E . J . M e l l b e r g , P l a n t r i g o n o m e t r i , Helsingfors, f ö r - lagsaktiebolaget Helios 1 9 0 6 . ( B j ö r c k & B ö r j e s s o n ,
S t o c k h o l m ) .
I F i n l a n d h a r e n l i g t a r b e t e t s förord länge g j o r t s i g gällande be- h o f v e t a f e n l ä r o b o k , l ä m p a d såväl för k l a s s i s k a s o m r e a l l y c e e r , o c h d e t är d e t t a b e h o f , s o m föreliggande a r b e t e , h v a r t i l l m a n u s k r i p t e t e f t e r l ä m n a t s a f d e n a f l i d n e öfverläraren v i d s v e n s k a n o r m a l l y c e e t i H e l s i n g f o r s , professor E. J. Mellberg, söker t i l l g o d o s e . M a n f i n n e r a t t författaren sträfvat a t t nå d e t t a d u b b l a syftemål g e n o m a t t be-
gränsa innehållet t i l l d e t a l l r a n ö d v ä n d i g a s t e s a m t g ö r a framställ- i n n g e n så lättfattlig o c h i d e t a l j utförlig, s o m g ä r n a är t ä n k b a r t . H v a d n ä m n d a b e g r ä n s n i n g angår, så är d e n i d e t s t o r a h e l a l y c k l i g t v a l d , m e n e n r e a l i s t i v å r t l a n d t o r d e k u n n a n ö j a s i g m e d d e n här framställda k u r s e n , e n d a s t u n d e r förutsättning, a t t p r o b l e m s a m - l i n g e n väsentligen ö k a s o c h en d e l saker däri inläggas, h v i l k a t e x - t e n e n d a s t a n t y d e r . I h e l a b o k e n f i n n a s a l l t s o m a l l t e n d a s t 64 u p p g i f t e r , nästan u t a n u n d a n t a g y t t e r l i g t lätta, h v i l k e t a n t a l m e d fördel k u n n a t ö k a s m e d en d e l s p e c i e l l t för r e a l i s t e r afsedda öf- n i n g a r .
T r o t s d e t a t t , s å s o m n y s s b l i f v i t s a g d t , innehållet r e d a n är s t a r k t b e g r ä n s a d t , k u n d e u t a n a f s a k n a d e n d e l s a k e r v a r i t b o r t a , n ä m l i g e n
det, som rör secant, cosecant, sinus versus, cosinus versus, h v i l k e t
u p p t a g e r i n e m o t 6 s i d o r . A l l r a största d e l e n häraf k u n d e — o m d e t n u eljest förtjänar a t t m e d t a g a s — h a f v a g i f v i t s i f o r m a f e x - e m p e l t i l l lärjungarnas eget b e g r u n d a n d e .U t f ö r a n d e t är o c k s å i vissa p u n k t e r a l l t för o m s t ä n d l i g t , t . e x . då författaren för » h ä r l e d n i n g a f f o r m l e r för r ä t v i n k l i g a t r i a n g l a r s u p p l ö s n i n g » o c h dessas b e l y s n i n g m e d e t t e n d a u t f ö r d t e x e m p e l b e - h ö f v e r nära 5 s i d o r o c h däri särskiljer 5 o l i k a » h ä n d e l s e r » . Särskil- j a n d e t a f »händelser» är f u l l k o m l i g t o n ö d i g t i d e t t a f a l l . L ä r j u n g - en b e h ö f v e r för d e t t a ä n d a m å l i n t e t a n n a t än d e n p å r ä t v i n k l i g a t r i a n g e l n g j o r d a t i l l ä m p n i n g a f g e n a s t i b ö r j a n u p p s t ä l l d a a l l m ä n n a d e f i n i t i o n e r , h v i l k e n författaren g ö r i § 39 u n d e r n a m n a f a l l m ä n n a satser.
I a f d e l n i n g 4 k a p i t e l I I o m » h ä r l e d n i n g a f f o r m l e r för s n e d v i n k - l i g a t r i a n g l a r s u p p l ö s n i n g » , däri författaren äfven särskiljer 5 » h ä n - d e l s e r » , b ö r a händelserna I o c h I I I s a m m a n s l å s . I » h ä n d e l s e n I » känner m a n t v å v i n k l a r o c h e n m o t s t å e n d e s i d a o c h i » h ä n d e l s e n I I I » t v å v i n k l a r o c h e n m e l l a n l i g g a n d e s i d a . D å t v å v i n k l a r ä r o g i f n a , äro j u a l l a t r e b e k a n t a , h v a d a n d e t är f u l l k o m l i g t l i k g i l t i g t , h v i l k e n s i d a förutsattes v a r a g i f v e n .
R e c e n s e n t e n håller alltså före, a t t de 12 s i d o r , s o m innehålla n y s s u p p r ä k n a d e o b e h ö f l i g a saker, o c h h v i l k a u t g ö r a ungefär V e a f h e l a a r b e t e t , k u n n a t m e d största fördel u t g å o c h ersättas m e d några af de t a l r i k a t i l l ä m p n i n g s ö m i n g a r , h v a r t i l l ä m n e t k a n g i f v a r i k a n - le.dning. D y l i k a ä r o särskildt för r e a l l i n j e n o u n d g ä n g l i g a o c h m å s t e d ä r f ö r a f d e n lärare, s o m t i l l ä f v e n t y r s a n v ä n d e r b o k e n v i d u n d e r v i s n i n g e n , h ä m t a s från a n d r a källor.
E n b r i s t är, å t m i n s t o n e f ö r r e a l l i n j e n , a t t författaren ej ens a n t y d t de t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a s p e r i o d i c i t e t eller d e i n v e r s a f u n k t i o n e r n a s m å n g t y d i g h e t . M å h ä n d a f i n n e r författaren d e t t a v a r a u t a n g a g n , d å h a n i c k e inlåtit s i g p å g r a f i s k framställning a f f u n k t i o n e r e l l e r p å k o o r d i n a t b e g r e p p e t äfver h u f v u d . F ö r f a t t a r e n inskränker s i g h u f v u d s a k l i g e n t i l l v i n k l a r m e l l a n 0° o c h 3 6 0 , m e n b e g r e p p e t n e g a t i v v i n k e l är o c k s å i n f ö r d t . ( I s v a r e n t i l l e t t p a r a f e x e m p l e n äro ej ens a l l a lösningar m e d t a g n a , s o m l i g g a i n o m d e t i n t e r v a l l , h v a r t i l l författaren u t t r y c k l i g e n sagt, a t t h a n begränsat sig). E n följd a f d e n n a i n s k r ä n k n i n g b l i r , a t t d å författaren ej k a n u n d g å a t t s t ö t a p å e n v i n k e l , s o m är större än 3 6 0 e x e m p e l v i s i f o r m l e r n a sin (a + fl) o. s. v . , så b l i r d e t h e l a e n s m u l a s v ä f v a n - de, d å d e t förut a l d r i g i u t t r y c k l i g a o r d a l a g s a t t s i fråga e n s å d a n m ö j l i g h e t v i d d e f i n i t i o n e r n a s fastställande.
A r b e t e t sönderfaller i t v å k a p i t e l . D e t första h a n d l a r o m » v i n k - l a r s m ä t n i n g o c h de t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a » . Dessa d e f i n i e r a r författaren e n d a s t s o m linjelängder ej s å s o m t a l o c h i stället för a t t införa n a m n e n k o o r d i n a t a x l a r a n v ä n d e r författaren b e n ä m n i n g a r -
n a »primitiv diameter» och »perpendikulär diameter». D e t t a b i d r a g e r
i s i n m å n t i l l a t t ö f v e r e n s k o m m e l s e n o m de t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o - n e r n a s t e c k e n b l i r s y n n e r l i g e n k o n s t l a d . Öfverallt v i m l a r framställ- n i n g e n i d e t t a hänseende a f o e g e n t l i g h e t e r , för a t t a n v ä n d a e t t m i l d t o m d ö m e . S å för e x e m p e l säger författaren i § 8 : » m e d a n v i n k e l n v ä x e r från 180° t i l l 270°, t i l l v ä x e r s i n u s från 0 t i l l 1, h v a r e f t e r s i n u s s l u t l i g e n , u n d e r d e t v i n k e l n v ä x e r från 270° t i l l 360°, a f t a g e r från 1 t i l l 0 » . F ö r s t s e d e r m e r a i § 9 g ö r e s e n ö f v e r e n s k o m m e l s e o m t e c k n e n . S a m m a o e g e n t l i g h e t e r g å i g e n , d o c k u n d e r e n m i l d a r e f o r m i p a r a g r a f e r n a 12, 16, 2 0 o c h 2 5 . D e m ö t a o c k s å i s v a r e n t i l l de f y r a första öfningsuppgifterna, d ä r d e t t . e x . b l a n d a n n a t h e t e r : sin v==-- b e r ä k n a cos v o c h tang v! S v a r e t l y d e r : cos v = . . j | och tang v = ==, l i k a s o m o m v m e d n ö d v ä n d i g h e t b e h ö f d e l i g g a i första k v a d r a n t e n o. s. v . D y l i k a o e g e n t l i g h e t e r m ö t a p å m å n g a a n d r a ställen o c h d e t m å v a r a n o g a t t n ä m n a ä n n u e t t e x e m p e l från s i d a n 5 1 , elär d e t h e t e r , a t t o m n är e t t j ä m t t a l o c h R = 90°, är
sin (n B + v) = sin v.
E n d y l i k e k v a t i o n v ä c k e r s t o r a n s t ö t , h v i l k e n b l o t t o b e t y d l i g t för- - m i l d r a s a f d e n e t t p a r r a d e r längre n e d k o m m a n d e u p p l y s n i n g e n , a t t
» i c k e n å g o t afseende å t e c k n e t för sin v b l i f v i t f ä s t a d t » .
I d e t t a s a m b a n d m å o c k s å n ä m n a s , a t t d å författaren d e f i n i e - r a r cosinus, c o t a n g e n t o c h cosecant för e n v i n k e l s å s o m ifrågavarande v i n k e l s k o m p l e m e n t s sinus, t a n g e n t o c h secant r e s p e k t i v e , h a n » r ä k - n a r b å g a r n a s b e g y n n e l s e p u n k t från d e n p e r p e n d i k u l ä r a d i a m e t e r n s ä n d p u n k t , » h v a r i g e n o m h a n f i n n e r s i g n ö d s a k a d a t t n u r ä k n a b å - g a r n a p o s i t i v a åt m o t s a t t håll m o t d e t , s o m h a n n y s s förut i ö f v e r - ensstämmelse m e d h ä f d v u n n e t b r u k f i x e r a t . E t t så h a s t i g t o m - b y t e m å s t e f ö r b r y l l a n y b ö r j a r e n o c h k a n m e d största l ä t t h e t u n d - v i k a s .
K a p i t l e t I I , p l a n a t r i a n g l a r s u p p l ö s n i n g , b ö r j a r m e d a t t tilläm- p a förut g j o r d a d e f i n i t i o n e r p å e n rätvinklig t r i a n g e l . S o m förut är s a g d t , h a r författaren d e f i n i e r a t de t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a så- s o m linjelängder o c h d e n n a o e g e n t l i g h e t , s o m n u k u n n a t lätt häfvas, öfverglides e n s m u l a l ä t t v i n d i g t . D e t h a d e b o r t b e t o n a s a t t n ä m n d a s t o r h e t e r äro tal o c h i c k e längder o c h d e t t a hälst r e d a n från första b ö r j a n i k a p i t l e t I . A f d e n l ä m n a d e framställningen k a n lärjungen n ä p p e l i g e n u n d g å a t t få e n o r i k t i g föreställning o m i f r å g a v a r a n d e s t o r h e t e r s d i m e n s i o n .
S å s o m särskilda förtjänster hos b o k e n m å a n t e c k n a s : 1) här- l e d n i n g a f c o s i n u s t e o r e m e t från f o r m l e r n a
a =- b cos C + c cos B
o. s. v . , h v i l k e t t o r d e h a e n d e l fördelar framför h ä r l e d n i n g u r de b e - k a n t a s a t s e r n a i E u k l i d e s ' a n d r a b o k ; 2 ) s o l v e r i n g e n a f e n t r i a n g e l , d å m a n känner t v å s i d o r o c h m e l l a n l i g g a n d e v i n k e l ; 3) l i k a l e d e s s o l - v e r i n g e n a f e n t r i a n g e l , d å m a n känner h a n s t r e s i d o r , s a m t 4 ) de p l a n i m e t r i s k a satser, s o m därtill a n s l u t a s i g . F o r m l e r n a för de i m o - m e n t e n 2) o c h 3) n ä m n d a u p p g i f t e r n a härledas u r s i n u s - o c h cosi- n u s t e o r e m e n , h v a r e f t e r följa g e o m e t r i s k a t o l k n i n g a r . S o m e n l i t e n d e t a l j s a k förtjänar här p å p e k a s fördelen a f a t t d å i e n följd a f f o r m l e r e n efterföljande k a n erhålles u r e n f ö r e g å e n d e g e n o m p e r - m u t a t i o n , b o k s t ä f v e r o c h i n d i c e s i e n efterföljande m å t t e s k r i f v a s i d e n o r d n i n g , h v a r i de d i r e k t g e n o m p e r m u t a t i o n e n h a f v a erhållits, p å d e t a t t lärjungarnas u p p m ä r k s a m h e t m å t t e fästas p å d e t t a sätt a t t d e d u c e r a d e m . Författaren h a r p å de få ställen, där tillfälle därtill e r b j u d e r sig, i c k e b e a k t a t d e n n a o m s t ä n d i g h e t .
A f d e framställda a n m ä r k n i n g a r n a , h v i l k a s a n t a l r e c e n s e n t e n i c k e v i l l f ö r ö k a för a t t ej l ö p a r i s k e n a t t synas s m å a k t i g , framgår
tillräckligt, a t t arbetet icke fyller de kraf på stränghet, som vi i Sverige
hafva på en matematisk lärobok. D e t ser u t , s o m o m författaren i
s i n sträfvan e f t e r a t t g ö r a framställningen p o p u l ä r u p p o f f r a t k r a f - v e t på, a t t d e n m å s t e v a r a f u l l k o m l i g t e x a k t . F ö r v i s s o är e m e l l e r - t i d framställningens l ä t t f a t t l i g h e t i n g a l u n d a oförenlig m e d dess s t r i n g e n s . D e n m ö j l i g h e t e n synes i c k e h e l l e r v a r a u t e s l u t e n , a t t författaren v i d . s i n b o r t g å n g i c k e h u n n i t lägga sista h a n d e n v i d s i t t v e r k . Åtskilligt t y d e r d ä r p å s å s o m u t o m m ä n g d e n af o e g e n t l i g h e t e r af of v a n a n g i f v e n a r t , för e x e m p e l e t t u t t r y c k s o m d e t t a : » i d e n p l a n a t r i g o n o m e t r i e n föreligga u p p g i f t e r a t t b e r ä k n a e n rätlinig t r i a n g e l s v i n k l a r p å g r u n d a f dess s i d o r s o m g i f n a , o c h t v ä r t o m sidorna
på grund af vinklarna såsom gifna».
( F o r t s . ) E. Gn.
