Räta linjen

(1)

Algebra & Ekvationer

Parenteser En parentes

När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen.

Exempel: Förenkla uttrycket 4 2 9 .

4 2 9 4 · 2 4 · 9 8 36

Två parenteser

När man multiplicerar två parenteser med varandra multiplicerar man ”alla med alla”.

Kvadreringsreglerna

2

– – 2

Konjugatregeln

– –

Det är viktigt att även kunna dessa regler från höger till vänster, alltså baklänges, då det är ett bra redskap när man faktoriserar.

Faktorisera

Att faktorisera betyder att man skapar faktorer, alltså skapar gångertecken. Det vanligaste tillvägagångssättet är att man bryter ut en faktor, men ibland kan man använda konjugat‐ eller kvadreringsregeln baklänges.

Exempel: Faktorisera uttrycket 24x − 6x²

24 6

4 ·6 6 ·

6 4

Bryta ut/faktorisera är motsatsen till att multiplicera in i en parentes. Därför kan vi kontrollräkna vårt svar genom att multiplicera in i parentesen igen.

Faktorisera med konjugat‐ och kvadreringsregeln När man ska faktorisera ett uttryck och det inte finns någon gemensam faktor kan man testa att använda antingen konjugatregeln eller kvadreringsregeln baklänges.

Exempel: Faktorisera uttrycket 81 − x².

Då vi har två kvadrater med ett minustecken emellan kan vi använda konjugatregeln för att faktorisera:

81 − x² = 9² − x² = (9 + x)(9 − x) a² − b² = (a + b)(a − b)

Exempel: Faktorisera och förenkla uttrycket . Uttrycket x² − 4x + 4 har ingen gemensam faktor, så vi har inget vi kan bryta ut. Vi kan däremot faktorisera med kvadreringsregeln.

x² − 4x + 4 = x² − 2∙x∙2 + 2² = (x − 2)² a² − 2ab + b² = (a − b)²

Svar:

Förstagradsekvationer

Om du ska lösa en ekvation måste du få x‐variabeln ensam på ena sidan av likhetstecknet. För att göra detta kan du använda dig av de fyra räknesätten. Du kan använda dem hur du vill bara du gör exakt samma sak på båda sidor.

Exempel: Lös ekvationen 2.

· 7 2· 7

4 6 14

4 6 6 14 6

Svar: 5

Potensekvationer

Innebär att x är upphöjt med ett tal.

T.ex. 243

Målet är att få x:et fritt. För att få x:et fritt höjer man upp båda sidor med exponentens inverterade värde.

Exempel: 243

/ 243^/ ^{· /} 243^/

3 Svar: 3

Multiplicera båda sidor 9

^· · 9 18 Dividera båda sidor

3 21

7

Plus på båda sidor – 5 9

– 5 9

14

Minus på båda sidor

7 18

7– 18–

11

Kom ihåg:

 Vid en potensekvation höjer man upp båda sidor med exponentens inverterade värde.

 Om det är en jämn exponent finns det en negativ och en positiv lösning.

 Om det är en udda exponent finns det bara en lösning.

(2)

Räta linjen

Räta linjens ekvation är

 = linjens lutning

 = skärningspunkt med y‐axel

 Två linjer är parallella om k1 = k2

 Två linjer vinkelräta om k1 ∙ k2 = ‐1

ä

Från två koordinater till funktion Linjens lutning, k‐värde, fås av: ^∆

∆

Exempel: En rät linje går genom punkterna (6, 1) och (9, 7). Bestäm linjens ekvation på formen Steg 1. Bestäm linjens lutning

^∆_∆

Steg 2. Sätt in en koordinat och k‐värde på y = kx + m.

(6, 1) → x = 6, y = 1 1 = 2 ∙ 6 + m 1 = 12 + m m = 1 − 12 = ‐11

Svar:

Linjära ekvationssystem

Att lösa ett ekvationssystem betyder att man ska finna koordinaten för när linjerna korsar varandra.

Om linjerna

 skär varandra har ekvationssystemet en lösning

 är parallella har ekvationssystemet inga lösningar

 sammanfaller har ekvationssystemet oändligt många lösningar

Det finns två sätt att lösa ett ekvationssystem algebraiskt (Substitutionsmetoden och additionsmetoden) samt ett sätt att lösa det grafiskt. Det räcker med att kunna en av de algebraiska metoderna.

Substitutionsmetoden är den metod som fungerar även på mer komplicerade ekvationer. Den andra metoden, additionsmetoden, fungerar i vissa fall bra, men överlag är substitutionsmetoden mycket bättre.

Grafisk lösning

Exempel: Lös ekvationssystemet grafiskt: 1

7 2

Vi måste nu rita linjerna. För att göra det måste vi bryta ut y för båda ekvationerna; 1

2 7

Lösning är vid skärningspunkten, som har koordinaten (‐2, 3).

Svar: 2 3

Substitutionsmetoden

Exempel: Lös följande ekvationssystem: 3 4 17

5 2

Steg 1: Lös ut antingen eller i en av ekvationerna.

5 2

Steg 2: y är exakt samma sak som 5x + 2. Då kan vi byta ut y i den andra ekvationen mot 5x + 2.

3 4 17

35 2 4 17

15 6 4 17

11 11

Steg 3: Nu vet vi x. Då kan vi räkna ut y.

5 2

5 · 2

7

Steg 4: Svar: Ekvationssystemet har lösningen 1 7 Poängen med metoden är att gå från två ekvationer med två okända variabler (går inte att lösa) till endast en ekvation med en okänd variabel, vilket vi kan lösa.

1. Lös ut x eller y.

2. Sätt in uttrycket så du bara får en okänd.

3. Sätt in svaret och beräkna den andra.

4. Svara med x och y.

(3)

Andragradsfunktioner

Andragradsekvationer

Det finns tre olika typer av andragradsekvationer. För varje typ finns det en lösningsmetod.

Fall 1: x² och tal → roten ur Fall 2: x² och x → faktorisera Fall 3: x², x och tal → pqformeln x² − 64 = 0

x² = 64

√ = √64 x = ± 8

x1 = 8 x2 = ‐8

x² = −9x x² + 9x = 0 x ∙ x + 9 ∙ x = 0 x(x + 9) = 0

2x² + 12x = ‐10 2x² + 12x + 10 = 0

x² + 6x + 5 = 0 x² + px + q = 0

5

3 √3 5

3 √4 3 2 x1 = ‐5 x2 = ‐1

Andragradsfunktioner – Tillämpningar

Det svåra med att lösa andragradsfunktioner är ofta att tolka frågan. Det finns tre typiska problem. Det gäller att identifiera frågan och därefter använda någon av de tre metoderna nedan.

Finna ekvationens nollställen Finna ekvationens symmetrilinje Finna ekvationens största/minsta värde

Exempel: 4 5

Lös ekvationen:

4 5 0

5

2 √2 5

2 3

Lös ekvationen

1 5 Finn symmetrilinjen

2

Lös ekvationen

1 5 Finn symmetrilinjen 2

Ta fram y‐värde.

2 2 4 · 2 5 4 8 5

Följande frågor innebär samma sak:

Lös funktionen, finn ekvationens rötter, finn funktionens nollställen, när skär grafen x‐axeln etc.

När får funktionen sitt största/minsta värde, när når bollen sin högsta höjd, när tjänar affären maximalt etc.

Vad är funktionens största/minsta värde, hur högt når bollen, hur mycket tjänar de maximalt, bestäm simhopparens högsta höjd etc.

3 2 1

2 1 1

1. 0 på ena sidan 2. x² ensamt 3. Hitta p & q 4. Använd formeln 1. 0 i högerledet

2. Bryt ut x 3. 2 lösningar 1. x² ensamt

2. Dra roten ur

2 2

x₁ = 0 x + 9 = 0 x2 = ‐9

x1 = 0 x₂= ‐9

(4)

Exponentialfunktioner

Logaritmer

Definitioner

lg 5 0,7 → 10 ^, 5

10 5

Här har vi 10 upphöjt med det tal 10 ska upphöjas med för att det ska bli 5.

Logaritmlagarna

Det finns tre logaritmlagar.

Exempel: Lös ekvationen lg 25 lg 4 . Vi skriver om vänsterledet till en logaritm med logaritmlagarna: lg 25 lg 4

lg 25 · 4

lg 100

Svar: 2

Exempel: Lös ekvationen 1,28 5,2.

lg 1,28 lg 5,2

3 · lg 1,28 lg 5,2

_· ^,_,

Svar: 2,23

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner innebär att vi har en variabel som exponent. Exponentialfunktioner består vanligtvis av fyra element.

Exponentialfunktioner används för att beskriva kontinuerliga procentuella förändringar.

Exempel: Petter sätter in 6000 kr på ett konto med en ränta på 3,2 %. När finns det 9 000 kr på kontot?

Lösning: Startvärdet är 6 000. Förändringsfaktor 1,032. Värdet vi söker är 9 000 och tiden är det vi vill räkna ut.

9 000 6 000 · 1,032 1,032 1,5

,

, 12,87 Svar: Efter ca 13 år.

Geometri

Pythagoras sats

Obs! Gäller endast för rätvinkliga trianglar!

Likformighet

Likformighet innebär att förhållandet mellan två figurers sidor är samma. Det enklaste sättet att ta reda på om två trianglar är likformiga är att kontrollera vinklarna. Om man säkerställer att två vinklar är identiska så är trianglarna likformiga.

Transversalsatsen

Transversalsatsen kan användas när en triangel delas av en parallelltransversal, alltså en linje som är parallell med triangelns bas.

och

Randvinkelsatsen

Randvinkelsatsen ger att en randvinkel alltid är hälften av dess medelpunktsvinkel.

Medelpunktsvinkel är den vinkel man får när man drar två linjer från cirkelns rand till cirkelns mittpunkt. En

randvinkel utgår från samma två punkter på randen, men går till en punkt på cirkelns rand.

lg 10

10

är det tal 10 ska upphöjas med för att det ska bli 5

 log log log

 log log

·

Startvärde

Förändringsfaktor Tid

Värde

2

(5)

 ä _ä ^ä

 ä ö ä

 ä ä ö å

∑

ä

Statistik

Statistik & Lägesmått

Lägesmått

Det finns tre typer av lägesmått man ska kunna:

Exempel: Det arbetar sju personer på ett företag. Deras ålder är 24, 32, 21, 32, 27, 30 och 37. Bestäm

medelvärdet, medianen samt typvärdet.

 Medelvärdet beräknas genom att lägga ihop alla åldrar och därefter dividera med antalet personer.

 Medianen beräknas genom att först ställa upp talen i storleksordning och därefter välja mittenvärdet.

21, 24, 27, 30, 32, 32, 37

 Typvärdet är det som förekommer flest gånger;

det vanligaste värdet är 32.

Lådagram – Spridning kring medianen

För att illustrerar en spridning brukar man använda sig av ett lådagram.

Ett lådagram delar upp spridningen i fyra delar. För att rita ett diagram tar man fram största och minsta värde, medianen samt övre och undre kvartil.

Exempel: Ett företag har åtta anställda med följande ålder:

20 24 26 28 32 34 35 38 42 45

Nu kan vi rita ett lådagram:

Variationsbredd: största värdet – minsta värdet = 45 – 20

= 25 år.

Kvartilavståndet: övre kvartil – nedre kvartil = 38 – 26

= 12 år.

Varje kvartil motsvarar 25 % av spridningen. Från

exemplet ovan kan vi se att spridningen för de 25 % yngsta är mellan 20 och 26 år.

Standardavvikelse

Standardavvikelse – Spridning kring medelvärde Standardavvikelse kan ses som ett mått på den genomsnittliga avvikelsen från medelvärdet.

För att räkna ut standardavvikelsen tittar man på hur varje värde avviker från medelvärdet. Standardavvikelsen vid ett stickprov beräknas med följande formel:

∑

1

Exempel: Följande värden är hämtade från ett stickprov.

20, 28, 16, 24, 22 Bestäm standardavvikelsen.

Lösning: Medelvärde: 

20 2 4

28 6 36

17 5 25

24 2 4

21 1 1

Normalfördelning

Normalfördelningskurvan visar hur normalfördelade värden sprider sig kring medelvärdet. Kurvan utgår endast från medelvärdet och standardavvikelsen.

 68,2 % av värdena ligger inom från medelvärdet.

 95,4 % av värdena ligger inom 2 från medelvärdet.

Ordlista Statistik

Begrepp Betydelse

Stickprovsundersökning Undersökning av en del av populationen Total undersökning Undersökning av hela populationen.

Frekvens Förekomst; antal observationer.

Population Hela den mängd individer (objekt, element) som man studerar.

Bortfall Den del som inte ger något resultat i undersökningen. Vid tester kan det vara pga. tekniskt missöde, vid mänskliga undersökningar motsvarar det personer som inte svarar.

Nedre kvartil = 26 Övre kvartil = 38 Median = 33

Ålder

20 25 30 35 40 45 År

17,5 ,

ä

(6)

Typ Förstagradsekvationer Andragradsekvationer Potensekvationer Exponentialfunktioner

Förklaring Ekvationer där är upphöjt med (ingen exponent).

Ekvationer där är upphöjt med . Ekvationer där exponenten kan vara vilket tal som helst.

Ekvationer där man har som exponent.

Exempel

 Fall1:

 Fall2:

 Fall3:

, ,

Lösningsmetod De fyra räknesätten!

4 2

5 10

5 ·4 2

5 10· 5

4 2 2 50 2

4 4

52 4 13

 Fall1: Kvadratroten ur!

o √64

o 8

 Fall2: Bryt ut!

o 5 0

o 0, 5

 Fall3: ‐formeln!

o 5

o 2 3

o 1, 5

Höj upp med exponentens inverterade värde!

, 28

, / , 28^{/ ,}

28^{/ ,} 2,59

Logaritmera för att få ner !

1, 8 40 log 1, 8 log 40

· log 1,8 log 40 log 40

log 1,8 6,28

Grafen Förstagradsekvationer: Räta linjer.



Exempel:

Andragradsfunktioner är parabler.



Exempel:

*Ingår ej i kursen*

 ·

Exempel:

Startvärde

Förändringsfaktor Tid

Värde