• No results found

Elevers begreppsbilder inom matematiska bråk

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Elevers begreppsbilder inom matematiska bråk"

Copied!
38
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE

KOMPLETTERANDE PEDAGOGISK UTBILDNING,

AVANCERAD NIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM, SVERIGE 2021

Elevers begreppsbilder inom

matematiska bråk

Vilka begreppsbilder har elever och när används de?

(2)
(3)

Elevers begreppsbilder inom

matematiska bråk

Vilka begreppsbilder har elever och när används de?

Erik Wilhelmsson

EXAMENSARBETE INOM TEKNIK OCH LÄRANDE PÅ

PROGRAMMET KOMPLETTERANDE PEDAGOGISK UTBILDNING

Titel på svenska: Elevers begreppsbilder inom matematiska bråk

Titel på engelska: Students

conceptual images of mathematical fractions

(4)
(5)

Sammanfattning

När en person ser en skiftnyckel är det inte säkert att personen ser något som är bra att ha när man ska skruva en mutter. Beroende på vad personen vanligtvis använder skiftnyckeln till och vilket problem som personen just då står inför kommer personen att se olika saker. Är det en spik som ska spikas ner kanske personen ser skiftnyckeln som ett alternativ till en hammare. Är det en sten som ska bändas upp kanske skiftnyckeln kan användas som en hävstång. Att ett redskap kan beskrivas på många olika vis och användas till många olika ändamål stämmer även för matematiska redskap. Genom att undersöka vad elever ser när de tänker på bråk och vad de tänker när de räknar med bråk kan läraren anpassa undervisningen för att optimera elevernas inlärning.

Med hjälp av intervjuer där elever besvarar bråkrelaterade uppgifter ger detta arbete en bild av vilka representationsformer eleverna har rörande bråk. Genom uppdelning i operationell och strukturell begreppsbild ger resultatet en fingervisning om vilka begreppsbilder eleverna har samt hur och när de används.

Frågeställning

Huvudfrågorna som detta arbete försöker svara på är:

• Vilka begreppsbilder av matematiska bråk besitter eleverna?

• Finns det en systematik i när eleverna använder olika begreppsbilder?

En begränsning med detta arbete är att endast tre elever valde att delta. Eleverna var från tre olika skolor i två olika kommuner.

Gemensamt för informanterna var att de använde en bildligt beskrivande och strukturell begreppsbild när de beskrev vad bråk är. När frågorna övergick till att göra matematiska beräkningar lämnade alla informanter bilderna och övergick till att använda inlärda och automatiserade processer, operationella begreppsbilder. Processer som de i många fall inte kunde förklara varför de fungerade, eleverna visste bara att de fungerade.

Ett stickspår i undersökningen var introducerandet av ”bråk som ett antal av en enhet”. Detta tankesätt var nytt för eleverna men alla förstod tanken och lyckades lösa vissa uppgifter både snabbare och säkrare med hjälp utav den.

Denna studie är kvalitativ och visar endast på hur de svarande eleverna ser på bråkräkning. Hur andra elever tänker och räknar på bråk besvaras inte.

(6)

Abstract

When a person sees a wrench, the person might not understand the benefit of it as a tool to tighten a screw-nut. Depending on what the person normally uses the wrench for and the problem the person is facing at the time. The wrench provides different solutions for the person. If it is a nail that needs to be attached, the wrench can be used as a hammer. If it is a rock that needs to be pried up, the wrench can be used as a lever.

A tool can be described in many different ways regarding the way it should or could be used and this also applies to mathematical tools. By examining students relation to fractions and how they think about THEM the teacher can adapt the teaching to optimize the learning.

With guidance from the interviews where students answered fraction-related tasks, this report provides a picture of what type of representation the students have regarding fractions. By dividing into operational and structural conceptual image, the result gives an indication of which conceptual images the students have and how and when they are used.

Question

The main questions that this report tries to answer are:

• Which conceptual images of mathematical fractions do the students have? • Is there a system by which a student uses different types of conceptual images? One limitation with this study is that only tree students participated.

Common to the respondents was that they used a pictorial descriptive, a structual conceptual image trying to describe what fractions are. When the questions turned to mathematical calculations, all respondents left the images and switched to using learned and automated processes, operational conceptual images. Processes that , they could not explain , why they worked but the students only knew that they worked.

One sidebar in the survey was the introduction of ”fractions as a number of a unit”. This way of thinking was new to the students but they all understood the idea and managed to solve certain tasks both faster, and safer with the help of it.

This study is qualitative and only shows how the responding students view fractions. How other students think and count fractions is not answered.

(7)

Förord

Detta examensarbete har varit lärorikt för mig som författare och blivande lärare. Utfallet av intervjuerna var både förväntat och överraskande. Eleverna som deltog i intervjuerna visade alla på goda kunskaper men också på att undervisningen fokuserar på vissa delar mer än andra. Inblicken i elevernas tankar har givit både bra information till detta arbete och till mig som blivande lärare.

Jag vill tacka de elever som deltagit. Utan er hade detta arbete inte kunnat genomföras. Teorier kring matematikundervisningen är värdefulla, men inblicken i elevernas tankar ger en annan tyngd till vad undervisningen faktiskt leder till.

Jag vill tacka min handledare Helena Isaksson Persson för att hon lyckades förändra min naturvetenskapligt inriktade hjärna till att tänka lite mer som en samhällsvetare. Utan din hjälp hade nog resultatet blivit lite annorlunda.

(8)

Innehåll

1

Inledning ... 10

1.1

Inledning... 10

2

Bakgrund ... 11

2.1

Realistisk Matematikundervisning ... 11

2.2

Skolverket ... 12

2.3

Nämnaren som en enhet ... 12

2.4

Tidigare forskning ... 13

3

Syfte och frågeställning ... 14

3.1

Syfte ... 14

3.2

Frågeställning ... 14

4

Teoretiskt ramverk ... 15

4.1

Strukturell och operationell begreppsbild... 15

5

Metod ... 17

5.1

Metodval ... 17

5.2

Urval... 18

5.3

Analysmetod ... 18

5.4

Etiskt övervägande ... 19

6

Resultat ... 21

7

Analys ... 22

7.1

Finns det systematik i användandet av begreppsbild? ... 22

7.2

Begreppsbild vid beskrivning av bråk ... 23

7.3

Begreppsbilder som används vid bråkräkning ... 26

7.4

Tecken på inlärning via RME... 30

7.5

Uppfyllelse av Skolverkets kunskapskrav ... 31

7.6

Bråk som antal av en enhet ... 31

8

Diskussion ... 32

9

Avslutande summering ... 34

(9)
(10)

1 Inledning

1.1 Inledning

Vad ska elever kunna inom matematik för att anses besitta tillräckliga kunskaper för att kunna fortsätta in på gymnasieskolan? En del av kunskapskraven är att elever ska kunna finna alternativa lösningsförslag på problem. Därmed räcker det inte med att kunna en standardlösning för varje problem. Eleverna ska kunna komma på olika lösningar på problem. Vad ställer det för krav på elevernas kunskap?

Sfard (1991) beskriver en del av det matematiska kunnandet hos elever som förmågan att visualisera matematiken.

Förmågan till att förstå och visualisera matematik leder inte bara till att eleverna blir duktiga på att lösa uppgifter inom ett smalt område. Genom förståelse skapas möjligheter att använda kunskapen inom andra områden inom matematik (Berggren & Lindroth 2004). Visualiseringsförmågan skapar länkar mellan olika matematiska områden.

Berggren och Lindroth (2004) tar upp volymberäkning som ett exempel. En lösningsmetod för volymsberäkning av rätblock är att ta längden gånger bredden gånger höjden. Men om basarean redan är känd finns en genväg. Volymen är lika med basarean gånger höjden. Med förmågan att visualisera basarean och vad en area är blir övergången till volymberäkningen mer intuitiv. Skillnaden mellan att kunna beräkna arean för en rektangel och att kunna visualisera rutmönstret för arean är stor.

Förmågan till begreppsbilder och visualiseringar lyfter många fram som mycket viktigt inom matematik, bland annat Sfard (1991), Realistic Mathematics Education och Skolverket. Att skapa goda begreppsbilder kan med begränsade resurser anses ta för lång tid (Berggren & Lindroth 2004). Men författarna anser att det ändå är väl investerad tid.

Med olika begreppsbilder av ekvationen 1) nedan ges olika lösningsförslag. Med en uppfattning att 4x/7 är en division blir lösningen problematisk. Eftersom 4/7 inte kan skrivas som ett decimaltal blir det omöjligt att utföra divisionen och sedan lösa uppgiften. Med en god begreppsbild av bråk kan man upptäcka att alla tre termer kan representeras som bråk. Genom förlängning av alla termer till sjundedelar uppstår den nya ekvationen 2). Sista steget fås lätt genom god begreppsbild av ekvationer.

1) 4x/7+x=33 2) 4x/7+7x/7=231/7 3) 4x+7x=231

(11)

2 Bakgrund

Detta examensarbete har som syfte att undersöka elevers begreppsbilder inom matematiska bråk. Förhoppningen är att undersöka de tankar som leder fram till lösningsförslagen snarare än att undersöka lösningsförslagen i sig. Det är inte resultatet utan vägen dit som är det som ska analyseras.

En väg till ökad förståelse för matematik går enligt Petterson, Stadler och Tambour (2013) via utökad förmåga att beskriva matematiken i nya visuella former. Författarnas tankar sammanförda med Sfards (1991) definition av begreppsbilder ger att en ökad förmåga till användning av strukturella begreppsbilder leder till ökad förståelse för matematiken.

En förmåga till strukturella representationsformer leder enligt Berggren och Lindroth (2004) till ökad förmåga att använda den matematiska kunskapen utanför elevers normala användningsområde. Finns de strukturella begreppsbilderna hos elever som avslutat grundskolan och när används de?

Denna studie avser att bidra till kunskap om:

• Vilka begreppsbilder elever har rörande bråk.

• Om eleverna besitter olika begreppsbilder och vid vilka tillfällen använder de respektive begreppsbild.

• Har eleverna förmågan att använda både operationella och strukturella begreppsbilder samtidigt.

I bakgrundsdelen beskrivs hur tidigare studier påvisat brister hos elever vid användning av bilder för att förklara och förstå matematiken. Om dessa brister visar sig finnas hos detta arbetes informanter kommer tanken Nämnaren som en enhet att introduceras.

Med studier av elevers begreppsbilder vid utförande av matematiska uppgifter kan lärare få en bild av vilka begreppsbilder som leder till olika lösningsförslag. Studien kan synliggöra ifall en förskjutning mot mer operationellt eller strukturellt tänkande kan hjälpa elever att lösa uppgifter lättare och mer effektivt.

2.1 Realistisk Matematikundervisning

För att uppnå den strukturella objektifieringen enligt ovan definition finns många vägar. Under mitten av 1900-talet arbetade den holländske didaktikern Hans Freudenthal med en didaktisk inriktning som idag benämns Realistic Mathematics Education, RME. Grundtanken är att inlärning ska utgå från den strukturella begreppsbilden och stegvis bygga upp de operationer som blir den operationella begreppsbilden. Det realistiska i RME syftar på något för eleverna bekant och verklighetstroget.

Karlsson (2019) skriver att om undervisningen ligger på en, för eleverna, allt för hög abstraktionsnivå kan det hämma inlärningen. Detta ligger helt i linje med Freudenthals tankar om behovet av realistisk matematik.

(12)

modevisning och en teaterpjäs. Nästa steg är att bestämma hur stor andel av lokalen som är fylld. Utifrån den för eleverna realistiska situationen är tanken att eleverna ska återuppfinna matematiken. Utifrån den strukturella begreppsbilden, för att använda Sfards uppdelning, ska eleverna upptäcka de matematiska produkterna, och skapa en operationell begreppsbild. En effekt av inlärning med RME som utgångspunkt är en sammanflätning av matematiska områden.

Med en inlärning där den operationella begreppsbilden byggs upp med hjälp av den strukturella torde eleverna uppvisa tydligare begreppsbild av den senare.

2.2 Skolverket

Vad har begreppsbilder för betydelse enligt Skolverket? I kunskapskraven för matematik i årskurs 9 krävs för betyget E och bättre att eleverna kan lösa problem. Skolverkets beskrivning av ett problem är en uppgift som eleven inte på förhand vet lösningen för. För att lösa ett problem måste eleven kunna välja lösningsmetod och behärska metodens processer. Förmågan att välja bland de för eleven kända lösningsalternativen ställer krav på att förstå matematiken. Att välja lösningen förändringsfaktor vid ränteberäkning för ett lån med löptid 30 år och konstant ränta underlättas om eleven har en tydlig bild av vad förändringsfaktor är. Ränta är ett vanligt tillämpningsområde för förändringsfaktor inom grundskolan. Om uppgiften som ska lösas är ”Hur många liter vatten avdunstar under 30 dagar från en pool om 0.1 procent av vattnet avdunstar varje dag? Poolen innehåller 5 kubikmeter vatten efter den 30:de dagen” ställs ytterligare krav på begreppsbild för att finna lösningen med förändringsfaktor. Uppgiften med poolen är inte förändringsfaktorns vanliga kontext. Författaren skriver att begreppsbilden förbättras av att användningsområdet för matematiken breddas. I och med att begreppsbilden förstärks ökar elevens förmåga att använda kunskapen vid problemlösning.

För att uppnå högsta betyg i årskurs nio krävs att ”I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika uttrycksformer samt föra väl utvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra”. Att relatera matematiska begrepp till varandra underlättas av en god strukturell begreppsbild, Berggren och Lindroth (2004). Exakt vad Skolverket menar med att växla mellan olika uttrycksformer framgår inte med tydlighet. Gustavsson, Jakobsson, Nilsson, och Zippert (2011) beskriver uttrycksformer uppdelat i olika medium som varierade uttrycksformer. Skriftligt och muntligt är enligt författarna två olika uttrycksformer. Att beskriva visualiseringar av matematiken i form av ord samt med skrift förklara operationella kunskaper blir enligt denna uppdelning ett exempel på att växla mellan uttrycksformer.

2.3 Nämnaren som en enhet

Det finns många förklaringar och synsätt på vad bråktal är inom matematik. Olika begreppsbilder av bråktal ger olika fördelar. Bråktals mångfasetterade beskrivningsmöjligheter kan skapa svårigheter för elever enligt Clarke, Roche och Mitchell (2010). En utmaning med inlärning av ett ämne som kan beskrivas och representeras på många vitt skilda vis är att skapa förståelse för och se sambanden mellan de olika representationsformerna.

(13)

Clarke, Roche och Mitchells (2010) beskrivning av bråk som en enhet är ur begreppsbild av intresse. Att se tre femtedelar som tre stycken enheter av enheten femtedelar öppnar upp möjligheter för snabb huvudräkning. Användandet av minsta gemensamma nämnare introduceras tidigt i grundskolan. Det är skillnad mellan den operationella förståelsen och den strukturella förståelsen för begreppet minsta gemensamma nämnare. Med representationen av bråk som antal av en enhet tillsammans med förståelsen av enheter kan minsta gemensamma nämnare visualiseras. Elever förstår tidigt att tre äpplen plus fyra päron inte är varken sju äpplen eller sju päron. Enheten måsta omvandlas för att additionen ska kunna utföras.

2.4 Tidigare forskning

Här beskrivs resultatet av några tidigare forskningsprojekt rörande elevers begreppsbilder. En gemensam nämnare för resultaten är att eleverna ibland använder matematik som de ej besitter tillräckliga strukturella begreppsbilder av. Avsaknaden av objektifieringsförmågan resulterar i tanke- och räknefel.

Breen, Larson, O’Shea & Pettersson (2017) undersökte studenters begreppsbilder av inversa funktioner. Undersökningen gjordes på förstaårsstudenter på olika universitet. Ett problem som författarna presenterar är att bristfälliga och multipla begreppsbilder kan leda till att begreppsbilderna sammanblandas. Detta kan leda till missuppfattningar och felaktiga tankebanor.

Breen et.al (2017) är en sammanslagning av en svensk och en irländsk forskning. Av de 65 irländska studenterna var det endast 4 som kunde ge en korrekt beskrivning av inversa funktioner. Av 39 studenter som beskrev inversa funktioner som en reflektion var det endast 9 som visste att reflektionen låg i x=y. Andra felaktiga beskrivningar som användes var reflektion i origo och mot x-axeln.

Ett genomgående tema för studenternas användande av inversa funktioner var användandet av begreppsbilder som eleverna inte helt behärskade.

I en annan studie undersöktes elever i 6:ans kunskap och förståelse av bråk. Murdock-Stewart (2005) visar på att en stor del av eleverna har en intuitiv förståelse av bråk. Men likt resultatet i Breen et.al (2017) saknar många av eleverna i Murdock-Stewart (2005) en begreppsbild som hjälper dem att lösa matematiska problem. Informanterna beskriver bråk som att något är delat i delar. Antalet delar är det avgörande. De saknar kunskapen att alla delarna måste vara lika stora. Begreppsbilden är inte fullständig vilket leder eleverna till felaktiga slutsatser. Murdock-Steward (2005) beskriver elevernas förmåga till representation av bråk som allt för inriktad på kontinuerliga representationsformer, likt pizzor och rektanglar. Endast en elev gör en beskrivning innehållande flertalet objekt där ett visst antal av objekten har en unik egenskap.

Lipovec & Podgorošek (2017) undersökte visualiseringsförmågan hos slovenska elever i årskurs sex. Eleverna skulle representera 3/5 av 15 samt 32. Resultatet visade på att elever

(14)

3 Syfte och frågeställning

Här beskrivs syftet med detta arbete och varför frågeställningen är av intresse.

3.1 Syfte

Att undersöka och förstå hur elever lär sig bråkräkning är av intresse för undervisande lärare och eleverna själva. Vilka undervisningsmetoder leder till olika kunskaper och begreppsbilder hos eleverna? Om det finns didaktiska val som kan hjälpa eleverna att skapa djupare kunskap om och större förståelse för bråkräkning kan det hjälpa lärare att förbättra undervisningen. För att undersöka hur begreppsbilder relaterar till graden av förståelse kommer detta arbete att undersöka vilka begreppsbilder elever efter avslutad svensk grundskola har och vid vilka tillfällen begreppsbilderna används. Genom individuella intervjuer med tre elever samtidigt som de löser bråkräkningsuppgifter undersöks de tankar som leder eleverna fram till svaret.

3.2 Frågeställning

De forskningsfrågor som detta arbete ämnar undersöka är:

• Vilka begreppsbilder av matematiska bråk besitter eleverna?

• Finns det en systematik i när eleverna använder olika begreppsbilder?

(15)

4 Teoretiskt ramverk

Genom individuella intervjuer med tre elever undersöks tankar och begreppsbilder som används vid bråkräkning. Informanternas begreppsbilder delas upp enligt Sfards (1991) uppdelning i operationella och strukturella begreppsbilder.

4.1 Strukturell och operationell begreppsbild

Elevers väg till kunskap påverkas av många faktorer, (Karlsson 2019). Undervisningsformen som en del av lärarens didaktiska val, det tillhandahållna studiematerialet och elevens förmåga till inlärning bidrar till hur inlärningen sker.

Begreppsbildskonceptet har studerats av många och i många former. Detta arbete använder Anna Sfards uppdelning i strukturell och operationell begreppsbild. Sfard (1991) definierar de två begreppsbilderna enligt följande.

En operationell begreppsbild innebär att matematisk kunskap lagras i form av de underliggande räkneoperationerna, de matematiska processerna. Dessa processer bygger upp elevens kunskap rörande till exempel bråkräkning. Genom sammanfogning av processerna skapas begreppsbilden hos eleven.

Den strukturella begreppsbilden utgår från en objektifiering av kunskapen. Sfard (1991) beskriver delar av matematiken som omöjlig att skåda med våra ögon. Den enda möjligheten att se matematiken är genom att skapa bilder av den i hjärnan. Oförmåga att skapa imaginära bilder anser författaren vara en bidragande orsak till att många ”well formed minds” uppvisar svårigheter inom matematik. Författaren anser att den strukturella begreppsbilden ger innehavaren möjligheten att manipulera matematiken som en helhet istället för att endast kunna anpassa enskilda processer.

Sfard (1991) anser att båda begreppsbilderna är viktiga komponenter för skapande av kunskap, de ska ses som komplement snarare än substitut till varandra. Den operationella begreppsbilden blir mer atomisk än den strukturellas holistiska perspektiv.

En strukturell begreppsbild ”skapas” enligt Sfard (1991) genom den så kallade reifikationen. De operationella autonoma delarna fogas samma till en sammanhängande helhet. Till skillnad från RME, som beskrivs i nästa stycke, anser författaren att den strukturella förståelsen kommer efter den operationella. Författaren antar att skapandet av strukturella bilder underlättas av god operationell förståelse. Att den operationella begreppsbilden kommer före den strukturella är en generell regel, som kan antas ha undantag. För väldigt konkreta objekt likt geometriska figurer kan inlärningen ske omvänt.

Derivata är ett exempel på hur begreppsbilderna kan delas upp och användas. Med en operationell kunskap om derivatan i en punkt skapas inte automatiskt förståelse av derivatan som en funktion, (Park 2015). Att förklara derivatan som tangenten till kurvan i en punkt utan att skapa bilden av derivatan som en funktion i sig själv, begränsar förståelsen för begreppet derivata.

Resultatet av studien av Park (2015) visar på att bristen på sammankoppling mellan derivatans olika egenskaper leder till brister i studenternas inlärning. Sfard (1991) hade beskrivit detta som att utan tydliga kopplingar mellan matematiska operationer skapas inte den strukturella förståelsen. Att synliggöra hur matematiska delar bildar helheter leder till ökade kunskaper. Kunskap om helheten underlättar förståelsen för varför och hur matematiken fungerar.

(16)

hjälp av derivatans definition och räkneregler kan man besvara många detaljfrågor likt var har funktionen sitt största värde och är derivatan positiv eller negativ. Helt utan kunskap om att derivatan är en kurvas lutning kan räkneoperationerna leda till rätt svar. Men med kunskap om vad derivata är, att det är lutningen på en kurva, skapas möjligheter att se nya användningsområden och att fördjupa kunskapen om derivatan. Kunskapen att funktionens största värde fås där derivatan är noll kan tillämpas på alla funktioner som man kan derivera och som har derivatan noll för något x-värde.

(17)

5 Metod

I denna del beskriv metodval, analysmodeller, bakgrund till urval samt teorier kring etiska aspekter.

Först beskrivs valet av metod för informationsinsamlingen. Olika metodval ger olika former av data. I denna studie valdes intervjuer för datainsamling. Valet hade kunnat bli en kvantitativ studie med ett stort antal informanter. För- och nackdelar med metodvalet beskrivs.

Urvalet av informanter kan påverka utfallet av en studie. Metodvalet påverkar urvalet markant, Denscombe (2016). Generaliserbarheten vid kvantitativa studier ställer krav på slumpmässighet medan kvalitativa studier förbättras med medvetna och specifika val. Slutligen beskrivs de etiska överväganden och begränsningar som har tagits hänsyn till vid utformandet av denna studie.

5.1 Metodval

En kvalitativ fallstudie genom intervjuer uppfyller alla önskvärda egenskaper för denna studie. Som Denscombe (2016) beskriver fallstudiens syfte är fokus på varför något sker och inte på vad som sker. I denna studie är målet att sätta ord på hur eleverna klarar eller inte klarar att lösa matematiska uppgifter. Vad elevernas svar på de matematiska uppgifterna blir är av underordnad karaktär.

Holme och Solvang (1996) beskriver intervjustudier som en studieform där informanterna ges stor frihet att påverka hur de ska svara på frågorna. Genom denna frihet öppnas möjligheten att få en bild av informanternas egna uppfattningar och tolkningar av frågorna. En informants svar kan leda samtalet i en riktning som inte på förhand var tänkt men som behövs för att intervjuaren ska få svar på sina frågor. Informantens tolkning av en fråga kan medföra att frågan behöver omformuleras eller ställas ur en ny synvinkel.

Med hjälp av intervjuer ges möjligheten att få en bild av elevers alla tankar i realtid. Studien försöker urskilja begreppsbilder som eleverna använder, inte bara de som beskriver själva lösningen. För att informanterna först fritt ska få beskriva sina tankar rörande bråk och sedan, om det inte redovisats tidigare, ges möjligheten att redovisa alternativa tankar lämpas en studieform där frågorna till informanterna kan justeras i realtid.

En kvantitativ undersökning har många fördelar. Med ett korrekt urval ger metoden en möjlighet att generalisera resultatet till hela den population som urvalet är hämtat från. Holme och Solvang (1996) anser att en stor nackdel med en kvantitativ undersökning där många informanter får samma frågor skriftligen är att informanterna riskerar att tolka frågorna olika vilket kan resultera i att de svarar på olika frågor. Svaren riskerar att inte bli jämförbara ur ett djupare förståelseperspektiv.

Fallstudiens försök att gå på djupet tillsammans med denna studies begränsningar i resurser medför att antalet informanter begränsas till ett fåtal.

(18)

Under datainsamlingens gång är det varken ovanligt eller felaktigt att justera samtalsmallen och att upptäcka nya frågeställningar som är av intresse. Om justeringen sker efter att en eller flera intervjuer genomförts kan informanterna kontaktas på nytt för att besvara ytterligare frågor.

5.2 Urval

Inom kvantitativa undersökningar är urvalet av helt avgörande karaktär. Urvalet styr helt generaliserbarheten för resultatet. För en kvalitativ undersökning är urvalet inte lika avgörande, men ändå en viktig del av arbetet. Att säkerställa att urvalet kan besvara frågorna är enligt Holmen och Solvang (1996) avgörande. Ska de psykiska effekterna av skilsmässor undersökas måste alla informanterna genomgått en skilsmässa. Om en av intervjuobjekten under eller efter intervjun visa sig inte tillhöra den grupp som ska undersökas kan den insamlade data inte användas för analys.

En kvalitativ undersökning har enligt Holmen och Solvang (1996) som mål att lyfta fram nya aspekter av ett fenomen och att öka informationsvärdet. Detta medför att slumpvisa urval inte lämpar sig väl vid urvalsprocessen. Denscombe (2016) beskriver vikten av att välja urvalet så att nya infallsvinklar tydliggörs och att så mycket information som möjligt belyses. Skolverket (2000) beskriver strategiska urval som en metod där urvalet görs för att uppnå antingen stor svarsvariation eller urval som förväntas ge önskat datamaterial.

För denna studie valdes elever som avslutat grundskolan under 2020. Om elever som avslutat grundskolan för många år sedan varit med i undersökningen hade tecken på begreppsbild möjligtvis kommit från studier efter grundskolan. En annan risk hade varit att begreppsbilder hamnat i glömska och inte kommit fram under intervjuerna.

Denna studie baseras på elever från en och samma årskurs men med varierade betyg. Eleverna kommer från två olika kommuner.

Ett tydliggörande som bör göras rörande kvalitativa intervjuer är att urvalet kan göras baserat på vad undersökningen vill komma fram till (Holmen och Solvagn 1996). Genom att välja att söka data inom de grupper som man på förhand anar har de svar man söker, kan resultatet påverkas. Med detta sagt är det viktigt att komma ihåg att slutsatsen eller resultatet av en kvalitativ intervjustudie inte är generaliserbart utan beskriver endast hur de intervjuade personerna beskriver det som undersöks.

5.3 Analysmetod

Till skillnad från kvantitativa analyser saknar de kvalitativa analyserna tydliga regler och analysmetoder enligt Holme och Solvang (2010). Insamlingen av data genom kvalitativ intervju medför ett stort arbete med att organisera informationen. Innan någon analys kan genomföras måste data organiseras med hjälp av någon struktur. Vid kvantitativa analyser samlas data in enligt en på förhand bestämd struktur. En på förhand vald struktur vid kvalitativa data är svår på grund av avsaknad av tydliga avgränsningar för den inkommande informationen.

(19)

Skolverket (2000) lyfter behovet av att vara öppen för det som enligt intervjuaren inte verkar stämma in. Det finns en risk att informationsinsamlaren prioriterar information som passar arbetet. Att som vid kvalitativa analyser inneha möjligheten att välja vilka delar av den insamlade data som ska presenteras ställer stora krav på objektivitet vid insamling, analys och presentation av data. Med kvantitativa data finns regler för hur bortfall och avvikande data ska hanteras.

En risk som uppstår vid bearbetning av kvalitativa data är enligt Holme och Solvang (2010) att omskrivningar från talspråk till skriftspråk riskerar att försämra kvaliteten. Varje tolkning och omskrivning av data riskerar att sänka validiteten. Analysen i detta arbete kommer att i så stor utsträckning som möjligt baseras på det eleverna faktiskt säger under intervjuerna. För att underlätta läsning av rapporten tas vissa upprepningar av ord bort samt delar av meningar som mer är av omedvetna ljud snarare än framförande av budskap.

Den analysmetod som detta arbete kommer att använda beskrivs av Braun och Clarke (2008). Metoden kallas tematisk analys. Författarna beskriver temat i tematisk analys som kopplingen mellan datasättet och forskningsfrågan. Målet med analysen är att påvisa existens eller avsaknad av ett tema i datamängden. Det finns ingen definition av hur stark denna koppling bör vara för att den ska anses existera.

En underkategori till tematisk analys är latent tematisk analys (Braun och Clarke, 2008). Vid latent analys undersöks inte endast datamängden på ytan. Analysen söker även underliggande tankar och uppfattningar. Denna analys kommer söka svar på vilka tankar och objektsbilder eleverna har och använder, inte bara vilka beskrivningar eleverna initialt ger.

För varje delfråga av intervjuerna analyseras eventuella tecken på strukturella och operationella begreppsbilder. En summering görs och antalet elever som visat tecken på att använda begreppsbilderna presenteras. Resultatet av denna del av analysen presenteras i tabellform.

5.4 Etiskt övervägande

All form av forskning måste följa etiska riktlinjer som skyddar deltagarna från alla former av skada, både fysiska och psykiska, Denscombe (2016). Några av författarens punkter som berör denna undersökning är:

• Skydd av deltagarnas integritet • Frivillighet i deltagande

• Öppenhet och ärlighet rörande forskningen

Skyddet av deltagarna tas även upp av Holmen och Solvang (2010). Tystnadsplikten ska garantera att obehöriga inte kan ta del av information rörande enskilda deltagare. En absolut anonymisering av allt som publiceras är en grundförutsättning för tystnadsplikten.

Deltagandets frivillighet ska garanteras inom forskning. Att deltagarna erhåller tillräcklig information rörande forskningen är en förutsättning för att ärligt kunna tala om frivillig medverkan, Denscombe (2016)

(20)

Denscombe (2016) tar upp att all forskning på människor måste göras med utgångspunkt i att gagna människor, men inte specifikt människorna i forskningsprojektet.

Intervjuobjekten i denna studie informeras i förväg om att deltagandet är helt frivilligt och att eleverna kan hoppa av studien när som helst, även efter intervjun. Efter att analysen av intervjuerna är genomförd samt examensarbetet är godkänt kommer alla inspelningar samt transkriptioner att raderas. Den insamlade informationen kommer att anonymiseras. Eftersom intervjuerna kommer att ske med elever under 18 års ålder kommer även vårdnadshavarna att informeras och ge sitt godkännande till elevernas deltagande.

(21)

6 Resultat

Intervjuerna genomfördes via telefonsamtal, på grund av den rådande Corona-pandemin. Eleverna fick först beskriva sina generella begreppsbilder av bråk följt av bråkräkningsuppgifter som de skulle lösa. Ett antal av uppgifterna var bestämda på förhand, se bilaga 1. Beroende på elevernas svarsförmåga fokuserades intervjuerna på olika uppgifter. Alla uppgifter besvarades inte av alla elever.

Uppgifterna är utvalda med två olika kriterier. För det första valdes uppgifter som var ganska enkla för eleverna vilket möjligtvis skulle skapa en trygghet hos dem. Förhoppningen var att tryggheten ska göra att de vågar vara öppna rörande sina tankar. För det andra valdes uppgifterna utifrån att de både skulle ge möjlighet till resonerande lösningar och kortfattade svar.

(22)

7 Analys

Här beskrivs analysen av de tre intervjuer som genomfördes. Elevernas beskrivningar av matematiken analyseras enligt Sfards (1991) uppdelning i operationella och strukturella begreppsbilder.

Till en början delas tecken på begreppsbilder upp i operationella eller strukturella med koppling till bakomliggande teorier. Målet med denna del är att ge en fingervisning om vilken begreppsbild som är vanligast och om användningsområdena för begreppsbilderna är de samma för alla tre informanter.

I följande analys undersöks när och varför de olika begreppsbilderna används av eleverna. Här beskrivs hur begreppsbilderna har tolkats som strukturella eller operationella. Att dela upp begreppsbilderna i dessa två kategorier är i vissa fall väldigt svårt, (Sfard, 1991). Det kan vara så att ett svar tolkas som operationellt när det inte är elevernas faktiska tanke. Skott et al (2010) beskriver detta som Jourdain-effekten. I lärarens önskan att eleverna ska tänka på ett speciellt vis lägger hen andra tankar bakom ett handlade, tankar som inte varit elevens egna.

7.1 Finns det systematik i användandet av begreppsbild?

En första analys av elevernas begreppsbilder görs genom uppdelning mellan operationell och strukturell för varje delfråga av intervjuerna. Varje tendens till begreppsbild analyseras och kategoriseras. För varje uppgift, 1 till 9, kan maximalt tre operationella respektive strukturella begreppsbilder markeras.

Om en elev uppvisar flera operationella begreppsbilder på en uppgift genererar det ändå endast en markering per begreppsbild. Beskriver en informant båda begreppsbilderna ger det en markering vardera.

Tabell 1.Fördelning mellan operationell och strukturell begreppsbild.

Uppgift

Operationell

Strukturell

Vad är bråktal?

3

3

Vad tänker du om jag säger en femtedel?

2

2

Storleksordna tal

3

0

Beskriva vad ” tre femtedelar” är

2

1

Addition

3

1

Multiplikation

3

0

Division

3

0

Arvet

2

0

Ekvation

3

0

Vid sökande efter och definierande av begreppsbilder uppstår ett gränsdragningsproblem. Vad är ett tecken på begreppsbild och vad är skillnaden mellan operationell och strukturell? Ett gränsdragningsproblem uppstod när en av de två eleverna som inte kunde förklara behovet av gemensam nämnare gav sin förklaring.

Annars så, man kan ju inte. Jag vet inte. Det går ju inte att addera nämnare eftersom det inte blir rätt då. Därför måste man ha samma nämnare för att se hur många man har av samma grej. (Intervju 3)

(23)

Förklaringen att eleven ser bråk som antal av en enhet är föga trolig. Senare i samma samtal när intervjuaren beskriver divisionsräkning med hjälp av att se 4/7 som fyra tårtbitar verkar den tanken vara ganska ny för eleven.

Analysen pekar mot att elevers användande av begreppsbilder påverkas av om de tänker på bråk eller räknar med bråk.

Eleverna tenderar att använda övervägande operationella begreppsbilder vid beräkningar av bråk. Vid räkneuppgifterna användes endast strukturell begreppsbild vid ett tillfälle. Se tabell 1. När en elev förklarade varför addition av bråk kräver gemensam nämnare använde hen en tanke rörande tårtbitar. ”För att kunna addera bråk måste tårtbitarna vara lika stora” anses i denna studie vara en strukturell tanke.

När informanterna skulle förklara varför addition av bråk kräver gemensam nämnare var det bara en av tre som använde en strukturell begreppsbild. De andra två kunde inte förklara varför gemensam nämnare krävs. De angav bara att de visste att det krävs.

Vid beskrivningarna av vad bråk är användes systematiskt strukturella begreppsbilder. Alla elever använde cirkulära figurer som beskrivning av vad bråk är.

7.2 Begreppsbild vid beskrivning av bråk

Redan under den första frågan uppvisades tydliga tecken på båda begreppsbilderna. På frågan vad bråktal är för eleverna gavs svaren:

Intervju 1, 28 juli

E1: - Ett bråktal för mig. Ett bråktal för mig är väl såhär…alltså när jag hör bråk då tänker jag på tårtbitar. Så delar man upp den i olika bitar. Det är det första jag tänker på när jag hör bråk.

Elev 2 svarade vid samma del av intervjun: Intervju 2, 28 juli

I: -Vad tänker du på om jag säger bråktal.

E2: -Jag tänker på så här delar, delar av tal. Andelar. Ganska mycket. I: -Får du fram några bilder framför dig?

E2: -Ja asså, antingen tänker jag på bråktal som 3/5, annars så är det tårtor. I: -Har du några andra bilder

E2: -Nej, det är främst cirklar, tårtor, pizzabitar. Lite kvadrater, rektanglar.

En koppling till räkneböckernas vanliga representationsform av tårtor och andra cirkulära figurer fanns hos alla tre elever. Att elevernas kunskap återspeglar den undervisning och de böcker som undervisningen baseras på är ganska tydligt.

(24)

representationsformer eller inte framgår inte av denna rapport. Den elev som gav ytterligare en beskrivning svarade enligt följande.

Intervju 3, 30 juli

I: -Vad är ett bråktal för dig?

E3 : -Jag tänker väl mest på typ, asså, om man ska räkna ut hur mycket något finns av något. Hur många i den här gruppen har hattar. Man kollar hur stor del av nån grej som gör något eller har något.

I: -Det är ett vanligt sätt att använda bråk. Har du någon annan tanke om vad ett bråktal är?

E3: -Jag associerar det också med procent. Man kan omvandla bråk och procent med varandra. Jag tänker på procent också.

I: -Men det första som kom upp var representationsformen där man visar andelen som har hattar av en hel grupp.

Om jag säger en femtedel, vad får du upp för bild i huvudet.

E3: -Asså, jag får först upp det man skriver, en femtedel. Hur det står. Annars tänker jag på 25 % bara. Men annars utöver det, om man ska se det som en bild tänker jag kanske på en kaka eller bit och så är det en femtedel som blir fylld.

I: -Om jag säger en sjundedel, vad tänker du då.

E3: -Då tänker jag nog kanske lika dant. Däremot är det inte lika tydligt med det här med kaka. En femtedel är ganska enkelt att föreställa sig. En sjundedel är lite svårare att tänka så. Då är det lättare att tänka på en grupp personer. Så är det en person av dom sju som…

Elev 3 uppvisar en förmåga att växla mellan representationsformer. Eleven väljer den beskrivning som ger hen den tydligaste bilden av vad bråket betyder. Inom RME, som beskrivits i bakgrundsdelen, ska utgångspunkten för elevernas inlärning vara i för eleverna realistiska och begripliga situationer. Att besitta förmågan att välja beskrivning utifrån det angivna bråket blir av stor vikt.

Utan möjligheten att välja olika representationsformer begränsas möjligheten att skapa tydliga och behjälpliga bilder i huvudet. Även förmågan att lösa matematiska uppgifter kan begränsas av oförmågan att välja lämplig representationsform.

Elev 1 hamnade i en för hen svår situation där hen inte kunde komma vidare. Intervju 1, 28 juli

I: -Vad använder du/man tårtbitarna till?

(25)

E1: -Hur stor del det är. Om det är hälften, 50 % av varje. Då är det ju halva tårtan. I: -Om jag säger en femtedel, vad tänker du på då.

E1: -20 %

I: -Procent blir din koppling på en femtedel E1: -Ja, exakt.

I: -Om jag säger en sjundedel, vad tänker du då.

E1: -Asså, det där är svårt. Då vet jag knappt vad jag tänker. Då försöker jag, då tar jag hundra delat i sju för att få fram ett svar.

I: -Hundra delat på sju är typ 13

E1: -Svårt är vad jag tänker. Hundra delat i sju. Jag tänker alltid att sånt är svårt inom matte.

I: -Ja tänkte på att när du tänker på bråktal tänker du på tårtbitar. Det är vanligt eftersom det är den vanligaste representationsformen som böckerna ger. När jag säger en femtedel så tänker du inte på tårtbitar ändå.

E1: -Nej, det är konstigt. I: -Bara intressant.

Eleven har en tydlig begreppsbild av bråk som hen använder. Nackdelen med begreppsbilden är att den inte alltid är användbar. Att tänka bråktal som procent är ofta möjligt men inte när det kommer till bråk som inte kan skrivas som decimaltal.

Analysen visade på att alla tre elever använde strukturella begreppsbilder när de beskrev bråk rent generellt. Mer specifikt var det en beskrivning i form av cirkulära bilder, tårtor, som användes av eleverna.

När beskrivningen övergick till bråk som inte lika lätt delades upp i tårtbitar övergick eleverna till andra representationsformer. En elev gick till en mer operationell begreppsbild i form av det faktiska bråket. Eleven såg en bild av själva bråket i huvudet. En annan elev övergick även hen till operationella bilder i form av procentomvandling. Tyvärr kunde inte eleven skapa någon tydlig bild på grund av att bråket saknade en enkel procentform. Den tredje eleven övergick till grupper av personer. Att skapa den inre bilden av två personer av en grupp om sju var för denna elev den tydligaste bilden av sjundedelar. Att beskriva bråket som grupper av personer hör till den strukturella begreppsbilden.

(26)

7.3 Begreppsbilder som används vid bråkräkning

Här beskrivs några av de begreppsbilder som eleverna förmedlade när de löste uppgifter som var inriktade på beräkningar av bråktal.

Efter att eleverna fått rangordna de fyra bråktalen 1/3, 4/9, 2 och 8/3 fick de på nytt en fråga om vad de tänker på när de hör bråktal. Svaret från elev 1 blev ganska talande för hur elevernas begreppsbilder förändras när de går från att tänka på bråk till att räkna med bråk.

Intervju 1, 28 juli

I: -Om jag säger tre femtedelar, får du upp någon bild.

E1: -Någon bild av tre femtedelar. Då är det 60 %. Det första jag tänker på när jag hör bråk är den där tårtan men när jag hör ett bråk då försöker jag oftast tänka över det i procent.

I: -Varför väljer du procent?

E1: -Nej, men det är väl ganska lätt att utgå från. För då är alltid 100 % mest. Fattar du vad jag menar.

I: -Man hade kunna tänka sig att du skulle välja decimaltal, men det gör du inte. E1: -Nej, alltså inte i första hand. Men jag använder decimaltal ibland, men framförallt använder jag procent.

Informanten är tydlig med att hen använde olika bilder av bråk beroende på om hen ska räkna eller bara tänka på ett bråk. När hen säger att ” det är väl ganska lätt att utgå från (procent). För då är alltid 100 % mest.” visar hen en tydlig koppling till bråket som ett uttryck för en andel. Att hundra procent är mest är en följd av representationsformen en tårta. Den strukturella begreppsbilden finns där men inte hela förståelsen för representationen. Att hundra procent alltid är störst gäller bara för alla bråk med täljaren mindre än nämnaren. Vid nästa fråga där eleverna skulle addera bråk fanns inga tecken på strukturell begreppsbild kvar. Alla tre elever löste uppgifterna utifrån generella procedurer. Ingen elev visade tecken på att välja någon genväg för att lösa någon uppgift. Vid addition omvandlade alla eleverna direkt bråken till minsta gemensamma nämnare, eller en gemensam nämnare. Ingen av eleverna hade någon tydlig förklaring till varför nämnarna måste vara lika. Bilden av att bråk kan representerar enheter visades inte hos någon av eleverna. Att se två femtedelar som två enheter av femtedelar hade kunnat skapa en strukturell begreppsbild för regeln med gemensam nämnare. Begreppsbilden av bråk som antal av en enhet kommer visa sig hjälpa eleverna när de ska beräkna bråkdivision.

Vid multiplikation av bråktal framgick det tydligt att eleverna lärt sig regeln ”vid multiplikation av bråk ska täljarna multipliceras med varandra och nämnarna med varandra”. Informanterna uppmanades att multiplicera 2 med 1/3. De svar som gavs var olika, men två av dem omvandlar tvåan till bråkform för att kunna multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare.

(27)

E3: -Asså enklast är, eller om jag skulle göra den där 2:an till tredjedelar, för att liksom kunna. Så det blir 6/3 gånger 1/3. Och då är det bara att ta 6 gånger 1 vilket är 6 och 3 gånger 3 vilket är 9. 6/9

Intervju 1, 28 juli

I: -Multiplikation. Om du ska multiplicera 2 med 1/3.

E1: -Då tänker jag, jag drar över den till 0,33. Så då blir det 2 gånger 0,33 och då blir det 0,66

Intervju 2, 28 juli

I: -Om du ska multiplicera 1/3 med två. Hur gör du då.

E2: -Ett sett som jag har lärt mig att tänka på är så här är att man kan sätta en etta under tvåan, alltså en nämnare. Och då när jag multiplicerar bråk vet jag att jag ska multiplicera nämnare med nämnare och täljare med täljare. Så jag multiplicerar 1 med 2 och 1 med 3. Svaret blir 2/3.

Eleverna använder olika operationer för att beräkna multiplikationen. Ingen elev gav tecken på att försöka finna någon snabbare och för uppgiften specifik väg fram till svaret. Med en tydlig objektifiering av 1/3 som 1 tårtbit lika stor som en tredjedel av hela tårtan hade möjligtvis någon av eleverna funnit en snabbare väg till svaret. Att två gånger en tårtbit är två tårtbitar kan anses vara enkelt för elever i nian.

Elev 1 gör som hen tidigare sagt sig vara tryggast med och ser bråket som decimaltal. Att bråket inte kan skrivas som decimaltal är inget hinder. Beräkningen utifrån närmevärdet 1/3 = 0,33 stämmer. Elev 2 väljer att omvandla 2 till 2/1 och använder sedan operationen som löser alla bråkmultiplikationer. Elev 3 väljer att både omvandla 2 till bråk och att förlänga bråket till tredjedelar. Varför hen gör så har hen ingen förklaring till. Antagligen är det minsta gemensamma nämnare från additionen som orsakar förlängningen.

När frågorna till eleverna gick in på division förstärktes bilden av att de besitter kunskaper om hur de ska utföra beräkningarna, utan att de besitter större förståelse eller tydliga begreppsbilder. Likt för multiplikation finns en klar och tydlig regel för bråkdivision. Att förlänga täljaren och nämnaren i divisionen med nämnarens invers gör alla elever utan att tänka. Saknas en nämnare för något av talen som ska ingår i divisionen lägger de till nämnaren ett. Detta är en tydlig operationell begreppsbild enligt Sfard (1991)

Intervju 2, 28 juli I: -4/7 delat med två.

E2: -Då tänker jag likadant som med multiplikation. Jag sätter in nämnare på tvåan. Ifall man multiplicerar med det omvända bråket i nämnaren, så man får nämnaren noll. Så man gör om det till en multiplikation så blir det 4/7 multiplicerat med en halv, så får man 4 14-delar.

(28)

I: -Finns det något annat sätt. Om någon säger till dig vad är 4/7 delat med två, vad är det snabbast sättet som du kan räkna ut det på?

E2: -Det är väl bara egentligen att multiplicera sjuan med tvåan. När men dividerar med ett helt tal. Jag tror jag brukar göra så vanligt vis men när jag ska tänka.

I: -Vet du varför? Du sa att man vänder på bråket, de kallas inverterar. Vet du varför man multiplicerar med den inverterade nämnaren.

E2: -Jag tror det är för att då gör man nämnaren till en etta. Och då så försvinner det helt.

Intervju 1, 28 juli

I: -Om du ska ta 4/7 delat med 2. Hur gör du då?

E1: -Vad gör jag då? Jag vet faktiskt inte. Eller jo det vet jag. Då skriver man 2 till 1. Så det blir ett bråk. Och sedan så inverterar man. Nu har jag glömt bort vilken man ska invertera med.

I: -Vad gör man efter att man inverterat?

E1: -Sen tar man multiplikation för att få fram det. Jag har bara glömt bort vilken man ska invertera.

I: -Då inverterar du, i det här fallet 2 ”ettondelar”.

E1: -Så det blir en halv. Sen skriver man ut det så det blir 4/7 gånger en halv. Så det blir 4 14-delar.

I: -Ja, så 4 /14 får du som svar? E1: -Ja.

I: -Snyggt. Det är helt rätt.

I: -Om vi tar 4 7-delar delat med två, igen. Om du tänker 4 7-delar som tårtbitar istället. Försök att se framför dig de här 4 7-delarna som tårtbitar. Vad skulle du då säga att 4 7-delar delat på två personer är?

E1: -7. Eller 3,5. Eller vad då?

I: -Om du har 4 7-delar, om du representerar det som tårtbitar. Vad ser du framför dig då?

(29)

E1: -Två var.

I: -Exakt. Så 4 7-delar delat på två. Vad borde det bli? Om vi tänker i tårtbitar. E1: -4? eller vad då? 2?

I: -Vi får två tårtbitar var. Hur stor är varje tårtbit? E1: -25 %. Eller nu hänger jag inte med här.

I: -Det behöver du inte göra. Det är lite det här som mitt arbete handlar om. För om du tänker att du har en tårta och så skär du den i sju bitar och så äter du upp tre bitar. Då har vi 4 7-delar av den här tårtan kvar. Om du och jag ska dela på det sen. Då får vi 2 7-delar var. Vi får två tårtbitar. Eller hur.

E1: -Ja,

I: -Så svaret på 4/7 delat på 2 om man tänker på det som tårtbitar blir ju 2/7. Varje tårtbit är ju 1/7 av tårtan och vi får två tårtbitar var.

Eleven håller med under hela resonemanget. När elev 2 får ledtråden att se 4/7 som fyra tårtbitar kommer svaret väldigt snabbt.

Intervju 2, 28 juli

I: -Om du ser 4/7 som tårtbitar. Så säger man att man har 4 tårtbitar kvar av sju. Dessa tårtbitar ska delas på två personer. Ger det dig något annat sätt att lösa uppgiften på.

E2: -Då har man ju 4/7 och så delar man dom på två. Och då får man ju två sjundedelar. Det var ganska enkelt om man tänker så.

Intervju 3, 30 juli

I: -Om vi backar bandet lite. Till division.

I: -Vi hade 4/7 delat med två. Du löser den helt korrekt genom att skriva 2 som 2/1 och inverterar. Och multiplicerar och får rätt svar. Om du istället tänker 4/7 som en tårta som är uppdelad i 7 bitar. Sen tar vi bort 3 av bitarna. Kan du se den tårtan framför dig? Då har vi 4 /7 av tårtan kvar. Om du och jag skulle dela på den tårtan som finns kvar. Hur mycket tårta får vi var.

E3: -2/4 av det som finns. Eller tänker du av 7-delar? I: -Av 7-delar hade jag tänkt.

E3: -Men gud.

(30)

I: -Exakt. Det där är ett annat sätt att se på bråkräkningen. När du utförde bråkdivisionen använde du en metod som alltid fungerar men i det här fallet hade man kunnat se bråket som fyra tårtbitar. Om du och jag ska dela på dem är det ganska självklart att vi får två tårtbitar var. […] När man har matteprov måste man kunna sina beräkningar och få fram rätt svar. Men det kan finnas fördelar av att kunna komma fram till svaret på olika vis.

Inledningsvis, vid de öppna frågorna kring bråk, uppvisade de tre eleverna mer eller mindre direkt en strukturell begreppsbild. Bråk representerades som figurer uppdelade i mindre delar. Men när frågorna blev inriktade på att lösa matematiska uppgifter lämnade samtliga elever den strukturella begreppsbilden och övergick till strikt operationella begreppsbilder. Vid additionsuppgiften använder eleverna benämningen minsta gemensamma nämnare utan att visa på någon förståelse för varför den ska användas och exakt vad den betyder. Att benämna gemensam nämnare som minsta gemensamma nämnare anses i denna undersökning vara ett tecken på en operationell begreppsbild. Eleverna använder en process utan att kunna förklara den och utan att kunna visualisera den.

Vid addition löser eleverna uppgifterna på ett tidseffektivt vis. Vid multiplikationen är inte lösningarna lika tidseffektiva. Att omvandla talet två till två förstadelar eller sex tredjedelar blir en onödig omvandling som försvårar uppgiften. Elevernas omvandlingar är rent processorienterade. Eleven som omvandlar en tredjedel till decimalform använder för hen en process som ska leda fram till svaret. Att eleven tvingas till en avrundning var inget som hen verkade reflektera över.

Ingen informant använde någon form av strukturell bild, innan de fick tipset om att se en tredjedel som en tårtbit.

Samma mönster visas vid division. Eleverna väljer en metod som leder till rätt svar, utan tecken på djupare förståelse och utan strukturella begreppsbilder.

7.4 Tecken på inlärning via RME

Den realistiska matematikundervisningen har sin utgångspunkt i något för eleverna lättbegripligt, rent strukturellt. Tecken på att eleverna via RME har byggt sina kunskaper rörande bråk skulle kunna bestå i en större förmåga till objektifiering än beräkningskunskap. Ingen av de tre eleverna uppvisade några tecken på att besitta starkare strukturell än operationell begreppsbild. Alla informanter kunde lösningsprocedurer för uppgifter de inte uppvisade någon tydlig objektifiering av.

När elev 3 skulle lösa uppgiften där ett arv skulle lösas uppvisade hen ett för matematik allt för vanligt beteende. Hen kom fram till att det äldsta barnets arv var 40/100 och det yngsta barnet fick 5/13. När det tredje barnets andel av arvet skulle beräknas tog det stop. När intervjuaren visade en tidigare uppgift med tydlig bråkaddition kunde eleven se kopplingen och lösa uppgiften.

(31)

Som nämnts tidigare var eleverna snabba med att förstå och använda det nya synsättet bråk som ett antal av en enhet. Det kan vara ett tecken på att eleverna har förmågan att tänka strukturellt men att de inte är vana vid det från tidigare matematikstudier.

7.5 Uppfyllelse av Skolverkets kunskapskrav

Hur uppfyllnad av kunskapskrav ska bedömas är en svår fråga. Vad innebär kravet att eleven ska kunna växla mellan olika uttrycksformer?

Vid den öppna frågan om vad bråktal är för de tre informanterna beskrev de bråk med olika uttrycksformer. Samtliga svarar med en beskrivning av bråk som en cirkelformad figur som är uppdelad i bitar och växlar snabbt över till att beskriva bråk med andra, mer matematiskt tekniska ordalag. Beskrivningar i form av procentform, division och andelar framkommer. Att växla mellan bråkform och procentform är naturligt för alla elever.

Som beskrivits tidigare förändras benägenheten att växla mellan uttrycksformer när eleverna löser uppgifter. De väljer en form och håller sig till den utan någon antydan till tanke på att byta.

Även när intervjuaren beskriver en alternativ lösningsmetod för division, innehållande en strukturell beskrivning av bråket som tårtbitar, verkar det som att växlingen är självklar för eleverna. En av eleverna tar in den nya representationen snabbt och ser fördelarna med den. De andra två verkar mer tveksamma till tårtbitsbeskrivningen och hur den kan användas. Eleverna har både en strukturell och en operationell bild av bråk. Båda former används, men vid olika tillfällen. Användandet kan inte anses vara ett växlande mellan dem.

Om kunskapskraven syftar på att kunna beskriva bråk i olika former tyder intervjuerna på att eleverna uppfyller kraven. Men om kravet är att kunna växla mellan uttrycksformerna vid bråkräkning skulle ett svar på frågan kräva en djupare studie av elevernas förmågor.

7.6 Bråk som antal av en enhet

(32)

8 Diskussion

Att de tre informanterna efter avklarad matematikutbildning för grundskolan innehar både operationella och strukturella begreppsbild verkar det inte vara något tvivel om. Eleverna uppvisar tydliga bevis för att båda begreppsbilderna finns och används vid olika tillfällen. I bakgrundsdelen beskrivs både Sfards (1991) teorier om inlärning inom matematik och den realistiska matematikundervisningens tankar om hur inlärning bör byggas upp. Båda teorierna har en stark koppling mellan den operationella och den strukturella begreppsbilden. Utifrån de svar som informanterna givit under intervjuerna är det svårt att se kopplingen mellan begreppsbilderna hos eleverna. Det betyder inte att den inte kan finnas, men eleverna uppvisar få kopplingar mellan dem. Den strukturella begreppsbilden använder eleverna när de fritt tänker på bråk i största allmänhet. När de utsätts för skolnära matematikuppgifter byter de begreppsbild och tänker helt i matematiska processer.

Denna studie ger inga tecken på att eleverna som intervjuats har byggt upp sin kunskap rörande bråk i enlighet med den realistiska matematikundervisningen. Alla elever valde operationella resonemang vid alla uppgifter, förutom den öppna beskrivningen av bråk. Om det är Sfards (1991) teorier om hur kunskap byggs upp eller om det är av andra orsaker som eleverna uppvisar tydliga operationella lösningsformer, kan inte denna studie svara på. Rörande synsättet där bråk ses som ett antal av en enhet verkar det som att eleverna inte arbetat med detta tidigare. Att idén kan underlätta vid huvudräkning gav alla elever en fingervisning om. Eleverna kunde lösa addition, multiplikation och division med papper och penna, men genom bråk som ett antal av en enhet kunde de lösa vissa uppgifter direkt i huvudet.

Noterbart är att den elev som visade störst säkerhet för processerna rörande bråkräkning var den som snabbast anammade den strukturella begreppsbilden bråk som antal av en enhet. Sfard (1991) gör antagandet att strukturella begreppsbilders uppbyggnad sker med hjälp av kunskaper om ämnets processkunskaper. Starka operationella kunskaper underlättar skapandet av strukturella begreppsbilder. Det lilla urval av elever denna undersökning hade kan inte svara på om så är fallet, men resultatet överensstämmer med teorin.

Man kan argumentera för att skapandet av en inre bild av bråk som antal av en enhet är av en tillräckligt enkel karaktär för att de operationella kunskaperna inte ska vara avgörande. Att se sjundedelar som en enhet och omvandla 5/7 till fem separata sjundedelar underlättas av att det går att skapa en bild av detta på ett papper. Sfard (1991) antar att icke visualiserbara imaginära bilder av matematik kräver större procedurella kunskaper än de som kan ritas på ett papper. Detta antagande sätts inte på prov i denna studie.

Ur Skolverkets perspektiv är det till elevernas fördel att besitta denna strukturella begreppsbild. En del av bedömningsunderlaget för nationella prov i årskurs nio är gradering av elevernas förmåga att ta till sig andras beskrivningar och vidareutveckla dem. Alla elever visade förmåga att ta till sig ett nytt synsätt och att använda det.

Är begränsningen för användandet av matematik vid problemlösning ett tecken på automatiserade procedurella kunskaper? Möjligtvis är det så att användandet av minsta gemensamma nämnare är kopplat till uppgifter av formen ett bråk plus ett bråk. När uppgiften var en ekvation kom inte tanken på gemensam nämnare lika naturligt.

(33)

Kan det vara som Pettersson et al. (2013) beskriver behovet av begreppsbilder? Författarna ser ett behov av att öka precisionen i begreppsbilderna för att utvidga och förfina användandet av dem. De elever som utökade sina matematiska vokabulär lyckades bättre med att förbättra sina begreppsbilder av funktioner. Möjligtvis hade två av de tre informanterna i denna studie för vaga begreppsbilder för att de skulle vara behjälpliga vid till exempel ekvationslösning. Pettersson et al. (2013) beskriver behovet av multipla förmågor rörande begreppsbilder. Elever som skapar kopplingar mellan begreppsbilderna och ökar precisionen av dem förbättra sin förståelse för matematiken. Eleverna i denna studie skulle enligt denna teori förbättra sitt matematiska kunnande om de skapade starkare band mellan begreppsbilderna.

En förklaring till resultatet av denna studie skulle kunna vara att eleverna besitter strukturella begreppsbilder men väljer att använda de operationella. Det skulle kunna vara så att eleverna undermedvetet tänker på bråk i form av bilder av tårtor, utan att berätta om det vid samtalen. Att besitta starka processkunskaper är inget negativ, men utan förståelsen för varför processerna fungerar finns risken att de sammanblandas. Vid bråkdivisionen visade eleverna en osäkerhet kring vilket tal som skulle inverteras. Ingen kunde ge en klar ock tydlig förklaring till varför bråket skulle förlängas med inversen av nämnaren. Det är inte möjligt att i denna studie avgöra orsaken till elevernas brister inom bråkdivision. Både Karlsson (2019) och teorierna bakom RME betonar vikten av att undervisa på rätt abstraktionsnivå. Här möts igen Sfard och Freudenthals teorier. Att eleverna undervisats om bråkdivision genom invertering ligger i linje med Sfards tankar. Abstraktionsnivån ligger lite över elevernas förmåga, för tillfället.

Ingen av de tre informanterna visade tecken på att använda annat än operationella begreppsbilder vid bråkräkning. Om det beror på den undervisning de fått kan inte denna studie besvara. Möjligtvis har eleverna undervisats i både operationella och strukturella begreppsbilder men medvetet eller omedvetet valt att fokusera sin inlärning på de operationella delarna. Något som möjligtvis talar emot att eleverna arbetat med strukturella bilder är elevernas reaktion vid tanken på bråk som antal av en enhet. Eftersom alla tre förhållandevis snabbt anammade metoden och såg fördelarna med den hade de kanske valt att tänka mer strukturellt om de varit vana vid strukturella tankar.

(34)

9 Avslutande summering

Resultatet av denna studie är av intresse för individer som arbetar med undervisning och för elever som själva ska försöka lära sig matematik. Denna studie antyder att elever väljer olika vägar fram till lösningen på matematiska problem beroende på vilken begreppsbild som används.

Men vad är det som skapar begreppsbilderna hos eleverna? En intressant fråga är vilken form av undervisning som leder fram till de olika begreppsbilderna. Finns det en korrelation mellan undervisningsform och begreppsbild eller anammar olika elever representationsmodeller med varierad lätthet. En studie där elever som undervisats enligt RME jämförs med elever som undervisats med utgångspunkt i operationer kan ge en fingervisning om korrelation mellan undervisning och begreppsbilder.

På grund av betygens betydelse för antagning till vidare studier är frågan om vilken undervisningsform och begreppsbild som leder till största inhämtande av kunskap av intresse. Är det så att elevers varierade inlärningsförmågor leder till att olika undervisningsformer och begreppsbilder bör användas? Finns det en korrelation mellan elevers begreppsbilder och betyg. Genom en studie med till exempel 4 elever med betyg E, 4 med betyg D och så vidare kan eventuell korrelation mellan betyg och begreppsbild synliggöras.

(35)

10 Referenser

Berggren, P., Lindroth, M. (2004). Positiv matematik. Solna: Ekelunds förlag AB.

Braun, V., Clarke, V., (2008). Using thematic analysis in psychology, Qualitative Research

in Psychology. 3:2, 77 - 101. DOI: 10.1191/1478088706qp063oa

Breen, S., Larson, N., O’Shea, A., Pettersson, K. (2017). A study of students’ concept images

of inverse functions in Ireland and Sweden. Nordic Studies in Mathematics Education, 22

(4), 85 – 102.

Clarke, D., Roche, A. och Mitchell, A. (2010). Tio sätt att göra bråk levande. Nämnaren, (2), 37 – 44.

Curtis, F, (2017, 11). Commognitive analysis of a teacher’s mathematical discourse on the

derivative. British Society for Research into Learning Mathematics Conference, Volume: 37

(3)

Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken, För småskaliga forskningsprojekt inom

samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur AB.

Gustavsson, I.M., Jakobsson, M., Nilsson, I., Zippert, M. (2011). Matematiska uttrycksformer och representationer. Nämnaren, (3), 36 - 45

Holme, I., Solvang, B. (1996). Forskningsmetodik. Lund: Studentlitteratur AB.

Karlsson, I. (2019). Elever i matematiksvårigheter. (Doktorsavhandling, Lunds universitet, Institutionen för utbildningsvetenskap)

Lipovec, A., Podgorošek, M. (2017). Students’ visual representations of fractions and

exponentiation. International Symposium Elementary Maths Teaching, Prague.

Murdock- Stewart, V. (2005). Making Sense of Students' Understanding of Fractions: An

Exploratory Study of Sixth Graders' Construction of Fraction Concepts Through the Use of Physical Referents and Real World Representations. (Doktorsavhandling, The Florida State

University, Department of Middle and Secondary Education)

Park, J, (2015). Is the derivative a function? If so, how do we teach it? Educational Studies in Mathematics, Vol. 89 (2) , 233-250. DOI 1 0. 1 007/s 1 0649-0 1 5 -960 1 -7

Pettersson, K., Stadler, E., Tambour, T., (2013). Transformation of students discure on the

threshold concept of function, Proceedings of the Eight Congress of the European Society for

Research in Mathematics Education, 2013. 2406 - 2415,

Sfard, A, (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes

and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22 (1),

1-36. doi.org/10.1007/bf00302715

Skott, J., Jess, K., Hansen, HC., Lundin, S. (2010). Matematik för lärare. Malmö: Gleerups Utbildning AB.

Skolverket (2000). Att samla in och bearbeta data.

https://www.skolverket.se/publikationsserier/stodmaterial/2000/att-samla-in-och-bearbeta-data---verktyg-for-utvardering?id=717

(36)

https://www.skolverket.se/undervisning/grundskolan/laroplan-och-kursplaner-for-

(37)

11 Intervjufrågor

Intervjufrågor:

1. Vad är bråktal för dig?

2. Vad tänker du om jag säger ”en femtedel”? 1/7

3. Kan du storleksordna dessa tal?

a. 1/3

b. 2

c. 4/9

d. 8/3

4. Kan du beskriva vad ” tre femtedelar” är för dig?

a. Får du upp bilder i huvudet

b. Tänker du 3 delat på 5

5. Hur tänker du när du ska addera:

a. 2/6 med 3/6

b. 2/3 med 4/9

c. 1/7 med 2/8

6. Hu tänker du när du ska multiplicera:

a. 2 med 1/3

b. 2/5 med 3/6

7. Hur tänker du när du ska dividera:

a. 4/7 med 2

b. 1/7 med 2

c. 1/8 med 1 /4

d. 5/7 med 4/3

8. Kan du försöka lösa uppgiften:

(38)

References

Related documents

Den andra validerande studien av metod- och designteorihypotesen (se kapitel 4 och 5) i användning har gjorts genom en tillämpning av metoden för att

Either by independence (which in the context of classification is called the Naive Bayes assumption), or through the more general model of a Bayesian Network (definition 1.7).. In

Detta stämmer överens med Thedin Jakobssons (2004) studie där hon diskuterar att lärare verkar sätta detta som en hög prioritet. Eleverna ser inte idrotten som ett tillfälle där

 Veta vad som menas med följande ord: kvadrat, rektangel, romb, likbent triangel, liksidig triangel..  Kunna beräkna omkretsen av

 Kunna angöra vilken ekvation som hör ihop med en given text..  Känna till att en triangel har

 Rita grafen till en enkel andragradsfunktion och bestämma för vilka x- värden funktionen är positiv/negativ.  Lösa en andragradsfunktion med hjälp

I och med att studenterna förstår sin aktiva roll kan synen på vad läraren är för något förändras från någon som skall ge kunskapen färdigpaketerad på silverfat till att