Kontrollskrivning 18 sep 2017 VERSION A Tid: 8:15-10.00
Kurs: HF1006 Linjär algebra och analys (algebradelen) Lärare: Erik Melander, Nicklas Hjelm, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic
För godkänt krävs 5 poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM.
Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter.
Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Detta blad lämnar du in tillsammans med lösningar!
Uppgift 1. (1p) Lös ekvationen |x−1|+2|2x−1|=3. Uppgift 2. (2p) Lös ekvationssystemet
= +
−
= + +
= + +
1 4 2
2
3
z y x
z y x
z y x
.
Uppgift 3. (2p) Vektorn u=(1,2,−2)
är given.
a) Bestäm en enhetsvektor som har motsatt riktning mot u . b) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot u
.
Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )
2 , 1 , 2
( −
= a
, b=(1,1,−3)
och c=(3,2,−2) Uppgift 5. (2p) Låt F1 =(1,−2,1)
och F2 =(1,2,1)
vara två krafter som har samma startpunkt (angreppspunkt) P=(3,3,5).
a) (1p) Beräkna kraftsumman F .
b) (1p) Beräkna kraftmomentvektor M OP F
×
= kring punkten O=(2,2,2). Uppgift 6. (1p) Låt två vektorer x u v
3 3 +
= och y u v 3 3 −
= vara vinkelräta mot varandra.
Visa att vektorerna u och v
är lika långa.
Lycka till.
FACIT
Uppgift 1. (1p) Lös ekvationen |x−1|+2|2x−1|=3.
Lösning. Definitionen av absolutbelopp ger:
<
−
−
≥
= −
− ( 1) 1
1 1 1
x x
x
x x
<
−
−
≥
= −
−
2 ) 1
1 2 (
2 1 1
2 1 2
x x
x x
x
Den givna ekvationen x−1+22x−1 =3 övergår alltså i tre ekvationer att lösa i olika intervall, vilka visas i figuren nedan
lösning tillåten
s v d t, intervalle i
Ligger 0
0 5
3 2 4 1
3 ) 1 2 ( 2 ) 1 (
=
=
−
= +
− +
−
=
−
−
−
−
x x
x x
x x
förkastas måste
och t intervalle aktuella
det
inte tillhör x
på värde Detta
4/3 x
4 3
3 2 4 1
3 ) 1 2 ( 2 ) 1 (
=
=
=
− + +
−
=
− +
−
−
x
x x
x x
lösning tillåten
s v d t, intervalle i
Ligger 5 x 6
6 5
3 2 4 1
3 ) 1 2 ( 2 1
=
=
=
− +
−
=
− +
−
x x x
x x
Svar: Ekvationen har lösningarna
5 , 6 0 2
1= x =
x .
Rättningsmall: Korrekt metod och båda lösningar ger 1p.
Uppgift 2. (2p) Lös ekvationssystemet
= +
−
= + +
= + +
1 4 2
2
3
z y x
z y x
z y x
.
Lösning.
Metod 1. Vi använder Gausselimination.
x
1/2 1
= +
−
= + +
= + +
1 4 2
2
3 z
y x
z y x
z y x
3 1
2 E E
E E
+
− +
− ⇔
−
=
−
= +
= + +
2 2
1 3 y
z y
z y x
3 2 2E +E
=
= +
= + +
0 1 3 z
z y
z y x
.
Härav z=0, y=1 och x=2. Svar: x=2, y=1 och z=0.
Metod 2a. (Gauss med totalmatris) Det givna ekvationssystemet skrivs med hjälp av en totalmatris.
= +
−
= + +
= + +
1 4 2
2
3 z
y x
z y x
z y x
1 3
1 2 1
4 3 1 1 1
2 2 1
1 1 1
r r
r r
−
−
−
~
2 2 3 2
1 3 0 2 0
1 1 0
1 1 1
r r +
−
−
~
2 3 1
2 3 2 1 0
1 3 2 0 0
1 1 0
1 1 1
r r r −
Nu kan vi skriva tillhörande ekvationer
=
= +
= + +
0 1 3
z z y
z y x
.
Härav z=0, y=1 och x=2.
Metod 2b. (Gauss-Jordan) Vi kan även fortsätta och eliminera element som ligger ovanpå diagonalen (s.k. Gauss-Jordans metod)
3 1 0
1 3 1 0 0
0 1 0
1 1
1 r −r
~
2 1 0
1 3 1 0 0
0 1 0
0 1
1 r −r
~
0 1 2 1 0 0
0 1 0
0 0 1
Nu kan vi skriva tillhörande ekvationer
=
=
=
0 1 2 z
y x
.
Svar: Ekvationen har en lösning
=
=
= 0 1 2
z y x
.
Rättningsmall: Korrekt metod och en korrekt obekant ( x, y eller z) ger 1p. Allt korrekt=2p.
Uppgift 3. (2p) Vektorn u=(1,2,−2)
är given.
a) Bestäm en enhetsvektor som har motsatt riktning mot u . b) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot u
. Lösning.
a) Genom att normera vektorn 𝑢𝑢�⃗ får vi en ny vektor |𝑢𝑢��⃗|𝑢𝑢��⃗ som är en enhetsvektor som pekar i samma riktning som 𝑢𝑢�⃗. Genom att multiplicera denna nya vektor med –1 får vi en
enhetsvektor som pekar i motsatt riktning mot 𝑢𝑢�⃗.
Vi har alltså att −|𝑢𝑢��⃗|𝑢𝑢��⃗ = −�12(1,2−2)+22+(−2)2= �−13, −23,23� är en enhetsvektor som pekar i motsatt riktning mot 𝑢𝑢�⃗.
b) Vi söker en vektor (x,y,z)sådan att (x,y,z)⋅(1,2,−2)=0 dvs så att x+2y−2z=0. Det finns oändligt många lösningar. Sätter vi t.ex. x=0 , y=1 och z=1 så ser vi att det stämmer 0+2⋅1−2⋅1=0.
En vektor som är vinkelrät mot 𝑢𝑢�⃗ är alltså (0,1,1) . (Det finns oändligt många korrekta svar.) Rättningsmall: a) Korrekt svar: 1p b) Korrekt svar: 1p
Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )
2 , 1 , 2
( −
= a
, b=(1,1,−3)
och c=(3,2,−2) . Lösning.
Volymen av parallellepipeden får vi genom att beräkna den determinant som har de tre vektorerna som radvektorer. Volymen blir beloppet av detta värde. Vi har alltså
=
− −
− −
−
= −
−
−
−
= |
2 3
1 21 2 3
3 11 2 2
3 21
|
| 2 2 3
3 1 1
2 1 2
| V
3
| 2 7 8
|
| ) 3 2 ( 2 ) 9 2 ( 1 ) 6 2 ( 2
|
= +
−
=
−
− +
−
− +
−
=
Så volymen av parallellepipeden är alltså 3.
Rättningsmall: Korrekt metod och svar: 1p Uppgift 5. (2p) Låt F1 =(1,−2,1)
och F2 =(1,2,1)
vara två krafter som har samma startpunkt (angreppspunkt) P=(3,3,5).
(1p) Beräkna kraftsumman F .
(1p) Beräkna kraftmomentvektor M OP F
×
= kring punkten O=(2,2,2).
Lösning.
a) F =F1+F2 =(2,0,2)
b) Först OP=(1,1,3). Nu kan vi beräkna
=
×
=OP F
M
) 2 , 4 , 2 ( 2 4 0 2
2 1 1 2 2
3 1 2 0
3 1 2 0 2
3 1
1 =i − j +k = i + j− k = −
k j
i
.
Svar: a) F2 =(2,0,2)
b) M =(2,4,−2)
Rättningsmall: a) Korrekt svar: 1p b) Korrekt metod och svar: 1p Uppgift 6. (1p) Låt två vektorer x u v
3 3 +
= och y u v 3 3 −
= vara vinkelräta mot varandra.
Visa att vektorerna u och v
är lika långa.
Lösning:
Enligt antagande är x u v 3 3 +
= och y u v 3 3 −
= vinkelräta mot varandra. Därför är deras skalärprodukt=0. Vi har:
ukt) skalärprod för
räknelagar (enligt
0 ) 3 3 )(
3 3 (
0⇒ + − = ⇒
=
⋅y u v u v
x
)
(eftersom
0 ) 9 9
9 9
( u u v u u v v v v u u v
⋅
=
⋅
⇒
=
⋅
−
⋅
−
⋅ +
⋅
⇒
)
|
| och
|
| (eftersom
0 ) 9 9
( u⋅u− v⋅v = ⇒ u⋅u= u 2 v⋅v = v 2
⇒
) högersidan på
|
| skriv och 9 med (dela 0
|
| 9
|
| 9
( u 2 − v 2= ⇒ v 2
⇒
negativa.) -
icke är
|
| och |
| att notera sidor;
båda på roten (tillämpa
|
|
|
|u 2= v 2⇒ u v
⇒
|
|
|
|u = v
⇒ V.S.B.
Rättningsmall: Rätt eller fel.
