Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av funktioner som innehåller rotuttryck
1
INTEGRALER AV FUNKTIONER SOM INNEHÅLLER ROTUTTRYCK
============================================================
Exempel 1 Använd lämpliga substitutioner och beräkna följande integraler a)
√ b) √4 3 c) · √ 5
d) · √5 8 e) √ f) · √3
Lösning :
a √
√
/ · / / √
√
b) substitution 4 3 , svar
/
c) substitution 5 , svar / d) substitution 5 8 , svar / e) substitution 4 2 , svar
/
f) substitution 3 , svar /
============================================================
Om integranden är en rationell funktion av x och √ en lämplig substitution är
√ dvs .
Exempel 2. Beräkna följande integraler
a) 2 √ 3 b) √
√
5 3
10
10 Substitution
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av funktioner som innehåller rotuttryck
2
Lösning :
a) 2 √ 3
5 · · 2 2 10
= ( eftersom √ 3
/ /
b) √
√
2 2 [polynomdivision]
2 2 2
1
4 4 |1 |
4√ 4 |1 √ |
==================================================
Integraler av typ
1
√
beräknas
om 0 med hjälp av standardintegralen √ | √ | och
om 0 med hjälp av standardintegralen √ .
3
2
Substitution
√ 3 = t
3
2
Substitution
√ = t
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av funktioner som innehåller rotuttryck
3
Exempel 2. Beräkna följande integraler
a) √ b) √ c) √ d) √ e) b)
√ f)
√
Lösning:
a) √ [kvadratkomplettering]
√ [”elementär” integral]
| √ 3|
| 2 2 3 |
= | 2 √ 4 7 |
b) √
√ √3 dt
√ √ √3 dt √ dt
√3
c) svar: | 3 √ 6 10 | d) svar:
e)
f) √ √ + √
(den första inegralen
√ löses med substitutionen 1 )
= 2√ 1 3 | √ 1| .
substitution 2 dx=dt
√3 substitution
3
dx=√3 dt
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integraler av funktioner som innehåller rotuttryck
4
==========================================
För att beräkna följande integraler
√ , √ och √
kan vi först använda partiell integration och därefter lösa den erhålna ekvationen.
Exempel 3. Beräkna följande integraler
√ , √ och √
a) Lösning:
Vi betecknar √
√ √
√ √
√ √ √
√ √ | √ |
( Vi har i mitten av ekvationen den sökta integralen √ )
√ | √ |
( Vi löser ekvationen med avseende på )
2 √ | √ | ( dela med 2)
√ | √ |
b) svar √ | √ |
c) √
Part. integration:
2 2 1
2 2
