Totala rörelsemängdsmomentet

Föreläsning 17

Förförra gången:

Bosoner

Ett system med ej särskiljbara partiklar med heltaligt spinn har en symmetrisk vågfunktion m.a.p utbyte av partiklarna.

• Fermioner

Ej särskiljbara partiklar med halvtaligt spinn har en asymmetrisk vågfunktion m.a.p. partikelbyte.

Pauliprincipen (the exclusion principle)

Högst en fermion i ett och samma individuella kvanttillstånd

Ger det periodiska systemet:

Totala rörelsemängdsmomentet

Rörelsemängdsmomentsvektorer (till vilka vi nu räknar spinn) kan inte bara adderas rakt up och ner utan lyder vissa kvantiseringsregler. Låt oss studera dessa regler genom att addera spinn S och rörelsemängdsmoment L. Totala rörelsemängdsmomentet: J =L + S

Vektorernas storlek är och L= l(l+1)h S = s(s+1)h

Även det totala rörelsemängdsmomentet är kvantiserat. (Stämmer experimentellt)

j j

j j m

m J

s s

s s

j j

j J

j j

z

där , 1 , ...., 1 ,

, 1 ...,

, 1 ,

där )

1 (

− +

−

−

=

=

+

− + +

−

−

= +

=

h

l l

l l

h

Pga reglerna för storleken av

J

,

L

och

S

kan L och S aldrig vara helt parallella eller motriktade.

2 2

2 2

max

max (l s)(l s 1)h J (l l s s 2ls)h

J = + + + ⇒ = + + + +

2 2

2 2 2 2

2

2 ( 2 )

) (

) 1 ( )

1 (

h l l l

l l

l

h h

l l

s s

s s

s s S

L

s s S

L

+ + + +

+ + +

= +

⇒

+ +

+

= +

Vi ser att

J

_max <

L

+

S

Pss kan visas att

J

_min > |

L

-

S

|

Exempel: ℓ=2, s =1/2

(totalt (2ℓ+1)⋅(2s+1) = 10 kombinationer av j och m_j)

Totalt rörelsemängdsmoment. Exempel statistisk fysik.

I övergångar, t.ex. från exciterat 2P_3/2 tillstånd, gäller att totala rörelsemängden bevaras. Eftersom fotonen som utsänds(absorberas) har spinn=1

kommer

j

att ändras ±1.

m

_j kan ändras -1, 0 eller 1

(P anger att ℓ=1, 3/2 anger att j=3/2)

Spinn-ban-koppling

Elektronens rörelsemängdsmoment i förhållande till atomkärna ger ur elektronens synvinkel upphov till ett magnetfält från atomkärnans ”rörelse”.

Detta magnetfält verkar på elektronens magnetiska dipolmoment från spinnet.

Notera att magnetfält pga rörelesemängdsmoment kräver att

L

≠0, dvs

n

>1.

Om vi förenklat antar att strömmen som cirkulär rörelse med

L

ger upphov till ström som skapar

B

L s

B

pga

U = − μ r ⋅ r

^r

r L m vr q

r m m q v

r q T

I q

e e e

e e e

e

2

2

2

2 /

2 π ⁼ π ⁼ π

=

=

r L m B q

r L m

q r

B I

e e e

e

r r

3 0 3

0 0

4 4

2 π

μ π

μ

μ _{= ⇒ =}

=

För att förstå storleksordning av effekten:

Väteatom i tillstånd med

n

=2, L=√2ħ ger

B

≈ 0,28T (stort),

U

≈ 10-4 eV (litet, jmfr excitationsenergier: eV)

L r S

m g q

r L m S q

m g q B

U

e e e

e e e

e e L

s

r r r r

r r ⎟⎟ ⎠ = ⋅

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟ ⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

=

⋅

−

=

_pga ⁰ ₃ ⁰ ₂² ₃

8 4

2 π

μ π

μ μ

Statistisk mekanik ^(forts)

Omfattande system med många partiklar kan praktiskt bara beskrivas i statistiska termer.

Antal partiklar inom energiintervall

E

till

E

+

dE

ges av

dN =

D

(

E

) ⋅

N

(

E

) ⋅

dE

där (med bokens beteckningar, jag föredrar

f

(

E

) istället för

N

(

E

))

¾

D

(

E

) är tillståndstätheten, dvs antal tillstånd i intervallet

E

till

E

+

dE

¾

N

(

E

) är fördelningsfunktionen:

T k E MB

Ae

B

E

N ( ) =

^{− /} Maxwell-Boltzmann fördelning.

Partiklar kan särskiljas. Obegränsat antal partiklar per energitillstånd.

1 ) 1

(

_/

=

_{E k T}

−

BE _B

E Be

N

Bose-Einstein fördelning.

Ej särskiljbara partiklar. Obegränsat antal partiklar per energitillstånd.

(Heltaligt spinn, bosoner)

1 ) 1

(

_{( )/}

=

_{E−E k T}

+

FD _{F B}

E e

N

Fermi-Dirac fördelning.

Ej särskiljbara partiklar. Högst en partikel per energitillstånd.

(Spinn ½-partiklar, fermioner)

A

och

B

är normeringsfaktorer, (

B

ges ofta som uttryckt i kemisk potential

μ

).

För fotoner: BE-fördelning med

B

=1.

Notera att

E

har ett litet temperaturberoende, men för låga

T

(

k T

<<

E

(0)), vilket är det normala,

Jämförelse mellan

fördelningsfunktionerna vid

T

=5000 K

Fermi-fördelningen vid

T

=0 och

T

>0.

E

_F är definitionsmässigt den energi där fördelningsfunktionen är ½, dvs den energi där hälften av de tillgängliga tillstånden är besatta.

Några exempel:

Förhållandet mellan antal väteatomer i 1:a exciterade tillståndet och grundstillståndet vid rumstemperatur

(Lite artificiellt eftersom väte normalt är en tvåatomig molekyl vid rumstemperatur).

Energi för en väteatom ges huvudsakligen av huvudkvantalet

n.

(Enligt tidigare kan spinn-ban- koppling i detta fall försummas och vi har inget magnetfält).

Tillräckligt få väteatomer för att de skall kunna särskiljas ⇒ M-B fördelning.

Vi skall beräkna där

n(E

_i) står för antal atomer i energitillstånd

i

och

i

=1 är grundtillståndet.

n

(

E

) =

D

(

E

) ⋅

N

_MB(

E

)

dE

Här: diskreta energinivåer ger )

( ) (

1 2

E n

E n

T k E E T

k E

T k E

B B

B

E e D

E D Ae

E D

Ae E D E

n E

n

_{( )/}

1 2 /

1

/ 2

1

2 2 1

1 2

) (

) ( )

( ) ( )

( )

(

_{− −}

−

−

=

= D

(

E

) är tillståndstätheten. I grundtillståndet, dvs då

huvudkvantalet = 1, finns bara två tillstånd, ett med elektronen i spinn upp och ett med spinn ner.

I första exciterade tillståndet, dvs då

huvudkvantalet = 2, kan ℓ =0 och

ℓ

=1, där det senare ger 2

ℓ

+ 1 = 3 olika tillstånd, vardera med 2

spinntillstånd. Totalt:

D

(

E

₂) = 8.

171 )

eV 300 10 62 . 8 /(

eV 2 , 10 1

2

10

2 8 ) (

)

( = e

_{− ⋅} ⁻⁵_⋅

≈

₋

E n

E n

eV 2 , 1 10

6 , 13 2

6 , 13

2 1 2

2

− E = − − − =

E