Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mängder
1 av 9 MÄNGDER
Standardtalmängder:
N={0, 1, 2, 3,…} mängden av alla naturliga tal (I några böcker N={1,2,3,…}) Z={… –3, –2, –1,0 , 1, 2, 3 , 4, …} mängden av alla hela tal
Q={ , där m,n är hela taloch n0 n
m } mängden av alla rationella tal
R mängden av alla reella tal C mängden av alla komplexa tal Intervall:
(a, b) Öppet intervall = mängden av reella tal x sådana att a < x < b [a, b) halvöppet intervall = mängden av reella tal x sådana att a ≤ x < b ( a, b] halvöppet intervall = mängden av reella tal x sådana att a < x ≤ b [a, b] Slutet intervall= mängden av reella tal x sådana att a ≤ x ≤ b
Anmärkning: I några böcker använder man följande beteckning ]a,b[ , [a,b[ och ]a,b] för (a,b), [a,b) och (a,b].
OMGIVNING. En omgivning till talet c är varje öppet intervall som innehåller c.
Låt ε vara ett positivt tal (i tillämpningar oftast ett litet tal) och c ett reellt tal. Intervallet (c– ε, c+ε) kallas en ε-omgivning till c.
GRUNDLÄGGANDE BEGREPP OCH BETECKNINGAR
Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken (och därmed definieras dem inte.)
Exempel 1. Låt A vara mängden av alla heltal som är större är 3 och mindre än 8.
A består av element 4, 5, 6 och 7. Vi betecknar detta på följande sätt A= {4, 5, 6, 7}.
Därmed 4A som utläses 4 tillhör A (eller 4 är ett element i mängden A) Vi kan skriva att 5A , 6A och 7A
men t ex 51A (51 tillhör inte A)
Definition 1. Mängden utan element { } kallas den tomma mängden och betecknas .
Definition 2. Mängden A är en delmängd av mängden B om varje element i A också är element i B.
Vi betecknar A ( utläses A är en delmängd av B) B Vi kan skriva definitionen på kortare sätt:
A om (B xAxB).
2 av 9 och varje element som tillhör B också tillhör A.
Alltså:
B
A om och endast om (xAxB) och (xBxA) .
Därmed AB är ekvivalent med [A och B B ]. A
Anmärkning: Om A och B ABsäger vi att A är en äkta delmängd av B och skriver B
A
En mängd definieras av de element som mängden innehåller. Det sätt på vilket vi anger mängdens element, eller om element upprepas, spelar inte roll för mängdens
egenskaper.
Därför t ex
{1,2,3}={1,1,3,3,2,2,2}= {3,1,2}
(Vi ser att alla tre mängder består av elementen 1, 2 och 3. Upprepning och ordning spelar inte roll i mängdens definition.)
En mängd definieras oftast som mängden av alla element som satisfierar ett eller flera villkor och som ligger i en redan känd mängd:
)}
( : {x G P x
A ,
utläses A är mängden av alla x som tillhör G och som satisfierar villkoret P(x) .
Exempel 2. Låt Z beteckna mängden av alla heltal. Ange alla element för följande mängder a) A{xZ: 2x4} b) B{xZ: x2 25}
c) C{xZ: x2 25} d) D{xZ: 2x3}
Svar: a) A={–2, –1,0 , 1, 2, 3, 4} b) B={–5, 5} c) C= Ø d) D= Ø
Exempel 3. Låt R beteckna mängden av alla reella tal. Ange alla element för följande mängder
a) A{xR: x2 5} b) B{xR: 2x3} c) A{xR: x2 5} Svar: a) A={ 5, 5} b) B={3/2} c) C= Ø
Exempel 4. Rita följande mängd i xy-planet A= {(x,y) R2 : x2+y2 ≤ 9 }
Svar:
Armin Ha
Exempe D= { (x Svar:
Mäng
1. Unio Unionen
B A
Exempe B A = 2. Snitt både A
B A
alilovic: EXTR
D
el 5. Rita fö : )
, 2 x
R y
gdoperat
nen mellan n betecknas
: {x xA
el 6. A = {
= { 1, 2, 3, 4
et (skärning och B. Snit
: {x xA
RA ÖVNINGA
A
3
följande män 4 1
2 2
x y
tioner
n två mängd s AB ( u
eller xB
{ 1, 2, 3, 4}
4, 5, 6}.
gen) av två ttet beteckn } och xB
AR
ngd i xy-pla och y ≥ 0 }
er A och B utläses A un
} B
och B ={ 3
mängder A nas AB (
}
3 av 9 anet }
är mängden nion B).
3, 4, 5,6} då
A och B är m (utläses A sn
n av alla ele
å är
mängden av nitt B)
ement som f
alla elemen
finns i A ell
nt som finns
Mängder
ler B.
s i
Exempe B A =
3. A och dvs A
Exempe B A =
4. Diffe men int A \ B
Exempe A \ B=
5. Ofta grundm Om G ä mängde {x AC
el 7. A = {
= { 3, 4}.
h B är disju
B = Ø.
el 8. A = {
= { }= Ø d v
erensen me e i B
: {x xA
el 9. A = { { 1,2} meda
st betraktar mängd.
är en grundm en av alla el
: x G
x
{ 1, 2, 3, 4}
unkta mäng
1, 2, 3} och v s A och B
ellan två mä B x och
A
{ 1, 2, 3, 4}
an B \ A= {
vi mängdop mängd och A
ement i G s }
A
och B ={ 3
gder om de h
h B ={ 8,9.
B är disjunk
ängder A oc }
B .
och B ={
5, 6}
perationer m A en delmä som inte ligg
4 av 9 3, 4, 5,6} då
har inga gem
10} då är kta mängder
ch B är män
{ 3, 4, 5,6} d
mellan delm ängd till G d ger i A. kom
å är
mensamma
r.
ngden av all
då är
mängder till då definieras mplementet
element
la element s
en känd mä s komplem
betecknas
som ligger i
ängd som v mentet till A
A C
A
i kallar A som
Armin Ha
Exempe A={x då är A
6.
Exempe A Δ B=
Exempe Bestäm Svar:
B A
B A = A \ B = B \ A=
B A =
MAXIM
Definiti 1. M till 2. M ≥ Vi betec
alilovic: EXTR
el 10. Om g } 5 :x R
{
x R
C
el 11. A =
= (A \ B)
el 12. Låt A B A , A
= {1,2,3,4,8
= {2,4} , {1,3}
{8} ,
={1,3,8}
MUM, MIN
ion 4. Låt A lhör A och x för varje cknar M= m
RA ÖVNINGA
grundmängd ] 5 (,
5 ( } 5 :x
{ 1, 2, 3, 4
(B \ A) =
A= {1,2,3,4 B A , A \
8},
NIMUM
A vara en de
A x max(A)
AR
den är mäng ) , 5
} och B = { 1,2,5,6}
4} och B = { B , B \ A
elmängd till
5 av 9 gden av alla
Symmet ∆
={ 3, 4, 5,6}
{2,4,8} . och ∆ .
l R. Talet M
a reella tal o
trisk differe
\ ∪
} då är
M är maximu och
ens.
\
um av männgden A om
Mängder
6 av 9 2. m ≤ x för varje x A
Vi betecknar m= min(A)
Anmärkning: En mängd med ändligt många element har alltid både minimum och maximum. Exempelvis om A={ 3, 5, 13, 15} då är min(A)=3 och max(A)=15.
En oändlig mängd kan men behöver inte ha maximum eller minimum
Exempelvis intervallet (4, 5] dvs. mängden av alla reella tal som uppfyller 4 < x ≤ 5 har maximum=5 medan intervallet saknar minimum (4 tillhör inte mängden).
Exempel 12.
Låt A vara slutet intervall [2, 10] d.v.s. A består av alla reella tal x sådana att 2 ≤ x ≤ 10.
Då är max(A) = 10 och min(A)= 2.
Exempel 13.
Låt A vara halvöppet intervall (2, 10] dvs A består av alla reella tal x sådana att 2 < x ≤ 10.
Då är max(A) = 10, men minimum saknas (lägg märke till att 2 inte tillhör A)
Exempel 14.
Låt A vara öppet intervall (2, 10) d.v.s. A består av alla reella tal x sådana att 2 < x < 10.
Mängden A har varken maximum eller minimum (Gränspunkter 2 och 10 ligger inte i A)
BEGRÄNSAD, OBEGRÄNSAD MÄNGD
Definition 6. Låt A vara en delmängd till R. Mängden A är uppåt begränsad om det finns ett tal b så att
x ≤ b för varje x . A
Talet b kallas en majorant till A
Om b är en majorant ( övre gräns) till A då är varje tal c som är större än b också en majorant till A.
Exempel 15. 1, 1,2,3,....}
3
{
n
A n Då är följande tal b1=5, b2=43, b3=234
några (av oändligt många) majoranter.
Minst av alla majoranter är talet b=3 (som kallas supremum av mängden A, se definition nedan)
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mängder
7 av 9
Definition 7. Låt A vara en delmängd till R. Mängden A är nedåt begränsad om det finns ett tal b så att
b ≤ x för varje x . A
Talet b kallas en minorant till A
Om b är en minorant till A då är varje tal c som är mindre än b också en minorant till A.
Definition 8. Låt A vara en delmängd till R. Mängden A är begränsad om den är både uppåt och nedåt begränsad d v s om det finns två tall b1 och b2 så att
b1 ≤ x ≤ b2 för allax A Exempel 16.
a) Mängden 1, 1,2,3,....}
1
{
n
A n är begränsad eftersom
1 ≤ x ≤ 2 för allax ( mer precis 1 <x ≤ 2 för allaA x ) A b) Mängden B{n3, n1,2,3,....}är obegränsad.
SUPREMUM, INFIMUM
Definition 9. Den minsta majoranten (om den finns) kallas supremum och betecknas sup(A)
Anmärkning: Om mängden A inte är uppåt begränsad skriver vi sup(A)= ∞ SUPREMUMAXIOMET. ( En viktig egenskap av reella tal)
Varje uppåt begränsad icke-tom delmängd av R har ändligt supremum.
Med andra ord, om A är en icke-tom och uppåt begränsad mängd då finns det ett tal s R sådant att s= sup(A).
Om supremum sup(A) tillhör A då, i detta fall, har mängden A maximum och max(A)=
sup(A).
Notera att varje maximum även är supremum, men det finns supremum som inte är maximum.
Anmärkning: En mängd A (som är delmängd av R) har maximum om och endast om sup(A) ligger i mängden A.
Exempel 17.
Låt A vara halvöppet intervall (2, 10]
Då är max(A) = 10, och därmed sup(A)=10
8 av 9 Exempel 19.
Låt , 1,2,3,....}
2 5 1
{
n
A n .
Visa att sup(A)= 5.
Lösning:
Vi måste visa att
1. 5 är en majorant och
2 5 är minst av alla majoranter till A .
1. Talet 5 är en majorant till A eftersom 5, 2 5 1
n för alla n1,2,3,....
2. Ett tal c som är mindre än 5 kan inte vara majorant till A eftersom 2n
5 1 går mot 5 då n
går mot ∞. För tillräckligt stort n blir c n
2
5 1 .
2n 5 1
(Man kan även beräkna att detta gäller om c n
2
5 1 dvs om
) 5 ( 2
1 n c
då c
n
2
5 1 )
Därmed är talet 5 den minsta majoranten d v s supremum till mängden A vad skulle visas.
Definition 10. Den största minoranten (om den finns) kallas infimum och betecknas inf(A) Anmärkning: Om mängden A inte är uppåt begränsad skriver vi sup(A)= ∞
INFIMUMAXIOMET. ( En viktig egenskap av reella tal)
Varje nedåt begränsad icke tom delmängd av R har ändligt infimum.
Med andra ord, om A är en nedåt begränsad mängd då finns det ett tal a sådant att R a= inf(A).
Om infimum inf(A) tillhör A, då har mängden A minimum och min(A)= inf(A).
Anmärkning: En mängd A (som är delmängd av R) har minimum om och endast om inf(A) ligger i mängden A.
Exempel 19.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Mängder
9 av 9 Låt A vara öppet intervall (2, 5].
Då är sup(A) = 5, som ligger i A. Därmed har A maximum, max(A)=5.
Inf(A)=2 ligger inte i A och därmed saknar A minimum.
Exempel 19.
Låt 1, 1,2,3,....}
3
{
n
A n = ,...}
3 3 1 2, 3 1 1, 3 1
{
Då är sup(A) = 4, som ligger i A. Därmed har A maximum, max(A)=4.
Inf(A)=3 som inte ligger i A. Därför saknas minimum till A.
Notera att 1 3 3
n för alla n (trots att n
31 går mot 3 då n går mot ∞).
Anmärkning I många böcker generaliseras begrepp supremum och infimum till obegränsade mängder genom att skriva
sup(A)= + ∞ om mängden INTE är uppåt begränsad), inf(A)= – ∞ om mängden INTE är nedåt begränsad.
Exempel 20.
Låt A = N={0,1, 2, 3,4, …} då är sup(A)= + ∞ och inf(A) = 0 . Låt B = {–1, –2, –3, –4, …} då är sup(A) = –1 och inf(A) = – ∞.
