Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens spår
MATRISENS SPÅR
Definition 1. Låt A vara en kvadratisk matris.
=
nn n
n
n n
a a
a
a a
a
a a
a A
...
...
...
...
...
...
...
2 1
2 22
21
1 12
11
Summan av alla diagonalelement i en kvadratisk matris A kallas matrisens spår och betecknas tr (A) (från engelskans ” trace ” ).
Alltså
ann
a a A
tr( )= 11+ 22+
( eller
∑
=
= n
i
aii
A tr
1
)
( ).
Exempel 1. Låt
=
0 5 1
0 2 0
0 2 5
A . Då är tr(A)= 5+2+0 = 7.
EGENSKAPER:
) ( ) (A tr A tr T =
) ( )
(kA k tr A
tr = ⋅
) (A B
tr + = tr(A)+tr(B) )
( AB
tr = tr(BA)
men (generellt) tr(AB)≠tr(A)⋅tr(B)
Ovanstående egenskaper bevisas i nedanstående övningsuppgifter.
============================================================
ÖVNINGAR
Uppgift 1. Låt
=
10 3
2
A 5 .
Bestäm tr( A), tr(AT) och tr(10A).
Uppgift 2. Låt A och B vara två n× matriser. Visa att n
) ( ) ( ) ( )
) ( )
( )
) ( ) ( )
B tr A tr B A tr c
A tr k kA tr b
A tr A tr
a T
+
= +
⋅
=
=
för varje reellt tal k.
Uppgift 3. Låt
= 4 3
2
A 1 och
= −
1 1
2
B 1 .
Beräkna tr( AB) och tr(BA).
1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens spår
Uppgift 4. Låt A och B vara två n× matriser. n a) Visa att
) ( AB
tr = tr(BA).
b) Bestäm två n× matriser sådana att n tr( AB) ≠ tr(A)⋅tr(B).
Uppgift 5. Låt
= 2 1
2
A 1 och
= 3 2
2
P 2 .
Beräkna tr( A) och tr(PAP−1).
Uppgift 6. Låt A vara en n× matris. Låt P vara en n n× inverterbar matris. Visa att n )
( A
tr = tr(PAP−1)=tr(P−1AP).
===============================================================
FACIT:
Uppgift 1. Låt
=
10 3
2
A 5 .
Bestäm tr( A), tr(AT) och tr(10A).
Lösning.
=
10 3
2
A 5 ,
=
10 2
3
T 5
A ,
=
100 30
20
10A 50 .
Härav:
15 10 5 )
(A = + =
tr ,
15 10 5 )
(AT = + = tr
och
150 100 )
30 20 ( 50
) 10
( =
= tr A tr
Svar: tr(A)=15, tr(AT)=15, tr(10A)=150
Uppgift 2. Låt A och B vara två n× matriser. Visa att n
) ( ) ( ) ( )
) ( )
( )
) ( ) ( )
B tr A tr B A tr c
A tr k kA tr b
A tr A tr
a T
+
= +
⋅
=
=
för varje reellt tal k.
Lösning:
2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens spår
a) ( ) ( )
...
...
...
...
...
...
...
22 11
2 1
2 22
12
1 21
11
A tr a a
a A tr a
a a
a a
a
a a
a
A T nn
nn n
n
n n
T ⇒ = + + =
= V.S.B
b)
) ( )
( ...
...
...
...
...
...
...
)
( 11 22 11 22
2 1
2 22
21
1 12
11
A tr k a a
a k ka ka
ka ka
ka ka
ka ka
ka
ka ka
ka tr kA
tr nn nn
nn n
n
n n
⋅
= + + +
= +
+
=
=
V.S.B
c) Låt A=[aij] och B=[bij].
Då är A+ B=[aij+bij], och därmed är (aii+bii) diagonalelement i matrisenA+ . B Därför
) ( ) ( b a
) b a ( ) (
1 1
ii ii
1
ii
ii tr A tr B
B A tr
n
i
n
i n
i
+
= +
= +
=
+
∑ ∑ ∑
= =
=
V.S.B.
Uppgift 3. Låt
= 4 3
2
A 1 och
= −
1 1
2
B 1 .
Beräkna tr( AB) och tr(BA). Lösning:
9 10 ) 1
4 ( 1
)
( =
−
= tr − AB
tr ,
9 2 ) 2
10 ( 7 )
( =
= tr BA
tr .
Upp 4. Låt A och B vara två n× matriser. n a) Visa att
) ( AB
tr = tr(BA).
b) Bestäm två n× matriser sådana att n tr( AB) ≠ tr(A)⋅tr(B). Lösning:
a) Låt C =AB. Då gäller ki
n
k ik
ii a b
c
∑
=
=
1
. Därför
3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Matrisens spår
∑∑
∑
= = ==
= n
i
ki n
k ik n
i
ii a b
c AB
tr
1 1
1
)
( (*)
Låt D=BA. Då gäller
∑
=
= n
k ki ik
ii b a
d
1
. Därför
=
=
=
=
∑ ∑∑
= =
=
rdningen) sumationso
byter (vi )
(
1 1
1
n
i n
k ki ik n
i
ii b a
d BA
tr
*) (enligt
1 1 1 1
=
=
=
=
∑∑ ∑∑
= =
= = ki
n
k n
i ik n
k n
i ik
kia a b
b tr( AB).
b) Låt t ex
= 1 0
0
A 1 och
= 3 0
0
B 2 :
Då gäller ) 5
3 0
0 ( 2 )
( =
= tr AB
tr medan tr(A)⋅tr(B)=2⋅5=10. Alltså tr( AB) ≠ tr(A)⋅tr(B) i detta fall.
Uppgift 5. Låt
= 2 1
2
A 1 och
= 3 2
2
P 2 .
Beräkna tr( A) och tr(PAP−1). Lösning:
) ( A tr =3,
−
= −
⇒
= −
2 2
2 3 2 1 3
2 2
2 1
P P
−
= −
−
−
=
−
5 2 / 5
4 2 2
2 2 3 2 1
2 1 3 2
2 2 2
1 1 PAP
Därför tr(PAP−1)=3.
Svar: tr( A)=3, tr(PAP−1)=3.
Uppgift 6. Låt A vara en n× matris. Låt P vara en n n× inverterbar matris. Visa att n )
( A
tr = tr(PAP−1)=tr(P−1AP). Lösning: Vi använder formeln
) ( AB
tr = tr(BA) (*) som vi redan har bevisat.
Vi har
) ( ) (
)) ( ( ) (*) (enligt
) ) ((
)
(PAP 1 tr PA P 1 tr P 1 PA tr P 1PA tr A
tr − = − = = − = − = .
På samma sätt bevisar vi att tr( A) = tr(P−1AP):
) ( ) (
)) ( ( ) ) ((
)
(P 1AP tr P 1A P tr P P 1A tr PP 1A tr A
tr − = − = − = − = .
Därmed tr( A) = tr(PAP−1)=tr(P−1AP) V.S.B..
4 av 4
