1. R ä k n e k o n s t e n s begynnelse är s a m m a n l ä g g n i n g 1 + 1 = 2 . 2 + 3 = 5, o. s. v .

(1)

Första lagen.

1. R ä k n e k o n s t e n s begynnelse är s a m m a n l ä g g n i n g 1 + 1 = 2 . 2 + 3 = 5, o. s. v .

ä n d a t i l l s a d d i t i o n e n n å r sin h ö j d p u n k t i b e g r e p p e t a + b + c + . . . (n s t y c k e n )

d. v . S. s u m m a n a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a t a l s o m h e l s t . 1 s t ä l l e t för g e n e r a l i s e r i n g k o m m e r sedan s p e c i a l i s e r i n g , n ä m l i g e n p å d e t e n k l a s ä t t e t , a t t m a n u t v ä l j e r f a l l e t

a = b = c = . . . ( m s t . )

U p p r e p a d a d d i t i o n m e d l i k a s t o r a a d d e n d e r är b ö r j a n t i l l m u l t i p l i k a t i o n

2 + 2 + 2 = 2 . 3 = 6 a + a + a + . . . ( b s t . ) — ab

F r å n s u m m a n a + b h a r m a n således k o m m i t ö v e r t i l l p r o - d u k t e n ab g e n o m a t t först generalisera o c h sedan speci- a l i s e r a .

2. S u b t r a k t i o n o c h d i v i s i o n k o m m a n å g o t l i t e t p å t a l i t n senare a v d e l n i n g s å s o m en ö m v ä n d n i n g a v a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n . N u s k u l l e j a g ö v e r g å t i l l p o t e n s e r i n g , m e n i n p a s s a r h ä r e t t p a r a n m ä r k n i n g a r . F ö <t, a t t de b å d a r ä k n e s ä t t e n a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n l i k n a v a r a n d r a däri, a t t r e s u l t a t e t a v r ä k n i n g e n förblir o f ö r ä n d r a t , d å be- s t å n d s d e l a r n a ( a d d e n d e r eller f a k t o r e r ) b y t a p l a t s

a + b — b + a, ab = b a

P å g r u n d h ä r a v b i l d a dessa b å d a r ä k n e s ä t t en särskild g r u p p ,

d i t i n t e t a n n a t r ä k n e s ä t t hör. T y m a n k a n t r y g g t p å s t å

(och ä v e n b e v i s a ) , a t t v a r j e r ä k n e s ä t t , s o m l y d e r den k o m -

m u t a t i v a l a g e n , l å t e r r e d u c e r a s i g t i l l a d d i t i o n eller m u l t i p l i -

af lektor Starbäck väckta motionen, däri han föreslår, att 1907 års

riksdag måtte besluta om Inrättandet af 75 nya ordinarie adjunkts-

befattningar, afsedda att vara med ordinarie innehafvnrc besatta den

1 januari 1908, ocli v i l l sällskapet på samma gång framhålla, att

detta antal endast afhjälper det för närvarande mest trängande be-

hofvet.»

(2)

k a t i o n eller k o m b i n a t i o n e r a v dessa. E n d a s t för a t t n ä r - m a r e b e l y s a m i n m e n i n g s k a l l j a g u p p t a g a t i l l k r i t i k e t t a v M a m i o u r y

¹

) föreslaget n y t t r ä k n e s ä t t , s o m h a n k a l l a r h y - p e r m u l t i p l i k a t i o n . H a n s ä t t e r

a | b = e "

> s a

"

, s

" • '

e t t r ä k n e s ä t t , s o m u p p e n b a r l i g e n l y d e r d e n k o m m u t a t i v a l a g e n . M e n d e t är j u t y d l i g t , a t t d e t t a r ä k n e s ä t t låter r e - d u c e r a s i g t i l l m u l t i p l i k a t i o n . T y m ä r k , a t t r ä k n i n g e n är o b e g r i p l i g u t a n k ä n n e d o m o m l o g a r i t m e r . M e n före l o - g a r i t m e r n a k o m m a r ö t t e r o c h potenser. D e t m å således v a r a t i l l å t e t a t t u t b y t a t a l e n a o c h b m o t t a l e n e

^:l

o c h e'

¹

. D å fås

e

^a

| e'

¹

= e""

således

log (e

^r

| e

¹

') = ab.

V ä n s t r a m e m b r u m är n u e n d a s t en o t y m p l i g b e t e c k n i n g för p r o d u k t e n a v a o c h b .

3. M i n a n d r a a n m ä r k n i n g gäller s j ä l v a ö v e r g å n g e n från a d d i t i o n t i l l m u l t i p l i k a t i o n . M a n v ä l j e r

b = a , c = a . . . (m—1 e k v a t i o n e r )

E n a n n a n möjlighet v o r e a t t v ä l j a

b = a + x , c = a + 2 x , d == a + 3 x , . . . ( m — r e k v . ) v a r a v d e t f ö r e g å e n d e är s p e c i a l f a l l e t x = o . S u m m a n b l i r d å

v N n m ( m — 1 ) . a + (a + x ) + . . . + [ a + ( m — T ) x j — a r f i + x —

⁵

'-

F ö r x = o fås h ä r a v p r o d u k t e n a m s å s o m d e t e n k l a s t e f a l - let. D e t t a e n d a s t s å s o m en i l l u s t r a t i o n t i l l d e t s j ä l v k l a r a f ö r h å l l a n d e t , a t t s u m m a n

a + a + a + . • •

h a r e n k l a r e f o r m än v a r j e a n n a n s u m m a a v l i k a m å n g a t e r m e r . 4. K o m b i n a t i o n e r a v a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n äro t. e x .

a ( b + c) o c h a + bc.

R å d a n a k o m b i n a t i o n e r u p p t a g a s i c k e s å s o m s ä r s k i l d a

1

) jSlemv archief vonr wiskunde 4, Amsterdam 1899—1900.

(3)

r ä k n e s ä t t o c h k u n n a därför h ä r förbigås. V i k o m m a så t i l l k o n s t e n a t t u p p h ö j a t i l l d i g n i t e t , r ä k n e s ä t t e t potense- r i n g ( P o t e n z i e r u n g eller P o t e n z i e r e n ) . P å s a m m a s ä t t s o m v i förut (§ i ) från s u m m a n a + b ö v e r g i n g o t i l l p r o d u k t e n a b , s k o l a v i n u från d e n n a p r o d u k t k o m m a ö v e r t i l l p o t e n s e n ( d i g n i t e t e n ) a

¹

', n ä m l i g e n g e n o m a t t först generalisera o c h sedan specialisera. V i generalisera t i l l p r o d u k t e n a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a t a l s o m helst

a b c . . . (n st.)

och u t v ä l j a sedan d e t f a l l , s o m h a r den e n k l a s t e f o r m e n a a a . . . (b s t . ) = a".

U p p r e p a d m u l t i p l i k a t i o n m e d l i k a f a k t o r e r är h ä r b ö r j a n t i l l p o t e n s e r i n g , l i k s o m u p p r e p a d a d d i t i o n m e d l i k a a d d e n - der f ö r u t v a r början t i l l m u l t i p l i k a t i o n .

5. D e t är v ä l b e k a n t , a t t r ä k n e s ä t t e t p o t e n s e r i n g i c k e l y d e r den k o m m u t a t i v a l a g e n , l i k a l i t e t s o m s u b t r a k t i o n eller d i v i s i o n . M e n l å t oss u n d e r s ö k a saken n å g o t n ä r m a r e . L å t a v a r a d e t s t ö r r e o c h b d e t m i n d r e a v t v å hela p o s i t i v a t a l , som satisfiera e k v a t i o n e r n a

a + b —= b + a, ab = b a , a — b = b — a, a : b = - b : a ,

a" = b"

De b å d a första satisfieras i d e n t i s k t . D e t v å följande äro o r i m l i g a . I den sista e k v a t i o n e n i n s ä t t e r j a g a = b + c p å h ö g r a s i d a n o m l i k h e t s t e c k n e t och får då

a ' ' = b " . b", således

( ^ - )

^b

= b" — h e l t t a l .

D ä r a v följer , a t t b m å s t e g å j ä m n t u p p i a. J a g s ä t t e r därför a = n b (n = 2 , 3 , 4 , . . . )

och får d å

11—1

a

b v = y

ⁿ

= 2, V 3, V 4, • • •

A v a l l a dessa f ö r s l a g är t y d l i g e n e n d a s t d e t första r i m l i g t , således

11=2, b = 2 , a = 4 .

(4)

A l l t s å f i n n e s d e t b l o t t e t t e n d a f a l l , i v i l k e t basen p c h e x - p o n e n t e n k u n n a b y t a p l a t s , u t a n a t t d i g n i t e t e n s v ä r d e d ä r i - g e n o m ä n d r a s , n ä m l i g e n f a l l e t

4 = 2 = 1 0 .

6. P o t e n s e r i n g e n s u t v e c k l i n g u r m u l t i p l i k a t i o n e n ä r v ä s e n t l i g e n b e r o e n d e a v d e t s j ä l v k l a r a f ö r h å l l a n d e t , a t t p r o d u k t e n

a a a •

h a r e n k l a r e f o r m än v a r j e a n n a n p r o d u k t a v l i k a m å n g a f a k - t o r e r . M a n k a n f r å g a , v a d s o m k o m m e r d ä r n ä s t i e n k e l h e t . Ja, t . ex.

a ( a + i ) ( a + 2 ) (a + 3) . . . s p e c i e l l t

1 . 2 . 3 . 4 . . . n = n !

D e n m i n s t a a v v i k e l s e från regeln a t t a l l t i d v ä l j a d e n e n k l a - ste f o r m e n s k u l l e p r i s g i v a v a l e t a v n y a r ä k n e s ä t t å t r e n a g o d t y c k e t .

7. S å s o m e x e m p e l p å k o m b i n a t i o n e r a v a d d i t i o n , m u l - t i p l i k a t i o n o c h p o t e n s e r i n g m å anföras ( j f r . § 4)

a + b

^c

, a

^{b + c}

, (a + b)°,

a b \ a

^{b c}

, ( a b ) \

a" + c d + e.

D y l i k a s a m m a n s t ä l l n i n g a r , s o m k u n n a v a r i e r a s i d e t o ä n d - l i g a , u p p t a g a s n a t u r l i g t v i s i c k e s å s o m s ä r s k i l d a r ä k n e s ä t t .

8. Sedan d e t m a t e m a t i s k a t ä n k a n d e t s å l u n d a u t v e c k - l a t m u l t i p l i k a t i o n u r a d d i t i o n o c h därefter e n l i g t s a m m a l a g p o t e n s e r i n g u r m u l t i p l i k a t i o n , v o r e d e t o l o g i s k t a t t s ö k a h i n - d r a en f o r t s a t t u t v e c k l i n g e n l i g t s a m m a l a g t i l l r ä k n e s ä t t a v h ö g r e o r d n i n g (fjärde, f e m t e , o. s. v . ) . R i k t i g t h a r S c h u - b e r t *) a n m ä r k t , »dass v o m S t a n d p u n k t e der das Gesetz der P e r m a n e n z a n e r k e n n e n d e n r e i n e n A r i t h m e t i k die einge- h e n d e U n t e r s u c h u n g der O p e r a t i o n e n v i e r t e r u n d h ö h e r e r Stufe n i c h t a l l e i n n i c h t u b e r f l u s s i g , s o n d e r n sogar d r i n g e n d g e b o t e n i s t » . O c h i s å d a n a l ä r o b ö c k e r i a r i t m e t i k , s o m b e h a n d l a r ä k n e o p e r a t i o n e r n a s t r ä n g t s y s t e m a t i s k t , f r a m -

"i Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik 22 (årg-

1890), sid. 432.

(5)

-hålles d e t från r e n t t e o r e t i s k s t å n d p u n k t b e r ä t t i g a d e i a t t införa o p e r a t i o n e r a v fjärde o c h högre o r d n i n g , e l l e r b e t r a k - t a s d e t s å s o m s j ä l v k l a r t , a t t e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g - en är l i k a b e r ä t t i g a t s o m d e t b e k a n t a r ä k n e s ä t t e t a v t r e d j e

•ordningen ( p o t e n s e r i n g ) . S å t . ex. H a n k e l , G r a s s m a n , Scheffler, E . S c h r ö d e r , O. S c h l ö m i l c h , S c h u b e r t . O c k s å h a r ä t t m å n g a m a t e m a t i k e r l ä m n a t s p å r i l i t t e r a t u r e n efter sina g a n s k a a l l v a r l i g a a n s t r ä n g n i n g a r för a t t u r p o t e n s e r i n g - en u t v e c k l a e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g e n m e d d i t h ö r a n - de g e n e r a l i s a t i o n e r o c h ö m v ä n d n i n g a r . J a g s k a l l r e d a n h ä r c i t e r a n å g r a .

F . W ö p c k e , Crelles J o u r n a l 42, år 1 8 5 1 , s i d . 83 f ö l j . F . Paugger, G r u n e r t s A r c h i v 35, år 1860, s i d . 21—32.

H . G e r l a c h , Z e i t s c h r i f t f u r m a t h . u n d n a t u r w . U n t e r - r i c h t 13, år 1882, s i d 423 f ö l j . E m i l Schulze, G r u n e r t s A r c h i v (2) 3, år 1886, s i d 3 0 2 —

314-

» » g, å r 1890, s i d . 320—326 E M L é m e r a y , N o u v e l l e s A n n a l e s de M a t h é m a t i q u e s

(3) 15, P a r i s 1896, s i d . 548—556

» » 16, P a r i s 1897, sid- 5 4 — 6 1

» Proceedings o f t h e E d i n b u r g h m a t h . Soc.

16, år 1897—98, s i d . 13 f ö l j . H Scheffler, L ä r o b o k i A r i t m e t i k .

H S c h u b e r t »

A l l a dessa s j u f ö r f a t t a r e ha infört n y a o c h sins e m e l l a n o l i k a b e t e c k n i n g a r för e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g e n

D ä r o m m e r a l ä n g r e f r a m ( § 12)

9 E n s y n n e r l i g t g o d ansats t i l l u t v e c k l i n g a v e t t n y t t r ä k n e s ä t t gjordes r e d a n a v E u l e r i hans s t o r a a v h a n d l i n g ( i P e t e r s b u r g s v e t e n s k a p s a k a d e m i s a c t a ) o m u p p r e p a d p o t e n s e r i n g

¹

) . H a n b ö r j a r m e d e t t s i f f e r e x e m p e l , s o m j a g

l

) L . Euler, De formulis exponentialibus replicatis, Acta aca-

demise scientiarum petropolitanae pro anno 1777, tom. 1, pars 1,

mathematica, pag. 38—60. Petropoli 1778. Avhandlingen är långt

senare (år 1898) kompletterad i vissa detaljer av D. Gravé (i Peters-

burg). Oberoende af Euler men i samma anda ha Eisenstein,

Paugger, Seideb Muller och Lémeray skrivit märkliga avhandlingar,

som skola refereras i det följande.

(6)

n n d e r h . t . 1906 a n v ä n d e s å s o m p r o b l e m v i d m a t e m a t i s k s k r i v n i n g i n e d r e s j u n d e realklassen u n d e r f ö l j a n d e f o r m .

Problem.

D e hela t a l e n x , y , z o c h u b e s t ä m m a s g e n o m f ö l j a n d e e k v a t i o n e r

x = 2", y = 2

X

, z = 2

y

, u = 2

Z

.

M a n s k a l l b e r ä k n a x , y o c h z, m e n i f r å g a o m u får m a n n ö - j a s i g m e d a t t a n g i v a dess f ö r s t a o c h dess sista s i f f r a s a m t s i f f r o r n a s a n t a l .

Lösning.

x = 4, y = 2

4

= i 6 ,

z

= 2

, 8

= 65536, u = 2

6 5 8 3 6

= i 6

, 0 3 8 4

= 200353 . . . 6 (19729 s i f f r o r ) A t t v e r k l i g e n u h a r 6 t i l l sista siffra ( l i k a v ä l s o m y o c h z ) , f ö l j e r d ä r a v , a t t a l l a p r o d u k t e r a v f o r m e n

16. 16. 16 . . . 16

s l u t a p å 6 A t t s i f f r o r n a s a n t a l är 19729 o c h d e n första s i f f r a n 2, följer d ä r a v , a t t

l o g u = 65536 l o g 2 = 65536. 0 , 3 0 1 0 3 0 0 0 = 1 9 7 2 8 , 3 0 2 10, I e t t e x e m p e l s o m d e t t a f r a m t r ä d e r b e h o v e t a v

•ett n y t t a r i t m e t i s k t b e t e c k n i n g s s ä t t a v i n t e r n a t i o n e l l r ä c k - v i d d . E u l e r s j ä l v h a r i c k e f ö r e s l a g i t n å g o t s å d a n t , m e n v ä l m å n g a a v de senare f ö r f a t t a r n a i ä m n e t ( u n d e r åren 1 8 5 0 — 1900, se § 8 ) . Sedan n u m e r a S c h u b e r t s f ö r s l a g g e n o m E n c y k l o p e d i e n

¹

) f å t t en h e l t a n n a n s p r i d n i n g än de a n d r a , t o r d e d e t b l i v a a l l m ä n t a n t a g e t . M e d S c h u b e r t s b e t e c k - n i n g s s ä t t löses d e t n ä m n d a p r o b l e m e t ( § 9) p å f ö l j a n d e s ä t t .

x = 2

2

= (2 ; 2) = 4, y = s 2" = 2

< 2 : S >

= (2 ; 3) = 16,

Z

= 2

^J

= 2

^{( 2 ; 3 )}

= ( 2 ; 4) = 65536,

u = 2

^Z

= 2

^{( 2 : 4 ;}

= ( 2 ; 5) = 200353 . . . 6 (19729 s i f f r o r ) . L i k s o m m a n förut v a n t sig v i d b e t e c k n i n g s s ä t t e t

') Encyclopédie des sciences mathérnatiques I , 1: Principes fondamentaux de l'Arithmetique; exposé, d'aprés 1'article allemand

•de H . Schubert, par J. Tannery et J. Molk, Paris 1904, p. 61.

(7)

i o2 = I O O , i o s = I O O O , . . .

i o2 ä =

1000

. . . o

(25 n o l l o r )

så b ö r m a n h ä d a n e f t e r v ä n j a s i g v i d b e t e c k n i n g a r n a (2; 3) = 16, ( 2 ; 4) = 65536,

(2; 5) = 2 0 0 3 5 3 . . -

⁶

( i 9 7

²

9 s i f f r o r ) ,

således a l l m ä n t b e t e c k n i n g e n (2 ; n ) , där n = 3, 4, 5, 6, . . . M a n h a r s å s o m d e f i n i t i o n

( a ; 11) == 2

^{( 2 ;}

° -

^{, )}

De e n d a p r i m f a k t o r e r n a i ( 2 ; n ) äro s å l e d e s 2. M a n k a m s k r i v a

(

^{2 ;}

n ) = i 6

¹

/

^{4 ( 2 ; n}

^

^{1 )}

= : 16. 16. 16 . . . 16 ( m s t . )

Men a l l a s å d a n a p r o d u k t e r s l u t a p å 6. D ä r a v följer, a t t de- h e l a t a l e n ( 2 ; n ) s l u t a p å 6.

11. V i h a n u s e t t e x e m p e l p å e t t n y t t r ä k n e s ä t t , s o m m e d l o g i s k n ö d v ä n d i g h e t u t v e c k l a s u r p o t e n s e r i n g p å s a m - m a s ä t t , s o m p o t e n s e r i n g f ö r u t u t v e c k l a t s u r m u l t i p l i k a t i o n och d e n n a a l l r a först u r a d d i t i o n . L i k s o m u p p r e p a d a d d i - t i o n m e d l i k a a d d e n d e r är b ö r j a n t i l l m u l t i p l i k a t i o n o c h u p p r e p a d m u l t i p l i k a t i o n m e d l i k a f a k t o r e r är b ö r j a n t i l l p o t e n s e r i n g , s å är u p p r e p a d p o t e n s e r i n g m e d l i k a b e s t å n d s - d e l a r b ö r j a n t i l l e t t n y t t r ä k n e s ä t t , låt oss s ä g a s u p e r p o - t e n s e r i n g . P å s a m m a s ä t t s o m v i förut ( § 1 ) från s u m m a n , a + b k o m m i t ö v e r t i l l p r o d u k t e n a b o c h därefter ( § 4 ) från p r o d u k t e n ab t i l l p o t e n s e n a

^b

, där a är bas.

och b e x p o n e n t , så s k o l a v i n u från. d e n n a p o t e n s k o m m a

ö v e r t i l l s u p e r p o t e n s e n ( a ; b ) , d ä r a är låt oss s ä g a , a r g u -

m e n t o c h b i n d e x . R e g e l n v a r : först generalisera, sedan

specialisera. A l l t s å s k o l a v i t i l l en b ö r j a n generalisera p o -

tensen a v 2 b e s t å n d s d e l a r a o c h b (bas o c h e x p o n e n t ) t i l l

p o t e n s e n a v 3 b e s t å n d s d e l a r a, b , c. L i k s o m v i f ö r u t i s u m -

m a n a + b e r s a t t e a eller b m e d en n y s u m m a a v s a m m a

f o r m c + d o c h s å l u n d a f i n g o en s u m m a a v 3 a d d e n d e r b +

c + d eller a 4- c + d , l i k s o m v i sedan i p r o d u k t e n a b e r s a t t a

a eller b m e d en n y p r o d u k t a v s a m m a f o r m c d o c h s å l u n d e

f i n g o en p r o d u k t a v 3 f a k t o r e r b e d eller a c d , så s k o l a v i n u

i potensen a" e r s ä t t a a eller b m e d en n y p o t e n s a v s a m m a

(8)

f o r m c

^d

i a v s i k t a t t s å l u n d a f å en p o t e n s a v 3 b e s t å n d s d e - l a r b , c, d e l l e r a, c, d . J a g s k a l l b ö r j a m e d d e t s e n a r e

¹

.

12. J a g u t g å r s å l e d e s från p o t e n s e n a

b

o c h e r s ä t t e r e x p o n e n t e n b m e d en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m c

^d

. R e -

s u l t a t e t b l i r en p o t e n s a v 3 b e s t å n d s d e l a r a, c, d , a v v i l k a a o c h c i n g å s å s o m baser ( i n g e n d e r a s å s o m e x p o n e n t ) m e n d s å s o m e x p o n e n t ( i c k e s å s o m b a s ) . V i d f o r t s a t t genera- l i s e r i n g e f t e r d e n n a p r i n c i p u t b y t e r j a g e x p o n e n t e n d m o t

en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m e*. R e s u l t a t e t b l i r en p o t e n s a v 4 b e s t å n d s d e l a r a, c, e, f, a v v i l k a a, c, e i n g å s å s o m b a - ser ( e n b a r t ) m e n f s å s o m e x p o n e n t ( e n b a r t ) . Sedan u t - b y t e r j a g e x p o n e n t e n f m o t en n y p o t e n s o . s. v . R e s u l - t a t e t b l i r en u p p r e p a d p o t e n s a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a b e s t å n d s d e l a r s o m h e l s t a, c, e, g, . . u , a v v i l k a e n d a s t den sista u i n g å r s å s o m e x p o n e n t (den s t å r h ö g s t u p p ) , u n d e r d e t a t t a l l a de a n d r a äro baser. J a g b e t e c k n a r n u a n t a l e t a v dessa b e s t å n d s d e l a r m e d b o c h specialiserar p å v a n l i g t s ä t t

c = a , e = a , g = a , . . . u = = a ( b — 1 s t . )

R e s u l t a t e t b l i r en u p p r e p a d p o t e n s a v b st. b e s t å n d s d e l a r , a l l a l i k a m e d a, a v v i l k a e n d a s t en (den sista eller h ö g s t a )

är e x p o n e n t , u n d e r det. a t t a l l a de ö v r i g a äro baser. D e t t a r e s u l t a t a n v ä n d e r j a g n u s å s o m d e f i n i t i o n p å s u p e r p o t e n - sen ( l a s u r p u i s s a n c e ) ( a ; b ) o c h k a l l a r a a r g u m e n t o c h b i n d e x . S å l e d e s är e n l i g t d e f i n i t i o n e n

(a ; 2 ) • — a \ (a; 3) = a

^{( a ; ä}

\ . . . ( a ; b ) = a*""-»

A r g u m e n t e t i n g å r s å s o m e x p o n e n t en g å n g o c h s å s o m bas s å m å n g a g å n g e r , s o m i n d e x u t v i s a r , m i n u s e t t . M a n k a n u t l ä s a ( a ; b ) s å s o m a i p o t e n s b g å n g e r .

De ö v r i g a k ä n d a förslagen t i l l b e t e c k n i n g s s ä t t för s a m - m a sak äro f ö l j a n d e ( j f r § 8 ) .

W ö p c k e ^ G e r l a c h

b

a

') Framställningens utförlighet motiveras av det misstag, som

blifvit begånget i denna fundamentala punkt (av Schulze, Schubert

och Weber, se § 13).

(9)

P a u g g e r a*b S c h u l z e a

⁴

b

. Scheffler a b L é m e r a y ± *

H ä r v i d b ö r d o c k a n m ä r k a s , a t t Schulzes f ö r s l a g ( a v å r 1886) e n d a s t v a r p r o v i s o r i s k t . I en senare a v h a n d l i n g ( a v år 1890) a n v ä n d e r h a n s j ä l v Gerlachs b e t e c k n i n g s s ä t t . Ä - ven M u l l e r a n s l u t e r s i g t i l l G e r l a c h . L é m e r a y d e f i n i e r a r

(i l i k h e t m e d E u l e r o c h h a n s efterföljare G r a v é ) e t t n å g o t a l l m ä n n a r e b e g r e p p

1 c 2 c „ b c

3 3, , c l — -: cV , . . . c l '•—'-- . . .

13. V i ha således k o m m i t f r a m t i l l s u p e r p o t e n s e n (a; b ) g e n o m a t t u t g å från p o t e n s e n a

b

o c h däri u t b y t a e x p o n e n t e n b m o t en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m o. s. v . Det a n d r a f ö r s l a g e t v a r ( § 1 1 ) a t t u t b y t a basen a m o t en p o t e n s c

^a

. M e n d ä r i g e n o m k o m m e r m a n t i l l k o m b i n a t i o - nen c

^M

, v a r o m v i förut ( § 7 ) t a l a t . S a m m a k o m b i n a t i o n fås, d å m a n i potensen a

b

u t b y t e r -exponenten b m o t e n p r o d u k t c d , v i l k e t ger a

c d

. M e n d e t t a ä r i c k e b ö r j a n t i l l e n u p p r e p a d p o t e n s , l i k a l i t e t s o m k o m b i n a t i o n e n a (b + c ) är b ö r j a n t i l l en u p p r e p a d p r o d u k t .

¹

)

14. M a n k a n i c k e f ö r n e k a t i l l v a r o n a v en b e s t ä m d lag för u t v e c k l i n g e n a v r ä k n e s ä t t a v a l l t h ö g r e o r d n i n g u r den e n k l a s a m m a n l ä p p n i n g e n a v t v å t a l a o c h b . V a r j e steg u p p å t f ö r v e r k l i g a s g e n o m en g e n e r a l i s e r i n g från en k o m b i n a t i o n (a, b ) t i l l en k o m b i n a t i o n (a, b , c, d , . . .)•

och en d ä r p å följande s p e c i a l i s e r i n g

D ä r m e d h a r m a n ö v e r g å t t från k o m b i n a t i o n e n (a, b ) m e d

*) E t t misstag i detta avseende här blivit begånget av Schnlze

(Grunerts Archiv 1886 och 1890, mest utpräglat i den senare upp-

satsen), och hans omdöme har — egendomligt nog — påverkat

icke blott Schubert (Encyclopédie etc. p. 61, j f r § 10) utan även

AVeber (Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, Leip-

zig 1903, sid. 28). Den anmärkning, som av dessa författare riktats

mot superpotenseringen, träffar icke den framställning därav, som

jag här givit, men väl äldre framställningar, t. ex. av Wöpcke eller

av Schulze själv. Jag har ingen anledning att här ingå på ett re-

ferat utan hänvisar den intresserade t i l l de anförda arbetena.

(10)

b e s t å n d s d e l a r n a a o c h b t i l l eti n y k o m b i n a t i o n a v h ö g r e o r d n i n g (a, a, a, a,. . . ) , i n n e h å l l a n d e n st. a, m e d b e s t å n d s - d e l a r n a a o c h n . D e n f o r t s a t t a u t v e c k l i n g e n e n l i g t d e n n a lag leder successivt t i l l d e t f e m t e , s j e t t e , o. s. v . a v de e n k l a o c h d i r e k t a r ä k n e s ä t t e n . T . e x .

(2 ; ; 3 ) = (2 ; 2 ; 2) = (2 ; 4 ) = = 6 5 5 3 6 , ( 2 ; ; ; 3 ) = ( 2 ; ; 2 ; ; 2 ) = ( 2 ; ; 2:2) = ( 2 ; ;

⁴

) = ( 2 : 6 5 5 3 6 ) G e n o m a t t t i l l ä m p a de sex första d i r e k t a r ä k n e s ä t t e n p å t a l e n 2 o c h 3, t a g n a i d e n n a o r d n i n g , får m a n f ö l j a n d e r e - s u l t a t

2 + 3 = 5 2 • 3 =

6

2

³

= 8 (

2

;

3

) = i 6 ( 2 ; ; 3 ) = 6 5 5

3

6 2 ; ; , 3 ) = ( 2 1 6 5 5 3 6 )

D e t sista r e s u l t a t e t är alltför s t o r t för a t t k u n n a u t s k r i v a s m e d s i f f r o r i d e t d e k a d i s k a s y s t e m e t . D e t s a m m a g ä l l e r t. o. m . o m s i f f r o r n a s a n t a l , s o m i s j ä l v a v e r k e t är s t ö r r e än 0,3 . (2 ; 6 5 5 3 5 ) , s å l e d e s u n g e f ä r l i k a s v å r f a t t l i g t s o m t a - let s j ä l v t .

15. A l l a de n ä m n d a eller a n t y d d a r ä k n e s ä t t e n k u n n a

o r d n a s i serie p å s å d a n t s ä t t , a t t v a r j e efterföljande r ä k n e -

s ä t t u t v e c k l a s u r d e t f ö r e g å e n d e e n l i g t en g e m e n s a m l a g ,

som f r a m g å r d ä r a v , a t t de t r e första r ä k n e s ä t t e n äro i o r d -

n i n g : a d d i t i o n , m u l t i p l i k a t i o n o c h p o t e n s e r i n g . D e n n a serie

a v d i r e k t a r ä k n e s ä t t , y t t e r s t h ä r l e d d a u r a d d i t i o n , är obe-

g r ä n s a d . V i d t i l l ä m p n i n g p å s a m m a b å d a t a l ( t . ex. 2 o c h

3 ) , t a g n a i s a m m a o r d n i n g , a v r ä k n e s ä t t e n n :r 1, 2, 3, 4 , 5, 6,

. . . . successivt v ä x e r r e s u l t a t e t o u p p h ö r l i g t o c h s n a r t n o g

s å o e r h ö r t f o r t , a t t e n d a s t de f y r a första r ä k n e s ä t t e n k u n n a

m e d s ä k e r h e t p r a k t i s e r a s , m ö j l i g e n o c k s å d e t f e m t e . F r å n

d e n n a s y n p u n k t är v a r j e f ö r e g å e n d e r ä k n e s ä t t e n k e l t i för-

h å l l a n d e t i l l d e t efterföljande. D e s s u t o m äro a d d i t i o n o c h

m u l t i p l i k a t i o n e n k l a r ä k n e s ä t t i f ö r h å l l a n d e t i l l a l l a de

e f t e r f ö l j a n d e från den s y n p u n k t e n , a t t r e s u l t a t e t b l i r oför-

ä n d r a t , d å b e s t å n d s d e l a r n a ( t . e x . 2 o c h 3 ) b y t a p l a t s , v i l k e t

(11)