımo odmocninu samotnou, nebo

´

ulohu pˇreformulovat a hledat nez´aporn´y koˇren rovnice x² − s = 0. Mohli bychom pouˇz´ıt i dnes jiˇz ˇcasto pozapomenut´e - metody geometrick´e. Geometricky m˚uˇzeme

´

ulohu nejsn´aze pˇreformulovat jako nalezen´ı (strany) ˇctverce s pˇredepsanou plochou s. Pro geometrick´y v´ypoˇcet je vˇsak nejlepˇs´ı pouˇz´ıt tzv. Euklidovu vˇetu o v´yˇsce.

Nejbˇeˇznˇejˇs´ı numerick´e v´ypoˇcetn´ı metody pro nalezen´ı odmocniny jsou iteraˇcn´ı.

Spoˇc´ıvaj´ı v nalezen´ı vhodn´eho poˇc´ateˇcn´ıho odhadu hodnoty odmociny, ˇreknˇeme x₀, n´asledovan´em iteraˇcn´ım zpˇresnˇen´ım x1 = f(s, x⁰). Zpˇresnˇen´ı prov´ad´ıme opakovanˇe, tj.

x_n+1= f(s, xⁿ), n= 0, 1, 2, 3, . . . ,

dokud nejsou splnˇena nˇekter´a krit´eria ukonˇcen´ı cel´eho procesu. Napˇr. nalezneme-li ˇc´ıslo x_N takov´e, ˇze

∣x²N − s∣ < ε

je dostateˇcnˇe mal´e, menˇs´ı neˇz nˇejak´e pˇredepsan´e kladn´e ε> 0.

Casto m˚ˇ uˇze b´yt poˇc´ateˇcn´ı odhad x₀ relativnˇe libovoln´e ˇc´ıslo, ide´aln´ı by ale bylo, odhadnout jej tak, aby n´am pak staˇcilo co nejm´enˇe iterac´ı. Pokud iteraˇcn´ı zpˇresnˇen´ı funguje spr´avnˇe, resp. je tzv. konzistentn´ı, tedy plat´ı√

s= f(s,√

s), tedy odmocnina z hledan´eho ˇc´ısla je jeho stacion´arn´ım bodem, snadno nahl´edneme, ˇze poˇcet iterac´ı bude minim´aln´ı, pr´avˇe kdyˇz x₀ =√

s – , kdybychom vˇsak umˇeli odmocninu z s od- hadnout rovnou, nemus´ıme ji poˇc´ıtat. Nejzn´amˇejˇs´ı iteraˇcn´ı metoda je asi Newtonova metoda teˇcen, kterou mj. v t´eto pr´aci pˇredstav´ıme. Nav´ıc uvid´ıme, ˇze tato modern´ı metoda je z´aroveˇn jiˇz d´avno zn´amou metodou babylonskou.

Nˇekter´e metody, se kter´ymi se zde sezn´am´ıme, budou, ˇreknˇeme, matematicky ele- gantn´ı, jako napˇr. ona Newtonova metoda, a budou m´ıt spoustu dalˇs´ıch souvislost´ı, jak se pokus´ıme uk´azat. Jin´e, ne tak elegantn´ı, jsou vhodnˇejˇs´ı napˇr. pro v´ypoˇcet z hlavy, resp. provediteln´y jednoduˇse tuˇzkou na pap´ıˇre. Jeden takov´y algoritmus pro v´ypoˇcet odmocniny bude vhodn´y i pro v´ypoˇcet na naˇsich kalkul´atorech.

Poznamenejme, ˇze tak´e modern´ı poˇc´ıtaˇce (resp. procesory) prov´adˇej´ı v´ypoˇcet odmocniny pomoc´ı podobn´ych numerick´ych algoritm˚u, jen velmi dobˇre optimalizo- van´ych, ide´alnˇe rychle konverguj´ıc´ıc´ıch k velmi pˇresn´ym aproximac´ım. A pˇrestoˇze jsou modern´ı poˇc´ıtaˇce mnohem d´al neˇz staˇriˇck´e kalkul´atory, ani na modern´ıch stroj´ıch neum´ıme (v klasick´e aritmetice) pracovat s iracion´aln´ımi ˇc´ısly. I zde pracujeme jen s jistou, velmi omezenou a velmi zˇredˇenou podmnoˇzinou mnoˇziny racion´aln´ıch ˇc´ısel Q.

2.2 Babylonsk´ a metoda

Moˇzn´a prvn´ı algoritmus pouˇzit´y pro aproximaci √

s je zn´am´a jako babylonsk´a me- toda. Babylonsk´a metoda je postaven´a na n´asleduj´ıc´ım rekurentn´ım vztahu

a_n= 1 2( s

a_n−1 + aⁿ⁻¹) , (2.1)

kter´y generuje posloupnost

{aⁿ}^∞n=0, jej´ıˇz limita je

nÐ→∞lim an=√ s.

Podrobnˇeji se na motivaci rekurentn´ıho vztahu (2.1) a zd˚uvodnˇen´ı jeho funkˇcnosti pod´ıv´ame n´ıˇze.

Stejnˇe jako my, tak i Babyloˇnan´e si pro ulehˇcen´ı v´ypoˇct˚u vytv´aˇreli matematick´e tabulky – napˇr´ıklad n´asobilku, tabulku pˇrevr´acen´ych hodnot ˇc´ısel nebo jejich apro- ximac´ı a dokonce tabulky mocnin (pouˇz´ıvan´e pˇri v´ypoˇctech, kter´e bychom my dnes prov´adˇeli pomoc´ı kvadratick´ych rovnic) a nˇekter´ych odmocnin. D´ale se do dneˇsn´ı doby dochovaly i tabulky obsahuj´ıc´ı vztahy v troj´uheln´ıc´ıch a v pravideln´ych n-´uhel- n´ıc´ıch. V´ıme, ˇze Babyloˇnan´e umˇeli pˇribliˇznou hodnotu odmocniny vypoˇc´ıtat, nev´ıme vˇsak jak. ˇZ´adn´e z´apisy o postupech se n´am z t´eto doby nezachovaly.

Z dochovan´ych hlinˇen´ych tabulek je vˇsak jasn´e, ˇze Babyloˇnan´e znali analogie (slovn´ı popisy) dneˇsn´ıch zn´am´ych matematick´ych pravidel

(a ± b)² = a²± 2ab + b² a a²− b²= (a − b) ⋅ (a + b).

Vych´azely z nich jejich v´ypoˇcty odmocnin. Chceme vypoˇc´ıtat pˇribliˇznou hodnotu odmocniny z pˇrirozen´eho ˇc´ısla s.

2.2.1 Horn´ı odhad

Budeme pˇredpokl´adat, ˇze s nen´ı druhou mocninou pˇrirozen´eho ˇc´ısla, jinak bychom uˇz byli hotovi. Najdeme nejmenˇs´ı ˇctverec, menˇs´ı neˇz je s a vyj´adˇr´ıme s ve tvaru

s= a²+ b, (2.2)

kde a, b∈ N. Pokud s nen´ı ˇctvercem, plat´ı a²< s < (a+1)². ˇC´ıslo a je v jist´em smyslu pˇrirozen´a nejjednoduˇsˇs´ı aproximace hledan´e odmocniny a plat´ı

a<√ s.

Aproximaci odmocniny s lze odhadnout shora n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem

√s=√

a²+ b <

√

a²+ b + b²

4a² = a + b

2a =2a²+ b 2a

= 1

2(a²+ b

a + a) = 1 2(s

a + a) .

(2.3)

Uk´azali jsme tedy, ˇze odmocnina z s je ostˇre menˇs´ı neˇz aritmetick´y pr˚umˇer ˇc´ısel s/a a a. Vˇsimˇneme si, ˇze v pˇredchoz´ım odvozen´ı horn´ıho odhadu nikde nepouˇz´ıv´ame vlastnost, ˇze a² je nejmenˇs´ı ˇctverec ostˇre menˇs´ı neˇz s (pˇriˇcemˇz s nen´ı ˇctverec). To motivuje n´asleduj´ıc´ı lemma.

Lemma 1. Necht’ s∈ R⁺, a∈ R⁺, pak plat´ı

√s≤ 1 2(s

a + a) .

D˚ukaz. D˚ukaz lemmatu provedeme obdobnˇe jako v (2.3), jen mus´ıme rozliˇsit dva pˇr´ıpady. Zˇrejmˇe

s= a²+ b pˇriˇzemˇz b m˚uˇze b´yt

• kladn´e (pokud s< a²),

• nulov´e (pokud s= a²), nebo

• z´aporn´e (pokud s> a²).

Je-li b≠ 0, pak

b² 4a² > 0

nebot’ a je vˇzdy nenulov´e. Pak postupujeme zcela identicky jako v (2.3),

√s=√

a²+ b <

√

a²+ b + b²

4a² = a + b

2a =2a²+ b 2a

= 1

2(a²+ b

a + a) = 1 2(s

a + a) .

(2.4)

V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe, tj. je-li b= 0, pak

√s= 1 2(s

a + a) , ˇc´ımˇz jsme lemma dok´azali.

2.2.2 Monotonie posloupnosti {a

}

Necht’ a1>√

s je (prvn´ı) odhad poˇc´ıtan´e odmocniny, kter´y jsme z´ıskali pˇredchoz´ım vztahem

a₁ =1 2(s

a+ a) , trivi´aln´ı pˇr´ıpad a₁=√

s nebudeme uvaˇzovat. Pokus´ıme se nal´ezt pˇresnˇejˇs´ı odhad a₂, tedy ˇc´ıslo, pro kter´e plat´ı

a₁> a2≥√ s.

Kdybychom chtˇeli n´aˇs odhad a₁ opravit zcela pˇresnˇe, budeme muset nal´ezt nˇejak´e x> 0 takov´e, aby platilo

s= (a¹− x)²= a²1− 2a¹x+ x². (2.5) Naj´ıt takov´e x je teoreticky jednoduch´e, nebot’ to v praxi znamen´a nal´ezt ˇreˇsen´ı kvadratick´e rovnice

x²− (2a¹)x + (a²1− s) = 0. (2.6) To ale znamen´a, mj. spoˇc´ıtat odmocninu z diskriminantu tohoto trojˇclenu, tedy odmocninu z (2a¹)²− 4(a²1− s) = s. Pro pˇresnou opravu odhadu bychom tedy mu- seli spoˇc´ıtat odmocinu z s, kterou vˇsak hled´ame. Pˇresnou opravu tedy nen´ı moˇzn´e prov´est.

Abychom se vyhnuli poˇc´ıt´an´ı odmocnin, m˚uˇzeme rovnici (2.6) naivnˇe zjednoduˇsit tak, ˇze zanedb´ame kvadratick´y ˇclen. Pokus´ıme se tedy naj´ıt ̃x tak, aby bylo splnˇeno alespoˇn

(2a¹)̃x − (a²1− s) = 0.

Dostaneme tak line´arn´ı rovnici, jej´ıˇz ˇreˇsen´ı je

̃x = a²₁− s 2a₁ .

Dosad´ıme-li naˇse ̃x za x do vztahu (2.5), resp. do vztahu

√s= a¹− x, nedostaneme na lev´e stranˇe hledan´e √

s, ale nˇejak´e, ˇreknˇeme, a₂. Tedy a₂ = a1−a²₁− s

2a₁ = a²₁+ s 2a₁ = 1

2( s

a₁ + a1) .

Protoˇze a₂ jsme z´ıskali jako rozd´ıl dvou kladn´ych ˇc´ısel, konkr´etnˇe a₁ zmenˇsen´e o kladn´e ^a_2a^21−s

1 (ˇcitatel a²₁− s nem˚uˇze b´yt nulov´y), zˇrejmˇe plat´ı a¹ > a². Podle tvrzen´ı Lemmatu 1 nav´ıc plat´ı a₂ ≥√

s, protoˇze jsme nav´ıc vynechali trivi´aln´ı pˇr´ıpad a₁ =

√s, nem˚uˇze nastat rovnost a plat´ı a₂ >√

s. Celkovˇe tedy dost´av´ame a₁> a2>√

s.

Obdobn´ym zp˚usobem bychom nyn´ı mohli vˇsechny ´uvahy zopakovat s t´ım, ˇze zaˇcneme s horn´ım odhadem a₂ (resp. a_n−1) a pokus´ıme se ho zpˇresnit, coˇz vy´ust´ı v nˇejak´y pˇresnˇejˇs´ı ohdad a₃ (res. a_n). [4] To motivuje n´asleduj´ıc´ı lemma.

Lemma 2. Necht’ a0∈ R⁺, s∈ R⁺, a necht’

a_n= 1 2( s

an−1 + aⁿ⁻¹) . Pak posloupnost

{aⁿ}^∞n=0

je

• pro a0 >√

s monot´onnˇe klesaj´ıc´ı a zdola omezen´a ˇc´ıslem √ s, tj.

a₀> a¹ > a²> ⋯ > aⁿ⁻¹> aⁿ>√ s,

• pro a0 =√

s je konstantn´ı, tj.

a₀= a¹ = a²= ⋯ = aⁿ⁻¹= aⁿ=√ s,

• pro a0 <√

s je s v´yjimkou prvn´ıho ˇclenu a₀ opˇet monot´onnˇe klesaj´ıc´ı a zdola omezen´a ˇc´ıslem √

s, tj.

a1> a² > ⋯ > aⁿ⁻¹> aⁿ>√ s> a⁰.

D˚ukaz. Pro a₀ ≠√

s dost´av´ame a₁ >√

s dle Lemmatu 1. Nerovnosti a_n−1> aⁿ>√

s, pro n= 2, 3, 4, . . . plynou z pˇrechoz´ıch ´uvach v t´eto sekci.

Pro a₀ =√

s je tvrzen´ı zˇrejm´e, ovˇeˇr´ıme ho znadno dosazen´ım do vztahu pro a_n, a_n= 1

2( s

√s+√

s) =√

s, (2.7)

coˇz jsme chtˇeli dok´azat.

2.2.3 Limita posloupnosti {a

}

Ze vztahu (2.7) jiˇz v´ıme, ˇze pro ˇc´ıslo√

s plat´ı√

s= ¹2(^√s_s+√

s) , tedy√

s je jedin´ym stacion´arn´ım bodem zobrazen´ı

Z ∶ a z→ 1 2(s

a+ a) ,

na R⁺. Poznamenejme, ˇze na cel´e re´aln´e ose R existuje jeˇstˇe druh´y stacion´arn´ı bod (−√

s) a na rozˇs´ıˇren´e re´aln´e ose R∪{±∞} jeˇstˇe form´alnˇe existuj´ıdalˇs´ıdva stacion´arn´ı body ±∞. My se nicm´enˇe pohybujeme na R⁺ kde zobrazen´ı funguje n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem:

Z((0,√

s)) = (√

s,+∞), Z(√

s) =√ s, Z((√

s, A)) ⊊ (√ s, A),

(2.8)

kde pro libovoln´a A∈ R⁺, A> √

s. Zobrazen´ı je tedy v jist´em smyslu kontrahuj´ıc´ı a lze pak uk´azat, ˇze limita libovoln´e posloupnosti{aⁿ} je rovna hledan´e odmocninˇe z s, coˇz my nebudeme dokazovat.

2.2.4 Algoritmus

Algoritmus (babylonsk´y) v´ypoˇctu odmocniny je tedy zˇrejm´y. Cel´y v´yˇse naznaˇcen´y proces generov´an´ı posloupnosti ˇc´ısel a_nse opakuje, dokud nen´ı dosaˇzeno poˇzadovan´e pˇresnosti. Jedn´a se o algoritmus, kdy se poˇcet ˇc´ıslic pomoc´ı aproximace s kaˇzdou iterac´ı zhruba zdvojn´asob´ı viz 2.7. Postupuje se tedy takto:

(i) Zaˇcneme libovolnou kladnou poˇc´ateˇcn´ı hodnotou a₀ (ˇc´ım bl´ıˇze ke skuteˇcn´e druh´e odmocinˇe z s, t´ım l´epe).

(ii) Pro n= 1, 2, 3, . . . spoˇc´ıt´ame aⁿ jako aritmetick´y pr˚umˇer an−1 a s/aⁿ⁻¹. (iii) V´ypoˇcet v kroku 2 zastav´ıme jakmile je dosaˇzeno poˇzadovan´e pˇresnosti.

Schematicky

a₀ ≈√² s, a_n=1

2(an−1+ s a_n−1) ,

√s= lim_nÐ→∞a_n.

Pozn´amka 1. Poznamenejme, ˇze kdybychom aritmetick´y pr˚umˇer v kroku 2 1

2(an−1+ s

a_n−1) = an

nahradili pr˚umˇerem geometrick´ym

(aⁿ⁻¹⋅ s a_n−1)

1 2 =√

s

dostaneme po prvn´ım odhadu a₀ pˇresn´y v´ysledek v jedin´e iteraci.

Cel´y proces tedy m˚uˇzeme tak´e interpretovat tak, ˇze pro naˇse ´uˇcely idea´aln´ı geo- metrick´y pr˚umˇer zde aproximujeme pr˚umˇerem aritmetick´ym.

Pˇr´ıklad 1. Pˇr´ıklad v´ypoˇctu √

s, kde s = 28977, babylonskou metodou. Jako poˇc´a- teˇcn´ı odhad vezmeme a0 = 200. Bˇehem v´ypoˇctu prov´ad´ıme zokrouhlov´an´ı na deset platn´ych ˇc´ıslic:

a₀ = 2 ⋅ 10²= 200;

a₁ =1 2a₀+ s

a₀ = 1

2(200 +28977

200 ) = 172, 4425;

a₂ =1 2a₁+ s

a₁ = 1

2(172, 4425 + 28977

172, 4425) “ 170, 2405608;

a₃ =1 2a₂+ s

a₂ = 1

2(170, 2405608 + 28977

170, 2405608) “ 170, 2263205;

a4 =1 2a3+ s

a₃ = 1

2(170, 2263205 + 28977

170, 2263205) “ 170, 2263199.

Metodu zastav´ıme v okamˇziku, kdy se vypoˇcten´a aproximace ust´al´ı, plat´ı a₅ “ a4.

2.3 Newtonova metoda teˇ cen

Newtonova metoda je iteraˇcn´ı metoda, kter´a se pouˇz´ıv´a k numerick´emu ˇreˇsen´ı rov- nice

g(x) = 0,

kde funkce g(x) na lev´e stranˇe je zpravidla neline´arn´ı v promˇenn´e x. V ˇceˇstinˇe se pro ni pouˇz´ıvaj´ı tak´e n´azvy Newtonova–Raphsonova metoda nebo metoda teˇcen, viz [2]. Pro n´azornost si detailnˇe vysvˇetl´ıme princip t´eto metody na v´yˇse uveden´e rovnici. Jak napov´ıd´a posledn´ı uveden´y n´azev, princip t´eto metody spoˇc´ıv´a v hled´an´ı pˇribliˇzn´e polohy pr˚useˇc´ıku grafu funkce y= g(x) s vodorovnou osou (y = 0) tak, ˇze funkci v nˇejak´em bodˇẽx nahrad´ıme teˇcnou t´eto funkce v tomto bodˇe. M´ısto hled´an´ı pr˚useˇc´ıku neline´arn´ı funkce hled´ame pr˚useˇc´ık teˇcny popsan´y line´arn´ı funkc´ı. Pouˇzit´ı t´eto metody je moˇzn´e pouze za urˇcit´ych technick´ych pˇredpoklad˚u (kter´e vˇsak v naˇsem pˇr´ıpadˇe budou splnˇeny), zejm´ena mus´ı b´yt funkce g(x) spojit´a a hladk´a.

2.3.1 Konstrukce teˇ cny a pˇ ribliˇ zn´ eho ˇ reˇ sen´ı

Teˇcna ke grafu funkce g(x) v bodˇe ̃x bude obecnˇe d´ana pˇredpisem t ∶ y = k ⋅ x + q,

kde zˇrejmˇe

k= g^′(̃x),

protoˇze derivace urˇcuje smˇernic´ı teˇcny v dan´em bodˇe. Pro nalezen´ı hodnoty hod- noty q staˇc´ı dosadit jeden bod na teˇcnˇe. Konkr´etnˇe m˚uˇzeme dosadit bod [̃x, g(̃x)].

Dostaneme tak rovnici

g(̃x) = g^′(̃x) ⋅ ̃x + q, tedy

q= g(̃x) − g^′(̃x) ⋅ ̃x.

Teˇcna je tedy jiˇz urˇcena cel´a, je d´ana rovnic´ı

t ∶ y = g^′(̃x) ⋅ x + g(̃x) − g^′(̃x) ⋅ ̃x

= g^′(̃x) ⋅ (x − ̃x) + g(̃x).

Hled´an´ı koˇrene rovnice g(x) = 0 t´ım nahrad´ıme hled´an´ım koˇrene line´arn´ı rovnice t(x) = 0, tj.

g^′(̃x) ⋅ (x − ̃x) + g(̃x) = 0.

Dostaneme tak

x= ̃x − g(̃x)

g^′(̃x), (2.9)

coˇz je hledan´e pˇribliˇzn´e ˇreˇsen´ı.

2.3.2 Iteraˇ cn´ı sch´ ema

Cel´y proces zaˇcneme nˇejakou poˇc´ateˇcn´ı hodnotou x₀, nejl´epe takovou v jej´ıˇz bl´ızkosti hled´ame ˇreˇsen´ı (co znamen´a bl´ızkost zde nebudeme ˇreˇsit, m˚uˇze to souviset napˇr.

s monotoni´ı funkce). V´yˇse uvedenou konstrukci pˇribliˇzn´eho ˇreˇsen´ı (2.9) budeme opa- kovat v (potenci´alnˇe nekonˇcen´em) cyklu. Dostaneme tak posloupnost pˇribliˇzn´ych ˇreˇsen´ı

x₀, x₁, x₂, . . . kde

x_n= xⁿ⁻¹− g(xⁿ⁻¹) g^′(xⁿ⁻¹).

V ide´aln´ım pˇr´ıpadˇe bude posloupnost {xⁿ}^∞n=0 konvergentn´ı a jej´ı limitou bude hle- dan´e ˇreˇsen´ı rovnice g(x) = 0.

2.3.3 Nalezen´ı odmocniny pomoc´ı Newtonovy metody

My se nyn´ı pokus´ıme aplikovat Newtonovu metodu na v´ypoˇcet druh´e odmocniny z ˇc´ısla s. Zˇrejmˇe plat´ı, ˇze hledan´a odmocnina je koˇrenem rovnice

x²− s = 0.

Do Newtonovy metody tedy bude vstupovat funkce g(x) = x²− s.

Zˇrejmˇe

g^′(x) = 2x.

Dosad´ıme do obecn´eho vzorce, dostaneme tak vztah x_n= xn−1− g(xⁿ⁻¹)

g^′(xⁿ⁻¹) =x_n−x_n−1²− s 2x_n−1 . Po ´upravˇe

x_n= 1

2(xⁿ⁻¹+ s x_n−1)

z´ısk´av´ame rekurentn´ı formuli. Je-li, tak jako v pˇredchoz´ı kapitole s = a²+ b, pak jako poˇc´ateˇcn´ı odhad ˇreˇsen´ı m˚uˇzeme zvolit x₀ = a. Vid´ıme, ˇze jsme dostali stejn´y rekurentn´ı vztah jako u babylonsk´e metody, viz (2.1), tedy:

Babylonsk´ a metoda v´ ypoˇ ctu odmocniny & Newtonova metoda pouˇ zit´ a na funkci g (x) = x

+ s jsou tot´eˇz.

Jako pˇr´ıklad v´ypoˇctu odmocniny z s pomoc´ı Newtonovy tedy m˚uˇzeme pouˇz´ıt jiˇz dˇr´ıve prezentovan´y pˇr´ıklad 1.

2.4 Taylorova metoda

Taylorova metoda, jak uˇz n´azev s´am napov´ıd´a, je zaloˇzena na aproximaci odmociny pomoc´ı Taylorova rozvoje. Pro ´uplnost pˇripomeneme pˇr´ısluˇsnou vˇetu z anal´yzy Vˇeta 1 (Taylorova vˇeta [10]). Necht’ f(x) je re´aln´a funkce jedn´e re´aln´e promˇenn´e a necht’ m´a tato funkce v nˇejak´em ε-okol´ı bodu ̃x alespoˇn n derivac´ı. Potom existuje pr´avˇe jeden polynom T_n(x) stupnˇe nejv´yˇse n takov´y, ˇze

T_n^(k)(̃x) = f^(k)(̃x) pro kaˇzd´e k = 0, 1, ..., n,

kde f^(k)(x) je k-t´a derivace f(x), f^(k)(x) = dx^d f^(k−1)(x) a f⁽⁰⁾(x) = f(x). Tento polynom m´a tvar

T_n(x) =∑ⁿ

k=0

f^(k)(̃x)

k! (x − ̃x)^k (2.10)

a naz´yv´ame jej n-t´y Taylor˚uv polynom funkce f(x) v bodˇe ̃x.

N´aznak d˚ukazu. Uvaˇzujme polynom p stupˇnˇe nanejv´yˇs n ve tvaru p(x) = ∑ⁿ

k=0

bk(x − ̃x)^k, kde b0, b1, ...bn∈ R.

Jeho `-n´asobn´ym zderivov´an´ım dostaneme p<sup>(`)</sup>(x) =∑ⁿ

k=`

b_k⋅ k(k − 1)⋯(k − ` + 1) ⋅ (x − ̃x)<sup>k−`</sup>=∑ⁿ

k=`

b_k k!

(k − `)! (x− ̃x)<sup>k−`</sup>

a dosazen´ım bodu ̃x dostaneme p^{(`)</sup>(̃x) = b<sup>`}`!. Hled´ame polynom, pro kter´y by `- t´a derivace v bodˇe ̃x byla rovna `-t´e derivaci funkce f(x) v bodˇe ̃x pro vˇsechna

`= 0, 1, ..., n. Mus´ı tedy platit

b<sub>`</sub>`!= f^{(`)</sup>(̃x) neboli b<sup>`}= f^(`)(̃x)

`! pro kaˇzd´e `= 0, 1, ..., n.

Koeficienty b` jsou zjevnˇe jednoznaˇcnˇe urˇceny, tedy existuje jedin´y polynom hle- dan´ych vlastnost´ı.

Protoˇze funkce f(x) a jej´ı Taylor˚uv polynom Tⁿ(x) se chovaj´ı stejnˇe, pˇresnˇeji ˇreˇceno maj´ı stejn´e derivace aˇz do ˇr´adu n v bodˇe x₀, kde jsme prov´adˇeli rozvoj, bude se Taylor˚uv polynom v jist´em smyslu chovat podobˇe jako p˚uvodn´ı funce i v nejbliˇzˇs´ım okol´ı bolu x₀. To bude podstatou konstrukce algoritmu pro v´ypoˇcet odmocniny.

Pozn´amka 2 (Taylor˚uv vzorec). Necht’ m´a nyn´ı funkce f(x) v okol´ı bodu x⁰derivace aˇz do ˇr´adu n+ 1. Pak pro vˇsechna x z tohoto okol´ı plat´ı tzv. Taylor˚uv vzorec

f(x) =∑^∞

k=0

f^(k)(x⁰)

k! (x − x⁰)^k+ Rⁿ(x), kde

R_n(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n + 1)! (x− x0)ⁿ⁺¹

pˇriˇcemˇz ξ, je nˇejak´e vhodn´e ˇc´ıslo leˇz´ıc´ı mezi x₀ a x. Funkce R_n(x) se naz´yv´a zbytek nebo chyba Taylorova polynomu. Zbytek zde uveden´y je v tzv. Lagrangeovˇe tvaru, coˇz nen´ı jedin´a moˇznost jeho vyj´adˇren´ı.

Pozn´amka 3 (Taylorova a Maclaurinova ˇrada). Je-li funkce v okol´ı bodu x₀ ne- koneˇcnˇe hladk´a (tedy m´a nekoneˇcnˇe mnoho derivac´ı), m˚uˇzeme funkci v tomto bodˇe rozvinout do tzv. Taylorovy ˇrady. Pak pro vˇsechna x z vhodn´eho okol´ı bodu x₀ plat´ı

f(x) =∑^∞

k=0

f^(k)(x⁰)

k! (x − x⁰)^k.

Okol´ı bodu x0, ve kter´em rovnost plat´ı, se naz´yv´a polomˇer konvergence Taylorovy ˇrady. Tento polomˇer z´avis´ı na x₀.

Pro x₀ = 0 tak dost´av´ame speci´aln´ı pˇr´ıpad Taylorovy ˇrady, tzv. Maclaurinovu ˇradu, kter´a je tvaru

f(x) =∑^∞

k=0

f^(k)(0) k! (x)^k.

2.4.1 Taylorova metoda prvn´ıho stupnˇ e pro v´ ypoˇ cet odmocniny

Nyn´ı se pokus´ıme odvodit algoritmus (opˇet to bude rekurent´ı vzorec) pro pˇribliˇzn´y v´ypoˇcet odmocniny zaloˇzen´y na Taylorovˇe polynomu. Lze se domn´ıvat, ˇze pouˇzit´ı r˚uzn´ych polynom˚u v ide´aln´ım pˇr´ıpadˇe ovlivn´ı rychlost v´ypoˇctu pˇr´ısluˇsnou metodou (pˇresnˇeji ˇr´ad konvergence metody). V ide´aln´ım pˇr´ıpadˇe tak, ˇze ˇc´ım v´ıce ˇclen˚u poly- nomu pouˇzijeme, t´ım rychlejˇs´ı metoda bude. Zaˇcneme s polynomem stupnˇe jedna, tedy s polynomem, kter´y m´a dva ˇcleny. Uk´aˇzeme, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe je Taylorova metoda identick´a s babylonskou metodou.

Pro naˇse dalˇs´ı uvaˇzov´an´ı poloˇz´ıme f(x) =√

x a zkonstruujeme nejprve polynom stupnˇe jedna. Pro pˇrehlednost budeme u Taylorova polynomu znaˇcit dalˇs´ım doln´ım indexem bod, ve kter´em funkci rozvj´ıj´ıme. Dostaneme tak

T_1,x0(x) = f(x0) + f^′(x0)(x − x0)

= (x⁰)¹² +1

2(x⁰)⁻¹²(x − x⁰)

= √x⁰+1

2⋅x− x0

√x₀ .

Z pohledu v´ypoˇctu odmocniny z ˇc´ısla s, kterou nav´ıc m´ame aproximovanou ˇc´ıslem a (viz (2.2)), budeme funkci rozv´ıjet do polynomu v bodˇe, kde funci um´ıme vyˇc´ıˇslit, tedy v bodˇe a² a budeme doufat, ˇze bod s bude leˇzet ve vhodn´em okol´ı (napˇr. z pohledu polomˇeru konvergence Taylorovy ˇrady). Z´ısk´ame tak v´yraz

T_1,a²(s) =√ a²+1

2⋅s√− a²

a² = a +1 2(s

a−a² a ) = 1

2(a + s

a) . (2.11) Moˇzn´a s pˇrekvapen´ım zjiˇst’ujeme, ˇze jsme dostali opˇet stejn´y vztah. Pˇresnˇeji ˇreˇceno:

Aproximace odmocniny z ˇ c´ısla s spoˇ cten´ a pomoc´ı Taylorova polynomu prvn´ıho stupnˇ e zkonstruovan´ eho v bodˇ e a

n´ am d´ a identick´ y v´ ysledek jako prvn´ı krok babylonsk´ e metody resp. Newtonovy

metody aplikovan´ e na rovnici x

− s = 0, v obou pˇ r´ıpadech s poˇ c´ ateˇ cn´ım odhadem a.

Jako pˇr´ıklad v´ypoˇctu odmocniny bychom tedy i zde mohli pouˇz´ıt jiˇz dˇr´ıve prezen- tovan´y pˇr´ıklad 1.

Poznamenejme nyn´ı, ˇze souvislost mezi Newtononovou a Taylorovou metodou prvn´ıho stupnˇe (byt’ jedna slouˇz´ı k nalezen´ı koˇrene rovnice a druh´a k vyˇc´ıslen´ı funkˇcn´ı hodnoty) je obecn´y a vr´at´ıme se k nˇemu v n´asleduj´ıc´ı sekci. Z´aroveˇn m˚uˇzeme tento vztah vn´ımat jako ospravedlnˇen´ı n´asleduj´ıc´ı ´uvahy: V pˇr´ıpadˇe Taylorova poly- nomu prvn´ıho stupnˇe m˚uˇzeme vyˇc´ıslen´ı funkˇcn´ı hodnoty pomoc´ı tohoto polynomu zˇretˇezit do iteraˇcn´ıho sch´ematu (odpov´ıdaj´ıc´ıho pr´avˇe babylonsk´e resp. Newtonovˇe metodˇe). M˚uˇzeme se pokusit o analogick´e zˇretˇezen´ı vyˇc´ıslen´ı funkˇcn´ı hodnoty i po- moc´ı Taylorova polynomu vyˇsˇs´ıho stupnˇe (tj. pokus´ıme se to prov´est bez dalˇs´ıch d˚ukaz˚u napˇr. konvergence takto generovan´e posloupnosti).

2.4.2 Newtonova metoda a metoda vyuˇ z´ıvaj´ıc´ı Taylorova poly- nomu prvn´ıho stupnˇ e pro obecnou funkci f (x)

Vidˇeli jsme, ˇze pro odhad odmocniny z ˇc´ısla s= a²+b n´am Taylor˚uv polynom prvn´ıho stupnˇe rozvinut´y v bodˇe a² dal zcela identick´y v´ysledek jako prvn´ı krok Newtonovy metody pouˇzit´e na rovnici x²− s = 0 s poˇc´ateˇcn´ım odhadem x⁰ = a. Nyn´ı zkus´ıme naznaˇcit, ˇze tento vztah nen´ı n´ahodn´y, ale plat´ı obecnˇe.

Tabulka 2.1: Pˇreveden´ı aproximace funkˇcn´ı hodnoty pomoc´ı Taylorova polynomu prvn´ıho stupnˇe na Newtonovovu metodu. Porovn´an´ı pro√

x a obecn´e f(x).

funkce, kterou budeme vyˇc´ıslovat √

x f(x)

funkci budeme vyˇc´ıslovat v bodˇe s s= a²+ b s= f⁻¹(a) + b funkˇcn´ı hodnotu v bodˇe s− b zn´ame √

s− b = a f(s − b) = a vyˇc´ıslen´ı lze pˇrev´est na rovnici x²− s = 0 f⁻¹(x) − s = 0 funkce na prav´e stranˇe rovnice g(x) = x²− s g(x) = f⁻¹(x) − s M´ısto vyˇc´ıslov´an´ı funkci √

x v bodˇe s bychom r´adi vyˇc´ıslili funkci f(x). Funkci v bodˇe s vˇsak obecnˇe vyˇc´ıslit neum´ıme, ale um´ıme vyˇc´ıslit v nˇejak´em bl´ızk´em okol´ı, v prvn´ım pˇr´ıpadˇe to byl bod a², √

a² = a (ˇc´ısla s i a byla kladn´a), nyn´ı to bude v bodˇe f⁻¹(a), f(f⁻¹(a)) = a (pˇredpokl´ad´ame pro jednoduchost, ˇze inverze existuje).

C´ıslem b budeme vyjadrovat rozd´ıl mezi obˇˇ ema body, konkr´etnˇe s= a²+ b v prvn´ım a s= f⁻¹(a) + b v druh´em pˇr´ıpadˇe, viz tak´e tabulka 2.1.

Newtonova metoda pro f(x)

Newtonova metoda pouˇzit´a k vyˇc´ıslen´ı√

s byla aplikov´ana na rovnici x²− s = 0.

Vedla pak na iteraˇcn´ı vztah

x_n+1= xⁿ− g(xⁿ)

g^′(xⁿ) =x_n−x²_n− s 2xn =1

2(xⁿ+ s xn) .

Nyn´ı se pod´ıv´ame na iteraˇcn´ı sch´ema pro obecnou funkci f(x). Newtonovou metodou budeme cht´ıt vyˇc´ıslit f(s), budeme ji tedy aplikovat na rovnici

f⁻¹(x) − s = 0.

Pˇripomeˇnme vˇsak nejprve vztah pro derivaci inverzn´ı funkce d

dx(f⁻¹(x)) = 1 f^′(f⁻¹(x)). Zˇrejmˇe pak dostaneme

x_n+1= xⁿ− g(xⁿ)

g^′(xⁿ) =x_n− (f⁻¹(xⁿ) − s)

(f⁻¹(xⁿ) − s)^′ = xⁿ− (f⁻¹(xⁿ) − s) ⋅ f^′(f⁻¹(xⁿ)). (2.12)

Taylorova metoda pro f(x)

Zkonstruujeme-li naopak Taylor˚uv polynom prvn´ı funkce f(x) v bodˇe ̃x dostaneme f(x) ≈ f(̃x) + f^′(̃x)(x − ̃x).

Pokud funkci rozv´ıj´ıme konkr´etnˇe v bodˇe ̃x = f⁻¹(a), kde ji um´ıme vyˇc´ıslit, dosta- neme po drobn´e ´upravˇe

f(x) ≈ f(f⁻¹(a)) + f^′(f⁻¹(a)) ⋅ (x − f⁻¹(a))

≈ a − (f⁻¹(a) − x) ⋅ f^′(f⁻¹(a)).

Pˇribliˇzn´a hodnota funkce f v bodˇe s je tedy

f(s) ≈ a − (f⁻¹(a) − s) ⋅ f^′(f⁻¹(a)). (2.13) Porovn´an´ı obou metod

Porovn´an´ım obou vztah˚u (2.12) a (2.13)

x_n+1= xⁿ−(f⁻¹(xⁿ) − s) ⋅ f^′(f⁻¹(xⁿ)), f(s) ≈ a−(f⁻¹(a) − s) ⋅ f^′(f⁻¹(a)) se jejich souvislost stane zˇrejmou.

2.4.3 Taylorova metoda druh´ eho stupnˇ e pro v´ ypoˇ cet odmocniny

Nyn´ı se pokus´ıme odvodit vztah pro pˇribliˇzn´y v´ypoˇcet odmocniny zaloˇzen´y na Ta- ylorovˇe polynomu druh´eho stupnˇe,

T_2,x0(x) = f(x0) + f^′(x0)(x − x0) +1

2f^′′(x0)(x − x0)²

= (x⁰)¹² +1

2(x⁰)⁻¹²(x − x⁰) +1 4(−1

2) (x⁰)⁻³²(x − x⁰)²

= √x⁰+1

2⋅x√− xx₀⁰ −1

8⋅ (x√− x⁰)² x³₀ .

(2.14)

Nyn´ı budeme postupovat jako v pˇr´ıpadˇe polynomu prvn´ıho stupnˇe. Taylor˚uv poly- nom druh´eho stupnˇe tedy rozvineme v bodˇe a² a dosad´ıme do nˇej ˇc´ıslo s (s= a²+ b) jehoˇz odmocninu hled´ame

T_2,a²(s) =√ a²+1

2 ⋅s√− a² a² −1

4⋅ (√s− a²)² (a²)³ =1

8(3a +6s a − s²

a³) . (2.15) Dostali jsme tak koneˇcnˇe nov´y vztah pro pˇribliˇzn´y v´ypoˇcet odmocniny.

Zkusme ho podobnˇe, jak jiˇz bylo v´yˇse naznaˇceno, interpretovat jako iteraˇcn´ı metodu analogicky, jako jsme Taylorov˚uv polynom prvn´ıho stupnˇe interpretovali

jako babylonskou, resp Newtnovu iteraˇcn´ı metodu. Dostaneme tak algoritmus, kter´y m˚uˇzeme schematicky zapsat n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem

a0 ≈√² s, a_n=1

8(3aⁿ⁻¹+ 6s

a_n−1 − s² a³_n−1) . Ot´azkou z˚ust´av´a, zda lim_nÐ→∞a_n existuje a zda je rovna √

s. Snadno lze ovˇeˇrit, ˇze

±√

s (a ±∞) jsou stacion´arn´ı body rekurentn´ıho vztahu. Konvergenci se pokus´ıme ilustrovat alespoˇn na n´asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech.

Pˇr´ıklad 2. Zkusme vypoˇc´ıtat odhad druh´e odmocniny z ˇc´ısla f(x) = √

s, kde s = 28977. Stejnˇe jako v pˇr´ıkladu viz (1) vol´ıme poˇc´ateˇcn´ı odhad a= 200. Dosad´ıme do vztahu pro v´ypoˇcet druh´eho stupnˇe Taylorovy metody.

T_2,a²(s) = 1

8(3a + 6s a −s²

a³)

=1

8(3 ⋅ 200 +6⋅ 28977

200 −28977² 200³ )

“ 170, 5439605

Pˇr´ıklad 3. Zkus´ıme nyn´ı pouˇz´ıt Taylor˚uv polynom druh´eho stupnˇe iteraˇcnˇe. Tedy pouˇz´ıt odvozen´y rekurentn´ı vztah pro v´ypoˇcet t´ehoˇz pˇr´ıkladu, tj. f(x) = √

s, kde s= 28977. Bˇehem v´ypoˇctu prov´ad´ıme zokrouhlov´an´ı na deset platn´ych ˇc´ıslic:

a0 = 200;

a1 = 1

8(3 ⋅ 200 +6⋅ 28977

200 −28977²

200³ ) “ 170, 5439605;

a₂ = 1

8(3 ⋅ 170, 5439605 + 6⋅ 28977

170, 5439605− 28977²

170, 5439605³) “ 170, 2229455;

a₃ = 1

8(3 ⋅ 170, 2229455 + 6⋅ 28977

170, 2229455− 28977²

170, 2229455³) “ 170, 2263199;

a₄ = 1

8(3 ⋅ 170, 2263199 + 6⋅ 28977

170, 2263199− 28977²

170, 2263199³) “ 170, 2263199.

Vid´ıme, ˇze v tomto konkr´etn´ım pˇr´ıpadˇe konverguje sch´ema rychleji neˇz v pouˇzit´ı ba- bylonsk´e metody. Hodnota se ust´al´ı uˇz pˇri tˇret´ı iteraci, zat´ımco u Babylonsk´e metody aˇz pˇri ˇctvrt´e, viz pˇr´ıklad 1.

2.4.4 Taylorova metoda k-t´ eho stupnˇ e pro v´ ypoˇ cet odmocniny

Pod´ıv´ame-li se na vzorce T_1,a²(s) = 1

2(a + s

a) , T_2,a²(s) = 1

8(3a + 6s a −s²

a³) ,

kter´e vyjadˇruj´ı pˇribliˇznou hodnotu funkce v bodˇe s, vid´ıme, ˇze se koeficienty liˇs´ı.

Pˇrestoˇze se jedn´a o Taylorovy polynomy t´eˇze funkce v t´emˇze bodˇe T_k,a²(s), druh´y by tedy mˇel b´yt zpˇresnˇen´ım prvn´ıho. (Napˇr. konstantn´ı ˇclen polynomu je ¹₂a pro k= 1, respektive ³₈a pro k= 2. Koeficient u line´arn´ıho ˇclenu je 2a¹ pro k= 1, respektive 4a³

pro k= 2, atd.)

Oba vzorce vyjadˇruj´ı odhad odmocniny pomoc´ı polynomu T☆(s) v promˇenn´e s, coˇz je ˇc´ıslo, kter´e chceme odmocnit. Dosad´ıme-li vˇsak a²+ b za s (pˇripomeˇnme, ˇze s = a² + b) dostaneme tak nov´e polynomy P^☆(b) ≡ T^⋯(a² + b) v promˇenn´e b.

Konkr´etnˇe, pro polynom stupnˇe jedna dostaneme:

T_1,a²(s) = 1 2(a + s

a) , P_1,a²(b) ≡ T1,a²(a²+ b) = 1

2(a +a²+ b a ) , P_1,a²(b) = a + b

2a. Podobnˇe pro polynom stupnˇe dva:

T_2,a²(s) = 1

8(3a + 6s a −s²

a³) , P_2,a²(b) ≡ T^2,a2,(a2+b)= 1

8(3a +6(a²+ b)

a − (a²+ b)² a³ ) , P_2,a²(b) = a + b

2a− b² 8a³ . Vˇsimnˇeme si, ˇze u polynom˚u P_k,a²(b),

P_1,a²(b) = a + b

2a, P_2,a²(b) = a + b 2a − b²

8a³

se jiˇz koeficienty s narustaj´ıc´ım k nemˇen´ı. Taylor˚uv polynom je konstruov´an pr´avˇe v ”rozd´ılov´e promˇenn´e“ (x − x⁰), viz (2.10). Zde je rozd´ılovou promˇennou pr´avˇe s− a² = b.

S vyuˇzit´ım polynom˚u P☆(b) tedy m˚uˇzeme z Taylorova polynomu, a tedy i iteraˇcn´ı metody stupnˇe k− 1, snadno zkonstruovat polynom, resp. metodu vyuˇz´ıvaj´ıc´ı poly- nomy stupnˇe k. Dopoˇc´ıt´ame-li obecnou derivaci, z´ısk´ame polynom P_k,a2(b) ve tvaru

P_k,a²(b) =∑^k

`=0

(−1)<sup>`</sup>(2`)!

(1 − 2`)(`!)²4^{`</sup> ⋅ b<sup>`}

a^2`−1 = (a + b 2a− b²

8a³ + b³

16a⁵ − 5b⁴

128a⁷ + ⋯) .