RÄTA LINJER OCH PLAN
Räta linjer i 3D-rummet:
Låt L vara den räta linjen genom
punkten P=(x1,y1,z1)som är parallell med vektorn v=(v1,v2,v3)≠0.
Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange på vektorform eller med tre skalära ekvationer.
Räta linjens ekvation på parameterform (radvektorform) )
, , ( ) , , ( ) , ,
(x y z = x1 y1 z1 +t v1 v2 v3 Vi kan skriva vektorer som kolonner.
Räta linjens ekvation på parameterform (kolonnvektorform)
+
=
3 2 1
1 1 1
v v v t z y x
z y x
Om vi identifierar koordinater i ovanstående ekvation får vi:
Räta linjens ekvationer på parameterform ( 3 skalära ekvationer)
⋅ +
=
⋅ +
=
⋅ +
=
3 1
2 1
1 1
v t z z
v t y y
v t x x
(*)
---
Om alla koordinater i linjens riktningsvektor v =(v1,v2,v3)
är skilda från 0 dvs 0
, 0 2
1 ≠ v ≠
v och v3 ≠0 kan vi eliminera parameter t [från varje ekv i (*)] och få
3 1 2
1 1
1
v z z v
y y v
x
t = x− = − = − .
Därmed kan vi skriva linjens ekvation på följande sätt
3 1 2
1 1
1
v z z v
y y v
x
x −
− =
− =
(**)
där P=(x1,y1,z1) är en punkt på linjen och v =(v1,v2,v3)
är en vektor parallell med linjen. Vi upprepar att formen (**) får användas endast om
0 , 0 2
1 ≠ v ≠
v och v3 ≠0, annars blir nämnaren 0 . Anmärkning . Var och en av likhetera i (**)
P
P
dvs
2 1 1
1
v y y v
x
x− = −
och
3 1 2
1
v z z v
y
y −
− =
är ekvationen för ett plan Π respektive 1 Π . Därmed kan linjen given på formen 2 (**) uppfattas som skärningen mellan två plan Π och 1 Π . 2
--- Räta linjer i xy-planet
Räta linjens ekvation i xy- planet ges oftast på en av följande form n
kx
y= + explicit form [ dvs formen y = f(x)]
=0 + +by c
ax implicit form [ dvs formen F(x,y)=0]
Linjen i xy-planet kan, lika som i 3D-rummet anges på parameterform. För att skriva en linje på parameterform om linjen är given på explicit eller implicit form betecknar vi en variabel ( x eller y) med t och löser ut den andra variabel.
Exempel. Ange linjen 4x+ y2 −3=0 i xy-planet på parameterform.
Lösning: Vi väljer en variabel t. ex. x och betecknar x= . Från t
⇒
=
− +2 3 0
4x y 4t+2y−3=0⇒ y=(3−4t)/2.
Därmed blir linjens ekvationer ( 2 ekvationer i xy-planet) på parameterform:
−
=
=
t y
t x
2 2 / 3
Anmärkning . I xy-planet, dvs 2D- rummet, är ax+by+c=0 en ekvation för en rät linje.
Om vi betraktar 3D rummet med xyz-koordinatsystem då samma ekvation
=0 + +by c
ax beskriver ett plan med en normalvektor N =(a,b,0)
. ( Eftersom z saknas i ekvationen är planet parallell med z axeln )
Samma resonemang gäller för ekvationen y=kx+n: I xy-planet beskriver y=kx+n en rät linje.
I xyz-koordinatsystem beskriver y=kx+n ett plan parallell med z-axel.
====================================
Plan:
Låt π vara planet genom punkten P=(x1,y1,z1)som har normalvektorn ( , , ) 0
≠
= A B C
N .
Planets ekvation är
0 ) ( ) (
)
(x−x1 +B y− y1 +C z−z1 = A
Efter förenkling har vi
planets ekvation på allmän form:
=0 + +
+By Cz D Ax
ÖVNINGAR:
Uppgift 1.
En rät linje går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(3,4,10).
Bestäm linjens ekvation.
Lösning: v= BA =(2,2,7)
är en riktningsvektor.
Linjens ekvation på parameterform : (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
+
=
7 2 2 3 2 1
t z
y x
Svar: (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)
Uppgift 2.
En rät linje går genom punkterna A=(2,2,3) och B=(3,4,4).
Bestäm linjens ekvation på
a) parameterform (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3) b) på formen
3 1 2
1 1
1
v z z v
y y v
x
x− = − = −
( om möjligt) Lösning: v= BA =(1,2,1)
är en riktningsvektor.
a) Linjens ekvation på parameterform är (x,y,z)=(2,2,3)+t(1,2,1) b) Linjens ekvation på formen
3 1 2
1 1
1
v z z v
y y v
x
x −
− =
− =
är
1 3 2
2 1
2 = − = −
− y z
x .
Uppgift 3. En rät linje går genom punkten P(1,2,3) och har riktningsvektor
=
v ( 2, 0, 5) .
a) Ange linjens ekvation på parameterform (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3). b) Kan man ange linjens ekvation på formen
3 1 2
1 1
1
v z z v
y y v
x
x −
− =
− = Svar:
a) (x,y,z)=(1,2,3) +t ( 2, 0, 5) är linjens ekv. på parameterform.
b) Nej, eftersom v =0 ( uttrycket är inte definierad om nämnaren är 0) 2
Uppgift 4. Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) Bestäm
a) en riktningsvektor , dvs en vektor (bland ändligt många) parallell med linjen
b) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) c) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L.
Lösning:
a) En riktningsvektor är v = (1, 2, 0) Notera att varje vektor av typ k v
= k (1, 2 0) , k ≠ är också linjens riktningsvektor. 0 T ex (10, 20, 0) eller (–10, –20, 0) också är linjens riktningsvektorer.
b) En enhets vektor parallell med linjen är (1,2,0) 5 1
|
| 1
1 = v =
e v
. [ Den andra är (1,2,0)
5 1
|
| 1
2 =− v =−
e v
]
c)
Tre punkter för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i ekvationen (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3):
T ex. t = 0⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+0⋅(1,2,0) = (0,2,1) t = 1⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+1⋅(1,2,0) = (1,4,1) t = 10⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+10⋅(1,2,0) = (10,22,1)
Svar: a) En riktningsvektor är v = (1,2,0).
b) En enhets vektor parallell med linjen är (1,2,0) 5 1
|
| 1
1 = v =
e v
. c) Tre punkter (0,2,1) , (1,4,1) och (10,22,1) .
Uppgift 5. Linjen L är given på följande form
4 3 2
2 1
3= + = −
− y z
x .
a) Ange linjens ekvation på parameterform.
b) Bestäm en riktningsvektor och tre punkter på linjen L
c) Bestäm 3 punkter ( bland ändligt många) som ligger på linjen L.
Lösning:
a) Vi betecknar de tre lika uttryck med t
z t y
x− = + = − =
4 3 2
2 1
3
och därefter löser x, y , z . Vi har
t x x t
+
=
⇒
− = 1 3 3
t y
y t
2 2 2
2 = ⇒ =− +
+
t z
z t
4 4 3
3= ⇒ = +
−
Alltså (x,y,z)=(3,–2, 3)+t(1,2,4) är linjens ekvation på parametersform Alternativt skrivsätt
+
−
=
4 2 1 3
2 3
t z
y x
b) En riktningsvektor är är v
=(1,2,4).
c) Vi substituerar tre t-värden, t ex t=0, t=1 och t=2 och får tre punkter A=(3,–2, 3), B=(4, 0, 7) och C=( 5, 2 11)
Uppgift 6. Bestäm vilka av följande punkter A=(–1,0, 1) , B=( 1, 4, 2) , C=( 3, 8, 1) ligger på linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0).
Lösning:
i) Punkten A(–1,0, 1) ligger på linjen (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) om och endast om det finns ett värde på parametern t så att
(–1,0, 1) = (0,2,1)+t(1,2,0)
dvs om det finns ett t-värde så att alla tre skalära ekvationer –1 = 0+t
0 = 2+2t 1 = 1+0·t
samtidigt är uppfyllda.
Från första ekvationen har vi t= –1. Samma t= –1 satisfierar också andra och tredje ekvationen och därmed ligger punkten A på linjen L ( punkten svarar mot t=–1)
ii) För punkten B( 1, 4, 2) har vi följande vektorekvation
( 1, 4, 2) = (0,2,1)+t(1,2,0)
som är ekvivalent med de tre skalära ekvationerna
1 = 0+t 4 = 2+2t 2 = 1+0·t
Första ekvationen ger t=1. (Därmed, om det finns en lösning på t för alla tre ekvationen då är t=1). Vi kollar om t=1 satisfierar de 2 kvarstående ekvationer.
Substitutionen i andra ekvationen ger 4=4 (OK) men insättning t=1 i den tredje ekvationen ger 2=1 som är inte sant. Punkten B ligger alltså inte på linjen L.
iii) Med samma metod inser vi att punkten C fås ur ekvationen om t=3, dvs C ligger på linjen L
Svar. A och C ligger på L medan B inte ligger på linjen L.
Uppgift 7. ( 2D rummet) Vi betraktar den räta linje i xy-planet ( 2 dimensionella rummet ) som har ekvationen L: 2x+ y3 −4=0.
a) Bestäm linjens ekvation på explicit form y=kx+n b) Ange linjen på parameterform
c) Bestäm en vektor parallell med linjen L
d) Bestäm två enhetsvektorer parallella med linjen.
e) Bestäm en vektor i xy-planet som är vinkelrät mot linjen L Lösning:
a) Vi löser ut y ur ekvationen 2x+ y3 −4=0, 3 4 3
2 3
4 0 2
4 3
2 − +
= + ⇒
= −
⇒
=
−
+ x y x
y y
x ( explicit form)
b) Vi betecknar x= t och får ( enkelt från explicit form) linjen på parameter form
− +
=
=
3 4 3
2t y
t x
Vi kan också skriva )
3 4 3 , 2 ( ) ,
( − +
= t t
y
x eller
= −
3 / 2 3 /
4 t
t y
x .
c) Vi kan välja två punkter på linjen genom att välja värden på x (eller på t i parameterform) och beräkna y.
Vi kan t ex välja följande punkter A(0, 4/3 ) och B(1, 2/3) och beräkna AB→ =(1,−2/3). Varje vektor parallell med
→
AB är också parallell med linjen.
( Vi kan även använda parameterform och direkt välja vektorn (1,−2/3) )
Som en riktningsvektor (bland oändligt många) kan vi ange v=3AB→ =(3,−2) med heltalskoordinater.
d) Det finns två enhetsvektorer som är parallella med linjen L )
2 , 3 ( 13 1
|
| 1
2 ,
1 =± v =± −
e v
u v N
e) En vektor n =(a,b) är vinkelrät mot linjen L om ( och endast om) den är vinkelrät mot linjens riktningsvektor v =(3,−2) och därför är skalärprodukten
=0
⋅ v n
.
Alltså 3a−2b=0⇒a=2b/3. Vi söker en vinkelrät vektor ( bland oändligt många sådana vektorer) så at vi kan välja b, t ex kan vi ta b=3och få a=2.
Därmed blir n=(2,3) en vektor vinkelrät mot L. Notera att varje vektor parallell med )
3 , 2
=( n
också är vinkelrät mot L.
Uppgift 8.
Ett plan går genom punkten A=(1,3,1). Planet är parallellt med vektorerna )
3 , 2 , 1
=(
u och v =(1,1,2).
Bestäm planets ekvation a) på parameterform
b) på formen Ax+By+Cz+D=0 . Lösning:
a) (x,y,z)=(1,3,1)+t(1,2,3)+s (1,1,2)
b) = × = = = − + =
1 1
2 1 2 1
3 1 2 1
3 2 2 1 1
3 2 1
2 2 2
1 1
1 i j k
k j i
z y x
z y x
k j i v u
N
) 1 , 1 , 1 ( 1 1
1 + − = −
= i j k Planets ekvation:
0 3
0 ) 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 ( 1
0 ) ( ) (
)
( 1 1 1
=
−
− +
⇒
=
−
−
− +
−
⇒
=
− +
− +
−
z y x
z y
x
z z C y y B x x A
Svar: Planets ekvation: x+ y−z−3=0 Uppgift 9.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,–2) och B=(–1,5,2) och C=(3,0,2).
Bestäm planets ekvation.
Lösning: N = AB→ ×AC→ =(20,16,−6)
Vi kan använda punkten A och vektornN2 =(10,8,−3)
(som är parallell med N ).
0 24 3 8 10
0 ) 2 ( 3 ) 1 ( 8 ) 1 ( 10
0 ) ( ) (
)
( 1 1 1
=
−
− +
⇒
= +
−
− +
−
⇒
=
− +
− +
−
z y x
z y
x
z z C y y B x x A
Svar: Planets ekvation: 10x+8y−3z−24=0
Uppgift 10.
Ett plan går genom punkterna A=(1,1,2) och B=(1,2,3). Planet är parallell med linjen
) 1 , 1 , 2 ( ) 5 , 4 , 3 ( ) , ,
(x y z = +t Bestäm planets ekvation.
Lösning:
Vektorerna u = AB→ =(0,1,1) och linjens riktningsvektor v =(2,1,1) är parallella med planet Bestäm planets ekvation.
) 2 , 2 , 0
( −
=
×
=u v N
. Planets ekvation:
0 2 2 2
0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 0
0 ) ( ) (
)
( 1 1 1
= +
−
⇒
=
−
−
− +
−
⇒
=
− +
− +
−
z y
z y
x
z z C y y B x x A
Svar: Planets ekvation: y− z+1=0
Uppgift 11.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är ortogonal (vinkelrät) mot planet 0
1 3 + = +
+ y z
x . Bestäm linjens ekvation.
Lösning: Planets normal v =(1,1,3)är en är en riktningsvektor . Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3) Svar: (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)
Uppgift 12.
En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är parallell med skärningslinjen mellan planen
0 3=
− + + y z
x och x+2y+3z+1=0 Bestäm linjens ekvation.
Lösning:
Vi löser systemet med Gaussmetoden:
= + +
=
− +
⇒ +
= + + +
=
− + +
0 4 2
0 3 0
1 3 2
0 3
z y
z y x z
y x
z y
x
En fri variabel z=t. y=−4−2t x=3−y−z⇒ x=7+t dvs
t x= 7+
t y=−4−2 z=t
Alltså har skärnings linje ekvation (x,y,z)=(7,–4,0)+t(1,–2,1)
Den sökta linjen har samma riktnings vektor men går genom punkten A.
Därför:
(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)
Svar: Linjens ekvation är (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1) Uppgift 13.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen
L: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) och följande plan:
a) x+y+z+3=0 b) x−y+z=0 c) x−y+z−1=0 d) Beräkna vinkeln mellan linjen L och planet x+ y+z+3=0.
Svar: a) x=0, y =−2, z=−1 b) Ingen lösning c) Linjen ligger i planet.
Lösning d)
N v θ α
L
Låt α vara den sökta vinkeln. (Se figuren ovan.)
Först beräknar vi (den spetsiga) vinkeln θ mellan linjens riktningsvektor v=(1,2,1) och planets normalvektorn N =(1,1,1)
. Därefter är den sökta vinkeln α =π −θ
2 .
Vi har
18 4 3 6
1 2
cos 1 =
⋅ +
= +
= ⋅ N v
N v
θ .
Härav )
18 arccos( 4
θ = ( med mini räknaren θ ≈19.47)
Anmärkning: Om vi får negativt cos då byter vi riktningen på linjens riktningsvektor (dvs vi θ väljer riktningen v −2= vi detta fall).
Vinkeln mellan planet och linjen är )
18 arccos( 4 2
2 − = −
=π θ π
α ( eller i grader
70.53
90 − ≈
= θ
α )
Svar d) )
18 arccos( 4 2−
=π
α radianer ( eller i grader: α ≈70.53)
Uppgift 14.
Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande linjer (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1) och (x,y,z)=(3,5,7)+s(1,2,3).
Lösning:
Linjernas ekvationer kan skriva som
+
= +
= +
=
t z
t y
t x
L
3 2 1 :
1 ,
+
= +
= +
=
s z
s y
s x
L
3 7
2 5 3 :
2
Vi löser systemet:
−
=
⇒ =
+
= +
+
= +
+
= +
1 1 3
7 3
2 5 2
3 1
s t s t
s t
s t
Härav
x=2, y=3 och z=4
Svar: Skärningspunkten är P=(2,3,4).
Uppgift 15. Vi betraktar två rymdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsystem.
En rymdfarkost rör sig längs banan (x, y, z)=(2+3t,–1+2t,–3+7t) dvs farkosten befinner sig i punkten (x,y,z) vid tidpunkten t .
En annan rymdfarkost rör sig länga banan (x,y,z)=(–1+3t,6–t,–1+4t).
a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!)
b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!)
Lösning:
a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom systemet
t t
t t
t t
4 1 7 3
6 2 1
3 1 3 2
+
−
= +
−
−
= +
−
+
−
= +
saknar lösningar
b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer:
L1: (2+3t,–1+2t,–3+7t) L2: (–1+3s,6–s,–1+4s)
Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssystemet
s t
s t
s t
4 1 7 3
6 2 1
3 1 3 2
+
−
= +
−
−
= +
−
+
−
= +
som har lösningen s=3, t=2.
Svar: Banorna skär varandra.
(Farkost 1 är i skärningspunkter vid tidpunkten t=2 tidsenheter;
farkost 2 är i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenheter.