• No results found

1. R ä k n e k o n s t e n s begynnelse är s a m m a n l ä g g n i n g 1 + 1 = 2 . 2 + 3 = 5, o. s. v .

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. R ä k n e k o n s t e n s begynnelse är s a m m a n l ä g g n i n g 1 + 1 = 2 . 2 + 3 = 5, o. s. v . "

Copied!
11
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Första lagen.

1. R ä k n e k o n s t e n s begynnelse är s a m m a n l ä g g n i n g 1 + 1 = 2 . 2 + 3 = 5, o. s. v .

ä n d a t i l l s a d d i t i o n e n n å r sin h ö j d p u n k t i b e g r e p p e t a + b + c + . . . (n s t y c k e n )

d. v . S. s u m m a n a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a t a l s o m h e l s t . 1 s t ä l l e t för g e n e r a l i s e r i n g k o m m e r sedan s p e c i a l i s e r i n g , n ä m l i g e n p å d e t e n k l a s ä t t e t , a t t m a n u t v ä l j e r f a l l e t

a = b = c = . . . ( m s t . )

U p p r e p a d a d d i t i o n m e d l i k a s t o r a a d d e n d e r är b ö r j a n t i l l m u l t i p l i k a t i o n

2 + 2 + 2 = 2 . 3 = 6 a + a + a + . . . ( b s t . ) — ab

F r å n s u m m a n a + b h a r m a n således k o m m i t ö v e r t i l l p r o - d u k t e n ab g e n o m a t t först generalisera o c h sedan speci- a l i s e r a .

2. S u b t r a k t i o n o c h d i v i s i o n k o m m a n å g o t l i t e t p å t a l i t n senare a v d e l n i n g s å s o m en ö m v ä n d n i n g a v a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n . N u s k u l l e j a g ö v e r g å t i l l p o t e n s e r i n g , m e n i n p a s s a r h ä r e t t p a r a n m ä r k n i n g a r . F ö <t, a t t de b å d a r ä k n e s ä t t e n a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n l i k n a v a r a n d r a däri, a t t r e s u l t a t e t a v r ä k n i n g e n förblir o f ö r ä n d r a t , d å be- s t å n d s d e l a r n a ( a d d e n d e r eller f a k t o r e r ) b y t a p l a t s

a + b — b + a, ab = b a

P å g r u n d h ä r a v b i l d a dessa b å d a r ä k n e s ä t t en särskild g r u p p ,

d i t i n t e t a n n a t r ä k n e s ä t t hör. T y m a n k a n t r y g g t p å s t å

(och ä v e n b e v i s a ) , a t t v a r j e r ä k n e s ä t t , s o m l y d e r den k o m -

m u t a t i v a l a g e n , l å t e r r e d u c e r a s i g t i l l a d d i t i o n eller m u l t i p l i -

af lektor Starbäck väckta motionen, däri han föreslår, att 1907 års

riksdag måtte besluta om Inrättandet af 75 nya ordinarie adjunkts-

befattningar, afsedda att vara med ordinarie innehafvnrc besatta den

1 januari 1908, ocli v i l l sällskapet på samma gång framhålla, att

detta antal endast afhjälper det för närvarande mest trängande be-

hofvet.»

(2)

k a t i o n eller k o m b i n a t i o n e r a v dessa. E n d a s t för a t t n ä r - m a r e b e l y s a m i n m e n i n g s k a l l j a g u p p t a g a t i l l k r i t i k e t t a v M a m i o u r y

1

) föreslaget n y t t r ä k n e s ä t t , s o m h a n k a l l a r h y - p e r m u l t i p l i k a t i o n . H a n s ä t t e r

a | b = e "

> s a

"

, s

" • '

e t t r ä k n e s ä t t , s o m u p p e n b a r l i g e n l y d e r d e n k o m m u t a t i v a l a g e n . M e n d e t är j u t y d l i g t , a t t d e t t a r ä k n e s ä t t låter r e - d u c e r a s i g t i l l m u l t i p l i k a t i o n . T y m ä r k , a t t r ä k n i n g e n är o b e g r i p l i g u t a n k ä n n e d o m o m l o g a r i t m e r . M e n före l o - g a r i t m e r n a k o m m a r ö t t e r o c h potenser. D e t m å således v a r a t i l l å t e t a t t u t b y t a t a l e n a o c h b m o t t a l e n e

:l

o c h e'

1

. D å fås

e

a

| e'

1

= e""

således

log (e

r

| e

1

') = ab.

V ä n s t r a m e m b r u m är n u e n d a s t en o t y m p l i g b e t e c k n i n g för p r o d u k t e n a v a o c h b .

3. M i n a n d r a a n m ä r k n i n g gäller s j ä l v a ö v e r g å n g e n från a d d i t i o n t i l l m u l t i p l i k a t i o n . M a n v ä l j e r

b = a , c = a . . . (m—1 e k v a t i o n e r )

E n a n n a n möjlighet v o r e a t t v ä l j a

b = a + x , c = a + 2 x , d == a + 3 x , . . . ( m — r e k v . ) v a r a v d e t f ö r e g å e n d e är s p e c i a l f a l l e t x = o . S u m m a n b l i r d å

v N n m ( m — 1 ) . a + (a + x ) + . . . + [ a + ( m — T ) x j — a r f i + x —

5

'-

F ö r x = o fås h ä r a v p r o d u k t e n a m s å s o m d e t e n k l a s t e f a l - let. D e t t a e n d a s t s å s o m en i l l u s t r a t i o n t i l l d e t s j ä l v k l a r a f ö r h å l l a n d e t , a t t s u m m a n

a + a + a + . • •

h a r e n k l a r e f o r m än v a r j e a n n a n s u m m a a v l i k a m å n g a t e r m e r . 4. K o m b i n a t i o n e r a v a d d i t i o n o c h m u l t i p l i k a t i o n äro t. e x .

a ( b + c) o c h a + bc.

R å d a n a k o m b i n a t i o n e r u p p t a g a s i c k e s å s o m s ä r s k i l d a

1

) jSlemv archief vonr wiskunde 4, Amsterdam 1899—1900.

(3)

r ä k n e s ä t t o c h k u n n a därför h ä r förbigås. V i k o m m a så t i l l k o n s t e n a t t u p p h ö j a t i l l d i g n i t e t , r ä k n e s ä t t e t potense- r i n g ( P o t e n z i e r u n g eller P o t e n z i e r e n ) . P å s a m m a s ä t t s o m v i förut (§ i ) från s u m m a n a + b ö v e r g i n g o t i l l p r o d u k t e n a b , s k o l a v i n u från d e n n a p r o d u k t k o m m a ö v e r t i l l p o t e n s e n ( d i g n i t e t e n ) a

1

', n ä m l i g e n g e n o m a t t först generalisera o c h sedan specialisera. V i generalisera t i l l p r o d u k t e n a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a t a l s o m helst

a b c . . . (n st.)

och u t v ä l j a sedan d e t f a l l , s o m h a r den e n k l a s t e f o r m e n a a a . . . (b s t . ) = a".

U p p r e p a d m u l t i p l i k a t i o n m e d l i k a f a k t o r e r är h ä r b ö r j a n t i l l p o t e n s e r i n g , l i k s o m u p p r e p a d a d d i t i o n m e d l i k a a d d e n - der f ö r u t v a r början t i l l m u l t i p l i k a t i o n .

5. D e t är v ä l b e k a n t , a t t r ä k n e s ä t t e t p o t e n s e r i n g i c k e l y d e r den k o m m u t a t i v a l a g e n , l i k a l i t e t s o m s u b t r a k t i o n eller d i v i s i o n . M e n l å t oss u n d e r s ö k a saken n å g o t n ä r m a r e . L å t a v a r a d e t s t ö r r e o c h b d e t m i n d r e a v t v å hela p o s i t i v a t a l , som satisfiera e k v a t i o n e r n a

a + b —= b + a, ab = b a , a — b = b — a, a : b = - b : a ,

a" = b"

De b å d a första satisfieras i d e n t i s k t . D e t v å följande äro o r i m l i g a . I den sista e k v a t i o n e n i n s ä t t e r j a g a = b + c p å h ö g r a s i d a n o m l i k h e t s t e c k n e t och får då

a ' ' = b " . b", således

( ^ - )

b

= b" — h e l t t a l .

D ä r a v följer , a t t b m å s t e g å j ä m n t u p p i a. J a g s ä t t e r därför a = n b (n = 2 , 3 , 4 , . . . )

och får d å

11—1

a

b v = y

n

= 2, V 3, V 4, • • •

A v a l l a dessa f ö r s l a g är t y d l i g e n e n d a s t d e t första r i m l i g t , således

11=2, b = 2 , a = 4 .

(4)

A l l t s å f i n n e s d e t b l o t t e t t e n d a f a l l , i v i l k e t basen p c h e x - p o n e n t e n k u n n a b y t a p l a t s , u t a n a t t d i g n i t e t e n s v ä r d e d ä r i - g e n o m ä n d r a s , n ä m l i g e n f a l l e t

4 = 2 = 1 0 .

6. P o t e n s e r i n g e n s u t v e c k l i n g u r m u l t i p l i k a t i o n e n ä r v ä s e n t l i g e n b e r o e n d e a v d e t s j ä l v k l a r a f ö r h å l l a n d e t , a t t p r o d u k t e n

a a a •

h a r e n k l a r e f o r m än v a r j e a n n a n p r o d u k t a v l i k a m å n g a f a k - t o r e r . M a n k a n f r å g a , v a d s o m k o m m e r d ä r n ä s t i e n k e l h e t . Ja, t . ex.

a ( a + i ) ( a + 2 ) (a + 3) . . . s p e c i e l l t

1 . 2 . 3 . 4 . . . n = n !

D e n m i n s t a a v v i k e l s e från regeln a t t a l l t i d v ä l j a d e n e n k l a - ste f o r m e n s k u l l e p r i s g i v a v a l e t a v n y a r ä k n e s ä t t å t r e n a g o d t y c k e t .

7. S å s o m e x e m p e l p å k o m b i n a t i o n e r a v a d d i t i o n , m u l - t i p l i k a t i o n o c h p o t e n s e r i n g m å anföras ( j f r . § 4)

a + b

c

, a

b + c

, (a + b)°,

a b \ a

b c

, ( a b ) \

a" + c d + e.

D y l i k a s a m m a n s t ä l l n i n g a r , s o m k u n n a v a r i e r a s i d e t o ä n d - l i g a , u p p t a g a s n a t u r l i g t v i s i c k e s å s o m s ä r s k i l d a r ä k n e s ä t t .

8. Sedan d e t m a t e m a t i s k a t ä n k a n d e t s å l u n d a u t v e c k - l a t m u l t i p l i k a t i o n u r a d d i t i o n o c h därefter e n l i g t s a m m a l a g p o t e n s e r i n g u r m u l t i p l i k a t i o n , v o r e d e t o l o g i s k t a t t s ö k a h i n - d r a en f o r t s a t t u t v e c k l i n g e n l i g t s a m m a l a g t i l l r ä k n e s ä t t a v h ö g r e o r d n i n g (fjärde, f e m t e , o. s. v . ) . R i k t i g t h a r S c h u - b e r t *) a n m ä r k t , »dass v o m S t a n d p u n k t e der das Gesetz der P e r m a n e n z a n e r k e n n e n d e n r e i n e n A r i t h m e t i k die einge- h e n d e U n t e r s u c h u n g der O p e r a t i o n e n v i e r t e r u n d h ö h e r e r Stufe n i c h t a l l e i n n i c h t u b e r f l u s s i g , s o n d e r n sogar d r i n g e n d g e b o t e n i s t » . O c h i s å d a n a l ä r o b ö c k e r i a r i t m e t i k , s o m b e h a n d l a r ä k n e o p e r a t i o n e r n a s t r ä n g t s y s t e m a t i s k t , f r a m -

"i Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik 22 (årg-

1890), sid. 432.

(5)

-hålles d e t från r e n t t e o r e t i s k s t å n d p u n k t b e r ä t t i g a d e i a t t införa o p e r a t i o n e r a v fjärde o c h högre o r d n i n g , e l l e r b e t r a k - t a s d e t s å s o m s j ä l v k l a r t , a t t e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g - en är l i k a b e r ä t t i g a t s o m d e t b e k a n t a r ä k n e s ä t t e t a v t r e d j e

•ordningen ( p o t e n s e r i n g ) . S å t . ex. H a n k e l , G r a s s m a n , Scheffler, E . S c h r ö d e r , O. S c h l ö m i l c h , S c h u b e r t . O c k s å h a r ä t t m å n g a m a t e m a t i k e r l ä m n a t s p å r i l i t t e r a t u r e n efter sina g a n s k a a l l v a r l i g a a n s t r ä n g n i n g a r för a t t u r p o t e n s e r i n g - en u t v e c k l a e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g e n m e d d i t h ö r a n - de g e n e r a l i s a t i o n e r o c h ö m v ä n d n i n g a r . J a g s k a l l r e d a n h ä r c i t e r a n å g r a .

F . W ö p c k e , Crelles J o u r n a l 42, år 1 8 5 1 , s i d . 83 f ö l j . F . Paugger, G r u n e r t s A r c h i v 35, år 1860, s i d . 21—32.

H . G e r l a c h , Z e i t s c h r i f t f u r m a t h . u n d n a t u r w . U n t e r - r i c h t 13, år 1882, s i d 423 f ö l j . E m i l Schulze, G r u n e r t s A r c h i v (2) 3, år 1886, s i d 3 0 2 —

314-

» » g, å r 1890, s i d . 320—326 E M L é m e r a y , N o u v e l l e s A n n a l e s de M a t h é m a t i q u e s

(3) 15, P a r i s 1896, s i d . 548—556

» » 16, P a r i s 1897, sid- 5 4 — 6 1

» Proceedings o f t h e E d i n b u r g h m a t h . Soc.

16, år 1897—98, s i d . 13 f ö l j . H Scheffler, L ä r o b o k i A r i t m e t i k .

H S c h u b e r t »

A l l a dessa s j u f ö r f a t t a r e ha infört n y a o c h sins e m e l l a n o l i k a b e t e c k n i n g a r för e t t r ä k n e s ä t t a v fjärde o r d n i n g e n

D ä r o m m e r a l ä n g r e f r a m ( § 12)

9 E n s y n n e r l i g t g o d ansats t i l l u t v e c k l i n g a v e t t n y t t r ä k n e s ä t t gjordes r e d a n a v E u l e r i hans s t o r a a v h a n d l i n g ( i P e t e r s b u r g s v e t e n s k a p s a k a d e m i s a c t a ) o m u p p r e p a d p o t e n s e r i n g

1

) . H a n b ö r j a r m e d e t t s i f f e r e x e m p e l , s o m j a g

l

) L . Euler, De formulis exponentialibus replicatis, Acta aca-

demise scientiarum petropolitanae pro anno 1777, tom. 1, pars 1,

mathematica, pag. 38—60. Petropoli 1778. Avhandlingen är långt

senare (år 1898) kompletterad i vissa detaljer av D. Gravé (i Peters-

burg). Oberoende af Euler men i samma anda ha Eisenstein,

Paugger, Seideb Muller och Lémeray skrivit märkliga avhandlingar,

som skola refereras i det följande.

(6)

n n d e r h . t . 1906 a n v ä n d e s å s o m p r o b l e m v i d m a t e m a t i s k s k r i v n i n g i n e d r e s j u n d e realklassen u n d e r f ö l j a n d e f o r m .

Problem.

D e hela t a l e n x , y , z o c h u b e s t ä m m a s g e n o m f ö l j a n d e e k v a t i o n e r

x = 2", y = 2

X

, z = 2

y

, u = 2

Z

.

M a n s k a l l b e r ä k n a x , y o c h z, m e n i f r å g a o m u får m a n n ö - j a s i g m e d a t t a n g i v a dess f ö r s t a o c h dess sista s i f f r a s a m t s i f f r o r n a s a n t a l .

Lösning.

x = 4, y = 2

4

= i 6 ,

z

= 2

, 8

= 65536, u = 2

6 5 8 3 6

= i 6

, 0 3 8 4

= 200353 . . . 6 (19729 s i f f r o r ) A t t v e r k l i g e n u h a r 6 t i l l sista siffra ( l i k a v ä l s o m y o c h z ) , f ö l j e r d ä r a v , a t t a l l a p r o d u k t e r a v f o r m e n

16. 16. 16 . . . 16

s l u t a p å 6 A t t s i f f r o r n a s a n t a l är 19729 o c h d e n första s i f f r a n 2, följer d ä r a v , a t t

l o g u = 65536 l o g 2 = 65536. 0 , 3 0 1 0 3 0 0 0 = 1 9 7 2 8 , 3 0 2 10, I e t t e x e m p e l s o m d e t t a f r a m t r ä d e r b e h o v e t a v

•ett n y t t a r i t m e t i s k t b e t e c k n i n g s s ä t t a v i n t e r n a t i o n e l l r ä c k - v i d d . E u l e r s j ä l v h a r i c k e f ö r e s l a g i t n å g o t s å d a n t , m e n v ä l m å n g a a v de senare f ö r f a t t a r n a i ä m n e t ( u n d e r åren 1 8 5 0 — 1900, se § 8 ) . Sedan n u m e r a S c h u b e r t s f ö r s l a g g e n o m E n c y k l o p e d i e n

1

) f å t t en h e l t a n n a n s p r i d n i n g än de a n d r a , t o r d e d e t b l i v a a l l m ä n t a n t a g e t . M e d S c h u b e r t s b e t e c k - n i n g s s ä t t löses d e t n ä m n d a p r o b l e m e t ( § 9) p å f ö l j a n d e s ä t t .

x = 2

2

= (2 ; 2) = 4, y = s 2" = 2

< 2 : S >

= (2 ; 3) = 16,

Z

= 2

J

= 2

( 2 ; 3 )

= ( 2 ; 4) = 65536,

u = 2

Z

= 2

( 2 : 4 ;

= ( 2 ; 5) = 200353 . . . 6 (19729 s i f f r o r ) . L i k s o m m a n förut v a n t sig v i d b e t e c k n i n g s s ä t t e t

') Encyclopédie des sciences mathérnatiques I , 1: Principes fondamentaux de l'Arithmetique; exposé, d'aprés 1'article allemand

•de H . Schubert, par J. Tannery et J. Molk, Paris 1904, p. 61.

(7)

i o2 = I O O , i o s = I O O O , . . .

i o2 ä =

1000

. . . o

(25 n o l l o r )

så b ö r m a n h ä d a n e f t e r v ä n j a s i g v i d b e t e c k n i n g a r n a (2; 3) = 16, ( 2 ; 4) = 65536,

(2; 5) = 2 0 0 3 5 3 . . -

6

( i 9 7

2

9 s i f f r o r ) ,

således a l l m ä n t b e t e c k n i n g e n (2 ; n ) , där n = 3, 4, 5, 6, . . . M a n h a r s å s o m d e f i n i t i o n

( a ; 11) == 2

( 2 ;

° -

, )

De e n d a p r i m f a k t o r e r n a i ( 2 ; n ) äro s å l e d e s 2. M a n k a m s k r i v a

(

2 ;

n ) = i 6

1

/

4 ( 2 ; n

^

1 )

= : 16. 16. 16 . . . 16 ( m s t . )

Men a l l a s å d a n a p r o d u k t e r s l u t a p å 6. D ä r a v följer, a t t de- h e l a t a l e n ( 2 ; n ) s l u t a p å 6.

11. V i h a n u s e t t e x e m p e l p å e t t n y t t r ä k n e s ä t t , s o m m e d l o g i s k n ö d v ä n d i g h e t u t v e c k l a s u r p o t e n s e r i n g p å s a m - m a s ä t t , s o m p o t e n s e r i n g f ö r u t u t v e c k l a t s u r m u l t i p l i k a t i o n och d e n n a a l l r a först u r a d d i t i o n . L i k s o m u p p r e p a d a d d i - t i o n m e d l i k a a d d e n d e r är b ö r j a n t i l l m u l t i p l i k a t i o n o c h u p p r e p a d m u l t i p l i k a t i o n m e d l i k a f a k t o r e r är b ö r j a n t i l l p o t e n s e r i n g , s å är u p p r e p a d p o t e n s e r i n g m e d l i k a b e s t å n d s - d e l a r b ö r j a n t i l l e t t n y t t r ä k n e s ä t t , låt oss s ä g a s u p e r p o - t e n s e r i n g . P å s a m m a s ä t t s o m v i förut ( § 1 ) från s u m m a n , a + b k o m m i t ö v e r t i l l p r o d u k t e n a b o c h därefter ( § 4 ) från p r o d u k t e n ab t i l l p o t e n s e n a

b

, där a är bas.

och b e x p o n e n t , så s k o l a v i n u från. d e n n a p o t e n s k o m m a

ö v e r t i l l s u p e r p o t e n s e n ( a ; b ) , d ä r a är låt oss s ä g a , a r g u -

m e n t o c h b i n d e x . R e g e l n v a r : först generalisera, sedan

specialisera. A l l t s å s k o l a v i t i l l en b ö r j a n generalisera p o -

tensen a v 2 b e s t å n d s d e l a r a o c h b (bas o c h e x p o n e n t ) t i l l

p o t e n s e n a v 3 b e s t å n d s d e l a r a, b , c. L i k s o m v i f ö r u t i s u m -

m a n a + b e r s a t t e a eller b m e d en n y s u m m a a v s a m m a

f o r m c + d o c h s å l u n d a f i n g o en s u m m a a v 3 a d d e n d e r b +

c + d eller a 4- c + d , l i k s o m v i sedan i p r o d u k t e n a b e r s a t t a

a eller b m e d en n y p r o d u k t a v s a m m a f o r m c d o c h s å l u n d e

f i n g o en p r o d u k t a v 3 f a k t o r e r b e d eller a c d , så s k o l a v i n u

i potensen a" e r s ä t t a a eller b m e d en n y p o t e n s a v s a m m a

(8)

f o r m c

d

i a v s i k t a t t s å l u n d a f å en p o t e n s a v 3 b e s t å n d s d e - l a r b , c, d e l l e r a, c, d . J a g s k a l l b ö r j a m e d d e t s e n a r e

1

.

12. J a g u t g å r s å l e d e s från p o t e n s e n a

b

o c h e r s ä t t e r e x p o n e n t e n b m e d en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m c

d

. R e -

s u l t a t e t b l i r en p o t e n s a v 3 b e s t å n d s d e l a r a, c, d , a v v i l k a a o c h c i n g å s å s o m baser ( i n g e n d e r a s å s o m e x p o n e n t ) m e n d s å s o m e x p o n e n t ( i c k e s å s o m b a s ) . V i d f o r t s a t t genera- l i s e r i n g e f t e r d e n n a p r i n c i p u t b y t e r j a g e x p o n e n t e n d m o t

en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m e*. R e s u l t a t e t b l i r en p o t e n s a v 4 b e s t å n d s d e l a r a, c, e, f, a v v i l k a a, c, e i n g å s å s o m b a - ser ( e n b a r t ) m e n f s å s o m e x p o n e n t ( e n b a r t ) . Sedan u t - b y t e r j a g e x p o n e n t e n f m o t en n y p o t e n s o . s. v . R e s u l - t a t e t b l i r en u p p r e p a d p o t e n s a v h u r u m å n g a o c h h u r u s t o r a b e s t å n d s d e l a r s o m h e l s t a, c, e, g, . . u , a v v i l k a e n d a s t den sista u i n g å r s å s o m e x p o n e n t (den s t å r h ö g s t u p p ) , u n d e r d e t a t t a l l a de a n d r a äro baser. J a g b e t e c k n a r n u a n t a l e t a v dessa b e s t å n d s d e l a r m e d b o c h specialiserar p å v a n l i g t s ä t t

c = a , e = a , g = a , . . . u = = a ( b — 1 s t . )

R e s u l t a t e t b l i r en u p p r e p a d p o t e n s a v b st. b e s t å n d s d e l a r , a l l a l i k a m e d a, a v v i l k a e n d a s t en (den sista eller h ö g s t a )

är e x p o n e n t , u n d e r det. a t t a l l a de ö v r i g a äro baser. D e t t a r e s u l t a t a n v ä n d e r j a g n u s å s o m d e f i n i t i o n p å s u p e r p o t e n - sen ( l a s u r p u i s s a n c e ) ( a ; b ) o c h k a l l a r a a r g u m e n t o c h b i n d e x . S å l e d e s är e n l i g t d e f i n i t i o n e n

(a ; 2 ) • — a \ (a; 3) = a

( a ; ä

\ . . . ( a ; b ) = a*""-»

A r g u m e n t e t i n g å r s å s o m e x p o n e n t en g å n g o c h s å s o m bas s å m å n g a g å n g e r , s o m i n d e x u t v i s a r , m i n u s e t t . M a n k a n u t l ä s a ( a ; b ) s å s o m a i p o t e n s b g å n g e r .

De ö v r i g a k ä n d a förslagen t i l l b e t e c k n i n g s s ä t t för s a m - m a sak äro f ö l j a n d e ( j f r § 8 ) .

W ö p c k e ^ G e r l a c h

b

a

a

') Framställningens utförlighet motiveras av det misstag, som

blifvit begånget i denna fundamentala punkt (av Schulze, Schubert

och Weber, se § 13).

(9)

P a u g g e r a*b S c h u l z e a

4

b

. Scheffler a b L é m e r a y ± *

H ä r v i d b ö r d o c k a n m ä r k a s , a t t Schulzes f ö r s l a g ( a v å r 1886) e n d a s t v a r p r o v i s o r i s k t . I en senare a v h a n d l i n g ( a v år 1890) a n v ä n d e r h a n s j ä l v Gerlachs b e t e c k n i n g s s ä t t . Ä - ven M u l l e r a n s l u t e r s i g t i l l G e r l a c h . L é m e r a y d e f i n i e r a r

(i l i k h e t m e d E u l e r o c h h a n s efterföljare G r a v é ) e t t n å g o t a l l m ä n n a r e b e g r e p p

1 c 2 c „ b c

3 3, , c l — -: cV , . . . c l '•—'-- . . .

13. V i ha således k o m m i t f r a m t i l l s u p e r p o t e n s e n (a; b ) g e n o m a t t u t g å från p o t e n s e n a

b

o c h däri u t b y t a e x p o n e n t e n b m o t en n y p o t e n s a v s a m m a f o r m o. s. v . Det a n d r a f ö r s l a g e t v a r ( § 1 1 ) a t t u t b y t a basen a m o t en p o t e n s c

a

. M e n d ä r i g e n o m k o m m e r m a n t i l l k o m b i n a t i o - nen c

M

, v a r o m v i förut ( § 7 ) t a l a t . S a m m a k o m b i n a t i o n fås, d å m a n i potensen a

b

u t b y t e r -exponenten b m o t e n p r o d u k t c d , v i l k e t ger a

c d

. M e n d e t t a ä r i c k e b ö r j a n t i l l e n u p p r e p a d p o t e n s , l i k a l i t e t s o m k o m b i n a t i o n e n a (b + c ) är b ö r j a n t i l l en u p p r e p a d p r o d u k t .

1

)

14. M a n k a n i c k e f ö r n e k a t i l l v a r o n a v en b e s t ä m d lag för u t v e c k l i n g e n a v r ä k n e s ä t t a v a l l t h ö g r e o r d n i n g u r den e n k l a s a m m a n l ä p p n i n g e n a v t v å t a l a o c h b . V a r j e steg u p p å t f ö r v e r k l i g a s g e n o m en g e n e r a l i s e r i n g från en k o m b i n a t i o n (a, b ) t i l l en k o m b i n a t i o n (a, b , c, d , . . .)•

och en d ä r p å följande s p e c i a l i s e r i n g

D ä r m e d h a r m a n ö v e r g å t t från k o m b i n a t i o n e n (a, b ) m e d

*) E t t misstag i detta avseende här blivit begånget av Schnlze

(Grunerts Archiv 1886 och 1890, mest utpräglat i den senare upp-

satsen), och hans omdöme har — egendomligt nog — påverkat

icke blott Schubert (Encyclopédie etc. p. 61, j f r § 10) utan även

AVeber (Encyklopädie der elementaren Algebra und Analysis, Leip-

zig 1903, sid. 28). Den anmärkning, som av dessa författare riktats

mot superpotenseringen, träffar icke den framställning därav, som

jag här givit, men väl äldre framställningar, t. ex. av Wöpcke eller

av Schulze själv. Jag har ingen anledning att här ingå på ett re-

ferat utan hänvisar den intresserade t i l l de anförda arbetena.

(10)

b e s t å n d s d e l a r n a a o c h b t i l l eti n y k o m b i n a t i o n a v h ö g r e o r d n i n g (a, a, a, a,. . . ) , i n n e h å l l a n d e n st. a, m e d b e s t å n d s - d e l a r n a a o c h n . D e n f o r t s a t t a u t v e c k l i n g e n e n l i g t d e n n a lag leder successivt t i l l d e t f e m t e , s j e t t e , o. s. v . a v de e n k l a o c h d i r e k t a r ä k n e s ä t t e n . T . e x .

(2 ; ; 3 ) = (2 ; 2 ; 2) = (2 ; 4 ) = = 6 5 5 3 6 , ( 2 ; ; ; 3 ) = ( 2 ; ; 2 ; ; 2 ) = ( 2 ; ; 2:2) = ( 2 ; ;

4

) = ( 2 : 6 5 5 3 6 ) G e n o m a t t t i l l ä m p a de sex första d i r e k t a r ä k n e s ä t t e n p å t a l e n 2 o c h 3, t a g n a i d e n n a o r d n i n g , får m a n f ö l j a n d e r e - s u l t a t

2 + 3 = 5 2 • 3 =

6

2

3

= 8 (

2

;

3

) = i 6 ( 2 ; ; 3 ) = 6 5 5

3

6 2 ; ; , 3 ) = ( 2 1 6 5 5 3 6 )

D e t sista r e s u l t a t e t är alltför s t o r t för a t t k u n n a u t s k r i v a s m e d s i f f r o r i d e t d e k a d i s k a s y s t e m e t . D e t s a m m a g ä l l e r t. o. m . o m s i f f r o r n a s a n t a l , s o m i s j ä l v a v e r k e t är s t ö r r e än 0,3 . (2 ; 6 5 5 3 5 ) , s å l e d e s u n g e f ä r l i k a s v å r f a t t l i g t s o m t a - let s j ä l v t .

15. A l l a de n ä m n d a eller a n t y d d a r ä k n e s ä t t e n k u n n a

o r d n a s i serie p å s å d a n t s ä t t , a t t v a r j e efterföljande r ä k n e -

s ä t t u t v e c k l a s u r d e t f ö r e g å e n d e e n l i g t en g e m e n s a m l a g ,

som f r a m g å r d ä r a v , a t t de t r e första r ä k n e s ä t t e n äro i o r d -

n i n g : a d d i t i o n , m u l t i p l i k a t i o n o c h p o t e n s e r i n g . D e n n a serie

a v d i r e k t a r ä k n e s ä t t , y t t e r s t h ä r l e d d a u r a d d i t i o n , är obe-

g r ä n s a d . V i d t i l l ä m p n i n g p å s a m m a b å d a t a l ( t . ex. 2 o c h

3 ) , t a g n a i s a m m a o r d n i n g , a v r ä k n e s ä t t e n n :r 1, 2, 3, 4 , 5, 6,

. . . . successivt v ä x e r r e s u l t a t e t o u p p h ö r l i g t o c h s n a r t n o g

s å o e r h ö r t f o r t , a t t e n d a s t de f y r a första r ä k n e s ä t t e n k u n n a

m e d s ä k e r h e t p r a k t i s e r a s , m ö j l i g e n o c k s å d e t f e m t e . F r å n

d e n n a s y n p u n k t är v a r j e f ö r e g å e n d e r ä k n e s ä t t e n k e l t i för-

h å l l a n d e t i l l d e t efterföljande. D e s s u t o m äro a d d i t i o n o c h

m u l t i p l i k a t i o n e n k l a r ä k n e s ä t t i f ö r h å l l a n d e t i l l a l l a de

e f t e r f ö l j a n d e från den s y n p u n k t e n , a t t r e s u l t a t e t b l i r oför-

ä n d r a t , d å b e s t å n d s d e l a r n a ( t . e x . 2 o c h 3 ) b y t a p l a t s , v i l k e t

(11)

e n d a s t u n d a n t a g s v i s gäller för n å g o t a v de senare räkne-

sätten. D e t finnes sålunda en väsentligare o l i k h e t m e l l a n

m u l t i p l i k a t i o n o c h p o t e n s e r i n g än t . ex. m e l l a n m u l t i p l i k a -

t i o n o c h a d d i t i o n e l l e r m e l l a n p o t e n s e r i n g o c h s u p e r p o t e n -

s e r i n g . Därför är d e t n a t u r l i g a r e a t t b i l d a en a v s l u t a d k u r s

i r ä k n i n g a v de t v å första d i r e k t a räknesätten än a v de t r e

första eller de f y r a första o. s. v .

References

Related documents

Tafvelräkningsexempel för småskolan,

E n m öjlig fram tida intervjustudie sku lle kunna undersöka hur m edlem m ar i den del av allm änheten som inte själva är nämndemän ser på nämndemännen — upplever man

b.) Nämn två mediciner som används vid hjärtinfarkt för att påverka dessa blodkroppar. (2 p)

5. Straffrättsideologier behandlas rätt mycket. N u b lir fram ställningen om den historiska utvecklingen isolerad sam tidigt som man måste erkänna att fram

[r]

I e-post kolumnen (längst till höger) kan ni nu kryssa för i rutan på alla de som har e-post och sedan sortera ut dem genom att klickar på under e-post kolumnen, välj Alla,

Söndag morgon började vi med att packa ihop alla våra saker och så körde jag och Tho- mas bort bilarna till Hanebol så sprang vi sedan tillbaka för att möta upp ungdomarna som

»över mittrum- met lyfte sig», säger beskrivaren i Sveriges kyrkor, &gt;en på fyra pelare vilande 'rundel' till 15 alnars höjd från golvet.» Åtminstone indirekt buro dessa