• No results found

Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Tentamen i Mekanik I del 1 Statik och partikeldynamik"

Copied!
18
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Tentamen i Mekanik I del 1

Statik och partikeldynamik TMME27

2018-10-29, kl 14.00-19.00 Tentamenskod: TEN1

Tentasal:

Examinator: Peter Schmidt

Tentajour: Peter Schmidt, Tel. 28 27 43, (Besöker salarna ca 15.00)

Kursadministratör: Anna Wahlund, Tel.

28 11 57

, email anna.wahlund@liu.se Antal uppgifter: 6

Hjälpmedel: Inga hjälpmedel utöver skriv och ritverktyg.

Formelblad bifogas.

Vid behov Svensk-Persisk ordbok.

Svar anslås på kurssidan i Lisam efter skrivnings- tillfället. Tentan lämnas efter rättning till Studerande- expeditionen i A-huset, ing 19C.

Betygsgränser: 5 = 12-15 p 4 = 9-11 p 3 = 6-8 p 1 = 0-5 p (UK)

Totalt antal sidor inkl. försättsbladet: 7

(2)

Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, 2018-10-29 Teoridel:

1) Masscentrum för en kropp definieras som bekant

= , där =densiteten

ρ

ρ ρ

V G V

dV dV r r

Visa att masscentrums läge i y-led för en tunn homogen plåt med tjockleken t och arean A som begränsas av kurvan y = x2 / a och x-axeln samt linjen x = a enligt figur ges av:

10 a

y =G 3 (1p)

2) En partikels bana i polära koordinater ges av r = r(t) och θ = θ(t) där t är tiden, se figur.

Visa att partikelns hastighet v och acceleration a i polära koordinater kan skrivas eθ

e v=rr +

a=( r−2)er+( +2rθ)eθ (2p) x

y

a

a y= x2

A

s x y

er

eθ r

θ

fixt

(3)

Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, 2018-10-29

Problemdel:

3) En kabelrulle med massan m och ytterradie R är placerad på ett horisontellt underlag enligt figur. En horisontell tunn stång AD med massan m och längden 4R ligger an mot rullens högsta punkt B på avståndet 3R från stödet vid A (pin support). Ett snöre är fäst runt inner- radien r på rullen och en dragkraft P appliceras i snöret som är horisontellt. Den statiska friktionskoefficienten vid båda kontaktpunkterna B och C är µs =1/2. Systemets delar är i vila varefter kraften P ökas sakta från noll och uppåt. Låt rullens ytterradie vara R=2r och beräkna:

a) Friktions och normalkraften vid B och C uttryckt i P, m och g vid jämvikt. (2p)

b) Maximala dragkraften P som kan tillåtas om systemets delar ska förbli i vila. (1p)

.

P R

r

A B D

3R

C m m

g

(4)

Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, 2018-10-29

4) En partikel med massan m kan friktionsfritt röra sig på ovansidan av en fix cirkel med radien R. I partikeln är en fjäder med fjäderkonstanten k = 32mg/R och ospända längden L0 = R/2 fäst. Man får partikeln att röra sig med ökande θ genom att man drar med en konstant kraft P=2mg i ett snöre som löper runt cirkeln enligt figur. Partikeln startar med farten noll vid θ = 0 och partikelns dimensioner kan försummas i förhållande till R. Vidare så studeras enbart intervallet

. π θ 0 ≤ ≤

a) Visa att partikelns tangentialacceleration kan skrivas at = (2 - cosθ )g. (1p) b) Beräkna normalkraften från cirkeln på partikeln som funktion av θ. (2p)

5) En partikel med massan m ges en utgångshastighet v0 vid läge A varefter den glider en sträcka 2L mellan A och B med friktion med den kinetiska friktionskoefficienten µk. Vid läge B stöter den sedan ihop med en stillastående pendelkula med massan 4m, se figur. Efter stöten svänger pendeln ut och når sitt vändläge vid C. Beräkna kraften i pendelsnöret vid detta vändläge.

Pendelsnöret har konstanta längden L och stöttalet vid stöten är e. Låt parametrarna ha värdet 4.

/ 1 e 2

/ 1 gL

6

v0 = , µk = och =

(3p) P

R k

θ

m

O

g

2L g

B m µk

A m v0

4m L

C vändläget

(5)

Tentamen i Mekanik I del 1, TMME27, 2018-10-29

6) Ett svängande system består av en platta med massan 3m som är upphängd i en dämpare och två fjädrar enligt figur. Dämparen har dämpkonstanten c och fjädrarna har fjäderkonstanten k och ospända längden L0. Via ett snöre är en vikt med massan m fäst i plattan. Systemet släpps från vila (med sträckt snöre) då fjädrarna har ospända längden L0 och får sedan röra sig fritt.

: beräkna och

vara parametern

Låt c c=4 2km

a) Kraften i snöret som funktion av tiden t (låt t = 0 vid frisläppandet). (2p) b) Tidpunkten t* då snörkraften når sitt maximum. (1p)

3m m

c

k , L0 k , L0

g

(6)

Formelblad som bifogas tentamen i Partikeldynamik:

Kinematik:

Hastighet och acceleration

• Naturliga komponenter n − t v= ˙set

a= ¨set+ ˙s2 ρen

Kr¨okningen κ och kr¨okningsradien ρ f¨or en kurva x = x(u), y = y(u) ges av:

κ = |dud2y2

dx

dududyddu2x2|

n(dxdu)2+ (dydu)2o3/2, ρ = 1/κ

• Pol¨ara koordinater r − θ

v= ˙rer+ r ˙θeθ

a= (¨r − r ˙θ2)er+ (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)eθ

Kinetik:

• Kraftlagen

XF = ma

• Mekaniska energisatsen

U = ∆T + ∆Vg+ ∆Ve

d¨ar U =

Z 2 1

F · dr, T = 1

2mv2, Vg = mgh, Ve= 1 2kx2

1

(7)

• Impuls och impulsmomentekvationen Z t2

t1

XFdt = G2− G1, G= mv

Z t2 t1

Modt = Ho2− Ho1, Ho= r × mv

Mo= r ×X F

• St¨ottal

e = (v2)n− (v1)n

(v1)n− (v2)n

• Sv¨angningar

¨

x + 2ζωn˙x + ωn2x = ω2nx1+F01

m sinωt + F02

m cosωt osningen till differentialekvationen ovan kan skrivas x = xh+ xp. Homogena l¨osningen xhges av:

ζ > 1, xh= Aeωnt(−ζ+

ζ2−1)+ Beωnt(−ζ−

ζ2−1)

ζ = 1, xh= (A + Bt)e−ωnt

ζ < 1, xh= e−ζ ωnt(Acosωdt + Bsinωdt) = Ce−ζ ωntsin(ωdt + Ψ) ωd= ωnp1 − ζ2

Partikul¨arl¨osningen xp vid en harmonisk st¨orningskraft ber¨aknas med ansatsen:1

xp = C1+ C2cosωt + C3sinωt

1om ζ = 0 f¨oruts¨attes att ω6= ωn

2

(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)

References

Related documents

Då fjädern släpps kommer den att trycka på partikeln med massan m, som då kommer att börja glida längs banan.. Bestäm minsta möjliga δ så att partikeln inte kommer att

För att bli godkänd krävs minst åtta poäng och 8-11 poäng ger betyg 3, 12-15 poäng ger betyg 4 och 16-18 poäng ger betyg 51. Rättningsgranskning: Torsdagen 3 maj, kl 12.30-13.00

Beräkna den mins- ta kraft P som behövs för att precis påbörja en rotation och beräkna krafterna på axeln vid B för detta gränsfall (fästena vid B och C kan inte ta upp krafter

För att bli godkänd krävs minst åtta poäng och 8-11 poäng ger betyg 3, 12-15 poäng ger betyg 4 och 16-18 poäng ger betyg 5.. Rättningsgranskning: Fredagen 31 januari, kl

En kedja med massan ρ per längdenhet passerar över en liten friktionsfri trissa och släpps från vila med endast en liten obalans h för att sätta igång rörelsen (dvs h mycket nära

Om den statiska friktionskoefficienten µ s är lika för alla kontaktytor i problemet, vad blir då den lutningsvinkel θ vid vilken de två identiska blocken, varje med massan m,

För att bli godkänd krävs minst åtta poäng och 8-11 poäng ger betyg 3, 12-15 poäng ger betyg 4 och 16-18 poäng ger betyg 5.. Rättningsgranskning : Via Zoom, tid meddelas senare

För att bli godkänd krävs minst åtta poäng och 8-11 poäng ger betyg 3, 12-15 poäng ger betyg 4 och 16-18 poäng ger betyg 5.. Rättningsgranskning : Via Zoom, tid meddelas senare