Beräkna följande integraler a) 2 √ 3 b

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av funktioner som innehåller rotuttryck

1

INTEGRALER AV FUNKTIONER SOM INNEHÅLLER ROTUTTRYCK

============================================================

Exempel 1 Använd lämpliga substitutioner och beräkna följande integraler a)

√ b) √4 3 c) · √ 5

d) · √5 8 e) ^√ f) · √3

Lösning :

a _√

√

/ · _/^/ ^√

√

b) substitution 4 3 , svar

/

c) substitution 5 , svar ^/ d) substitution 5 8 , svar ^/ e) substitution 4 2 , svar

/

f) substitution 3 , svar ^/

============================================================

Om integranden är en rationell funktion av x och √ en lämplig substitution är

√ dvs .

Exempel 2. Beräkna följande integraler

a) 2 √ 3 b) ^√

√

5 3

10

10 Substitution

(2)

2

Lösning :

a) 2 √ 3

5 · · 2 2 10

= ( eftersom √ 3

/ /

b) ^√

√

2 2 [polynomdivision]

2 2 2

1

4 4 |1 |

4√ 4 |1 √ |

==================================================

Integraler av typ

1

√

beräknas

om 0 med hjälp av standardintegralen _√ | √ | och

om 0 med hjälp av standardintegralen _√ .

3

2

Substitution

√ 3 = t

3

2

Substitution

√ = t

(3)

3

a) _√ b) _√ c) _√ d) _√ e) b)

√ f)

√

Lösning:

a) _√ [kvadratkomplettering]

√ [”elementär” integral]

| √ 3|

| 2 2 3 |

= | 2 √ 4 7 |

b) _√

√ √3 dt

√ √ √3 dt _√ dt

√3

c) svar: | 3 √ 6 10 | d) svar:

e)

f) _√ _√ + _√

(den första inegralen

√ löses med substitutionen 1 )

= 2√ 1 3 | √ 1| .

substitution 2 dx=dt

√3 substitution

3

dx=√3 dt

(4)

4

==========================================

För att beräkna följande integraler

√ , √ och √

kan vi först använda partiell integration och därefter lösa den erhålna ekvationen.

√ , √ och √

a) Lösning:

Vi betecknar √

√ _√

√ _√ _√

√ √ | √ |

( Vi har i mitten av ekvationen den sökta integralen √ )

√ | √ |

( Vi löser ekvationen med avseende på )

2 √ | √ | ( dela med 2)

√ | √ |

b) svar √ | √ |

c) √

Part. integration:

2 2 1

2 2