• No results found

--- Räta linjer i xy-planet

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "--- Räta linjer i xy-planet "

Copied!
10
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

RÄTA LINJER OCH PLAN

Räta linjer i 3D-rummet:

Låt L vara den räta linjen genom

punkten P=(x1,y1,z1)som är parallell med vektorn v=(v1,v2,v3)≠0.

Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange på vektorform eller med tre skalära ekvationer.

Räta linjens ekvation på parameterform (radvektorform) )

, , ( ) , , ( ) , ,

(x y z = x1 y1 z1 +t v1 v2 v3 Vi kan skriva vektorer som kolonner.

Räta linjens ekvation på parameterform (kolonnvektorform)





+





=





3 2 1

1 1 1

v v v t z y x

z y x

Om vi identifierar koordinater i ovanstående ekvation får vi:

Räta linjens ekvationer på parameterform ( 3 skalära ekvationer)





⋅ +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

3 1

2 1

1 1

v t z z

v t y y

v t x x

(*)

---

Om alla koordinater i linjens riktningsvektor v =(v1,v2,v3)

är skilda från 0 dvs 0

, 0 2

1 ≠ v

v och v3 ≠0 kan vi eliminera parameter t [från varje ekv i (*)] och få

3 1 2

1 1

1

v z z v

y y v

x

t = x− = − = − .

Därmed kan vi skriva linjens ekvation på följande sätt

3 1 2

1 1

1

v z z v

y y v

x

x

− =

− =

(**)

där P=(x1,y1,z1) är en punkt på linjen och v =(v1,v2,v3)

är en vektor parallell med linjen. Vi upprepar att formen (**) får användas endast om

0 , 0 2

1 ≠ v

v och v3 ≠0, annars blir nämnaren 0 . Anmärkning . Var och en av likhetera i (**)

P

(2)

P

dvs

2 1 1

1

v y y v

x

x− = −

och

3 1 2

1

v z z v

y

y

− =

är ekvationen för ett plan Π respektive 1 Π . Därmed kan linjen given på formen 2 (**) uppfattas som skärningen mellan två plan Π och 1 Π . 2

--- Räta linjer i xy-planet

Räta linjens ekvation i xy- planet ges oftast på en av följande form n

kx

y= + explicit form [ dvs formen y = f(x)]

=0 + +by c

ax implicit form [ dvs formen F(x,y)=0]

Linjen i xy-planet kan, lika som i 3D-rummet anges på parameterform. För att skriva en linje på parameterform om linjen är given på explicit eller implicit form betecknar vi en variabel ( x eller y) med t och löser ut den andra variabel.

Exempel. Ange linjen 4x+ y2 −3=0 i xy-planet på parameterform.

Lösning: Vi väljer en variabel t. ex. x och betecknar x= . Från t

=

− +2 3 0

4x y 4t+2y−3=0⇒ y=(3−4t)/2.

Därmed blir linjens ekvationer ( 2 ekvationer i xy-planet) på parameterform:



=

=

t y

t x

2 2 / 3

Anmärkning . I xy-planet, dvs 2D- rummet, är ax+by+c=0 en ekvation för en rät linje.

Om vi betraktar 3D rummet med xyz-koordinatsystem då samma ekvation

=0 + +by c

ax beskriver ett plan med en normalvektor N =(a,b,0)

. ( Eftersom z saknas i ekvationen är planet parallell med z axeln )

Samma resonemang gäller för ekvationen y=kx+n: I xy-planet beskriver y=kx+n en rät linje.

I xyz-koordinatsystem beskriver y=kx+n ett plan parallell med z-axel.

====================================

Plan:

Låt π vara planet genom punkten P=(x1,y1,z1)som har normalvektorn  ( , , ) 0

= A B C

N .

(3)

Planets ekvation är

0 ) ( ) (

)

(xx1 +B yy1 +C zz1 = A

Efter förenkling har vi

planets ekvation på allmän form:

=0 + +

+By Cz D Ax

ÖVNINGAR:

Uppgift 1.

En rät linje går genom punkterna A=(1,2,3) och B=(3,4,10).

Bestäm linjens ekvation.

Lösning: v= BA =(2,2,7)

är en riktningsvektor.

Linjens ekvation på parameterform : (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)





+





=





7 2 2 3 2 1

t z

y x

Svar: (x,y,z)=(1,2,3)+t(2,2,7)

Uppgift 2.

En rät linje går genom punkterna A=(2,2,3) och B=(3,4,4).

Bestäm linjens ekvation på

a) parameterform (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3) b) på formen

3 1 2

1 1

1

v z z v

y y v

x

x− = − = −

( om möjligt) Lösning: v= BA =(1,2,1)

är en riktningsvektor.

a) Linjens ekvation på parameterform är (x,y,z)=(2,2,3)+t(1,2,1) b) Linjens ekvation på formen

3 1 2

1 1

1

v z z v

y y v

x

x

− =

− =

är

1 3 2

2 1

2 = − = −

y z

x .

Uppgift 3. En rät linje går genom punkten P(1,2,3) och har riktningsvektor

=

v ( 2, 0, 5) .

a) Ange linjens ekvation på parameterform (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3). b) Kan man ange linjens ekvation på formen

3 1 2

1 1

1

v z z v

y y v

x

x

− =

− = Svar:

a) (x,y,z)=(1,2,3) +t ( 2, 0, 5) är linjens ekv. på parameterform.

b) Nej, eftersom v =0 ( uttrycket är inte definierad om nämnaren är 0) 2

(4)

Uppgift 4. Vi betraktar linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) Bestäm

a) en riktningsvektor , dvs en vektor (bland ändligt många) parallell med linjen

b) en enhetsvektor parallell med linjen ( det finns två sådana enhetsvektorer) c) 3 punkter ( bland oändligt många) som ligger på linjen L.

Lösning:

a) En riktningsvektor är v = (1, 2, 0) Notera att varje vektor av typ k v

= k (1, 2 0) , k ≠ är också linjens riktningsvektor. 0 T ex (10, 20, 0) eller (–10, –20, 0) också är linjens riktningsvektorer.

b) En enhets vektor parallell med linjen är (1,2,0) 5 1

|

| 1

1 = v =

e v

 

. [ Den andra är (1,2,0)

5 1

|

| 1

2 =− v =−

e v

  ]

c)

Tre punkter för vi om vi substituerar tre värden ( vilka som helst) på parametern t i ekvationen (x,y,z)=(x1,y1,z1)+t(v1,v2,v3):

T ex. t = 0⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+0⋅(1,2,0) = (0,2,1) t = 1⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+1(1,2,0) = (1,4,1) t = 10⇒ (x,y,z)=(0,2,1)+10(1,2,0) = (10,22,1)

Svar: a) En riktningsvektor är v = (1,2,0).

b) En enhets vektor parallell med linjen är (1,2,0) 5 1

|

| 1

1 = v =

e v

 

. c) Tre punkter (0,2,1) , (1,4,1) och (10,22,1) .

Uppgift 5. Linjen L är given på följande form

4 3 2

2 1

3= + = −

y z

x .

a) Ange linjens ekvation på parameterform.

b) Bestäm en riktningsvektor och tre punkter på linjen L

c) Bestäm 3 punkter ( bland ändligt många) som ligger på linjen L.

Lösning:

a) Vi betecknar de tre lika uttryck med t

(5)

z t y

x− = + = − =

4 3 2

2 1

3

och därefter löser x, y , z . Vi har

t x x t

+

=

− = 1 3 3

t y

y t

2 2 2

2 = ⇒ =− +

+

t z

z t

4 4 3

3= ⇒ = +

Alltså (x,y,z)=(3,–2, 3)+t(1,2,4) är linjens ekvation på parametersform Alternativt skrivsätt





+





=





4 2 1 3

2 3

t z

y x

b) En riktningsvektor är är v

=(1,2,4).

c) Vi substituerar tre t-värden, t ex t=0, t=1 och t=2 och får tre punkter A=(3,–2, 3), B=(4, 0, 7) och C=( 5, 2 11)

Uppgift 6. Bestäm vilka av följande punkter A=(–1,0, 1) , B=( 1, 4, 2) , C=( 3, 8, 1) ligger på linjen L: (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0).

Lösning:

i) Punkten A(–1,0, 1) ligger på linjen (x,y,z)=(0,2,1)+t(1,2,0) om och endast om det finns ett värde på parametern t så att

(–1,0, 1) = (0,2,1)+t(1,2,0)

dvs om det finns ett t-värde så att alla tre skalära ekvationer –1 = 0+t

0 = 2+2t 1 = 1+0·t

samtidigt är uppfyllda.

Från första ekvationen har vi t= –1. Samma t= –1 satisfierar också andra och tredje ekvationen och därmed ligger punkten A på linjen L ( punkten svarar mot t=–1)

ii) För punkten B( 1, 4, 2) har vi följande vektorekvation

( 1, 4, 2) = (0,2,1)+t(1,2,0)

som är ekvivalent med de tre skalära ekvationerna

(6)

1 = 0+t 4 = 2+2t 2 = 1+0·t

Första ekvationen ger t=1. (Därmed, om det finns en lösning på t för alla tre ekvationen då är t=1). Vi kollar om t=1 satisfierar de 2 kvarstående ekvationer.

Substitutionen i andra ekvationen ger 4=4 (OK) men insättning t=1 i den tredje ekvationen ger 2=1 som är inte sant. Punkten B ligger alltså inte på linjen L.

iii) Med samma metod inser vi att punkten C fås ur ekvationen om t=3, dvs C ligger på linjen L

Svar. A och C ligger på L medan B inte ligger på linjen L.

Uppgift 7. ( 2D rummet) Vi betraktar den räta linje i xy-planet ( 2 dimensionella rummet ) som har ekvationen L: 2x+ y3 −4=0.

a) Bestäm linjens ekvation på explicit form y=kx+n b) Ange linjen på parameterform

c) Bestäm en vektor parallell med linjen L

d) Bestäm två enhetsvektorer parallella med linjen.

e) Bestäm en vektor i xy-planet som är vinkelrät mot linjen L Lösning:

a) Vi löser ut y ur ekvationen 2x+ y3 −4=0, 3 4 3

2 3

4 0 2

4 3

2 − +

= + ⇒

= −

=

+ x y x

y y

x ( explicit form)

b) Vi betecknar x= t och får ( enkelt från explicit form) linjen på parameter form





− +

=

=

3 4 3

2t y

t x

Vi kan också skriva )

3 4 3 , 2 ( ) ,

( − +

= t t

y

x eller 

 

= −



 

3 / 2 3 /

4 t

t y

x .

c) Vi kan välja två punkter på linjen genom att välja värden på x (eller på t i parameterform) och beräkna y.

Vi kan t ex välja följande punkter A(0, 4/3 ) och B(1, 2/3) och beräkna AB =(1,−2/3). Varje vektor parallell med

AB är också parallell med linjen.

( Vi kan även använda parameterform och direkt välja vektorn (1,−2/3) )

Som en riktningsvektor (bland oändligt många) kan vi ange v=3AB =(3,−2) med heltalskoordinater.

d) Det finns två enhetsvektorer som är parallella med linjen L )

2 , 3 ( 13 1

|

| 1

2 ,

1v =± −

e v

 

(7)

u v N

e) En vektor n =(a,b) är vinkelrät mot linjen L om ( och endast om) den är vinkelrät mot linjens riktningsvektor v =(3,−2) och därför är skalärprodukten

=0

⋅ v n 

.

Alltså 3a−2b=0⇒a=2b/3. Vi söker en vinkelrät vektor ( bland oändligt många sådana vektorer) så at vi kan välja b, t ex kan vi ta b=3och få a=2.

Därmed blir n=(2,3) en vektor vinkelrät mot L. Notera att varje vektor parallell med )

3 , 2

=( n

också är vinkelrät mot L.

Uppgift 8.

Ett plan går genom punkten A=(1,3,1). Planet är parallellt med vektorerna )

3 , 2 , 1

=(

u och v =(1,1,2).

Bestäm planets ekvation a) på parameterform

b) på formen Ax+By+Cz+D=0 . Lösning:

a) (x,y,z)=(1,3,1)+t(1,2,3)+s (1,1,2)

b) = × = = = − + =

1 1

2 1 2 1

3 1 2 1

3 2 2 1 1

3 2 1

2 2 2

1 1

1 i j k

k j i

z y x

z y x

k j i v u

N   

 

 

 

) 1 , 1 , 1 ( 1 1

1 + − = −

= i j k Planets ekvation:

0 3

0 ) 1 ( 1 ) 3 ( 1 ) 1 ( 1

0 ) ( ) (

)

( 1 1 1

=

− +

=

− +

=

− +

− +

z y x

z y

x

z z C y y B x x A

Svar: Planets ekvation: x+ yz−3=0 Uppgift 9.

Ett plan går genom punkterna A=(1,1,–2) och B=(–1,5,2) och C=(3,0,2).

Bestäm planets ekvation.

Lösning: N = AB ×AC =(20,16,−6)

Vi kan använda punkten A och vektornN2 =(10,8,−3)

(som är parallell med N ).

0 24 3 8 10

0 ) 2 ( 3 ) 1 ( 8 ) 1 ( 10

0 ) ( ) (

)

( 1 1 1

=

− +

= +

− +

=

− +

− +

z y x

z y

x

z z C y y B x x A

Svar: Planets ekvation: 10x+8y−3z−24=0

Uppgift 10.

Ett plan går genom punkterna A=(1,1,2) och B=(1,2,3). Planet är parallell med linjen

(8)

) 1 , 1 , 2 ( ) 5 , 4 , 3 ( ) , ,

(x y z = +t Bestäm planets ekvation.

Lösning:

Vektorerna u = AB =(0,1,1) och linjens riktningsvektor v =(2,1,1) är parallella med planet Bestäm planets ekvation.

) 2 , 2 , 0

( −

=

×

=u v N  

. Planets ekvation:

0 2 2 2

0 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 0

0 ) ( ) (

)

( 1 1 1

= +

=

− +

=

− +

− +

z y

z y

x

z z C y y B x x A

Svar: Planets ekvation: y− z+1=0

Uppgift 11.

En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är ortogonal (vinkelrät) mot planet 0

1 3 + = +

+ y z

x . Bestäm linjens ekvation.

Lösning: Planets normal v =(1,1,3)är en är en riktningsvektor . Linjens ekvation på parameterfårm : (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3) Svar: (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,1,3)

Uppgift 12.

En rät linje går genom punkten A=(1,2,0). Linjen är parallell med skärningslinjen mellan planen

0 3=

− + + y z

x och x+2y+3z+1=0 Bestäm linjens ekvation.

Lösning:

Vi löser systemet med Gaussmetoden:



= + +

=

− +

⇒ +



= + + +

=

− + +

0 4 2

0 3 0

1 3 2

0 3

z y

z y x z

y x

z y

x

En fri variabel z=t. y=−4−2t x=3−yzx=7+t dvs

t x= 7+

t y=−4−2 z=t

Alltså har skärnings linje ekvation (x,y,z)=(7,–4,0)+t(1,–2,1)

Den sökta linjen har samma riktnings vektor men går genom punkten A.

Därför:

(x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1)

Svar: Linjens ekvation är (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,–2,1) Uppgift 13.

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen

(9)

L: (x,y,z)=(1,0,0)+t(1,2,1) och följande plan:

a) x+y+z+3=0 b) xy+z=0 c) xy+z−1=0 d) Beräkna vinkeln mellan linjen L och planet x+ y+z+3=0.

Svar: a) x=0, y =−2, z=−1 b) Ingen lösning c) Linjen ligger i planet.

Lösning d)

N v θ α

L

Låt α vara den sökta vinkeln. (Se figuren ovan.)

Först beräknar vi (den spetsiga) vinkeln θ mellan linjens riktningsvektor v=(1,2,1) och planets normalvektorn N =(1,1,1)

. Därefter är den sökta vinkeln α =π −θ

2 .

Vi har

18 4 3 6

1 2

cos 1 =

+

= +

= N v

N v

θ .

Härav )

18 arccos( 4

θ = ( med mini räknaren θ ≈19.47)

Anmärkning: Om vi får negativt cos då byter vi riktningen på linjens riktningsvektor (dvs vi θ väljer riktningen v −2= vi detta fall).

Vinkeln mellan planet och linjen är )

18 arccos( 4 2

2 =

=π θ π

α ( eller i grader

70.53

90 − ≈

= θ

α )

Svar d) )

18 arccos( 4 2

=π

α radianer ( eller i grader: α ≈70.53)

Uppgift 14.

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande linjer (x,y,z)=(1,2,3)+t(1,1,1) och (x,y,z)=(3,5,7)+s(1,2,3).

Lösning:

Linjernas ekvationer kan skriva som





+

= +

= +

=

t z

t y

t x

L

3 2 1 :

1 ,





+

= +

= +

=

s z

s y

s x

L

3 7

2 5 3 :

2

(10)

Vi löser systemet:



=

⇒ =





+

= +

+

= +

+

= +

1 1 3

7 3

2 5 2

3 1

s t s t

s t

s t

Härav

x=2, y=3 och z=4

Svar: Skärningspunkten är P=(2,3,4).

Uppgift 15. Vi betraktar två rymdfarkoster i ett lämpligt vald koordinatsystem.

En rymdfarkost rör sig längs banan (x, y, z)=(2+3t,–1+2t,–3+7t) dvs farkosten befinner sig i punkten (x,y,z) vid tidpunkten t .

En annan rymdfarkost rör sig länga banan (x,y,z)=(–1+3t,6–t,–1+4t).

a) Krockar farkosterna? (Motivering krävs!)

b) Skär farkosternas banor varandra? (Motivering krävs!)

Lösning:

a) Svar: Farkosterna kolliderar ej eftersom systemet

t t

t t

t t

4 1 7 3

6 2 1

3 1 3 2

+

= +

= +

+

= +

saknar lösningar

b) Både farkosterna rör sig längs räta linjer. Deras banor har följande ekvationer:

L1: (2+3t,–1+2t,–3+7t) L2: (–1+3s,6–s,–1+4s)

Vi söker skärningen mellan linjerna och får ekvationssystemet

s t

s t

s t

4 1 7 3

6 2 1

3 1 3 2

+

= +

= +

+

= +

som har lösningen s=3, t=2.

Svar: Banorna skär varandra.

(Farkost 1 är i skärningspunkter vid tidpunkten t=2 tidsenheter;

farkost 2 är i samma punkt vid tidpunkten t=3 tidsenheter.

References

Related documents

[r]

• Den 1 juli 2008 lämnas resultatrapporten till Regeringen med förslag till författnings- ändring för fortsatt användning av variabel hastighet. • De 20 befi

Bilisterna på Mölndalssträckan, Ölandsbron och Norrtäljevägen fick bedöma hur ofta de tycker att det visas för låga respektive för höga hastighetsgränser i förhållande till

I USA ligger den genomsnittliga årsinkomsten kring 40 600 dollar, men 65 procent av befolkningen tjänar mindre än detta. Det här kan låta paradoxalt men är sant, dvs.

Om vi inte anger, på explicit sätt, definitionsmängden för en funktion y=f(x), menar vi att funktionens definitionsmängd består av alla reella x för vilka f(x) är ett reellt

Vi betraktar en kurva given på parametrisk form , Derivatan beräknas enligt följande formel. eftersom

Man använder dubbelintegralens definition för att härleda formler inom matematik, fysik och tekniska tillämpningar, men själva beräkningen utför man oftast genom upprepad

 Utfallet i ett slumpmässigt försök i form av ett reellt tal, betraktat innan försöket utförts, kallas för stokastisk variabel eller.. slumpvariabel (ofta betecknad ξ,