9 för vår tid Carleson

Lennart Carleson

Matematik för vår tid

E n presentation och ett d e b a t t i n l ä g g

B o k f ö r l a g e t Prisma S t o c k h o l m

P R I S M A

9

Omslag av Dan Jonsson

@ 1968 Lennart Carlcson

En originalbok i Prismaserien

Bcrlingska Boktryckeriet, Lund 1968

Innehåll

1. Inledning 7

2. V a d ä r matematik? 12

3. T a l , m ä n g d e r , strukturer, avbildningar 23 4. D e hela talen 35

5. Algebra 53 6. Geometri 67 7. Analys 90

8. Sannolikhet och statistik 114

9. Matematiken i s a m h ä l l e t 127

Register 141

1. Inledning

A l l a matematiker har m å n g a gånger m ö t t frågan: V a d g ö r d u egentligen? Den kommer från familjemedlemmar som ser hus- fadern dagligen sitta v i d sitt skrivbord i timmar med papper, penna och kanske ett par b ö c k e r . Speciellt t r ä n g e r f r å g a n p å n ä r de efter ett å r ser resultatet: kanske 20 tryckta sidor med helt obegripligt utseende. Och det naturliga svaret förefaller att vara: Praktiskt taget ingenting.

M e n frågan kan o c k s å komma med större tyngd från ad- m i n i s t r a t ö r e r och r i k s d a g s m ä n och d å g ä r n a med tillägget " f ö r nytta". V i a n s l å r i Sverige kanske sju miljoner kronor t i l l h ö g r e utbildning och forskning i matematik. Ä r detta väl a n v ä n d a pengar? Behövs det verkligen så lång utbildning för att l ä r a barn att addera och r ä k n a reguladetri, och vad tjänar mate- matisk forskning till? V i matematiker hänvisar t i l l att l ä r a r e m å s t e ha en djupare förståelse för vad de l ä r ut och att man i v å r vetenskap som i alla andra vetenskaper söker sanningen, och att detta ä r skäl nog. Men en skeptiker blir inte ö v e r t y g a d . K a n man ha n å g o n djupare förståelse för att 2 x 2 = 4 — det verkar rena dumheterna. Och vilken sanning ä r det n i söker?

Inte ens en skeptiker som tagit studenten p å reallinjen och kanske läst en t i d v i d universitet eller ä r ingenjör har fått n å g o n egentlig hjälp: det han lärt sig ä r vetenskapens resultat p å 1600- och 1700-talen och liknar inte alls dagens. H ä r brukar diskus- sionen sluta med att matematikerna säger: V i kan t y v ä r r inte f ö r k l a r a oss n ä r m a r e . N i m å s t e tro oss p å v å r t o r d — v i ä r j u experterna.

Mest alarmerande ä r kanske att frågan med ö k a n d e skepsis kommer från v å r a n ä r m a s t e kollegor, fysiker och ö v r i g a natur- vetare. A t t inte ens de f ö r s t å r oss ä r n å g o t nytt för v å r t i d och

7

beror p å matematikens snabba utveckling och starka speciali- sering. M e d brist p å förståelse följer ofta en a l l m ä n t negativ inställning, och man ser nu p å m å n g a håll i v ä r l d e n en tendens att överflytta matematikundervisningen t i l l t i l l ä m p a d e ä m n e n . H ä r m e d v i l l man få garanti f ö r att undervisningen b l i r " n y t t i g " . Det ligger i ö p p e n dag att detta ä r olyckligt och i n n e h å l l e r b ö r j a n t i l l stagnation.

Grundorsaken t i l l f r å g o r n a ä r överallt densamma: matema- tikernas o f ö r m å g a att tala o m vad de g ö r och att f ö r a ut sina resultat t i l l icke-matematiker. Det brukar tas som ett axiom att matematik inte kan populariseras, men just denna tes b ö r man i f r å g a s ä t t a . V a d som kan f ö r k l a r a s och vad som inte kan f ö r k l a r a s beror p å vad som kan tas t i l l u t g å n g s p u n k t . A t t för- k l a r a - f ö r en s t e n å l d e r s m a n vad en radio ä r skulle f ö r m o d l i g e n vara mycket t i d s ö d a n d e , liksom att f ö r k l a r a för en romare för 2 000 å r sedan vad formeln 1/3=0,33 . . . betyder. Enligt detta s ä t t att se skulle alltså svårigheten ha sin rot i undervisningen och speciellt i skolundervisningen. M e n l ä r o p l a n e r n a i gym- nasiet har j u nyligen reviderats, grundskolans står inför en reform och universitetens ä n d r a s kontinuerligt. Och "the new m a t h " — slagordet för matematikundervisningens reformering i U S A — ä r j u numera ett begrepp som också ligger bakom f ö r ä n d r i n g a r n a i Sverige. H a r man inte d ä r m e d gjort allt som kan göras? I själva verket tror jag att "the new m a t h " gjort problemet s t ö r r e . M a n har lagt tyngdpunkten p å den moderna matematikens formalism och noggranna definitioner och inte p å dess idéer och resultat. Det ä r oundvikligt att detta ä r t r å - kigt och ointressant och ger en v r å n g b i l d av dagens matematik.

I Sverige har man speciellt tagit upp " m ä n g d l ä r a " i kurserna och detta har p å m å n g a h å l l missförståtts. D e t r ö r sig inte o m n å g o n teori utan o m vanligt sunt f ö r n u f t , lika enkelt eller kanske enklare ä n 1 + 1 = 2 . M ä n g d l ä r a n k a n emellertid g ö r a s svår genom invecklad terminologi och m å n g a symboler, och detta förefaller i m å n g a f r a m s t ä l l n i n g a r vara huvudsaken.

I Sovjetunionen har "the new m a t h " aldrig slagit igenom —

i själva verket har man d ä r en ganska r e a k t i o n ä r syn p å mate-

matiken — och i U S A förefaller man n u att ö n s k a modifiera

kurserna i mera traditionell riktning. M e n o m d ä r m e d över-

drifterna elimineras, har man inte löst grundproblemet att sprida kunskap o m den matematiska forskningen p å det sätt som gjorts med atomfysiken. D e n k r i t i k som h ä r f r a m f ö r s m o t m å n g a punkter i den reformerade skolmatematiken f å r d ä r f ö r inte tolkas som en uppmaning att å t e r g å t i l l det gamla " o c h b e p r ö v a d e " . Forna tiders problemexercis i n o m s n ä v a o m r å d e n ä r sannerligen inget att ö n s k a tillbaka. M a n b ö r i stället syfta t i l l nya konstruktiva lösningar och inte okritiskt acceptera vare sig b a k å t s t r ä v a r n a s eller r e v o l u t i o n ä r e r n a s åsikter.

Denna bok har d ä r f ö r t v å syften. F r ä m s t ö n s k a r jag så k o r t - fattat och enkelt som möjligt ge en föreställning o m vad mate- matik av idag ä r och peka p å n å g r a av de problem som den fortfarande arbetar med. Speciellt har jag ö n s k a t belysa mate- matikens relation t i l l t i l l ä m p n i n g a r n a , inte genom att betona o m r å d e n d ä r matematik a n v ä n d s nu utan t v ä r t o m betona den matematik som ä r o k ä n d men som kan ha potentiella a n v ä n d - n i n g s o m r å d e n . Givetvis kan man inte g ö r a detta med veten- skaplig exakthet, lika litet som man kan f ö r k l a r a radioaktivt sönderfall eller relativitetsteori p å detta sätt. Jag har i stället f ö r s ö k t att exemplifiera, antyda och ö v e r f ö r e n k l a . M y c k e t av vad som följer står sig d ä r f ö r inte i n f ö r alltför noggrann läs- ning — den som verkligen ö n s k a r s ä t t a sig i n i ett o m r å d e h ä n v i s a s t i l l de b ö c k e r som o m n ä m n s i kommentarerna efter varje kapitel — men det ä r m i n f ö r h o p p n i n g att boken trots allt ger en riktig b i l d av matematiken. Troligen kommer m å n g a ä n d å att tycka att mycket ä r svårt. Det kan bero p å att jag uttryckt m i g dåligt, men det kan också bero p å ovana v i d matematiskt s y m b o l s p r å k och v i d de idéer som beskrivs. D e t lämpligaste ä r s ä k e r t att bara läsa vidare och sedan g å tillbaka t i l l den dunkla punkten; kanske verkar det hela d å l ä t t a r e .

F ö r att u n d e r l ä t t a läsning p å detta s ä t t har partier som kanske ä r besvärliga eller mera detaljrika markerats med < i b ö r j a n och > i slutet. D e n som ö n s k a r hoppa ö v e r en s å d a n b i t b e h ö v e r d å bara s ö k a upp n ä r m a s t e > och börja läsa d ä r .

A l l m ä n t har jag f ö r s ö k t att inte f ö r u t s ä t t a kunskaper u t ö v e r studentexamen, men möjligen kan det finnas undantag. Stu- dentexamenskunskaperna har j u också varierat.

D e t andra syftet ä r att s ö k a ge en b i l d av var skolmatemati-

9

ken av idag s t å r i relation t i l l matematiken som helhet och se vilka f ö r ä n d r i n g a r man kan t ä n k a sig för att minska den mate- matiska forskningens isolering. Detta sista m å s t e ses på mycket l å n g sikt, men om man tror att det ä r möjligt att ä n d r a n å g o t h ä r v i d l a g , ä r det angeläget att detta sker snart. I första hand skall d å universitetskurserna f ö r ä n d r a s och man skall därefter g å n e d å t i skolan. Genom en ny universitetsorganisation har man gjort det mycket s v å r t att f ö r ä n d r a den a l l m ä n n a synen p å ett ä m n e . Skolöverstyrelsen har numera ett a v g ö r a n d e infly- tande över kursernas u p p l ä g g n i n g och i n n e h å l l , vilket mycket i l l a r i m m a r med att kanske 10 % av de universitetsstuderande kommer att bli l ä r a r e . Systemet m e d f ö r att ett litet antal peda- gogiska experter styr inriktningen av v å r a u n i v e r s i t e t s ä m n e n och h ä r i g e n o m har man byggt i n en t r ö g h e t , som kan få mycket allvarliga konsekvenser för hela den akademiska ut- bildningen.

Dessa frågor faller emellertid u t a n f ö r ramen för denna bok.

Det b ö r p å p e k a s att jag h ä r inte avsett att lägga fram n å g r a förslag t i l l innehåll eller disposition utan velat intressera en s t ö r r e grupp för problemet och för matematiken av idag.

Kommentarer

A l l m ä n n a p o p u l ä r ö v e r s i k t e r ö v e r matematiken ä r ganska få- taliga. D e n i särklass b ä s t a och fullständigaste ä r

A . D . Alexandrov, A . N . Kolmogorov, M . A . Lavrentev, Mathe- matics. Ils Cuntent, Methods and Meaning. Amer. övers.

American Mathematical Society, Providence, R . I . , 1962.

D e n ä r skriven av de f r ä m s t a aktiva ryska matematikerna.

Ö v e r h u v u d t a g e t har man i Sovjetunionen lagt ned mycket s t ö r r e intresse p å att sprida riktig kunskap o m matematik ä n i v ä s t e r . E n a m b i t i ö s men ganska svår amerikansk f r a m s t ä l l n i n g ä r

E . T . Bell, The Development of Mathematics. 2nd ed. 1945.

Det b ö r p å p e k a s att p o c k e t b ö c k e r n a i ä m n e t i regel ej ä r

skrivna av aktiva forskare och de ger ofta en ganska skev b i l d

av matematiken genom sin inriktning p å kuriosa.

Matematikens arbetsmetoder har inte alls b e r ö r t s p å f ö r e - g å e n d e sidor. I boken

R. Courant, H . Robbins, What is Mathematics? 1946, ges en behandling av specifika problem som ä r mycket intres- sant och upplysande. P r o b l e m l ö s n i n g e n har behandlats av G . Polya i olika b ö c k e r , t.ex. i

G . Polya, Of Mathematics and Plausible Rcasoning. V o l . I — I I . Princeton 1954.

Slutligen b ö r n ä m n a s det mycket innehållsrika och u n d e r h å l - lande verket

Sigma. En matematikens kulturhistoria. B d 1—6. U t g . J. R . N e w m a n . Stockholm 1959.

D e b ö c k e r som citeras i det följande ä r f a c k b ö c k e r men i regel inte så s v å r a att förstå. Populariserande arbeten har i regel inte medtagits.

11

2. Vad är matematik?

Matematikens historia ä r , kan man föreställa sig, lika l å n g som m ä n s k l i g h e t e n s . D e mest primitiva l e v n a d s f ö r h å l l a n d e n i social miljö f ö r u t s ä t t e r tal, och satsen att kortaste förbindelselinjen mellan två punkter ä r en r ä t linje m å s t e ha u p p t ä c k t s för mycket l ä n g e sedan. I de k u l t u r s a m h ä l l e n v i k ä n n e r i antiken har funnits en matematisk vetenskap. Själva begreppet kultur- s a m h ä l l e f ö r u t s ä t t e r en positiv inställning t i l l spekulation och t ä n k a n d e , fristående från nytta och primitiva drifter. D e m ä n som sysslade med detta k ä n n e r v i som filosofer. Deras spekula- tioner innefattade från b ö r j a n moral och livets mening lika väl som v å r t l ä n k a n d e s natur och matematik. Denna var alltså n ä r m a s t en del av filosofin. H ö j d p u n k t e n n å d d e s i den gre- kiska antika kulturen, och det ä r en n ä r m a s t otrolig prestation att Euklides d å skapade en geometri som inte kunde överträf- fas f ö r r ä n p å 1800-talet och som för bara n å g r a få å r sedan l ä r d e s u t t i l l alla barn i hela v ä r l d e n som hade f ö r m å n e n att alls få g å i skolan. Det som d å f ö r d e matematiken f r a m å t var kraften hos det m ä n s k l i g a intellektet utan sidosynpunkter p å nytta och a n v ä n d b a r h e t . Detta var emellertid också svag- heten. Begreppsbildningen var för torftig för verkligt intres- santa teorier, och man får inte underskatta de svårigheter som följde av n å g o t så trivialt som att man l ä n g e saknade ett lämpligt s ä t t att skriva hela t a l . F a k t u m ä r att mycket obetydliga framsteg gjordes fram t i l l 1600-talet.

V i d denna t i d i n t r ä f f a d e det naturvetenskapliga genombrot-

tet. M a n gjorde stora u p p t ä c k t e r i n o m astronomin, men fram-

för allt lade N e w t o n fram en beskrivning av dessa u p p t ä c k t e r .

Dessa formulerades sedan i ett enkelt s p r å k som Leibniz ska-

pade. Detta s p r å k var matematiken, och d ä r m e d hade u r f i l o -

sofin brutits u t en naturvetenskaplig gren, matematiken, medan ordet filosofi reserverades för den mer spekulativa humanis- tiska grenen. E n v i k t i g del av filosofin var länge logiken, reg- lerna f ö r slutledningar och korrekta resonemang. K r a v e n p å logiken steg så s m å n i n g o m och det blev n ö d v ä n d i g t att skapa ett särskilt s y m b o l s p r å k ä v e n för den. D ä r m e d hade ä v e n logiken fått samma k a r a k t ä r som matematiken och k a n n u an- ses som en gren av denna.

K a n m a n d å uppfatta matematik som naturvetenskap? V i har alla en k ä n s l a av att p å s t å e n d e n som 1 + 1 = 2 ä r mycket s ä k r a r e , i n å g o n mening sannare, ä n s å d a n a p å s t å e n d e n som att t v å kroppar graviterar m o t varandra eller att vatten b e s t å r av v ä t e och syre. M e n o m m a n försöker g ö r a en detaljanalys visar det sig mycket svårt att precisera denna föreställning. V i kan s ä t t a upp invecklade system som ger en i n n e b ö r d å t talet 1, tecknet + osv., helt oberoende av v å r vanliga tolkning. (Denna tolkning ä r för övrigt nog så invecklad, som v i skall se.) M e n v i kan inte tala o m systemet eller ge det ett s a n n i n g s i n n e h å l l utan att falla tillbaka p å v å r erfarenhet o m vardagligt r ä k - nande. Sedan slutet av 1800-talet har matematiker och logiker gjort stora a n s t r ä n g n i n g a r att komma u r detta dilemma och ge matematiken ett absolut s a n n i n g s i n n e h å l l . Jag t r o r att m a n k o r t k a n säga att försöken misslyckats och o c k s å att programmet med a l l sannolikhet ä r d ö m t att misslyckas.

V i skall först se litet n ä r m a r e p å vad som gjort det möjligt att behandla logiska problem p å samma s ä t t som matematiska.

Logiska resonemang in neh ålle r en del som p å ett s lå e n d e sätt liknar vanlig algebra. S a m m a n s t ä l l n i n g a r n a " b å d e — o c h " samt

"dels — dels" motsvarar d å " g å n g e r " och "antingen — eller"

motsvarar "plus". " I n t e " ä r analogt med minustecken. T a g t.ex.

formeln a • (b + c) = a • b + a • c. V i kan få en motsvarighet i n o m logiken p å följande sätt. L å t a betyda " A ä r s n ä l l " , b " A ä r gammal", c " A ä r f u l " . V ä n s t r a ledet av formeln ä r d å " A ä r dels s n ä l l och dels antingen gammal eller f u l " och h ö g r a ledet

" A ä r antingen snäll och gammal eller o c k s å snäll och f u l " .

Uppenbarligen ä r detta en språklig omstuvning utan i n n e h å l l

p å samma s ä t t som den algebraiska relationen inte u t s ä g e r

n å g o t o m talen a, b och c. P å samma sätt motsvaras - ( - a) = a

av att " A ä r inte i n t e - s n ä l l " ä r detsamma som att " A ä r s n ä l l " . M a n k a n alltså genom "algebraiska" regler förenkla språkliga satser.

Reglerna för slutsatser kan p å liknande sätt formaliseras.

H ä r tillkommer d å att man tillordnar satser ett formellt san- n i n g s i n n e h å l l och ger regler för s a n n i n g s v ä r d e t hos samman- ställda satser. Så ä r d å a och (dvs. gånger) b sann bara om b å d e a och b ä r sanna, medan a eller b bara k r ä v e r endera satsen sann för att vara sann. Det ä r p å intet sätt n ö d v ä n d i g t att förstå eller k ä n n a t i l l alla detaljer och symboler i detta mycket invecklade logiska språk f ö r att förstå det väsentliga. Detta b e s t å r i att man h ä r fått logisk k a l k y l som fungerar oberoende av n å g o n tolkning av de symboler som ingår.

N ä s t a steg i försöket att g ö r a matematikens grunder s ä k r a ä r att införa grundbegreppen med hjälp av det logiska symbol- s p r å k e t . V i skall som hastigast syssla med heltalen 0, 1, 2, — Dessa skall alltså definieras utan n å g o n h ä n v i s n i n g t i l l i n t u i t i o n eller t i l l erfarenhet. M a n u t g å r från abstrakt m ä n g d M f ö r e m å l som skall u p p f ö r a sig som heltalen. M a n d ö p e r t.ex. ett f ö r e m å l t i l l " n o l l " , talar o m att varje f ö r e m å l har en b e s t ä m d granne som man kallar efterföljare. Slutligen ger man vissa regler som att o m t v å f ö r e m å l har samma efterföljare ä r de lika. Slut- ledningsreglerna skall vara abstrakt logiska och får inte vara beroende av n å g o n tolkning av f ö r e m å l e n som tal.

V a d som sker är tydligen att man väljer ut vissa egenskaper hos de v ä l k ä n d a heltalen, u t n ä m n e r dessa t i l l grundbegrepp och definitioner. Detta kan förefalla formalistiskt och egentligen meningslöst och p å det hela taget får man nog säga att det ä r det också. M a n b ö r n ä m l i g e n b e g ä r a av det konstruerade syste- met t v å saker. (1) M a n m å s t e kunna å t e r f i n n a alla egenskaper hos de hela talen. (2) M a n m å s t e kunna bevisa att det system som konstruerats inte m o t s ä g e r sig självt. Just detta ä r det som misslyckats. Misslyckandet ä r också så stort som ä r t ä n k b a r t : man kan bevisa att (1) och (2) ej samtidigt kan uppfyllas. I n f ö r man således så m å n g a axiom, dvs. spelregler för de abstrakta f ö r e m å l e n , att systemet får alla egenskaper hos de hela talen, har man fått så m å n g a komplikationer att (2) ä r omöjligt.

V a d jag h ä r skildrat ä r utvecklingen under perioden 1880—

1935. H e l t naturligt har matematikerna h ä r resignerat, och m a n a n v ä n d e r nu g r u n d l ä g g a n d e begrepp utan bevis att man inte kan få motsägelser. Givetvis kan man lugnt g ö r a detta. V å r a föreställningar om t.ex. heltalen ä r så i n t i m t f ö r k n i p p a d e med v å r t sätt att t ä n k a och v å r erfarenhet om o m v ä r l d e n att det ä r n ä r m a s t meningslöst att försöka t ä n k a bort dem. Det ä r över h u v u d taget mycket suggestivt att ett ögonblick reflektera över relationen mellan v å r t t ä n k a n d e och v å r o m v ä r l d . V i accep- terar väl alla nu att m ä n n i s k a n utvecklats ur molekyler och ur- celler under s t ä n d i g p å v e r k a n av omgivningen, dvs. den fysiska v ä r l d e n . D e t ä r d ä r f ö r naturligt att anse att v å r uppfattning av logik, av orsakslagen osv. inte alls ä r n å g o t principiellt höjt ö v e r naturlagarna utan snarare ä r ett resultat eller en spegling av dessa. 1 denna belysning kan man förstå att matematik och logisk analys kan a n v ä n d a s t i l l att f ö r u t s ä g a h ä n d e l s e r i natu- ren; de lagar v i under stor m ö d a u p p t ä c k e r finns så att säga inbyggda i oss själva. Matematik ä r p å detta s ä t t syntesen av naturvetenskaperna och av organiserat l ä n k a n d e ö v e r h u v u d - taget. I det h ä r n ä m n d a perspektivet ä r det också förklarligt att vissa p r o b l e m som t.ex. världsalltets o ä n d l i g h e t eller tidens b ö r j a n m e d f ö r oöverstigliga tankesvårigheter för oss. Det finns ingen anledning att f ö r v ä n t a att v å r hjärna skulle kunna förut- säga n å g o t i dessa frågor eller att de naturlagar v i observerat skulle gälla för förlopp under tidsrymder av storleksordningar ö v e r s t i g a n d e m ä n s k l i g h e t e n s egen existensperiod. D e t ä r en fundamental skillnad mellan 10 och 1 0

å r .

D e cskatologiska frågor som i f ö r b i g å e n d e b e r ö r d e s ovan ä r

exempel p å n ö d v ä n d i g h e t e n att ha en b e g r ä n s a d a m b i t i o n s n i v å

för problem och l ö s n i n g s m e t o d e r . Det finns en mycket a l l m ä n

princip i logiken, som bevisats för heltalen. D e n i n n e b ä r unge-

fär att m a n t i l l varje n å g o r l u n d a komplicerat axiomsystem a l l -

t i d kan finna ett p å s t å e n d e som formuleras med systemets ter-

mer och som man aldrig kan bevisa eller motbevisa med syste-

mets a x i o m . M a n har alltså rättighet att anta att det ä r sant

eller falskt, vilket m a n v i l l , och detta kommer inte att m e d f ö r a

n å g o n m o t s ä g e l s e . I denna mening ä r alltså t i l l och med logiska

system relativa och godtyckliga. Ingenting hindrar således att

vissa b e r ö m d a ö p p n a matematiska problem i denna mening

saknar s a n n i n g s i n n e h å l l : det ä r en s m a k f r å g a o m man väljer att anse dem sanna eller falska. Detta skulle kunna gälla f ö r ett så enkelt problem som följande. Finns det oändligt m å n g a 9-or i d e c i m a l b r å k s u t v e c k l i n g e n av talet ni E t t problem av denna t y p ä r i en vag mening helt onaturligt — det finns inte n å g o t förnuftigt samband mellan 10 och cirkelns omkrets — och man kan inte föreställa sig n å g o n metod att lösa det. A v denna anledning skulle antagandet att f r å g a n besvaras med ja (som ligger n ä r m a s t t i l l hands) eller nej, aldrig k o m m a i n å g o n relation t i l l traditionell matematik, och det ä r d ä r f ö r " l i k g i l - t i g t " vad som gäller.

Det vore n u ett stort misstag att t r o att matematikernas arbete med g r u n d f r å g o r n a varit bortkastat. V a d m a n fått resig- nera inför ä r en fullständig utredning av de enklaste begreppen och orsakerna ä r uppenbarligen att dessa ä r så n ä r a f ö r k n i p - pade med de metoder v i a n v ä n d e r för att analysera dem. M a n kan j ä m f ö r a detta med den b e r ö m d a o s ä k e r h e t s p r i n c i p e n i fysiken. Denna i n n e b ä r att man inte kan m ä t a vissa fysikaliska kvantiteter samtidigt med hur stor noggrannhet som helst, eftersom de apparater man utnyttjar själva samverkar med och s t ö r det som skall m ä t a s . F ö r mera invecklade begrepp ä r emellertid den nya logiken ett mycket effektivt vapen f ö r en korrekt analys. Det ä r lätt att illustrera behovet av en s å d a n noggrann behandling inom m ä n g d l ä r a n .

V i har en intuitiv föreställning av begreppet m ä n g d , samling osv. Det i n n e b ä r att man studerar objekt av en viss t y p sam- tidigt och tar dessa tillsammans t i l l en enhet. Denna i d é ä r troligen den mest fundamentala i det matematiska t ä n k a n d e t och v i kommer i fortsättningen g å n g p å g å n g tillbaka t i l l den.

V a d v i h ä r b ö r observera ä r att begreppet ä r mycket k o m p l i - cerat och att man m å s t e iaktta försiktighet d å man a n v ä n d e r det. Russelis b e r ö m d a paradox illustrerar detta. O m v i n u anser oss veta vad som menas med m ä n g d , så kan v i j u o c k s å tala o m n å g o t s å d a n t som m ä n g d e n b e s t å e n d e av alla m ä n g d e r . E n m ä n g d kan t ä n k a s ha sig själv som element, ä v e n o m detta ä r s v å r t att föreställa sig. M e n låt oss n u t v ä r t o m u n d e r s ö k a m ä n g d e n av alla m ä n g d e r som inte har sig själva t i l l element.

O m m a n n u t ä n k e r efter, inser man att denna m ä n g d inte kan

16

ha sig själv t i l l element (definitionen förutsätter j u just detta) och också m å s t e ha det (ty motsatsen ä r orimlig). N å g o t ä r alltså fel och felet ligger i att vi handskats för vårdslöst med definitioner av m ä n g d e r . Det ä r emellertid mycket komplicerat att ställa allt t i l l r ä t t a och h ä r spelar det exakta logiska s p r å k e t en stor r o l l .

G r u n d s v å r i g h e t e n i Russeils exempel ligger i vad som menas med att en m ä n g d ä r väldefinierad. V i har sett att det leder t i l l orimligheter om man accepterar hur lösliga definitioner som helst. Den extremt motsatta s t å n d p u n k t e n ä r att man fordrar att varje objekt som studeras skall kunna konstrueras med ett ändligt antal steg och med en välpreciserad metod ur det t i d i - gare givna. Denna riktning hade i början av detta sekel m å n g a a n h ä n g a r e och principen innebar i matematikens d å v a r a n d e situation inte en så allvarlig i n s k r ä n k n i n g . Huvuddelen av re- sultaten kunde bevisas p å detta konstruktiva sätt. L ä g e t har nu radikalt ä n d r a t s och av dagens matematiker kanske n ä r m a r e hälften bryter mot regeln. Den mest b e r ö m d a motstridande principen ä r urvalsaxiomet: om S ä r ett system m ä n g d e r M, kan man bilda en m ä n g d M

som innehåller precis ett element från varje m ä n g d M i S. M a n vet numera att om vi inte redan har motsägelser i traditionell matematik (vilket man alltså inte vet!) så får v i heller inga genom att godta urvalsaxiomet. Det ä r o c k s å k ä n t att axiomet inte ä r en följd av övriga vanliga axiom. Detta axiom i n n e b ä r alt vidlyftiga icke-konstruktiva metoder blir tillåtna. Det leder till utomordentligt egendomliga konsekvenser — t i l l exempel att det finns lineära funktioner f(x), dvs. s å d a n a att f(x + y) = f(x) + f(y) för alla reella tal x och y, som inte har formen f(x) = a • x — men är trots detta en av de viktigaste grundmetoderna i modern matematik.

E n intensiv strid kring dessa g r u n d f r å g o r fördes i början av

1900-talet. Den slutade i a l l m ä n utmattning och utan att klar-

het n å t t s . Generellt kan man säga att frågan blivit empiriskt

löst. M a n har inom olika o m r å d e n olika krav som ä r avpassade

t i l l o m r å d e n a s naturliga metodik. H ä r i g e n o m har man så att

säga olika hierarkier av matematik med olika u n d e r f ö r s t å d d a

eller klart utsagda axiomsystem, och man vet också nu r ä t t väl

hur den logiska relationen mellan systemen ser ut. Ä v e n o m

så inte ä r bevisat och sannolikt aldrig blir bevisat, kan man säga att risken för att någon gren av matematiken skall visa sig i n n e h å l l a n å g o n motsägelse ä r utomordentligt liten.

V a d i n n e b ä r nu v å r ofullständiga kunskap om matematikens grunder för skolundervisningen? E n r ä t t självklar konsekvens ä r att man inte b ö r k r å n g l a till i n f ö r a n d e t av g r u n d l ä g g a n d e begrepp, och speciellt d å de hela talen, genom n å g r a invecklade system. E n s å d a n konstruktion leder enbart t i l l alt svårigheten flyttas från en punkt t i l l en annan. Detta insåg man beträf- fande Euklides geometri, som j u helt u t m ö n s t r a t s . Givetvis ä r det en stor fördel att exercerandet med skenbart logiska resone- mang försvunnit ur geometriundervisningen, men som vi skall se har man h ä r gått för långt, så att kunskapen om geometri blivit dålig. T de nya kurserna har emellertid i stället andra grenar formaliserats, varigenom man avser att illustrera mate- matikens axiomatiska uppbyggnad och öva eleverna i logiskt t ä n k a n d e . Som det kanske v ä r s t a exemplet kan man ta kvasi- axiomatiseringen av exponentialfunktionen och r ä k n e l a g a r n a för hela tal. Denna syn p å matematikens grunder gör g ä r n a ä m n e t tråkigt och formellt och f ö r m e d l a r heller inte en riktig uppfattning om hur matematiken arbetar eller vad axiomatik ä r . T i l l sist ä r det j u också så, som vi h ä r sett, alt den intelli- gente eleven i princip kan g ö r a vilken professor som helst svars- lös genom att ifrågasätta s å d a n a saker som resonemangs giltig- het och ords betydelse. M a n b ö r således i n s k r ä n k a bevis och definitioner t i l l s å d a n a fall d ä r inte allt ä r i n t u i t i v t klart från b ö r j a n . Det b ö r dock noteras att t i l l det intuitivt klara h ö r betydligt mindre ä n vad forna tiders matematiker och majori- teten av elever anser, men dit h ö r avgjort hela tal och den del av m ä n g d l ä r a och logik som är aktuell i skolsammanhang.

Under senare år har en ny m o t s ä t t n i n g u p p s t å t t inom mate- matiken mellan vad som kallas ren och tillämpad matematik.

Denna distinktion ä r n å g o t nytt för v å r t å r h u n d r a d e . A l l a f r a m s t å e n d e matematiker var tidigare samtidigt astronomer eller fysiker och d r ö m d e inte o m att det skulle ligga n å g o n m o t s ä t t n i n g i detta. T v ä r t o m a n v ä n d e de matematik t i l l alt lösa fysikaliska problem och fick inspiration t i l l matematiska fråge-

18

ställningar och begrepp ur fysikaliska f ö r h å l l a n d e n . G e n o m att v å r kunskap nu ä r så omfattande ä r en specialisering nöd- vändig, och matematiker saknar numera i regel direkt kunskap om t.ex. fysik. De skapar i stället sina problem själva i relation till det tidigare k ä n d a . Detta ä r p å m å n g a sätt en f ö r s ä m r i n g och har gjort matematikernas arbete s v å r a r e . De p r o b l e m s t ä l l - ningar som problem i naturen ger upphov t i l l har stora utsikter att vara matematiskt givande. N ä r man själv ställer sina pro- blem, vägleds man enbart av sin intuition o m sammanhangen, och riskerna att k o m m a i n i en å t e r v ä n d s g r ä n d kan d å vara stora.

Matematikens problemval är en mycket intressant fråga ge- nom att ä m n e t i princip ä r oberoende av yttre f ö r h å l l a n d e n . V i l k a problem ä r intressanta? V a d menas med att en sats ä r svår? I stort sett vet man mycket litet faktiskt i frågor som dessa, men man kan finna en n ä r m a s t förbluffande s a m s t ä m - mighet i uppfattningen hos olika matematiker. Detta ä r så mycket m ä r k l i g a r e som det finns rent emotionella reaktioner med i v ä r d e r i n g a r n a som n ä r m a s t kan j ä m f ö r a s med estetiska.

M a n talar o m vackra satser och eleganta bevis. Denna enighet tyder på att det skulle finnas en mer objektiv griind. E n sats svårighetsgrad med avseende p å ett givet k u n s k a p s o m f å n g och med ett givet axiomsystem skulle kunna t ä n k a s definieras som det minsta antal logiska symboler ur axiomsystemet som k r ä v s för beviset. E t t resultats totala svårighet blir d å antalet sym- boler i ett totalt bevis u r axiomen. Givetvis kan detta antal knappast b e r ä k n a s för konkreta resultat, men uppskattningar av storleksordningen skulle kanske kunna erhållas. E t t resultats

"intresse" kanske s a m m a n h ä n g e r med detta antal dividerat med antalet symboler som k r ä v s för att formulera resultatet. — l avvaktan p å objektiva kriterier kan helt a l l m ä n t sägas att en matematikers (och kanske varje vetenskapsmans) storhet be- d ö m s minst lika mycket utifrån de frågor han ställer som från dem han besvarar.

U r den uppfattning om matematikens natur som v i redovisat följer att skillnaden mellan ren och t i l l ä m p a d matematik egent- ligen inte ä r så stor. De utredningar o m logiska sammanhang

19

som matematiker g ö r ä r ett djupare i n t r ä n g a n d e i naturens ordning och kan g ö r a a n s p r å k p å att vara naturvetenskap med samma r ä t t som t.ex. teoretisk fysik. Det har o c k s å g å n g p å g å n g inträffat att matematiska teorier, skapade för sin egen skull, visat sig vara l ä m p l i g a modeller för fysikaliska problem.

Detta gällde t.ex. differentialgeometrin för Einsteins relativi- tetsteori, m a t r i s l ä r a n för Heisenbergs beskrivning av v å g m e k a - niken, och m å n g a tror nu att gruppteorin skall spela en stor r o l l d å fysikerna en dag får ordning p å alla de elementarpar- tiklar som föds i de stora acceleratorerna.

O m splittringen i ren och t i l l ä m p a d matematik varit skadlig för matematiken har skadan förmodligen varit ä n s t ö r r e för naturvetenskapen i övrigt. Den moderna matematiken har givit en f ö r d j u p a d förståelse för de logiska sammanhangen och ska- pat ä n d a m å l s e n l i g a språk. Det ä r mycket sannolikt att denna kunskap kan utnyttjas för en f ö r d j u p a d beskrivning av fysika- liska fenomen, men det finns allvarliga brister i kommunika- tionerna. M a n har i regel uppfattat m o t s ä t t n i n g e n som g ä l l a n d e praktiskt r ä k n a n d e å ena sidan och teoretiska ( u n d e r f ö r s t å t t ointressanta) spekulationer å den andra. Detta ä r dock ett s e k u n d ä r t problem. Det som gjort saken akut torde vara att skolmatematikerna — i planeringen av "den nya matematiken"

i skolor och p å universitetsnivå — ö v e r b e t o n a t de formella sidorna av matematiken på bekostnad av det egentliga idéinne- hållet. Det ä r inte avsikten att kritisera kravet p å stringens, som var en välbehövlig reaktion mot tidigare generationers lösliga framställning, utan det beskäftiga detaljintresset p å s å d a n a om- r å d e n d ä r studiet i alla fall stannar p å ytan. Ö v e r b e t o n i n g e n av detaljerna och det formella leder d ä r bara t i l l att man g ö r o m r å d e t ointressant. D e t ä r i n o m undervisningen n ö d v ä n d i g t att skilja p å orienterande kunskaper och aktiva kunskaper. D e n orienterande undervisningen kan läggas upp p å samma s ä t t som undervisningen i elementarpartikelfysik, medan undervis- ning i den del av matematiken som b e h ö v e r a n v ä n d a s m å s t e i n n e h å l l a mycken r u t i n ö v n i n g . Det ä r givetvis helt illusoriskt att man skall kunna ge eleverna en s å d a n förståelse för ä m n e t genom omsorgsfull behandling av grunderna att de själva där-

20

efter skulle kunna utnyttja metoderna i p r o b l e m l ö s n i n g . F ö r s t genom en systematisk uppdelning av den antydda typen ä r det möjligt att realisera skolans m å l att samtidigt ö k a stoffets o m - fång och behålla ä m n e t s egenart. Genom en s å d a n uppdelning skulle den nuvarande m o t s ä t t n i n g e n mellan ren och t i l l ä m p a d matematik minskas, och bredare förståelse f ö r ä m n e t s natur skulle å s t a d k o m m a s . V i skall diskutera dessa frågor u t f ö r l i g a r e i sista kapitlet.

V a d blir d å resultatet? V a d ä r matematik? I grunden ä r det en naturvetenskap med uppgift att analysera de logiska konse- kvenserna av vissa g r u n d l ä g g a n d e empiriska sanningar. D e n skapar ett lämpligt s p r å k för detta ä n d a m å l , det matematiska s y m b o l s p r å k e t . D e t ä r ett misstag att t r o att matematiken ä r absolut sann, och det förefaller vara en djävulscirkel att med logiska metoder analysera alla grundbegrepp i matematiken.

Detta hindrar inte att man kan och b ö r g e n o m f ö r a matema- tiska bevis med logisk stringens och så att begreppens i n n e h å l l och slutledningen f r a m s t å r som självklara, men man skall inte g ö r a det självklara komplicerat genom beskäftig och missriktad formalisering. Sina problem väljer matematikerna själva p å jakt efter ö k a d förståelse f ö r sammanhangen mellan alla de begrepp som kommer från talens v ä r l d , från geometrin, dvs.

v å r rumsuppfattning, från olika fysikaliska sammanhang, från regel bunden heter i f o r m av statistik, från logiken, och som se- dan o m s t ö p t s i matematikens smältdegel. Ofta har resultatet blivit o i g e n k ä n n l i g t f ö r f ö r e t r ä d a r e för u r s p r u n g s o m r å d e n a , men sammanhanget finns d ä r klart och en betydelsefull upp- gift ä r att se t i l l att kontakten bibehålls. Bilden av matematiken som en spegel av naturen ger en antydan o m de möjligheter matematiken erbjuder.

H . Weyl har sammanfattat detta p å följande sätt (i f r i över- s ä t t n i n g ) :

" E n verkligt realistisk matematik b ö r p å u n g e f ä r samma sätt

som fysiken uppfattas som en gren av den teoretiska beskriv-

ningen av den v ä r l d v i lever i , och den b ö r anlägga samma

lugna o c h försiktiga attityd mot utvidgningar av dess grund-

föreställningar som fysiken traditionellt visar."

Kommentarer

E n modern och ganska lättläst översikt av g r u n d f r å g o r n a ä r G . T . Kneebone, Mathematical Logic and the Foundations of

Mathematics. V a n Nostrand L t d , 1963.

D e n sats av K . G ö d e l som avses p å s. 14 u p p t ä c k t e s 1931.

A t t urvalsaxiomet inte strider m o t övriga a x i o m i m ä n g d - l ä r a n bevisades av G ö d e l 1940 [The Consistency o f the Con- t i n u u m Hypothesis. Princeton, N.J., 1940].

A t t urvalsaxiomet ä r oberoende av övriga axiom — dvs. att dess negation inte heller strider mot dem — visades av P. J.

Cohen 1963—64 [The Independcnce o f the C o n t i n u u m H y - pothesis. Proc. Nat. A c a d . Sciences 1963, 1964]. V i d de mate- matiska kongresserna som hålls vart 4:e år utdelas t v å pris t i l l de främsta yngre forskarna. Detta ä r de s.k. Pieldprisen. D e motsvarar i fråga o m ä r a n ä r m a s t Nobelpris. P. Cohen fick ett s å d a n t pris v i d Moskvakongressen 1966 för detta arbete.

E n bok om matematikens historia ä r

D . J. Struik, A Concise History of Mathematics. V o l . I — I I . N e w Y o r k 1948. Svensk övers. Matematikens historia. Stock- h o l m 1966.

En intressant diskussion o m matematiken och verkligheten i n - n e h å l l e r

H . Weyl, Philosophy of Mathematics and Natural Sciences.

Princeton, N.J., 1949, varur citatet ovan ä r taget.

22

3. Tal, mängder, strukturer, avbildningar

V i ä r alla inställda p å att det mest g r u n d l ä g g a n d e matematiska begreppet ä r de hela talen. T a g t.ex. följande b e r ö m d a sentens av Kronecker (som var en av de strängaste a n h ä n g a r n a av idén att endast konstruktiva bevis ä r tillåtna): "De hela talen ska- pades av G u d . A l l t annat ä r m ä n n i s k o v e r k . " M e n ä r det verk- ligen så och vad ä r egentligen tal?

Den i d é som ä r självklar för oss och som v i fordrar att v å r a sjuåringar skall förstå ä r följande. O m v i t ä n k e r p å 2 ä p p l e n , 2 bilar, 2 stjärnor osv. har dessa olika mängder n å g o t gemen- samt, som v i kallar antal och i detta fall kallas två. Det verkar h ä r som o m v i a n v ä n d e " 2 " i definitionen av " 2 " , men så ä r det inte. O m v i studerar en m ä n g d A och en annan m ä n g d B, vilkas element kan vara vad som helst, äpplen eller bilar, så finns det t v å (!) möjligheter. Antingen g å r det att para ihop elementen i A och B så att m ä n g d e r n a precis t ö m s ut, dvs. så att varje a motsvarar ett b och varje b ett a, eller o c k s å g å r det inte. I det första fallet säger v i att A och B har samma antal element, eller har samma m ä k t i g h e t (h.s.m.). Tydligen ä r det så att o m A h.s.m. som B, och B h.s.m. som C följer att A h.s.m. som C. V i b e h ö v e r bara para a med ett c p å s å d a n t sätt att de motsvarar samma b. E n schematisk figur:

A B C

23

Vidare gäller att A h.s.m. som A (para a med sig själv). V i f ö r n u ihop alla m ä n g d e r som har samma m ä k t i g h e t t i l l en enda m ä n g d . D å f å r v i en samling s u p e r m ä n g d e r , vilkas ele- ment således ä r m ä n g d e r . Dessa har egenskapen att varje m ä n g d tillhör en b e s t ä m d s å d a n s u p e r m ä n g d . D e n egenskap v å r a 2 ä p p l e n och 2 stjärnor har gemensamt ä r , att de tillhör samma s u p e r m ä n g d och h ä r i g e n o m kan v i säga att de vanliga hela talen är de enklaste s u p e r m ä n g d e r n a . L å t e r det h ä r k o m - plicerat? D e t ä r dock precis detta som v i anser självklart och det är den h ä r tankeprocessen v å r a barn m å s t e g ö r a för sig själva. Den fundamentala idén ä r att slå samman en grupp före- m å l t i l l en enhet och studera denna enhet. Enheten tillordnas ett abstrakt begrepp, talet, och man kan sedan laborera med talen och g l ö m m a alla de enheter de representerar. A t t det ä r n å g o t svårt i denna abstraktion kan varje s m å s k o l l ä r a r e o m - vittna. D e t ä r mycket l ä t t a r e att r ä k n a med ä p p l e n och p ä r o n , dvs. representanter för s u p e r m ä n g d e n , ä n med abstrakta t a l ! A t t det så s m å n i n g o m g å r bra i skolan beror mindre på att eleverna förstått sammanhanget ä n p å att de lärt sig allt utan- t i l l . Det ä r givetvis inget fel i att kunna utantill, men det kan vara intressant att ställa situationen h ä r i relation t i l l vad man h ö g r e upp i skolan anser o m utantillkunskaper. A m b i t i o n e n d ä r ä r att s ö k a eliminera minneskunskap och basera så mycket som möjligt p å deduktion. A t t gå långt i den riktningen ä r med s ä k e r h e t mycket ineffektivt. Det ä r troligt att det skulle gå bra att g ö r a sjuåringar medvetna o m vad de egentligen g ö r och att detta skulle u n d e r l ä t t a i n l ä r a n d e t av de g r u n d l ä g g a n d e r ä k n e - s ä t t e n . Innan v i g å r i n p å detta, skall v i fortsätta m ä k t i g h e t s - diskussionen ett steg vidare.

I framställningen o m hopparade element var det ä n d l i g a m ä n g d e r v i hade i tankarna. M e n ingenting hindrar att man behandlar oändliga m ä n g d e r p å samma sätt. Den s u p e r m ä n g d t i l l vilken den enklaste o ä n d l i g a m ä n g d e n h ö r , n ä m l i g e n den som består av de vanliga talen 1, 2, . . . betecknar man allt- sedan G . Cantor skrev sitt banbrytande arbete p å o m r å d e t , No

ä r alef — första bokstaven i det hebreiska alfabetet). N ä s t a

fråga blir d å : finns det n å g o n oändlig m ä n g d som ej h ö r t i l l

denna klass, dvs. som ej har m ä k t i g h e t e n Det enklaste

exemplet p å en s å d a n m ä n g d ä r m ä n g d e n av alla reella tal x mellan O och 1. < A n t a g n ä m l i g e n att de reella talen kunde paras med de naturliga talen. Det betyder att vi skulle kunna ge dem ordningsnummer 1, 2, 3, . . . etc. Utveckla nu varje tal i d e c i m a l b r å k . Talet nummer 1 har en viss första decimalsiffra.

Välj ett heltal a

mellan 1 och 8 o l i k t denna decimalsiffra. a

väljs analogt skilt från talet 2:s 2:a decimalsiffra, a

från 3:s 3:e siffra osv. Det tal som har decimalutvecklingen 0, a, a

a

. . . kan d å inte vara lika med något av talen med ordningsnum- mer 1 , 2 , . . . , eftersom för varje tal n å g o n decimalsiffra skiljer.

Alltså har v i hittat ett tal mellan 0 och 1 som inte fanns med i u p p r ä k n i n g e n och slutsatsen ä r oundviklig. Det går inte att ge de reella talen en numrering. >

M ä k t i g h e t e n hos m ä n g d e n av reella tal kallas N j , Det ä r lätt att ge en precis i n n e b ö r d t i l l att N

ä r mindre ä n K

n ä m l i g e n att heltalen kan paras med en del av m ä n g d e n av reella tal, t.ex. delen { 1 , 1/2, 1/3, . . . } , men inte t v ä r t o m . [Visa det!]

Finns det en m ä n g d vars m ä k t i g h e t i denna mening ligger mel- lan och K

? Detta har varit ett b e r ö m t problem ä n d a fram t i l l för n å g r a å r sedan d å P. Cohen slutgiltigt löste problemet p å ett sätt som ä r k a r a k t ä r i s t i s k t för problem av denna typ.

V i kan valfritt svara ja eller nej p å frågan. V å r t svar kommer inte att strida mot övrig matematik. Problemet ä r i logisk me- ning oberoende av sedvanliga axiomsystem.

Det h ä r n ä m n d a belyser hur subtil m ä n g d t e o r i n ä r . M a n får

heller inte tro att utvecklingen av denna ä r n å g o t centralt

problem i matematiken. Det viktiga ä r själva begreppet m ä n g d ,

medan de manipulationer som man u t f ö r med m ä n g d e r n a bara

utnyttjar enkelt sunt förnuft. I undervisningen b ö r d ä r f ö r

idén föras fram tidigt, redan i de första klasserna, och eleverna

b ö r g ö r a s vana v i d att föra samman saker i klasser och an-

v ä n d a termer som m ä n g d , d e l m ä n g d , tillhöra en m ä n g d , komp-

lement t i l l en m ä n g d osv. M a n kan få m å n g a uppslag t i l l ar-

betsuppgifter av denna typ i s.k. intelligenstest, vilket visar att

psykologer funnit begreppsbildningen central i vad man anser

vara intelligens. Det förefaller mycket troligt att t r ä n i n g i tidig

å l d e r i denna riktning ä r en god introduktion t i l l matematiskt

t ä n k a n d e (och ger bra resultat p å intelligenstest). Å andra sidan

25

kan den formella t r ä n i n g e n med m ä n g d l ä r a n s s y m b o l s p r å k sak- löst u t g å — n ä r man förstått det intuitiva ä r allt s å d a n t själv- klart, och innan man gjort det ä r det s v å r t , tråkigt och menings- löst.

V i skall nu se hur begreppet m ä n g d a n v ä n d s i matematiken, och v i börjar med att se hur man logiskt noggrant bygger upp systemet av tal. Tag först de rationella talen 1/2, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, . . . , för att antyda dem mellan 0 och 1. V i ä r vana att beteckna dem p å detta sätt, alltså t v å heltal efter eller oftare o v a n f ö r varandra med ett streck emellan, men vad 1/2 betyder ä r att heltalen 1 och 2 i denna ordning b e s t ä m m e r ett visst rationellt tal. E n korrekt procedur g å r då till p å följande sätt.

M a n u t g å r från de traditionellt v ä l k ä n d a egenskaperna hos de rationella talen. D e r ä k n e l a g a r som d ä r gäller tas t i l l defini- tioner för r ä k n e l a g a r för par av heltal (a, b) d ä r a motsvarar täljaren och b n ä m n a r e n och alltså b*0. N u skall j u t.ex. ( 1 , 2) vara detsamma som (3, 6) och d ä r f ö r identifierar man paret (a, b) och paret (c, d) o m ad=bc (1 • 6 = 2 • 3). M a n definierar operationen + +:(a, b)+ +(c, d) = (ad + bc, bd) genom att kopi- era formeln a/b + c/d = (ad + bc)/hd. P å samma s ä t t g ö r v i de- finitionen (a, b) - - (c, d) = (ac, bd). 1 b å d a fallen ä r det viktigt att för heltal gäller att ur b *0 och d*0 följer b • d*Q. V i åter- finner alltså de rationella talen i den logiska formen av par av naturliga tal med operationer + + och • • . V i v i l l nu att v å r a gamla naturliga tal skall finnas kvar i systemet och g ö r en ny definition: naturliga tal kallas nu alla par d ä r 6 = 1. — Uppen- barligen tjänar allt detta inte mycket till för att g ö r a matema- tikens grunder s ä k r a r e : man gör bara en formalisering av vad m ä n s k l i g h e t e n gjort under tusentals å r . Själva konstruktions- idén ä r emellertid mycket a l l m ä n och a n v ä n d b a r som v i senare skall se.

P å samma sätt kan man (sedan man formellt infört 0) införa de hela talen (0, ± 1 , ± 2 , . . . ) som par («, a) d ä r a kan ha två betydelser (förtecknet; + eller - ä r v i vana att skriva) och a ä r 0 eller ett naturligt tal. Det kan vara en lärorik sysselsättning att g ö r a detta och kontrollera att allt s t ä m m e r .

De reella talen ä r av en annan natur ä n de rationella. M a n

kan inte å b e r o p a n å g r a iakttagelser i naturen som skäl för att

införa dem. T v ä r t o m , den uppfattning av materien som man numera har i n n e b ä r att allt iakttagbart f ö r e k o m m e r i en minsta enhet som inte vidare kan uppdelas. Detta gäller t.ex. b å d e energi och a v s t å n d . Det skulle alltså gå att g ö r a beskrivningar av naturen under a n v ä n d a n d e av enbart d e c i m a l b r å k med t.ex.

100 siffror. M a n brukar också låta talen motsvara punkter p å en linje, dvs. införa koordinater som p å en tumstock, och inget strider m o t föreställningen att linjen b e s t å r av punkter p å 1 0 -

cm a v s t å n d från varandra. E n s å d a n diskontinuerlig uppfattning skulle genast f ö r k l a r a den b e r ö m d a paradoxen o m Akilles och s k ö l d p a d d a n : varje gång Akilles sprungit t i l l den plats d ä r s k ö l d p a d d a n nyss var, har denna hunnit ytterligare en bit och d ä r f ö r hinner Akilles aldrig enligt en kontinuerlig upp- fattning ikapp. Finns det emellertid en minsta sträcka och en minsta t i d m å s t e Akilles ta ett s p r å n g t i l l s k ö l d p a d d a n s plats innan denna hinner d ä r i f r å n . Det kan h ä r vara intressant att citera skolöverstyrelsens l ä r o p l a n (s. 261): " M a n utvidgar m ä n g - den av rationella tal så att alla punkter på tallinjen tillordnas en koordinat." Detta ä r naturligtvis ingen h å l l b a r motivering, eftersom v i inte vet mer faktiskt om punkter p å linjer ä n o m reella tal, inte ens om v i accepterar de traditionella euklidiska axiomen för geometrin.

V a d man emellertid skulle förlora i en dylik diskret beskriv- ning ä r enkelheten. Formlerna skulle bli invecklade, man skulle få besvärliga regler för avrundning osv. De reella talen kan d ä r f ö r anses vara en matematisk idealisering som införts i f ö r e n k l a n d e syfte. Geometriskt uttrycker de v å r föreställning om att linjen ä r homogen och s a m m a n h ä n g a n d e .

Logiskt inför man talen enklast genom att resonera bak- länges från de sedvanliga r ä k n e r e g l e r n a för t.ex. d e c i m a l b r å k . Varje tal x skall kunna skrivas som d e c i m a l b r å k x = X, x

x

.. .x

..., d ä r X ä r ett naturligt tal och varje x

ä r ett heltal mellan 0 och 9. M a n observerar också att s å d a n a d e c i m a l b r å k som 0,1000 . . . och 0,0999 . . . motsvarar samma tal. V i kan nu b a k l ä n g e s definiera ett reellt tal som själva följden av hela tal, {X, x

, • • . } , och införa räkneregler som s t ä m m e r o m v i skriver upp d e c i m a l b r å k e t som förut och r ä k n a r som vanligt.

Logiskt är alltså i denna tolkning ett reellt tal en oändlig hel-

27

talsföljd precis som ett rationellt tal var ett heltalspar. D e ratio- nella talen återfinns som de följder som ä r periodiska (t.ex.

53/165 = 0,3212121 . . . , d ä r perioden har l ä n g d e n 2). [Bevisa detta, dvs. att rationella tal har periodiska d e c i m a l b r å k och att periodiska d e c i m a l b r å k motsvarar rationella tal!]

V i har alltså sett att m ä n g d b e g r e p p e t kommer i n p å ett av- g ö r a n d e sätt v i d noggranna matematiska definitioner. Kanske ö v e r t y g a r detta inte riktigt o m att begreppet ä r viktigt, efter- som det v i definierat är så konkret och v ä l k ä n t . V i skall d ä r f ö r ta ytterligare ett exempel av denna typ, n ä m l i g e n begreppet funktion eller avbildning. I n t u i t i v t uttrycker en funktion att o m en kvantitet (i v i d mening) ä r k ä n d kan en annan b e r ä k n a s ur denna kunskap enligt n å g o n regel. Så ä r lufttrycket (y) en funktion av höjden (x) över havet, en sträcka (y) en funktion av de b å d a ä n d p u n k t e r n a (x = ett punktpar), en m ä n n i s k a s egen- skaper (y) en (komplicerad) funktion av arv och miljö (x).

F u n k t i o n s i d é n uttrycker således den fundamentala föreställ- ningen o m orsak (x) och verkan (y). Den lämpligaste logiska definitionen ä r att funktionen i fråga ä r just alla de par (x, y) som kommer i fråga. Varje x f ö r e k o m m e r h ä r endast en g å n g

— varje orsak har alltid samma verkan — medan samma verkan kan u p p s t å ur m å n g a orsaker. D å man t ä n k e r p å funk- tioner ä r tolkningen som avbildning från m ä n g d e n X av orsa- ker t i l l m ä n g d e n Y av verkningar oftast den lämpligaste. / fungerar som en maskin:

Fig. 1

man stoppar i n x och får ut y.

D å v i p å s. 23 diskuterade m ä k t i g h e t hade v i att g ö r a med

28

funktioner / från en m ä n g d t i l l en annan med samma m ä k t i g - het. / ä r h ä r en 1 - 1 - a v b i l d n i n g , d ä r alltså pilarna i figuren kan gå i b å d a riktningarna (fig. 2).

Även funktionsbegreppet med sin terminologi skulle man med fördel kunna i n f ö r a under de första skolåren för att tidigt vänja eleverna v i d orden och t a n k e g å n g a r n a . Det är inte fråga om att man skulle g ö r a n å g r a invecklade konstruktioner utan endast introducera ett matematiskt t ä n k a n d e .

V a d g ö r n u matematikerna med m ä n g d e r n a ? M a n kan säga att de studerar m ä n g d e r som på olika sätt har en struktur. V a d som kan menas med detta skall v i nu n ä r m a s t syssla med.

Den enklaste strukturen av en m ä n g d M består i att man har givet ett system S av d e l m ä n g d e r av M . Detta system b ö r upp- fylla diverse v i l l k o r , av vilka det viktigaste ä r att f ö r e n i n g e n av t v å m ä n g d e r i S liksom den gemensamma delen o c k s å i n - går i S. Detta medger en intressant och o v ä n t a d tolkning. V i t ä n k e r oss ett experiment av n å g o t slag, fysikaliskt eller för övrigt vad som helst. Det kan utfalla p å olika sätt och v i låter M vara m ä n g d e n av möjliga resultat. E n d e l m ä n g d m av M representerar d å en viss del av utfallen och kallas h ä n d e l s e . F ö r e n i n g e n m

Um

av m

och m

representerar d å "antingen h ä n d e l s e n m

eller h ä n d e l s e n m

" och den gemensamma delen

" b å d e m

och m

" . V i f å r alltså en spegling av logiska opera-

tioner i operationer p å m ä n g d e r . V i kan nu g ö r a en exakt

definition av sannolikhet. V i antar att P är en funktion från 5

29

t i l l intervallct (0,1) s å d a n att P ( m

U m

) = P(m,) + P ( m

) om m j och m

saknar gemensam punkt. V i kan t ä n k a oss situationen så, att man lagt en massa p å M av totalvikt 1 och P(m) ä r den massa som faller på m. V i kallar nu P(m) "sannolikheten för h ä n d e l s e n ni". — Det sagda b e h ö v e r belysas av ett exempel.

L å t experimentet vara att v i kastar t v å t ä r n i n g a r . Det kan utfalla p å 36 sätt, så M b e s t å r av 36 punkter. S ä r h ä r alla möjliga d e l m ä n g d e r , men så enkel b l i r situationen egentligen bara d å M ä r ändlig. P lägger massan 1/36 i varje punkt av Af.

D e n skuggade m ä n g d e n i fig. 3 representerar h ä n d e l s e n "precis en av t ä r n i n g a r n a har 3 p r i c k a r " vilken alltså har sannolikhet 10-1/36 = 5/18.

Denna m ä n g d s t r u k t u r t j ä n a r alltså t i l l att ge en klar mate- matisk bakgrund t i l l sannolikhetsteorin. V i skall senare stu- dera detta n ä r m a r e .

V i skall nu se hur analysens grunder h ä n g e r samman med m ä n g d i d é n . Det centrala begreppet inom analysen är konver- gens. O m X\, x

, x

, ..., x

, . . . ä r en följd reella t a l , säger man att x„ konvergerar m o t x o m x

o b e g r ä n s a t n ä r m a r sig x, n ä r index n v ä x e r o b e g r ä n s a t . Alternativt kan v i säga att om v i studerar intervall O som innehåller x i sitt inre faller alla x

30

X1 Xl X1XSK6 X3

Fig. 4

utom ändligt m å n g a i O. Givetvis gäller samma sak om O ä r vilken m ä n g d som helst som innehåller ett intervall kring x.

M e d ett suggestivt s p r å k b r u k kan v i säga att dessa m ä n g d e r O fungerar som ett filter, som filtrerar ut alla talföljder utom dem för vilka x

n ä r m a r sig x o b e g r ä n s a t . Varje annan följd kom- mer nämligen att ha o ä n d l i g t m å n g a punkter u t a n f ö r ett l ä m p - ligt valt O och blir d å bortfiltrerat av denna m ä n g d .

A t t ö v e r f ö r a idén o m konvergens t i l l planet ä r lätt: v i byter bara ut intervall m o t cirklar — eller kvadrater, det går lika bra — och p å liknande sätt g ö r v i i 3 dimensioner. M e n vi v i l l också tala o m konvergens i s å d a n t sammanhang som

1/81/4

Fig. 5

31

d å v i studerar följder av funktioner. Tag t.ex. de funktioner f

(x), n= 1, 2, . . . , på (0,1) som ä r antydda i fig. 5.

Funktionerna liknar mer och mer funktionen /

( x ) = 0, men å andra sidan antar varje funktion f

(x) v ä r d e t 1. O m v i med utsagan /„ konvergerar mot /

menar att m a x i m u m av /„(*) b l i r litet så konvergerar /„ inte mot /

, men o m vi menar att ytan mellan /„ och x-axeln b l i r liten så har v i konvergens. B å d a begreppen ä r fullt rimliga och a n v ä n d e s i matematiken.

Den a l l m ä n n a idén o m konvergens kan n u preciseras med hjälp av ett system S av d e l m ä n g d e r O av en a l l m ä n m ä n g d Af.

S skall ha u n g e f ä r de egenskaper v i tidigare i n f ö r d e . De m ä n g - der som innehåller en punkt x i Af ä r omgivningar t i l l x och tjänar som filter v i d definition av konvergens mot x. x

kon- vergerar alltså i "topologin" b e s t ä m d av 5 mot x o m u t a n f ö r varje omgivning av x bara finns ändligt m å n g a x„. I v å r a exempel ä r m ä n g d e r n a av funktioner /(?) så att i första fallet M a x | / ( 0 | < c för n å g o t c, och i andra fallet $l\f(t)\dt <c, om- givningarna t i l l "punkten" /

representerande funktionen iden- tiskt n o l l . V i får alltså inte konvergens i första fallet eftersom för t.ex. c= 1/2 alla /„ faller u t a n f ö r omgivningen. I den andra topologin d ä r e m o t har v i konvergens. Detta ä r alltså inte ett absolut begrepp utan beror p å systemet S. H ä r m e d har man lagt grunden för studiet av funktioner p å Af p å samma sätt som v i ä r vana att studera funktioner som ä r definierade p å t.ex. intervall. Observera att i v å r a exempel ett uttryck som Slf(t)

dt är en funktion p å Af och således / ä r variabeln.

Slutligen kan man o c k s å i n f ö r a struktur p å en m ä n g d inte genom ett system d e l m ä n g d e r utan genom kompositionsregler.

P å m ä n g d e n av heltal finns t.ex. de två olika sätten att k o m b i - nera heltal t i l l nya heltal + och • . Dessa operationer ä r för- bundna med varandra genom regler s å d a n a som a • (b + c) =

= a-b + a-c. F ö r m å n g a objekt som har intresse i matematiken finns kompositionsregler som i s t ö r r e eller mindre u t s t r ä c k n i n g liknar dem som heltalen eller de rationella talen har. V i skall h ä r bara n ä m n a n å g r a exempel. O m E ä r en m ä n g d och f(x) avbildar E i n i sig själv finns p å m ä n g d e n Af av dessa avbild- ningar en kompositionsregel som helt enkelt består av att v i u t f ö r avbildningarna efter varandra (fig. 6).

32

f*g ^E E

Fig. 6

Tydligen gäller f ö r (f * g) •••• h = f-v. (gh) precis som f ö r + och • , men det gäller inte säkert / g=g * / . O m v i antar att avbildningarna ä r 1 - 1 kan m a n tydligen lösa ekvationer x * f=g precis som man kan för + för heltalen och • för rationella tal (men d ä r inte för heltal). V a d v i d å fått kallas en grupp och detta begrepp kan analyseras enbart u t g å e n d e från de regler som operationen * lyder och alldeles oberoende av de eventuella tolkningar som man kan ge symbolerna / , g osv.

Ytterligare ett exempel. Polynom P(x) = a

x

+ a

x"-

+...+

+ a

_!*+ a

d ä r koefficienterna a

, a^, .. ., a

t.ex. ä r reella t a l , bildar en m ä n g d som i h ö g grad liknar heltalen. H ä r finns b å d e en plus- och en g å n g e r - o p e r a t i o n definierade av vad v i får genom att p å vanligt sätt addera koefficienterna respektive multiplicera ihop och ordna efter potenser av x. M ä n g d e n av polynom har alltså en invecklad struktur, och m a n kan n u u t g å e n d e f r å n enbart kompositionsreglerna g ö r a en hel teori.

Denna gäller d å inte bara p o l y n o m som v i tog t i l l m ö n s t e r utan för m å n g a andra system d ä r symbolerna har en annan tolk- ning.

Det matematiska o m r å d e v i n u sist diskuterat ä r algebran.

Det ä r således teorin för matematiska strukturer b e s t å e n d e av kompositionsregler. Analysen ä r analogt en struktur b e s t å e n d e av omgivningssystcm. Dessa idéer ä r centrala i den moderna utvecklingen av den matematiska forskningen. V a d m a n efter- s t r ä v a r ä r att föra samman metoder och begrepp som tidigare u p p s t å t t i n o m olika grenar men som ä r lika t i l l sin logiska

2 — 215-6293. Matematik för vår tid

struktur. M a n vill f ö r u t s ä t t a bara så mycket som verkligen behövs för att man skall kunna bevisa det resultat man efter- s t r ä v a r . H ä r i g e n o m vinner man en stor allmängiltighet och o c k s å en ö k a d förståelse för de logiska mekanismer som funge- rar i ett visst problem. D e t finns naturligtvis m å n g a alternativa sätt att införa en hierarki av strukturer — från det strukturfria a l l m ä n n a m ä n g d b e g r e p p e t t i l l det mest specialiserade, som t.ex.

de rationella talen. M å n g a definitioner och begrepp har förts fram och sedan sjunkit i g l ö m s k a , och det system man nu arbe- tar med måste anses v ä l f ö r a n k r a t och b ö r komma att bli be- s t å e n d e .

M a n skulle ö n s k a att undervisningen i gymnasiet f ö r m e d l a d e n å g o t av denna a l l m ä n n a syn p å matematiken och d ä r m e d gav en antydan om den rikedom på möjligheter som den moderna matematiken har. Den bild jag h ä r gett har skapats under v å r t å r h u n d r a d e och har ä n n u inte fått n å g o n f o r m som passar e l e m e n t ä r undervisning. M a n får inte d ä r f ö r tro att det ä r för svårt. V a d det gäller ä r att ge de o r d som a n v ä n d s i n t u i t i v t innehåll, att införa dem tidigt och att låta dem komma t i l l a n v ä n d n i n g systematiskt.

V i skall i följande kapitel försöka g ö r a en översikt av n å g r a av matematikens största o m r å d e n och punktvis föra fram dis- kussionen till problem som matematiker just nu arbetar med.

Detta kan ge en antydan o m vad en kunskapskurs i gymnasiet som v i n ä m n d e i förra kapitlet skulle kunna t ä n k a s i n n e h å l l a . Samtidigt skall vi anknyta t i l l nuvarande kurser och försöka belysa deras relation t i l l modern matematik.

Kommentarer

E n u t f ö r l i g a r e och modern bok om matematikens struktur ä r A . M . Gleason, Fundamentals of Abstract Analysis, Addison-

Wesley 1966.

B e t r ä f f a n d e kontinuumhypotesen, att X] följer n ä r m a s t efter

» q , visades dess relativa motsägelsefrihet och oberoende av G ö d e l resp. Cohen i de citerade arbetena.

34

4. De hela talen

Representation och komplexa tal

V i bekymrar oss nu inte vidare o m heltalens logiska bakgrund utan skall h ä r först ä g n a oss åt deras representation. A t t detta inte varit n å g o t trivialt problem för m ä n s k l i g h e t e n illustreras av det romerska siffersystemet. Detta var uppbyggt p å ett s å opraktiskt sätt alt det f ö r h i n d r a d e all utveckling av matemati- ken. V i ä r n u så vana v i d v å r t ursprungligen arabiska siffer- system, att vi aldrig ä g n a r en tanke åt alt det var svårt att hitta p å det. V a d v ä r r e ä r , v i har en tendens att blanda ihop siff- rorna, dvs. representationen av talen, med talen själva, och h ä r i g e n o m å s t a d k o m m e r v i med säkerhet förvirring hos v å r a barn n ä r de skall l ä r a sig r ä k n a .

T i l l detta kommer en ny o m s t ä n d i g h e t . I framtiden kommer datamaskiner att vara en integrerad del av vår tillvaro, och det kommer att vara betydelsefullt att kunna u m g å s naturligt med dem och f ö r h i n d r a att de blir v å r a herrar. Det ä r t ä n k v ä r t att s m å s k o l e b a r n e n s undervisning b ö r anpassas t i l l situationen i s a m h ä l l e t å r 1985. N u ä r datamaskinens naturliga talsystem baserat p å tvåsystemet, och f ö r att man skall kunna förstå sammanhanget k r ä v s en mindre mekanisk kunskap o m talen ä n den som för n ä r v a r a n d e läres ut.

V a r f ö r a n v ä n d e r vi 1 O-systemet, och v a r f ö r a n v ä n d s 2-syste- met i datamaskiner? Det ä r ingen tvekan om att v å r a 10 fingrar s p ö k a r bakom 1 O-systemet, men 10 ä r också ungefär en lämplig kompromiss mellan två motstridande effekter. I 2-systemet har v i en maximalt enkel multiplikationstabell att lära oss: 0 - 0 = 0;

0 - 1 = 0 , 1-0 = 0, 1-1 = 1, och få symboler att l ä r a oss att skriva (0 och 1), men å andra sidan skulle ett telefonnummer i Stock- holm b e s t å av 20 siffror, och försök att hitta p å ett s ä t t att

35