• No results found

Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Kontrollskrivning 18 sep 2017 VERSION A Tid: 8:15-10.00

Kurs: HF1006 Linjär algebra och analys (algebradelen) Lärare: Erik Melander, Nicklas Hjelm, Armin Halilovic Examinator: Armin Halilovic

För godkänt krävs 5 poäng. Godkänd KS ger bonus enligt kurs-PM.

Fullständiga lösningar och svar skall presenteras till alla uppgifter.

Hjälpmedel: Endast utdelat formelblad (miniräknare är inte tillåten)

Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.

Inga toabesök eller andra raster.

Detta blad lämnar du in tillsammans med lösningar!

Uppgift 1. (1p) Lös ekvationen |x−1|+2|2x−1|=3. Uppgift 2. (2p) Lös ekvationssystemet





= +

= + +

= + +

1 4 2

2

3

z y x

z y x

z y x

.

Uppgift 3. (2p) Vektorn u=(1,2,−2)

är given.

a) Bestäm en enhetsvektor som har motsatt riktning mot u . b) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot u

.

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )

2 , 1 , 2

( −

= a

, b=(1,1,−3)

och c=(3,2,−2) Uppgift 5. (2p) Låt F1 =(1,−2,1)

och F2 =(1,2,1)

vara två krafter som har samma startpunkt (angreppspunkt) P=(3,3,5).

a) (1p) Beräkna kraftsumman F .

b) (1p) Beräkna kraftmomentvektor MOP F

×

= kring punkten O=(2,2,2). Uppgift 6. (1p) Låt två vektorer xuv

3 3 +

= och yuv 3 3 −

= vara vinkelräta mot varandra.

Visa att vektorerna u och v

är lika långa.

Lycka till.

(2)

FACIT

Uppgift 1. (1p) Lös ekvationen |x−1|+2|2x−1|=3.

Lösning. Definitionen av absolutbelopp ger:



<

= −

− ( 1) 1

1 1 1

x x

x

x x





<

= −

2 ) 1

1 2 (

2 1 1

2 1 2

x x

x x

x

Den givna ekvationen x−1+22x−1 =3 övergår alltså i tre ekvationer att lösa i olika intervall, vilka visas i figuren nedan

lösning tillåten

s v d t, intervalle i

Ligger 0

0 5

3 2 4 1

3 ) 1 2 ( 2 ) 1 (

=

=

= +

− +

=

x x

x x

x x

förkastas måste

och t intervalle aktuella

det

inte tillhör x

på värde Detta

4/3 x

4 3

3 2 4 1

3 ) 1 2 ( 2 ) 1 (

=

=

=

− + +

=

− +

x

x x

x x

lösning tillåten

s v d t, intervalle i

Ligger 5 x 6

6 5

3 2 4 1

3 ) 1 2 ( 2 1

=

=

=

− +

=

− +

x x x

x x

Svar: Ekvationen har lösningarna

5 , 6 0 2

1= x =

x .

Rättningsmall: Korrekt metod och båda lösningar ger 1p.

Uppgift 2. (2p) Lös ekvationssystemet





= +

= + +

= + +

1 4 2

2

3

z y x

z y x

z y x

.

Lösning.

Metod 1. Vi använder Gausselimination.

x

1/2 1

(3)





= +

= + +

= + +

1 4 2

2

3 z

y x

z y x

z y x

3 1

2 E E

E E

+

− +

− ⇔





=

= +

= + +

2 2

1 3 y

z y

z y x

3 2 2E +E





=

= +

= + +

0 1 3 z

z y

z y x

.

Härav z=0, y=1 och x=2. Svar: x=2, y=1 och z=0.

Metod 2a. (Gauss med totalmatris) Det givna ekvationssystemet skrivs med hjälp av en totalmatris.





= +

= + +

= + +

1 4 2

2

3 z

y x

z y x

z y x

1 3

1 2 1

4 3 1 1 1

2 2 1

1 1 1

r r

r r

 −







~

2 2 3 2

1 3 0 2 0

1 1 0

1 1 1

r r +









~

2 3 1

2 3 2 1 0

1 3 2 0 0

1 1 0

1 1 1

r r r









Nu kan vi skriva tillhörande ekvationer





=

= +

= + +

0 1 3

z z y

z y x

.

Härav z=0, y=1 och x=2.

Metod 2b. (Gauss-Jordan) Vi kan även fortsätta och eliminera element som ligger ovanpå diagonalen (s.k. Gauss-Jordans metod)

3 1 0

1 3 1 0 0

0 1 0

1 1

1 rr









~

2 1 0

1 3 1 0 0

0 1 0

0 1

1 rr









~









0 1 2 1 0 0

0 1 0

0 0 1

(4)

Nu kan vi skriva tillhörande ekvationer





=

=

=

0 1 2 z

y x

.

Svar: Ekvationen har en lösning





=

=

= 0 1 2

z y x

.

Rättningsmall: Korrekt metod och en korrekt obekant ( x, y eller z) ger 1p. Allt korrekt=2p.

Uppgift 3. (2p) Vektorn u=(1,2,−2)

är given.

a) Bestäm en enhetsvektor som har motsatt riktning mot u . b) Bestäm en vektor som är vinkelrät mot u

. Lösning.

a) Genom att normera vektorn 𝑢𝑢�⃗ får vi en ny vektor |𝑢𝑢��⃗|𝑢𝑢��⃗ som är en enhetsvektor som pekar i samma riktning som 𝑢𝑢�⃗. Genom att multiplicera denna nya vektor med –1 får vi en

enhetsvektor som pekar i motsatt riktning mot 𝑢𝑢�⃗.

Vi har alltså att −|𝑢𝑢��⃗|𝑢𝑢��⃗ = −�12(1,2−2)+22+(−2)2= �−13, −23,23� är en enhetsvektor som pekar i motsatt riktning mot 𝑢𝑢�⃗.

b) Vi söker en vektor (x,y,z)sådan att (x,y,z)⋅(1,2,−2)=0 dvs så att x+2y−2z=0. Det finns oändligt många lösningar. Sätter vi t.ex. x=0 , y=1 och z=1 så ser vi att det stämmer 0+2⋅1−2⋅1=0.

En vektor som är vinkelrät mot 𝑢𝑢�⃗ är alltså (0,1,1) . (Det finns oändligt många korrekta svar.) Rättningsmall: a) Korrekt svar: 1p b) Korrekt svar: 1p

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna )

2 , 1 , 2

( −

= a

, b=(1,1,−3)

och c=(3,2,−2) . Lösning.

Volymen av parallellepipeden får vi genom att beräkna den determinant som har de tre vektorerna som radvektorer. Volymen blir beloppet av detta värde. Vi har alltså

(5)

=

− −

− −

= −

= |

2 3

1 21 2 3

3 11 2 2

3 21

|

| 2 2 3

3 1 1

2 1 2

| V

3

| 2 7 8

|

| ) 3 2 ( 2 ) 9 2 ( 1 ) 6 2 ( 2

|

= +

=

− +

− +

=

Så volymen av parallellepipeden är alltså 3.

Rättningsmall: Korrekt metod och svar: 1p Uppgift 5. (2p) Låt F1 =(1,−2,1)

och F2 =(1,2,1)

vara två krafter som har samma startpunkt (angreppspunkt) P=(3,3,5).

(1p) Beräkna kraftsumman F .

(1p) Beräkna kraftmomentvektor MOP F

×

= kring punkten O=(2,2,2).

Lösning.

a) F =F1+F2 =(2,0,2)

b) Först OP=(1,1,3). Nu kan vi beräkna

=

×

=OP F

M 

) 2 , 4 , 2 ( 2 4 0 2

2 1 1 2 2

3 1 2 0

3 1 2 0 2

3 1

1 =i j +k = i + j k =

k j

i

.

Svar: a) F2 =(2,0,2)

b) M =(2,4,−2)

Rättningsmall: a) Korrekt svar: 1p b) Korrekt metod och svar: 1p Uppgift 6. (1p) Låt två vektorer xuv

3 3 +

= och yuv 3 3 −

= vara vinkelräta mot varandra.

Visa att vektorerna u och v

är lika långa.

Lösning:

Enligt antagande är xuv 3 3 +

= och yuv 3 3 −

= vinkelräta mot varandra. Därför är deras skalärprodukt=0. Vi har:

ukt) skalärprod för

räknelagar (enligt

0 ) 3 3 )(

3 3 (

0⇒ + − = ⇒

=

y u v u v

x     

)

(eftersom

0 ) 9 9

9 9

( uuvuuvvvvuuv

=

=

⋅ +

)

|

| och

|

| (eftersom

0 ) 9 9

( u⋅u− v⋅v = ⇒ u⋅u= u2 v⋅v = v2

) högersidan på

|

| skriv och 9 med (dela 0

|

| 9

|

| 9

( u2v2= ⇒ v2

negativa.) -

icke är

|

| och |

| att notera sidor;

båda på roten (tillämpa

|

|

|

|u2= v2uv

|

|

|

|u = v

⇒ V.S.B.

Rättningsmall: Rätt eller fel.

References

Related documents

Minns därvid att additioner (och subtraktioner) görs ledvis medan multiplikatio- ner (och divisioner) må utföras på båda ledens alla termer för att likheten skall

Lösningsmetodik för ekvationer: Genom lämpliga omskrivningar av ekvationen skrivs den så att x står ensamt till vänster (eller höger) om

Redovisa fullständiga, korrekta lösningar av följande uppgifter för be- tyget

Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa.. Efter varje uppgift anges maximala antalet

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra

( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och

--- Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget. Fullständiga lösningar skall

Hjälpmedel: Endast bifogat formelblad (miniräknare är inte tillåten). • Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. • Skriv endast på en sida av