1. L˚ at f (t) = |t| − t. Ber¨akna f

Lule˚ a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨ or matematik Linj¨ ar analys, 7.5hp.

Mikael Stenlund 19:e mars 2008. Tid: 5h.

Hj¨ alpmedel: Beta, mathematics handbook.

L¨ osningar skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja. M¨ ark varje l¨ osningsblad med namn och personnummer.

1. L˚ at f (t) = |t| − t. Ber¨akna f

, f

i distributionsmening (definition av distributionsderivata beh¨ over ej anv¨ andas) och faltningen f ∗ f

. Den faltning som anv¨ ands ¨ ar den sammma som

anv¨ ands i Fouriertransformen. (5p)

2. Best¨ am den funktion vars enkelsidiga Laplacetransform ¨ ar 2 − s

s

+ 4s + 8 . (5p)

3. a) Ber¨ akna konvergensintervall f¨ or potensserien X

x

e

. (3p)

b) Avg¨ or om X

1

n

+ ln(n) ¨ ar konvergent eller divergent. (2p) 4. Ber¨ akna en antikausal respektive en kausal l¨ osning till

d

y dt

+ dy

dt − 2y = H(t − 2) + δ

+ δ

− 2δ

med hj¨ alp av dubbelsidig Laplacetransform. H ¨ ar Heavisidefunktionen och δ ¨ ar Dirac’s delta- funktion.

5. Ber¨ akna ZZ

S

rot F · NdS d¨ar S ¨ar den del av ytan x

+ y

+ (z − 2)

= 8 som ligger ovanf¨ or xy- planet. N ¨ ar den ut˚ atriktade enhetsnormalen till S och F = y

cos(xz)i+x

e

j −e

k. (5p) L¨ os en och endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C.

6. A. Best¨ am med hj¨ alp av Fourierserier en allm¨ an l¨ osning till y

+ 2y

+ 5y = f (x), d¨ ar f (x) =

(

1, x ∈ [0, π/2]

0, x ∈ (−π/2, 0],

och f har periodl¨ angd π. (5p)

B. F¨ or Fouriertransform finns en identitet som kallas Plancherel’s formel vilket ¨ ar en motsvarighet till Parsevals likhet f¨ or Fourierserier. Den ser ut p˚ a f¨ oljande s¨ att

Z

−∞

|f(t)|

dt = 1 2π

Z

−∞

|F (w)|

dw. D¨ ar F (w) ¨ ar Fouriertransformen av f (t).

a) I denna del beh¨ over du inte anv¨ anda Plancherels formel ovan. Du skall bevisa att inversa Fouriertransformen av e

, a > 0 ¨ ar lika med

a π

1

a

+ t

, a > 0

(3p) b) I denna del skall du anv¨ anda Plancherels formel ovan f¨ or att ber¨ akna integralen

Z

−∞

1

(1 + t

)

dt,

exakt. Utnyttja resultatet i a). (2p)

C. Anv¨ and definitionen av dubbelsidig Laplacetransform L f¨or att h¨arleda f¨oljande formler.

a) L(f

(t))(s) = s L(f(t))(s) (2p)

b) L(tf(t))(s) = − d

ds L(f(t))(s) (3p)