INOM
EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP
STOCKHOLM SVERIGE 2021,
Effekter av utsläpp i flodmynningar
MARTIN BRATT
Sammanfattning
Hamnefjärden är ett havsområde utanför Oskarshamns kärnkraftverk som har en förhöjd temperatur jämfört med vad som har varit naturligt innan Oskarshamnsverket togs i bruk. Sedan dess har kylvattnet från
anläggningen påverkat ekologin med konstanta plymer av varmvattentillförsel med hög temperatur. I och med detta har påverkan av dessa utsläpp undersökts med hjälp av en sammanställning av litteratur gällande de fysikaliska och biologiska påverkningarna som skett på Hamnefjärden. Mätningar där Hamnefjärden jämförts med ett referensområde, visar att den lokala ekologin har påverkats av varmvattnet till en grad. Stora
temperaturskillnader i mynningen för kylvattnet visar på stor fysikalisk påverkan men de biologiska verkar mindre påtagliga.
Abstract
Hamnefjärden is a sea area outside of Oskarshamn nuclear powerplant which has an increased temperature compared to what was natural before the powerplant was started. Ever since the cooling water from the powerplant has been affecting the ecology with constant plumes of inflow with heated water. This discharge has thus been investigated by compiling literature about the physical and biological effects on Hamnefjärden.
Surveys, in which Hamnefjärden has been compared to a reference area, shows that the local ecology has been affected by the heated water somewhat. Large differences in temperature in the estuary of the coolingwater indicates large physical effects but the biological effects seem smaller.
Keywords
Strömningar, kylvatten, transportfenomen
Innehållsförteckning
Sammanfattning ... 2
Introduktion ... 1
Bakgrund ... 1
Syfte och Mål ... 2
Relevans. ... 2
Material och Metodik. ... 2
Resultat ... 2
Slutsats ... 11
Referenslista ... 12
Introduktion
Bakgrund
I Sverige förekommer olika metoder som har till syfte att göra sig av med överskott av varmvatten vid kylning av industriella processer eller lösta föroreningar. Flera av dessa innebär att överskottet släpps ut i en renare vattenmiljö och därmed sprids. Denna typ av teknisk lösning används bland annat vid kylning av kärnkraftverk där kärnkraftsreaktorn kyls av cirkulerande havsvatten som med hjälp av värmeväxling kyler systemet. När vattnet cirkulerat klart pumpas det tillbaka ut i havet. Vilka effekter detta får på vattenrecipienten sammanhänger med utsläppets temperatur samt de spridnings- och blandningsprocesser som uppträder i sjön eller havet. Ur vattenvårdssynpunkt är det önskvärt att den maximala temperaturen sjunker så snabbt som möjligt, alltså att koncentrationen av energi i recipienten reduceras. En effektiv metod som kan användas för att sänka koncentrationen är att släppa ut det varma vattnet i en stråle som drar till sig omgivande vatten vilket skapar en blandning av utsläppet samtidigt som det får strålen att svälla och därmed öka plymens kontaktyta (Cederwall, 1979).
Med Sveriges miljömål i åtanke är det av intresse att blandningsförloppet och strömningen i Sveriges flodmynningar övervakas och förstås. Tre av de 16 miljömålen är direkt anknutna till ekologin i flodmynningar. Dessa består av; Levande sjöar och vattendrag, Ingen övergödning, och Hav i balans samt levande kust och skärgård. I målet Levande sjöar och vattendrag framstår två preciseringar som extra relevanta: God ekologisk och kemisk status vilket innebär att sjöar och vattendrag har minst god ekologisk och kemisk status, samt preciseringen strukturer och vattenflöden vars syfte är att säkerställa att sjöar och vattendrag har strukturer som ger möjlighet till livsmiljöer och spridningsvägar för vilda växt- och djurarter (Havs-och-vattenmyndigheten, 2019).
Figur 1: Oskarshamnsverkets (OKG) geografiska läge 2 mil nordost om Oskarshamn (OKG Aktiebolag).
För att visa hur vatten strömmar kring flodmynningar används ett kylvattenutsläpp från ett kärnkraftverk i Oskarshamns kommun som påverkas av utsläppshastigheter, vind och temperatur.
Oskarshamnsverket är ett svenskt kärnkraftverk beläget 2 mil nordost om Oskarshamn på Simpevarpshalvön. Kärnkraftverket består av 3 kärnkraftsreaktorer, Oskarshamnsverket 1, 2, och 3.
Sedan 2017 är endast reaktor 3 i drift. Anläggningen drivs av OKG AB vilka ägs av Uniper samt Fortum. Hamnefjärden kallas havsområdet direkt utanför Simpevarpshalvön dit kylvattnet släpps ut via ett sund mellan Simpevarpshalvön och Ävrö där mynningen kallas för Hamnehålet (OKG Aktiebolag). Salthalten utanför Oskarshamnsverket är uppmätt till 0,6–0,7 % och området karaktäriseras av ett klippigt och öppet landskap. Kustområdet närmast Hamnehålet består främst av mjukbottnar medan havsområdet karaktäriseras av hårdare bottnar (Andersson et al., 2016).
Syfte och Mål
Detta arbete har till syfte att beskriva hur en ström av vätska med liknande men inte identiska egenskaper som omgivande vatten beter sig när den injekteras i ytvatten. Egenskaper dom viskositet och densitet beror både på temperatur och koncentrationen av lösta ämnen. Denna kunskap är applicerbar på exempelvis flodmynningar och utsläpp av kylvatten och renat avloppsvatten.
Därutöver ska de effekter som uppstår av utsläppet undersökas. Syftet väntas uppnås genom att sammanställa det hydrologiska och biologiska läget utanför Oskarshamnsverkets kylvattenutsläppsområde baserat på tidigare rapporter.
Relevans.
Då ekosystem över hela världen mer och mer påverkas av människan och dess aktiviteter har behovet av kunskap kring mänsklig påverkan på naturen ökat. Bland dessa påverkningar inkluderas globala klimatförändringar såväl lokala miljöförändringar (Törnroos et al., 2019). Akvatiska miljöer med förhöjda temperaturer förekommer ofta nedströms från punkter med kontinuerligt inflöde av varmvatten från exempelvis kraftverk. Onaturligt uppvärmda vattenområden kan vara spridningskälla för invasiva arter och parasiter från mer tropiska klimat. Vattnet skulle därmed kunna skada det biologiska livet inom ett stort område om det inte har möjlighet att anpassas till den omkringliggande miljön (Emde et al., 2016).
Material och Metodik.
En litteraturstudie där de matematiska förhållande kring strömningar i flodmynningar har studerats.
Utöver dessa förhållanden har en sammanställning gällande fiskebeståndet i Hamnefjärden utanför Oskarshamnsverket gjorts. Denna sammanställning utgår från tidigare utförda undersökningar med fokus på området och behandlar förändringar på djur och natur i form av temperaturplymer och fiskebestånd.
Resultat
Advektion
Advektion som härstammar från det latinska ordet advehere vilket betyder att flytta och baseras på idén att lösta partiklar förflyttas som en enhet med en medelhastighet av omgivande vätska. Detta antagande är i många fall användbart framför allt i situationer med finfördelade partiklar. I fall med större partiklar där varje enskild partikel är av större vikt krävs större hänsyn till inre varianser (Katopodes, 2019a).
Dispersion
Varje partikel i lösningen rör sig självständigt gentemot övriga partiklar och påverkas endast av den omgivande energin. Den omgivande energin varierar tillräckligt ofta för att det ska anses omöjligt att bestämma riktning och rörelse på partikeln. Detta leder till att det skapas spridningar i lösningen och samtliga partiklar rör sig alltså inte i samma riktning eller med samma fart. Detta fenomen kallas
dispersion. Dispersionen av masstransporten indikerar hur massan sprider sig gentemot medelhastigheten (Katopodes, 2019a).
Konvektion
Konvektion används ofta synonymt med advektion i fallet med masstransport medan det har en annorlunda betydelse i termiska fall. Där definieras konvektion ofta som en kombinerad effekt av advektion och konduktion. Skillnaden mellan advektion och konvektion blir då att konvektion har ett aktivt hastighetsfält som varierar beroende av kvantiteten (Katopodes, 2019a).
Viskositet
För fluider med relativt låg molekylär vikt är det viskositeten som karaktäriserar fluidens förmåga att ändra form och anpassa sig till omgivningen. Viskositeten hos en vätska är en funktion av fluidens kemiska egenskaper samt temperatur (Bird, 2002).
Recipienthydraulik
Beskrivningen av naturliga flöden är baserade på matematiska modeller om konserveringslagar för rörelsemängd, massa, och energi. Dessa relationer kan däremot inte ge information om attribut på mikroskopisk nivå som exempelvis densitet, viskositet, temperatur eller lösningskoncentration (Katopodes, 2019a).
Blandningen av strålflödet kan delas in i två kategorier, naturliga blandningsförlopp samt initial blandning. Till de naturliga blandningsförloppen hör turbulent diffusion, vilket är ett blandnings- och transportförlopp som bildas på grund av turbulensen i flödet, samt konvektiva transport vilket är ett begrepp som beskriver hur något sprids i riktning med det allmänna flödet. Det initiala blandningsförloppet domineras av att utsläppen har en viss hastighet då den injekteras i vattenrecipienten samtidigt som den även kan ha densitetsskillnader. Det är endast turbulenta strålflöden som är av praktisk betydelse då strålflödena nästan alltid är turbulenta (Cederwall, 1979).
Utöver den naturliga blandningen, blandas vattnet initialt av stor turbulens när vattnet först kan expandera i recipientvolymen. Den initiala blandningen påverkas kraftigt kraftigt av utsläppsförhållanden (Cederwall, 1979).
Naturlig blandning
Blandningar i naturen uppstår oftast av både turbulent diffusion och konvektion. Konvektionen kommer från naturliga vattenrörelser, exempelvis strömmar. En massbalans med en lokal tidsvariation av koncentration och densitet tillsammans med förändringar i x, y, z-led leder till följande samband:
Ekvation 1
[ Lokal
tidsvariation] + [Konvektiva transporttermer i x, y, z-led ] = 0
Om koncentrationen betecknas c kan ovanstående även skrivas så som nedan där u, v, och w motsvarar rörelser i de tre koordinatriktningarna. (Cederwall, 1979)
Ekvation 2
𝜕(𝑐 ∙ 𝜌)
𝜕𝑡 +𝜕(𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑢)
𝜕𝑥 +𝜕(𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑣)
𝜕𝑦 +𝜕(𝑐 ∙ 𝜌 ∙ 𝑤)
𝜕𝑧 = 0
Denna ekvation kan endast användas då den molekylära diffusionen är försumbar med hänsyn till den stora omblandningen som sker på grund av turbulens (Fischer 1966, 6). Med inkompressibel strömning förändras ej densiteten med tiden vilket leder till att ovanstående ekvation kan förenklas till
Ekvation 3
𝜕𝑐
𝜕𝑡+ (𝑢 ∙𝜕𝑐
𝜕𝑥+ 𝑐 ∙𝜕𝑢
𝜕𝑥) + (𝑣 ∙𝜕𝑐
𝜕𝑦+ 𝑐 ∙𝜕𝑣
𝜕𝑦) + (𝑤 ∙𝜕𝑐
𝜕𝑧+ 𝑐 ∙𝜕𝑤
𝜕𝑧) = 0
De momentana värdena kan delas upp i två termer, tidsmedelvärden (𝑢̅) samt momentana avvikelser (𝑢′). De momentana avvikelserna representerar fluktuationer som uppstår i turbulensen.
Ekvation 4
𝑢 = 𝑢̅ + 𝑢′, 𝑣 = 𝑣̅ + 𝑣′, 𝑤 = 𝑤̅ + 𝑤′, 𝑐 = 𝑐̅ + 𝑐′ När dessa tillämpas i ovan nämnda massbalans erhålls Ekvation 5 nedan.
Ekvation 5
𝜕(𝑐̅)
𝜕𝑡 + 𝑢̅𝜕(𝑐̅)
𝜕𝑥 + 𝑣̅𝜕(𝑐̅)
𝜕𝑦 + 𝑤̅𝜕(𝑐̅)
𝜕𝑧 = 𝜕
𝜕𝑥(𝐸𝑥𝜕𝑐̅
𝜕𝑥) + 𝜕
𝜕𝑦(𝐸𝑦𝜕𝑐̅
𝜕𝑦) + 𝜕
𝜕𝑧(𝐸𝑧𝜕𝑐̅
𝜕𝑧)
Detta samband, även kallat den allmänna ekvationen för turbulent diffusion (Cederwall, 1979) beskriver, till vänster, konvektionen längs med strömlinjen samt, till höger, diffusionen mellan strömlinjerna (Fischer, 1966). Då turbulensen är olika i olika riktningar
Turbulens
Om vattnet som kommer från flodmynningen förenklas som en stråle ut i en större kropp måste fenomenet turbulens tas med i beräkningarna. Ett turbulent flöde är till motsats mot ett laminärt flöde kaotiskt med stora fluktuationer i fart och riktning. Detta skapar svåra beräkningar som beror av stokastiska variabler. Från strålen kan olika observationer göras, strålens bredd, hastigheter längs centrallinjen samt massflöden genom strålens snittyta (Bird, 2002).
Corioliseffekten
Bland de externa effekter som påverkar beteendet av plymer vid flodmynningar räknas corioliseffekten som en av de viktigare. På grund av jordens rotation avleder strömmar åt höger på det norra halvklotet vilket i praktiken innebär att strömmar längs Sveriges ostkust vrider söderut.
(Cvetkovic et al., 2008). Strömmar med en medelhastighet på 1 m/s behöver mätas över 100 km för att påverkas av jordens rotation medan strömmar med en medelhastighet på 0,1 m/s bara behöver mätas över en sträcka på 10 km (Katopodes, 2019a).
Skiktning och blandning
I fall av skillnader i densitet, exempelvis vid skillnader i saltnivå eller temperatur, bildas lager i flodmynningen. Sådana lager påverkar bland annat ackumulationen av näringsämnen och föroreningar, nedbrytningen av biomassa, samt syrenivån i vattnet. Skiktgränsen eller haloklinen fungerar som kontaktyta mellan två kroppar och blandningen sker främst längs haloklinen samt längs flodmynningens yttre gränser. Skiktningen kan se ut på flera olika sätt. Ett vanligt tillstånd är horisontell skiktning vilket innebär att vatten med exempelvis högre temperatur lägger sig ovanpå kallare vatten; vilket är vanligt på sommaren när ytvatten värms upp. I flodmynningar bildas ofta en mer vertikal skiktning där sötvatten från en älv trycks ut i ett saltare havsvatten (Cvetkovic et al., 2008).
I östersjön kan skiktningen grovt delas upp i fyra lager; ett ytskikt, ett mellanskikt, ett djupvattenskikt, och eventuellt ett bottenvattenskikt. Det översta ytskiktet bildas under vår och sommar med en tjocklek på 1–30 meter och jämförelsevist låg salthalt. Under vinterhalvåret försvinner skillnaden mellan ytvattenskiktet och mellanskiktet då den främsta skillnaden mellan dessa är temperaturen. Salthalten i mellanskiktet är lika låg som i ytvattenskiktet med en salthalt runt
0,6–0,7 %. Djupvattenskiktet börjar sedan på ett djup kring 50–60 meter under ytan och har en högre salthalt än mellanskiktet samtidigt som det har en stabil temperatur på 4–5 grader. Det lägsta lagret bottenvattenskiktet med en än högre salthalt än djupvattenskiktet (Wickström, 1990).
Vind
Vattenströmningen påverkas dessutom av skjuvspänningar av vinden där gränsytan deformeras av korsande strömmar av luft och vatten vilket drastiskt förändrar dynamiken. När vindstyrkan når en viss styrka bildas dessutom vågor som ger ytterligare möjlighet för vinden att påverka
vattenströmningen (Katopodes, 2019b). Typiska värden av vinddrivna ytströmningar är omkring 10 centimeter per sekund i östersjön. Mätningar från Ävrö, Oskarshamn, från 1975–1976 visar att strömmar parallella med kusten är vanligare än ost-västliga strömmar. Nord och sydgående strömmar är däremot lika förekommande (Wickström, 1990).
Värmeflöden
Värmeflödet genom olika material varierar beroende på vilket material som används. Exempelvis anses vatten vara en värmeledare medan luft anses vara ett isolerande medium. Den fysikaliska processen som beskriver denna värmeledningsförmåga är konduktivitet och skrivs matematiskt k.
Fouriers lag ger ett samband mellan konduktiviteten samt värmetransporten mellan två punkter med olika temperatur. Då energi även kan transporteras via advektion måste även energitransporter beaktas (Bird, 2002).
Transportfenomen
Problem inom transportfenomen studeras ofta från tre utgångspunkter; fluidmekanik som studerar transporten av rörelsemängd, värmetransport som studerar transporten av energi, samt massöverföring som studerar transporten av massa (Bird, 2002). Utöver dessa utgångspunkter präglas transportfenomen av en rörelse mot jämvikt vilken härstammar i termodynamikens lagar (Batchelor, 2000). Normalt används komplexa och processorkrävande numeriska beräkningar för att lösa dessa i 3-dimensionella geometrier. Att lösa flödesproblem på detta vis kallas Computational Fluid Dynamics (CFD) (Cvetkovic et al., 2008). En kontrollvolym definieras som en rymd, omgiven av en begränsningsyta, som är fast i förhållande till ett referenssystem (Cederwall, 1979). Det finns ingen universell kontrollvolym utan kontrollvolymen bestäms med hänsyn till problemets behov (Cvetkovic et al., 2008).
Ekvationen för bevarade av massa eller kontinuitetsekvtionen baseras på en massbalans över kontrollvolymen (Cvetkovic et al., 2008) där Error! Not a valid bookmark self-reference. leder till Error! Reference source not found. via steg som presenteras i appendix A.1.
Ekvation 6
[Förändringen
av massa ] = [Massa
in ] − [Massa ut ] Ekvation 7
𝐷𝜌
𝐷𝑡 = −𝜌(𝛁 ∙ 𝐯) Den substantiella derivatan (𝐷
𝐷𝑡) av densiteten (𝜌) som presenteras i Ekvation 7 motsvarar den förändringen av massa i Ekvation 6 ovan. Om fluiden antas vara inkompressibel förändras inte densiteten och 𝐷𝜌
𝐷𝑡 blir då 0.
Precis som kontinuitetsekvationen bygger rörelseekvationen på en skalbalans men i stället för en skalbalans över massan är det en över de krafter som påverkar kontrollvolymen. Appendix A.2.
förklarar i närmare detalj stegen från Ekvation 8 till Ekvation 9.
Ekvation 8
[Förändringen av
rörelsemängd ] = [Rörelsemängd
in ] − [Rörelsemängd
ut ] + [Yttre krafter på vätskan ] Ekvation 9
𝜌𝐷𝐯̅
𝐷𝑡= −𝛁𝑝̅ − [𝛁 ∙ (𝛕̅(𝒗)+ 𝛕̅(𝒕))] + 𝜌𝐠
Även här används den substantiella derivatan men nu av den tidsutjämnade hastigheten (𝐯̅) och densiteten. Trycket (𝑝̅) och den viskösa rörelsemängdsensorn (𝛕̅) används tillsammans med gravitationsaccelerationen (𝐠) i Ekvation 9.
Ekvation 10
[𝐹ö𝑟ä𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
𝑎𝑣 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 ] = − [ö𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
𝑓𝑟å𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 ] − [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘 ] − [
𝑅𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑣 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑡𝑖𝑙𝑙
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
] − [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑣𝑖𝑠𝑘𝑜𝑠𝑖𝑡𝑒𝑡 ]
− [
𝐼𝑟𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔
𝑎𝑣 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
] + [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑦𝑡𝑡𝑟𝑒 𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝑒𝑟]
Den tidsutjämnade ekvationen för energi med fokus på temperatur (𝑇̅) och med konstant viskositet (𝜇), densitet (𝜌), och värmekapacitet (𝐶̂𝑝) beskrivs matematiskt enligt Ekvation 11.
Ekvation 11
𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇̅
𝐷𝑡 = − (𝛁 ∙ (𝐪̅(𝑣)+ 𝐪̅(𝑡))) + 𝜇(𝚽̅𝒗(𝑣)+ 𝚽̅𝒗(𝑡))
Den tidsutjämnade värmeledningsfunktionen (𝐪̅) beräknas med hjälp av Fouriers lag i Appendix A.3. Viskositeten (𝜇) och den tidsutjämnade rörelsemängden (𝚽̅ ) används också.
Vattenströmmars påverkan av utsläppshastighet vind och temperatur.
Resultatet som visas här illustrerar de plymliknande formationer som bildas där det varma vattnet med avvikande densitet breddas med ökande avstånd från injektionspunkten och bromsar upp ju längre från punktkällan det rör sig. Vattnet förväntas dessutom stiga uppåt på grund av en lägre densitet härstammandes från temperaturskillnader och skillnader i salthalt.
Resultatet bygger på tidigare rapporter från området Oskarshamns kärnkraftverk vilka analyserats för att ge en sammanställd rapport om hur strömningen ter sig samt påverkar de akvatiska förhållandena i vattenrecipienten. De rapporter som använts baseras på empiriska data från provtagningar i området kring Oskarshamnsverket.
Figur 2. Fem temperaturplymer vid olika bakgrundstemperaturer, vindstyrka, vindriktning, och utsläppt värmemängd från Oskarshamnsverket (Wickström, 1990).
Figur 2 visar att värmespridningen från kylvattnet ut i vattenrecipienten tydligt påverkas av bakgrundstemperaturen i området. I fallet 75-09-09 med bakgrundstemperaturen 13,5 °C syns en
markant avkylning från 20 °C till 14,5 °C över avståndet en kilometer vilket kan jämföras med övriga plymer där den sjunker till cirka 17,5 °C på samma avstånd. Värt att notera är dock att samtliga plymer ligger cirka 1 °C över bakgrundstemperaturen en kilometer ut från mynningen i dess längsta plymriktning.
Från mätningar gjorda 1972 har både temperatur samt strömningsgradienter uppmäts vid Oskarshamnsverkets utlopp. Intressant är att studera Figur 4: Isotermer och hastighetsvektorer från Oskarshamnsverkets kylvattenutsläpp 1972-10-01 (Lindahl et al., 1972).Figur 4 och Figur 5 där vinden uppmäts i motsatt riktning. Här syns tydligt hur vinden påverkar vattenströmningarna även på en meters djup. Den sydostliga vinden i Figur 4 trycker upp plymen mot mynningen och leder till en betydligt mindre plym än i fallet med nordvästlig vind.
Figur 3: Isotermer och hastighetsvektorer från Oskarshamnsverkets kylvattenutsläpp 1972-09-30 (Lindahl et al., 1972).
Figur 4: Isotermer och hastighetsvektorer från Oskarshamnsverkets kylvattenutsläpp 1972-10-01 (Lindahl et al., 1972).
Figur 5: Isotermer och hastighetsvektorer från Oskarshamnsverkets kylvattenutsläpp 1972-10-02 (Lindahl et al., 1972).
I Neumans rapport om fiskfauna har mätningar utförts där bland annat gälnät placerats i Hamnefjärden samt på fyra platser i området kring Oskarshamnsverket för referensmätningar. I Anderssons rapport har mätningar gjorts på ungefär samma platser som Neuman. Notera dock att metoderna skiljer sig mellan dem båda.
Figur 6: Karta över området utanför
Oskarshamnsverket där mätningar på fiskpopulation gjorts (Neuman, 1983).
Figur 7: Karta över området utanför Oskarhamnsverket där mätningar på
fiskpopulationen gjorts (Andersson et al., 2016).
Figur 8: Diagram över förekomsten av olika fiskarter utanför Oskarshamnsverket efter och före att kärnkraftverket och dess kylvattenutsläpp togs i bruk. I svart presenteras antal fångster (antal / försök) efter kraftverket togs i bruk, i vitt presenteras samma statistik före att kraftverket togs i bruk. De fiskarter som studerats är från vänster; abborre (Perch), skrubbskädda (Flounder), mört (roach), björkna (silver bream), rötsimpa (sea scorpion), och gers (ruffe) (Neuman, 1983).
Fiskarterna kan delas upp i varm- och kallvattenfiskar, abborre och björkna kan anses vara varmvattenfiskar medan rötsimpa klassas som en typisk kallvattenfisk. Skrubbskädda och gers placeras mellan kall- och varmvattenfisk och lever relativt jämnfördelat i båda förhållanden (Neuman, 1983). Detta reflekteras väl i Figur 8 där förekomsten av abborre visas ha ökat efter att kylvattnet släppts ut i Hamnefjärden. Detta överensstämmer med Anderssons slutsatser att artrikedomen av abborre har ökat i kylvattenpåverkade områden sedan 1960-talet (Andersson et al., 2016). Likväl har förekomsten av rötsimpa sjunkit vilket stämmer överens med förväntningarna men något förvånande att förekomsten av gers sjunkit i den grad den gjort.
Figur 9: Artsammansättning i provområdena prövade av SLU (Andersson et al., 2016).
Abborre, mört, och björkna utgör mellan 80 och 90 procent av fiskbeståndet i både Hamnefjärden och Anderssons referensområden. Den biologiska mångfalden i Hamnefjärden har sedan 1973 ökat för testfisket som gjorts på våren men minskat på sommaren enligt Shannon-Wieners diversitetindex (Andersson et al., 2016).
Ål-beståndet gynnas normalt av högre temperaturer men har varken ökat eller sjunkit nämnvärt sedan 1988. Antal ålar som infesterats av parasiten parasiten Anguillicoloides crassus, har inte heller förändrats undermätperioden (Andersson et al., 2016). Parasiten som infesterar gulålar, påträffades första gången 1988 i Hamnefjärden och har sedan dess varit etablerad där (Andersson et al., 2016).
Parasiten härstammar från sydost-Asien men har importerats till området via taiwanesiska ålar (Géraldine et al., 2012). Parasiter och arter från tropiska klimat kan normalt sett inte spridas till Sverige oavsett vilka lokala förhållanden som råder men med hjälp av import kan de introduceras till områden (Emde et al., 2016).
Slutsats
Plymerna som kylvattnet skapar i området har en tendens att böja söderut, detta stämmer överens med vad som bör ske av corioliseffekten, även effekter av vind kunde noteras påverka plymerna. En simulering av flödet har ej kunnat göras men hade bidragit till resultatet. Temperaturen närmast mynningen är väldigt hög, ca 20°C, men verkar inte ha förstört ekologin i området.
Varmvattenutsläppet i Oskarshamn har däremot påverkat ekologin i Hamnefjärden så att förekomsten av exempelvis rötsimpa vilken anses gynnas av kallare vatten har minskat jämfört med referensområdet. Detta stämmer överens med förväntningarna men fiskarten gers trivs tydligt i det varma vattnet vilket inte är vad förväntas. Ingen skillnad på varken ål-beståndet eller antalet ålar som infesterats av parasiter verkar ha skett under åren. Eventuellt kan detta bero på en väldigt snabb utveckling innan de första parasiterna påträffats och att den stora skadan därmed skulle vara gjord innan den började mätas. I arbetet har begränsningar till Oskarshamnsverket gjorts med fokus på kylvatten och värmedistribution, lämpligen hade även andra typer av transportfenomen kunnat undersökas, exempelvis reningsvatten. Då inga simuleringar har gjorts kan det här arbetet anses ganska meningslöst och inte tillföra något utom som en kortfattad beskrivning av kylvattensituationen i Hamnefjärden.
Referenslista
ANDERSSON, J., BRYHN, A., FRANZEN, F. & JONSSON, A.-L. 2016. Biologisk recipientkontroll vid Oskarshamns kärnkraftverk. Sammanfattande resultat av undersökningar fram till år 2014. Aqua reports 2016:3. Öregrund: Institutionen för akvatiska resurser.
BATCHELOR, G. K. 2000. An introduction to fluid dynamics, Cambridge, Cambridge : Cambridge University Press.
BIRD, R. B. 2002. Transport phenomena, New York, New York : Wiley.
CEDERWALL, K. 1979. Hydraulik för väg- och vattenbyggare, Malmö, Malmö : LiberLäromedel.
CVETKOVIC, V., MARTINET, P., BARESEL, C., LINDGREN, G., NIKOLIC, A., MOLIN, S. &
CARSTENS, C. 2008. Environmental Dynamics: An introduction to modeling anthropogenic impact on natural systems.
EMDE, S., KOCHMANN, J., KUHN, T., DÖRGE, D. D., PLATH, M., MIESEN, F. W. & KLIMPEL, S.
2016. Cooling water of power plant creates “hot spots” for tropical fishes and parasites.
Parasitol Res, 115, 85-98.
FISCHER, H. B. 1966. Longitudinal dispersion in laboratory and natural streams. W. M. Keck Laboratory of Hydraulics and Water Resources Report. Pasadena, CA.
GÉRALDINE, F., PIERRE, S., GABRIEL, M., RAYMONDE, L.-F. & HÉLÈNE, M. 2012. Swim Bladder Nematodes (Anguillicoloides crassus) Disturb Silvering In European Eels (Anguilla anguilla). J Parasitol, 98, 695-705.
HAVS-OCH-VATTENMYNDIGHETEN 2019. Levande sjöar och vattendrag: Fördjupad utvärdering av miljökvalitetsmålen 2019. Göteborg: Göteborg: Havs- och vattenmyndigheten.
KATOPODES, N. D. 2019a. Free-surface flow : environmental fluid mechanics, Oxford, United Kingdom ; Cambridge, MA : Butterworth-Heinemann, An imprint of Elsevier.
KATOPODES, N. D. 2019b. Free-surface flow : shallow water dynamics, Kidlington, Oxford, United Kingdom : Butterworth-Heinemann, an imprint of Elsevier.
LINDAHL, S., NILSSON, Å., NORDSTRÖM, A. & NYGREN, K. 1972. Spridning av kylvatten från Oskarshamns kärnkraftverk. En fältstudie. Chalmers tekniska högskola.
NEUMAN, E. 1983. Thermal Discharge and Fish Fauna in Sweden. Water science and technology, 15, 67-87.
OKG AKTIEBOLAG. OKG – stolt leverantör av säker el [Online]. Available:
http://www.okg.se/sv/Om-OKG/ [Accessed 2020-10-06].
TÖRNROOS, A., PECUCHET, L., OLSSON, J., GÅRDMARK, A., BLOMQVIST, M., LINDEGREN, M. & BONSDORFF, E. 2019. Four decades of functional community change reveals gradual trends and low interlinkage across trophic groups in a large marine ecosystem. Glob Chang Biol, 25, 1235-1246.
WICKSTRÖM, K. 1990. Oskarshamnsverket; Kylvattenutsläpp i havet. Oceanografi 34. Norrköping.
Appendix A
Förkortningar och symboler
c Koncentration
𝐠 gravitationsacceleration i vektorformat
𝑝 Tryck
t Tid
𝑇 Temperatur
u Fart i riktning x
v Fart i riktning y
w Fart i riktning z
v Hastighet i vektorformat
𝒒 Värmeflöde
ρ Densitet
𝜇 Viskositet
𝚽 Rörelsemängd
𝝅 Molekylär rörelsemängd
τ Viskös rörelsemängd
𝐶̂𝑝 Värmekapacitet
𝐻̂ Entalpi
𝑈̂ Intern energi
𝚽̂ Potentiell energi per massa
Appendix B
Ekvationer
B.1 Konservering av massa
Kontinuitetsekvationen baseras på en massbalans där kroppens massförändring beaktas.
Ekvation 12
[Förändringen
av massa ] = [Massa
in ] − [Massa ut ]
Figur 10: Fixerat volymelement med två pilar som indikerar massflödena genom de skyggade snittytorna vid x och x + Δx. (Bird, 2002)
Massan in per tidsenhet kan uttryckas som produkten av vätskans densitet, inflödeshastighet, samt tvärsnittsarean den flödar genom. Kontrollvolymen kan beskrivas som ∆x ∙ ∆y ∙ ∆z medan tvärsnittsareorna lämpligen beskrivs med ∆x∆y, ∆y∆z, samt ∆x∆z. Därmed kan massbalansen i ovan beskrivas med matematiska termer enligt:
Ekvation 13
∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜕𝜌
𝜕𝑡 = ∆𝑦∆𝑧[(𝜌𝑢)|𝑥− (𝜌𝑢)|𝑥+∆𝑥] + ∆𝑥∆𝑧[(𝜌𝑣)|𝑦− (𝜌𝑣)|𝑦+∆𝑦] + ∆𝑥∆𝑦[(𝜌𝑤)|𝑧− (𝜌𝑤)|𝑧+∆𝑧] Division av Ekvation 13 med ∆x∆y∆z leder till en explicit form av densitetsförändringen.
Ekvation 14
𝜕𝜌
𝜕𝑡 =[(𝜌𝑢)𝑥− (𝜌𝑢)𝑥+∆𝑥]
∆𝑥 +[(𝜌𝑣)𝑦− (𝜌𝑣)𝑦+∆𝑦]
∆𝑦 +[(𝜌𝑤)𝑧− (𝜌𝑤)𝑧+∆𝑧]
∆𝑧
Förenklingar av Ekvation 12 leder till Ekvation 15 vilken beskriver kontinuitetsekvationen i matematiska termer. Ekvation 15 i vektorform visas i Ekvation 16.
Ekvation 15
𝜕𝜌
𝜕𝑡 = − (𝜕
𝜕𝑥𝜌𝑢 + 𝜕
𝜕𝑦𝜌𝑣 + 𝜕
𝜕𝑧𝜌𝑤) I vektorformat skriv Ekvation 15 enligt Ekvation 16.
Ekvation 16
𝜕𝜌
𝜕𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝜌𝐯) Den substantiella derivatan blir då enligt Ekvation 17.
Ekvation 17
𝐷𝜌
𝐷𝑡 = −𝜌(𝛁 ∙ 𝐯)
För inkompressibla fluider förändras inte densiteten och Ekvation 17 skrivs då som Ekvation 18.
Ekvation 18
𝜌(𝛁 ∙ 𝐯) = 0
(Bird, 2002)
B.2 Konervering av rörelsemängd
Figur 11: Fixerat volymelement Δx Δy Δz med sex pilar som indikerar riktningen för x komponenten av varje term av rörelsemängden genom ytan. Den skuggade ytan är placerad vid x och x + Δx. (Bird, 2002)
Balansen för rörelsemängd över volymelementen ∆x, ∆y, ∆z kan beskrivas som:
Ekvation 19
[Förändringen av
rörelsemängd ] = [Rörelsemängd
in ] − [Rörelsemängd
ut ] + [Yttre krafter på vätskan ]
Då två ytor är vertikala mot samma koordinataxel kommer tre ekvationer med riktningarna x, y, z kunna bildas. Rörelsemängd som uppdelas på sina vektorkomponenter ska utvärderas över kontrollvolymen genom de begränsningsytor de är normala mot. Det kombinerade flödet av rörelsemängd som tränger in i kontrollvolymen i x-led genom begränsningsytan vinkelrät mot x-axeln betecknas härmed Φ𝑥𝑥 och rörelsemängden parallellt längs x-axeln betecknas Φ𝑦𝑥 respektive Φ𝑧𝑥. Liknande görs för rörelsemängd i y- och z-led.
Ekvation 20
∆𝑥∆𝑦∆𝑧 𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑢 = ∆𝑦∆𝑧(Φ𝑥𝑥|𝑥− Φ𝑥𝑥|𝑥+∆𝑥) + ∆𝑥∆𝑧(Φ𝑦𝑥|𝑦− Φ𝑦𝑥|𝑦+∆𝑦) + ∆𝑥∆𝑦(Φ𝑧𝑥|𝑧− Φ𝑧𝑥|𝑧+∆𝑧) + ∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜌𝑔𝑥
Ekvation 21
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑢 =(Φ𝑥𝑥|𝑥− Φ𝑥𝑥|𝑥+∆𝑥)
∆𝑥 +(Φ𝑦𝑥|𝑦− Φ𝑦𝑥|𝑦+∆𝑦)
∆𝑦 +(Φ𝑧𝑥|𝑧− Φ𝑧𝑥|𝑧+∆𝑧)
∆𝑧 + 𝜌𝑔𝑥
Om limes för ∆x, ∆y, och ∆z tillåts gå mot noll samtidigt som motsvarande ekvationer för y- och z-led bildas resulterar detta i att följande tre ekvationer i respektive koordinatriktning kan presenteras:
Ekvation 22
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑢 = − (𝜕
𝜕𝑥Φ𝑥𝑥+ 𝜕
𝜕𝑦Φ𝑦𝑥+ 𝜕
𝜕𝑧Φ𝑧𝑥) + 𝜌𝑔𝑥 Ekvation 23
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑣 = − (𝜕
𝜕𝑥Φ𝑥𝑦+ 𝜕
𝜕𝑦Φ𝑦𝑦+ 𝜕
𝜕𝑧Φ𝑧𝑦) + 𝜌𝑔𝑦 Ekvation 24
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑤 = − (𝜕
𝜕𝑥Φ𝑥𝑧+ 𝜕
𝜕𝑦Φ𝑦𝑧+ 𝜕
𝜕𝑧Φ𝑧𝑧) + 𝜌𝑔𝑧 Dessa tre ekvationer kan även skrivas i vektorform enligt Ekvation 25.
Ekvation 25
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑣 = −[𝛁 ∙ 𝚽] + 𝜌𝐠 Där termen 𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑣𝑖 är rörelsemängd per volymenhet i en punkt av vätskan, termen −[∇ ∙ 𝚽]𝑖 är en vektor som beskriver gradienten av rörelsemängden och termen 𝜌𝑔𝑖 är de externa krafterna som verkar på vätskan. Rörelsemängden kan vidare delas upp i molekylär och konvektiv transport enligt Ekvation 26 där (𝝅) motsvarar den molekylära transporten och (𝜌𝐯𝐯) den konvektiva transporten.
Ekvation 26
𝚽 = 𝝅 + 𝜌𝐯𝐯 = 𝑝𝜹 + 𝛕 + 𝜌𝐯𝐯
När denna ekvation appliceras i Ekvation 25 erhålls rörelsemängdsekvationen i Ekvation 27.
Ekvation 27
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝐯 = [𝛁 ∙ 𝜌𝐯𝐯] − 𝛁𝑝 − [𝛁 ∙ 𝛕] + 𝜌𝐠 Den substantiella tidsderivatan av 𝐯 skrivs däremot enligt Ekvation 28.
Ekvation 28
𝜌𝐷𝐯
𝐷𝑡 = −𝛁𝑝 − [𝛁 ∙ 𝛕] + 𝜌𝐠
Det tidsutjämnade uttrycket för den substantiella derivatan av 𝐯 lyder enligt Ekvation 29. (𝛕) omvandlas till (𝛕̅(𝒗)+ 𝛕̅(𝒕)) och (𝐯) och (𝑝) omvandlas till de tidsutjämnade varianterna (𝐯̅) respektive (𝑝̅).
Ekvation 29
𝜌𝐷𝐯̅
𝐷𝑡 = −𝛁𝑝̅ − [𝛁 ∙ (𝛕̅(𝒗)+ 𝛕̅(𝒕))] + 𝜌𝐠 (Bird, 2002)
B.3 Energi Mekanisk energi
Den mekaniska energin i ett system påverkas av olika termodynamiska och kinetiska processer.
Ekvation 30
[𝐹ö𝑟ä𝑛𝑑𝑟𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 ]
= − [ö𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑎𝑣 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
𝑓𝑟å𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 ] − [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑡𝑟𝑦𝑐𝑘 ] − [
𝑅𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑣 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
𝑡𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖 ]
− [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑣𝑖𝑠𝑘𝑜𝑠𝑖𝑡𝑒𝑡 ] − [
𝐼𝑟𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑏𝑒𝑙 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑎𝑣 𝑘𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑠𝑘 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
𝑡𝑖𝑙𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖
] + [𝐴𝑟𝑏𝑒𝑡𝑒 𝑓𝑟å𝑛 𝑦𝑡𝑡𝑟𝑒 𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡𝑒𝑟]
Detta uttryck i matematiska termer lyder enligt Ekvation 31.
Ekvation 31
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2) = − (𝛁 ∙1
2𝜌𝑣2𝒗) − (𝛁 ∙ p𝐯) − 𝑝(−𝛁 ∙ 𝐯) − (𝛁 ∙ [𝝉 ∙ 𝒗]) − (−𝝉: 𝛁𝐯) + 𝜌(𝒗 ∙ 𝒈) Sista termen i uttrycket vilken beskriver den potentiella energin kan skrivas enligt Ekvation 32. När den sedan appliceras i Ekvation 31 erhålls Ekvation 33.
Ekvation 32
𝜌(𝒗 ∙ 𝒈) = −(𝜌𝒗 ∙ 𝛁𝚽̂ ) = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) + 𝚽̂ (𝛁 ∙ 𝚽̂ 𝜌𝒗) = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) − 𝚽̂𝜕𝜌
𝜕𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) − 𝜕
𝜕𝑡(𝜌𝚽̂ ) Ekvation 33
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝚽̂ ) = − (𝛁 ∙ (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝚽̂ ) 𝒗) − (𝛁 ∙ p𝐯) − 𝑝(−𝛁 ∙ 𝐯) − (𝛁 ∙ [𝝉 ∙ 𝒗]) − (−𝝉: 𝛁𝐯) Fouriers lag och konduktion
Grundantagandet i fouriers lag är att värmeflödet Q över arean A är proportionell mot
temperaturskillnaden ∆𝑇 över avståndet Y. Proportionalitetskonstanten k är konduktiviteten i mediet.
Ekvation 34
𝑄 𝐴= 𝑘∆𝑇
𝑌
En omskrivning av ekvation Ekvation 34 ger Ekvation 35 vilken kan skrivas i vektorformat enligt Ekvation 36.
Ekvation 35
𝑞𝑦= −𝑘𝑑𝑇 𝑑𝑦
Ekvation 36
𝒒 = −𝑘𝛁𝑇
I turbulenta strömningar används däremot en variant av Fouriers lag där tidsvriationer har tagits i beaktande.
Ekvation 37
𝑞̅𝑟(𝑡)= −𝑘(𝑡)𝑑𝑇̅
𝑑𝑟 Termisk diffusion 𝛼, 𝐶̂𝑝 värmekapacitet samt densiteten 𝜌.
𝛼 = 𝑘 𝜌𝐶̂𝑝
𝑃𝑟 prandtls tal, 𝑣 kinematisk viskositet, 𝜇 dynamisk viscositet
𝑃𝑟 =𝑣 𝛼=𝐶̂𝑝𝜇
𝑘 Konvektiv energitransport
Den interna energin i ett system kan tolkas på två vis; antingen enligt kontinuumhypotesen där den interna energin bestäms av densiteten och temperaturen vid jämvikt. Från ett molekylärt perspektiv är den interna energin summan av den kinetiska energin, den intermolekylära potentialen och den intermolekylära energin.
(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝑣𝑥𝑑𝑆 𝑣𝑥𝑑𝑆 volymflöde över arean vertikal mot x-axeln, 1
2𝜌𝑣2 kinetisk energi per volymenhet, 𝜌𝑈̂ intern energi per volymenhet.
(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝜹𝑥𝑣𝑥+ (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝜹𝑦𝑣𝑦+ (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝜹𝑧𝑣𝑧= (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝒗
Arbete från molekylrörelser Ekvation 38
𝑑𝑊 = (𝑭 ∙ 𝑑𝒓) F kraft, dr sträcka
Ekvation 39
𝑑𝑊
𝑑𝑡 = (𝑭 ∙𝑑𝒓
𝑑𝑡) = (𝑭 ∙ 𝒗) Med enhetsvektor
Ekvation 40
[𝝅 ∙ 𝒗] = 𝜹𝑥(𝝅𝑥∙ 𝒗) + 𝜹𝑦(𝝅𝑦∙ 𝒗) + 𝜹𝒛(𝝅𝑧∙ 𝒗)
Den kombinerad energiflödesvektorn motsvarar summan av den konvektiva energitransporten (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝒗, arbetet från molekylrörelser [𝝅 ∙ 𝒗], samt konduktionen 𝒒.
Ekvation 41
𝒆 = (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝒗 + [𝝅 ∙ 𝒗] + 𝒒 Intern energi
Ekvation 42
[
Förändringen av kinetisk och intern energi
]
= [Energi in via
konvektion] − [Energi ut via
konvektion] + [ Energi in via
molekylär transport] − [ Energi ut via molekylär transport] + [Arbete utfört på systemet
via molekylär transport ] − [Arbete utfört av systemet via molekylär transport] + [Arbete utfört på systemet
av externa krafter ]
De olika delarna i ekvationen beskrivs i matematiska termer enligt nedan.
[
Förändringen av kinetisk och intern energi
] = ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂)
[Energi in via
konvektion] − [Energi ut via
konvektion] + [ Energi in via
molekylär transport] − [ Energi ut via molekylär transport] + [Arbete utfört på systemet
via molekylär transport ] − [Arbete utfört av systemet via molekylär transport]
= ∆𝑦∆𝑧(𝑒𝑥|𝑥− 𝑒𝑥|𝑥+∆𝑥) + ∆𝑥∆𝑧(𝑒𝑦|𝑦− 𝑒𝑦|𝑦+∆𝑦) + ∆𝑥∆𝑦(𝑒𝑧|𝑧− 𝑒𝑧|𝑧+∆𝑧) [Arbete utfört på systemet
av externa krafter ] = 𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧(𝑣𝑥𝑔𝑥+ 𝑣𝑦𝑔𝑦+ 𝑣𝑧𝑔𝑧) Ekvation 42 uttryckt i matematiska termer blir då som uttryckt i Ekvation 43.
Ekvation 43
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) =𝜕𝑒𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝑒𝑦
𝜕𝑦 +𝜕𝑒𝑧
𝜕𝑧 + 𝜌(𝑣𝑥𝑔𝑥+ 𝑣𝑦𝑔𝑦+ 𝑣𝑧𝑔𝑧) Eller
Ekvation 44
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) = −(𝛁 ∙ 𝐞) + 𝜌(𝒗 ∙ 𝐠) Termen 𝐞 från Ekvation 41 appliceras i Ekvation 44.
Ekvation 45
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) = − (𝛁 ∙ (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂) 𝒗) − (𝛁 ∙ [𝝅 ∙ 𝒗]) − (𝛁 ∙ 𝒒) − (𝛁 ∙ 𝑝𝒗) + 𝜌(𝒗 ∙ 𝒈)
Den sista termen i Ekvation 45 utvecklas till en funktion av den potentiella energin per massenhet (𝚽̂ ) enligt Ekvation 46 och (𝝅) ersätts med (𝑝𝜹 + 𝝉).
Ekvation 46
𝜌(𝒗 ∙ 𝒈) = −(𝜌𝒗 ∙ 𝛁𝚽̂ ) = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) + 𝚽̂ (𝛁 ∙ 𝚽̂ 𝜌𝒗) = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) − 𝚽̂𝜕𝜌
𝜕𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝜌𝒗𝚽̂ ) − 𝜕
𝜕𝑡(𝜌𝚽̂ ) När Ekvation 46 används i Ekvation 45 erhålls en ekvation för energin som påminner om den mekaniska energin i Ekvation 33.
Ekvation 47
𝜕
𝜕𝑡(1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂ + 𝜌𝚽̂ ) = − (𝛁 ∙ (1
2𝜌𝑣2+ 𝜌𝑈̂ + 𝜌𝚽̂ ) 𝒗) − (𝛁 ∙ [(𝑝𝜹 + 𝝉) ∙ 𝒗]) − (𝛁 ∙ 𝒒) − (𝛁 ∙ 𝑝𝒗) Omvandla Ekvation 47 till en funktion av temperatur genom att subtrahera mekaniska energitermer från Ekvation 33.
Ekvation 48
𝜕
𝜕𝑡𝜌𝑈̂ = −(𝛁 ∙ 𝜌𝑈̂𝐯) − (𝛁 ∙ 𝐪) − 𝑝(𝛁 ∙ 𝐯) − (𝝉: 𝛁𝐯) Substantiella derivatan av 𝜌𝑈̂ ger Ekvation 49.
Ekvation 49
𝜌𝐷𝑈̂
𝐷𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝒒) − 𝑝(𝛁 ∙ 𝒗) − (𝝉: 𝛁𝐯)
Byter från energi (𝑈̂) till entalpi (𝐻̂) enligt Ekvation 50 och erhåller Ekvation 51.
Ekvation 50
𝑈̂ = 𝐻̂ − 𝑝𝑉̂ = 𝐻̂ −𝑝 𝜌 Ekvation 51
𝜌𝐷𝐻̂
𝐷𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝒒) − (𝝉: 𝛁𝐯) +𝐷𝑝 𝐷𝑡
Entalpin för den konvektiva energin i Ekvation 41 beskrivs med hjälp av en termodynamisk jämvikt i Ekvation 52.
Ekvation 52
𝑑𝐻̂ = (𝜕𝐻̂
𝜕𝑇)
𝑝
𝑑𝑇 + (𝜕𝐻̂
𝜕𝑇)
𝑇
𝑑𝑝 = 𝐶̂𝑝𝐷𝑇 + [𝑉̂ − 𝑇 (𝜕𝑉̂
𝜕𝑇)
𝑝
] 𝑑𝑝
Ekvation 53
𝜌𝐷𝐻̂
𝐷𝑡 = 𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇
𝐷𝑡 + 𝜌 [𝑉̂ − 𝑇 (𝜕𝑉̂
𝜕𝑇)
𝑝
]𝐷𝑝 𝐷𝑡 Ekvation 54
𝜌𝐷𝐻̂
𝐷𝑡 = 𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇 𝐷𝑡 + 𝜌
[ 1 𝜌− 𝑇 (
𝜕 (1 𝜌)
𝜕𝑇 )
𝑝] 𝐷𝑝 𝐷𝑡
Ekvation 55
𝜌𝐷𝐻̂
𝐷𝑡 = 𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇
𝐷𝑡+ 𝜌 [1 + 𝑇 (𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇)
𝑝
]𝐷𝑝 𝐷𝑡
Ekvation 51 och Ekvation 55 bildar tillsammans Ekvation 56 vilken beskriver temperaturförändringen.
Ekvation 56
𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇
𝐷𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝒒) − (𝝉: 𝛁𝐯) − (𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇)
𝑝
𝐷𝑝 𝐷𝑡 Konstant densitet ger att (𝜕 ln 𝜌
𝜕 ln 𝑇)
𝑝 𝐷𝑝
𝐷𝑡 = 0 och att −(𝝉: 𝛁𝐯) = (𝝁𝚽𝒗+ 𝜿𝚿𝒗) vilket ger Ekvation 57 Ekvation 57
𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇
𝐷𝑡 = −(𝛁 ∙ 𝒒) + (𝝁𝚽𝒗+ 𝜿𝚿𝒗)
Ekvation 56 blir Ekvation 58 i Ekvation 58
𝜌𝐶̂𝑝𝐷𝑇̅
𝐷𝑡 = − (𝛁 ∙ (𝐪̅(𝑣)+ 𝐪̅(𝑡))) + 𝜇(𝚽̅𝒗(𝑣)+ 𝚽̅𝒗(𝑡))
TRITA TRITA-ABE-MBT-211
