 VARIATION AV PARAMETRAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676     Variation av parametrar

Sida 1 av 4

VARIATION AV PARAMETRAR

Bestämning av en partikulär lösning till icke-homogena DE )

( ) ( )

(x y Q x y f x P

y   (ekv 1)

---

Anta att vi känner till den allmänna lösningen yC₁y₁(x)C₂y₂(x) (L0) för homogena ekvationen yP(x)yQ(x)y0 (ekv 0)

För att bestämma en partikulär lösning till (ekv1) ersätter vi i L0 kanstanterna C₁och C₂ med funktioner v₁(x)och v₂(x) och söker en lösning till (ekv1) på formen

) ( ) ( ) ( )

( _{1 2 2}

1 x y x v x y x

v

y_p   . (L1)

För att bestämma två obekanta v₁(x) och v₂(x)behöver vi två villkor.

Funktioner v₁(x)och v₂(x)bestämmer vi ur följande system:





 

 





 

 

) ( 0

2 2 1 1

2 2 1 1

x f y v y v

y v y

v (sys v)

Förklaring: Om v₁(x)och v₂(x)satisfierar (sys v) då är y_p v₁(x)y₁(x)v₂(x)y₂(x) en lösning till (ekv 1). Detta kan visas genom att beräkna y och _p y  och substituera i (ekv 1). _p Vi kan beskriva metoden med följande steg:

Steg 1. Använd fundamentala lösningar y₁(x)och y₂(x) och bilda systemet





 

 





 

 

) ( 0

2 2 1 1

2 2 1 1

x f y v y v

y v y

v (sys v)

Steg 2. Lös systemet (sys v) och bestäm v₁(x) och v₂(x).

( Du kan välja lämplig metod : substitutionsmetoden, additionsmetoden, Cramers metod eller Gaussmetoden).

Steg 3. Bestäm v₁(x) och v₂(x) genom att integrera v₁(x) och v₂(x).

(Anmärkning: Det kan hända att v₁(x) (eller v₂(x) ) saknar elementär primitiv funktion då anger vi v₁(x) ( eller v₂(x)) med hjälp av integralen v t dt

x

x



^

0

1( ) .

Steg 4. Ange först y_p v₁(x)y₁(x)v₂(x)y₂(x) och därefter den allmänna lösningen till (ekv1) y y_h y_p C₁y₁(x)C₂y₂(x)v₁(x)y₁(x)v₂(x)y₂(x)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676     Variation av parametrar

Sida 2 av 4 Uppgift 1. Homogena ekvationen 0

cos sin 

 y

x

y x , (cosx0) har två linjärt oberoende lösningar (eller fundamental lösningsmängd) y₁1 och y₂ sinx.

Bestäm en partikulär lösning till

x y x

x y x

cos sin cos

sin 

 , ( där cosx0).

Lösning:

Steg 1. Först bildar vi systemet





 

 





 

 

) ( 0

2 2 1 1

2 2 1 1

x f y v y v

y v y

v :

Vi får























x x x

v v

x v v

cos cos sin

0

0

sin 1

2 1

2 1

eller

















b) (ekv cos

cos sin

a) (ekv 0

sin

2 2 1

x x x

v x v v

Steg 2. Från andra ekvationen har vi

x v_{2 2}x

cos

 sin

 . Detta substituerar vi i (ekv b) och får

x v x

x x

v x ₂

2 2 1

1 cos

0 sin cos sin

sin    

 .

Steg 3: Vi bestämmer v₁(x) och v₂(x) genom att integrera v₁(x) och v₂(x):

Vi har dx x x

dx x x dx x

x

v x ) tan

cos 1 1 cos (

cos 1 cos

sin

2 2

2 2

2

1







 



   . (Ingen

integrationskonstant i den delen eftersom vi bestämmer en partikulär lösning.)

dx x x v x

cos 1 cos

sin

2 



2  (använd subs. cosxt,  sinxdxdt) Steg 4. En partikulär lösning är

) ( ) ( ) ( )

( _{1 2 2}

1 x y x v x y x

v

y_p   x x x x x

x x

x       

 sin tan tan

cos 1 1 ) tan (

Den allmänna lösningen är y y_h y_p C₁1C₂sinxx. Svar: En partikulär lösning: y_p  , x

Den allmänna lösningen: yC₁C₂sinxx

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676     Variation av parametrar

Sida 3 av 4

--- I nedanstående uppgift kan vi inte bestämma en elementär primitiv funktion till v₂. Därför definierar vi v₂(x)med hjälp av en integral.

Uppgift 2. Homogena ekvationen y4y0 har den allmänna lösningen

x x

h Ce C e

y  ₁ ²  ₂ ^2 .

Bestäm en partikulär lösning till

x y e y

x 2

4 

 , x >0.

Lösning:

Steg 1. Först bildar vi systemet





 

 





 

 

) ( 0

2 2 1 1

2 2 1 1

x f y v y v

y v y

v :

Vi får







 

 

 

 





b) (ekv 2

2

a) (ekv 0

2 2 2 2 1

2 2 2 1

x e e

v e v

e v e v

x x x

x x

Steg 2. Vi löser systemet t ex med additionsmetoden.

2*(ekv a) + (ekv b) ger x

e e v

x x

2 2

4 1  och därmed v x

4 1

1 . Nu , från (ekva) har vi

x v e

e v xe

x x

x

0 4 4

1 ⁴

2 2

2

2   ^     .

Anmärkning: För att lösa ovanstående system kunde vi använda en annan metod, t ex Cramers metod.

Steg 3: Vi bestämmer v₁(x) och v₂(x) genom att integrera v₁(x) och v₂(x): Vi har v lnx

4 1

1  .

Eftersom x e ^x 4

4

 saknar elementär primitiv funktion anger vi dt t x e

v

x t







1 4

2 4

) 1

( .

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR , SF1676     Variation av parametrar

Sida 4 av 4 ( Anmärkning: Enligt envariabelanalys existerar dt

t

xe t



1 4

eftersom x e^4x

är kontinuerlig

funktion i intervallet (0, . Vi valde x) 0=1 men kan välja vilken som helst punkt i (0, för ) nedre gränsen i integralen).

Steg 4. En partikulär lösning är y_p v₁(x)y₁(x)v₂(x)y₂(x) dvs

t dt e x e

y e

x t

x x

p ^{  }



1 4 2 2

ln 4

4 .

Svar: dt

t e x e

y e

x t

x x

p ^{  }



1 4 2 2

ln 4 4