Resultatet meddelas p˚ a ”Mina sidor”. Via studentwebben kan man f˚ a informa- tion om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Tentamen i Matematik I - Differentialkalkyl Kurskod M0038M Tentamensdatum 2011-03-23

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00 – 14.00

Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Resultatet meddelas p˚ a ”Mina sidor”. Via studentwebben kan man f˚ a informa- tion om n¨ ar skrivningen finns att h¨ amta ut p˚ a studenttorget.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or Teknikvetenskap och matematik

1 (3)

Uppgift 1

(a) F¨ orenkla s˚ a l˚ angt som m¨ ojligt

ln(x ² − y ² ) − ln(x − y) . (2 p)

(b) Best¨ am alla l¨ osningar till

sin x = 2 cos x .

Svara i radianer. (2 p)

Uppgift 2

Best¨ am (a) lim

x→1

sin(x − 1) + x ² + x − 2

x − 1 (2 p)

(b) lim

x→∞

√ x ² + 1 − x (2 p)

(c) lim

x→0

e ^{2 x} − 1

x (2 p)

Uppgift 3

Givet f¨ oljande funktion

f (x) = 4 e ^−x

2 x + 3

(a) best¨ am alla asymptoter och lokala extrempunkter, till funktionen. (3 p) (b) Skissa funktionskurvan y = f (x) med hj¨ alp av analysen i deluppgift

(a). (2 p)

Uppgift 4

Givet kurvan

x = (y − 1) ln(y + 1)

best¨ am tangenten i (x, y) = (0, 1). Svara exakt, dvs inte med avrundade decimaltal.

Uppgift 5

Best¨ am den punkt p˚ a kurvan

y = 1 + x ^3/2

som ligger n¨ armast punkten (x, y) = (4, 1). (5 p)

2 (3)

Uppgift 6

L¨ os endast en av de f¨ oljande uppgifterna. Om du l¨ oser flera, f˚ ar du po¨ ang enligt den uppgift som gick s¨ amst.

Uppgift 6.1

Anv¨ and medelv¨ ardessatsen f¨ or att visa att f¨ oljande olikhet g¨ aller d˚ a x > 0 ln x ≤ x − 1

(5 p)

Uppgift 6.2 Visa att d

dx tan x = 1 + tan ² x, och sedan att d

dx arctan(x) = 1

1 + x ² (5 p) Uppgift 6.3

Best¨ am alla x som uppfyller olikheten

|x − 1| ≥ x ² − 3

(5 p)

3 (3)