Lära nytt eller lära om igen

School of Mathematics and Systems Engineering

Reports from MSI - Rapporter från MSI

Lära nytt eller

lära om igen

En läromedelsstudie i geometri på

grundskola och gymnasium

Kajsa Östemar

Sep 2008

MSI Report 08102

Växjö University ISSN 1650-2647

Examensarbete 18 hp i Lärarutbildningen Vårterminen 2008

ABSTRAKT

Kajsa Östemar

Lära nytt eller lära om igen?

En läromedelsstudie i geometri på grundskola och gymnasium.

To learn new or to learn again?

A study of geometry in student literature on elementary school and upper secondary school levels.

Antal sidor: 50

Forskningsrapporter visar på att elever idag tycker att matematikämnet är tråkigt. Kan denna inställning bero på att de inte får utveckla sitt matematiska tänkande utan blir fast och arbetar med liknande mål och uppgifter för länge? För att få en grund till att svara på denna fråga försöker detta arbete ta reda på i vilken mån ny kunskap inom geometri presenteras för eleverna under grundskolans år 5 till och med gymnasiets matematik A samt i vilken utsträckning gammal kunskap repeteras som om den vore ny. I arbetet har läroplaner, läromedel och nationella prov studerats.

Undersökningen har studerat hur grundskoleläromedlet Mattestegen och gymnasieläromedlet Matematik 4000 kurs A tar upp geometri. Resultatet visar att det faktum att den positiva inställningen till matematik avtar genom grundskolan från år 5 till år 9 inte kan förklaras med att matematiken upprepas genom grundskolåren. Däremot sker en tydlig repetition av den matematik som eleven tidigare mött i det gymnasieläromedel som studerats jämfört med grundskoleläromedlet. Inget av läromedlen uppmanar eleverna till att kommunicera matematik i någon större omfattning, men grundskoleläromedlet är något bättre på detta än vad gymnasieläromedlet är. Liksom i jämförelsen med läromedlen skiljer sig inte innehållet eller uppgiftsformuleringarna åt mellan de nationella proven för grundskolans år 9 och för gymnasiekursen matematik A.

Sökord: Geometri, läromedelsstudie, nationella prov, kommunicera matematik

Postadress Växjö universitet 351 95 Växjö Gatuadress Universitetsplatsen Telefon 0470-70 80 00

1

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 4

2 Syfte och frågeställningar ... 5

2.1 Avgränsningar ... 5

3 Teoretisk bakgrund ... 6

3.1 Styrdokumenten ... 6

3.2 Nationella prov ... 7

3.3 Uppgiftsklassificering ... 8

3.4 Elevers inställning till matematik ... 9

3.5 Begreppsutveckling ... 10

3.6 Användning av läromedel ... 10

4 Metodologiska överväganden... 12

4.1 Undersökning av nationella prov ... 12

4.2 Undersökning av läromedel ... 12

4.3 Validitet ... 13

5 Resultat och analys ... 14

5.1 Genomgång av läromedlen ... 14

5.1.1 Mattestegen steg 1 ... 14

5.1.2 Mattestegen steg 2 ... 15

5.1.3 Mattestegen steg 3 ... 16

2 5.1.5 Mattestegen steg 5 ... 18 5.1.6 Mattestegen steg 6 ... 18 5.1.7 Mattestegen steg 7 ... 19 5.1.8 Mattestegen steg 8 ... 20 5.1.9 Mattestegen steg 9 ... 21 5.1.10 Mattestegen steg 10 ... 21 5.1.11 Mattestegen steg 11 ... 22 5.1.12 Mattestegen steg 12 ... 23 5.1.13 Mattestegen steg 13 ... 24 5.1.14 Mattestegen steg 14 ... 24 5.1.15 Mattestegen steg 15 ... 25 5.1.16 Mattestegen steg 16 ... 25

5.1.17 Matematik 4000 kurs A grön bok ... 26

5.2 Genomgång av nationella prov ... 27

5.2.1 Nationellt prov år 9 VT 2008 ... 27

5.2.2 Nationellt prov år 9 VT 2007 ... 27

5.2.3 Nationellt prov Matematik A VT 2005 ... 28

5.2.4 Nationellt prov Matematik A VT 2002 ... 28

6 Diskussion ... 29

6.1 Resultatdiskussion ... 29

3

6.1.2 Upprepning i de nationella proven ... 30

6.1.3 Variation i läromedlen ... 30

6.2 Metoddiskussion ... 32

6.3 Fortsatt forskning ... 32

7 Referenser ... 33

4

1 Inledning

I de styrdokument som svenska skolan arbetar enligt finns mål uppsatta för vad eleven skall behärska i slutet av år 5 respektive år 9. I dessa dokument finns även kursmål för gymnasiekursen matematik A. Eftersom dessa mål, tillsammans med de andra målen i läroplan och skolplan, är den stomme lärare skall lägga upp sin undervisning kring är det förhoppningsvis också dem som läromedlen är baserade på.

En kollega till mig tittade i en lärobok för gymnasiekursen matematik A. Hans reaktion gav idén till detta arbete när han sa ”Men detta ser ju likadant ut som det min 11-åriga dotter hade i läxa igår!”. Beror denna reaktion bara på det läromedel han tittade på eller leder styrdokumenten mot en upprepning i undervisningen?

Forskningsrapporter visar på att elever idag tycker att matematikämnet är tråkigt (Skolverket, 2003). Kan denna inställning bero på att de inte får utveckla sitt matematiska tänkande utan blir fast och arbetar med liknande mål och uppgifter för länge? För att få en grund till att svara på denna fråga försöker detta arbete ta reda på i vilken mån ny kunskap inom geometri presenteras för eleverna under grundskolans år 5 till och med gymnasiets matematik A och i vilken utsträckning gammal kunskap repeteras som om den vore ny. I arbetet kommer läroplaner, läromedel och nationella prov att studeras.

5

2 Syfte och frågeställningar

Syftet med detta arbete är att analysera hur de kunskapsmål med geometrikaraktär inom ämnet matematik tar sig uttryck, samt att undersöka hur eleverna uppmuntras att utveckla sina kommunikativa kvalitéer i nationella prov och läromedel genom att besvara följande frågor:

 Hur behandlar och utvecklar ett läromedel matematikens geometri från år 4 till 9 samt i matematik A? Går det att se någon variation i uppgiftstyper genom böckerna?

 Vilka matematiska kompetenser inspirerar böckerna till att utveckla hos eleverna?

 Hur skiljer sig de nationella proven i år 9 och i matematik A åt i sina geometrifrågeställningar?

2.1 Avgränsningar

Förutom de frågeställningar som valts har flera andra sorterats bort. För att begränsa undersökningens omfattning till att passa arbetets storlek har ett specifikt matematiskt område valts ut för analys. Valet kom att hamna på geometri, vilket betyder att de andra områdena valts bort. Anledningen till att just geometri valdes var att den reaktion som min kollega hade, och som beskrivits i inledningen, handlade om just geometri. Dessutom är geometri en så väl avgränsad del av matematiken som det går att få. Syftet med arbetet är inte att följa just geometrins pedagogik genom de senare skolåren utan att se om det finns skäl att tro att eleverna inte utmanas utan istället tvingas till repetition.

Ett av syftena i arbetet är att studera läromedel. Där har redan en stor begränsning gjorts. Då detta arbete inte väljer att studera alla, eller ens många läromedel, utan bara ett fåtal så kommer resultatet visa hur de utvalda böckerna ser ut och är uppbyggda, men inte alls hur det måste vara i andra fall än dessa. Undersökningen kan ändå ge en indikation på hur läromedel kan vara byggda i sitt upplägg.

Även i analysen av nationella prov från år 9 och gymnasiets matematik A har prov valts ut för att studeras. Detta har gjorts utan förstudie och valet har landat på de två senaste proven från år 9 samt matematik A som inte är belagda med sekretess. Proven har hämtats från Skolverkets hemsida.

6

3 Teoretisk bakgrund

Som bakgrund till frågeställningarna i detta arbete finns flera tidigare undersökningar som tagit upp ungdomars inställning till matematik, hur inlärning av matematik kan stimuleras och hur dagens matematikundervisning ser ut. I nedanstående avsnitt kommer resultatet från tidigare undersökningar att presenteras och de mål från Skolverkets styrdokument som rör detta arbete att belysas. Dessutom kommer de nationella provens syfte och utformning presenteras.

3.1 Styrdokumenten

Den skolmatematik som bedrivs idag styrs av läroplaner och kursplaner. I dessa formuleras de övergripande mål som eleverna skall ha nått. Strävansmålen för grundskolan är formulerade på så sätt att de inte preciserar vilka kunskaper eleverna skall ha tillägnat sig. I grundskolans uppnåendemål och gymnasieskolans kursplaner är målen mycket mer preciserade.

Geometri är en del av den matematik som elever och lärare arbetar med under grundskoletiden, gymnasietiden och för dem som så vill även inom högskolestudier. Det är ett komplext område och under begreppet geometri ryms flera olika matematikområden och begrepp för eleverna att bli bekanta med och lära sig behärska under sin skolgång. Enligt skriften Matematik – ett kommunikationsämne (2001) finns över 200 begrepp bara inom geometrin. För att kunna kommunicera och beräkna geometri behöver eleven ha förståelse för en stor del av dessa begrepp. De mål som tas upp nedan är sådana vars innehåll är geometri. I Skolverkets styrdokument finns det olika mål för år 5, år 9 och gymnasiets kurs A. Under mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det femte skolåret står det att eleven skall ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer och lösa konkreta problem i elevens närmiljö (Skolverket, 2008-08-30a). Inom ramen för detta mål finns tydligare specificerat att eleven skall ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster samt att de ska kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor. Dessa mål är sådana mål som direkt kan kopplas till ämnesområdet geometri. I arbetet med geometri kommer även flera andra mål att stärkas, t.ex. att eleven ska kunna använda addition och multiplikation.

Under mål som eleverna skall ha uppnått i slutet av det nionde skolåret (Skolverket, 2006) står det att eleven skall ha förvärvat sådana kunskaper i matematik som behövs för att kunna beskriva och hantera situationer samt lösa problem som vanligen förekommer i hem och samhälle och som behövs som grund för fortsatt utbildning. Inom ramen för detta mål finns tydligare specificerat på Skolverkets hemsida (2008-08-30b) att eleven skall kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader samt att de skall kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor.

I gymnasiet ska skolmatematiken bygga vidare på de tidigare kunskaper som eleven fått i grundskolan och utifrån dessa ge breddning och fördjupning samt leda till förmåga att kommunicera matematik. Dessutom skall eleven uppleva glädje i matematik och analysera

7

problem. I kursplanen för matematik A på Skolverkets hemsida (2008-08-30c) finns specificerade mål som säger att eleven skall ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen samt att de skall vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning

3.2 Nationella prov

Syftet med nationella prov anges i det regeringsuppdrag som Skolverket lyder under. Där står att syftet med olika provmaterial är att bland annat ge lärarna stöd i att analysera och bedöma de starka och svaga sidorna i elevernas kunskaper och ge läraren stöd vid bedömning av om eleverna har nått uppställda mål i kursplanerna. Dessutom syftar de nationella proven till att stödja en likvärdig bedömning och en rättvis betygsättning samt ge underlag för lokal och nationell uppföljning av elevers kunskaper i de ämnen/kurser som har nationella prov. Till sist syftar proven även till en ökad måluppfyllelse för eleven och till att konkretisera mål och betygskriterier (Skolverket, 2005). De nationella proven är inte utformade så att de skall pröva huruvida eleven nått upp till alla mål, utan vissa mål kommer att behöva prövas vid andra tillfällen. De nationella proven är inte heller tänkta som enskild examination till kurs eller termin.

I Skolverkets skrift Nationella prov - frågor och svar (2005) står det att de nationella proven skall vara ett stöd vid bedömning av eleverna, men skall inte styra innehåll och arbetsmetoder. I samma skrift står det också att proven skall vara ”förebildliga genom att de är uttolkningar av kursplanerna” (s 23).

Till skillnad från de tidigare standardproven är betygskriterierna uttryckta i ord och skrivna innan provet produceras. Tidigare sattes gränserna efter ett visst antal poäng efter att provet skrivits för att stämma efter en särskild procentuell fördelning. Fördelen med att kriterierna är uttryckta i ord är bland annat att de kan och skall diskuteras under utvärderingens gång (kursen eller terminen) med eleverna så att de vet vad som förväntas av dem och vilka kunskaper som kommer att mätas. (Skolverket, 2005)

Nationella prov i matematik ges i grundskolan i år 5 och 9 samt i gymnasiets kurser A-D. De ges alltså vid samma tidpunkt i elevernas skolgång då de även skall ha nått upp till vissa kunskapsmål. De nationella proven i år 5 är inte obligatoriska, men det är vanligt att de ändå används. Proven i år 9, matematik A och den avslutande karaktärsämneskursen i matematik (olika för olika program) är obligatoriska.

Det nationella provet som ges i år fem är indelat i sex delar med olika teman och inriktningar. Del A heter Du och matematik medan del B behandlar mönster, figurer och mått och del C obekanta tal. I del D behandlas tal på olika sätt och i del E får eleven besvara frågor om matematik. Till sist ska eleverna genomföra en gruppuppgift som är gemensam med svenskan.

Det nationella provet som ges i år nio innehåller flera skriftliga delar och en muntlig del. Det muntliga provet, del A, utförs i en liten grupp där eleverna får möjlighet att resonera och diskutera. Provets del B är indelad i två delar där uppgifterna löses individuellt. I del B1 räknar eleverna huvudräkning och uppgifterna kräver endast svar. I del B2 skall en utredande

8

uppgift som bedöms med bedömningsmatris lösas. I provets del C ska uppgifter behandlas med motivering och redovisning av lösningarna.

De nationella prov som görs på gymnasiet ser olika ut för olika kurser. För Matematik A består provet av två delar som skrivs vid olika tillfällen. Del ett innehåller kortsvarsuppgifter som löses individuellt utan miniräknare. Dessutom avslutas delen med en större utredande uppgift som bedöms enligt en egen bedömningsmatris. Del två innehåller uppgifter som löses individuellt och kräver redovisning och ibland motivering och förklaring med hjälap av en ritad figur.

De nationella proven för grundskolan och gymnasiets kurs Matematik A framställs av PRIM-gruppen på uppdrag av Skolverket. PRIM-PRIM-gruppen finns på Institutionen för Pedagogik, Lärarhögskolan i Stockholm. Gruppen består av flera olika lärare och även verksamma lärare ute på skolor anlitas för synpunkter och utvärdering av proven.

3.3 Uppgiftsklassificering

Jesper Boesen visar i sin avhandling Assessing mathematical creativity: comparing national and teacher-made tests, explaining differences and examining impact (2006) att det finns genomgående skillnader mellan de flesta prov gjorda av lärare och de nationella matematikproven. De lärargjorda proven har en högre andel uppgifter som kan lösas med ett särskilt handlingsmönster och därför blir rutinartade. De nationella proven har i högre utsträckning uppgifter som kräver att eleven är bekant med matematikens inneboende begrepp och att denne förstår och kan hantera dessa. Enligt Boesen är en av anledningarna till dessa skillnader mellan proven att lärarna anser att inte alla elever klarar av den högre nivå av resonemang som krävs av de mer komplexa uppgifterna och att lärarna därför ”nöjer sig” med mer standardmässiga prov för att få fler elever godkända.

Ett sätt att analysera uppgifter är att fundera på vilka kvalitéer eleven kan visa på i uppgiften och vilken kvalitet som uppgiften huvudsakligen är utformad att mäta. Dessa kvalitéer kan delas upp i problemlösningskompetens, algoritmkompetens, begreppskompetens, modelleringskompetens, resonemangskompetens och komunikationskompetens (Palm et al, 2004; Boesen, 2006).

I en uppgift som inte har en given färdig lösningsmetod tillgänglig kan uppgiftslösaren visa på problemlösningskompetens. Där behöver eleven tillämpa sina kunskaper på en situation som är ny för honom eller henne och som inte kan lösas på ett rutinmässigt sätt. De typer av uppgifter som kan sägas ha problemlösningskaraktär är antingen uppgifter som är så komplexa att eleverna inte rakt av kan tillämpa en särskild rutinmässig lösningsstrategi eller uppgifter som är annorlunda än dem eleverna är vana vid.

För att uppgiften skall visa på algoritmkompetens skall uppgiften kunna lösas med bekanta rutinmässiga algoritmer i ett eller flera steg. De typer av uppgifter som visar på algoritmkompetens är rutinuppgifter (till exempel ekvationslösning).

Att visa begreppskompetens innebär att eleven visar att han eller hon förstår och kan använda definitionen och innebörden av ett begrepp. Uppgifter som framför allt visar på denna kompetens är uppgifter där eleven ombeds att förklara, definiera eller tolka.

9

Att ha modelleringskompetens innebär att eleven utifrån en ej matematisk situation skall skapa, använda, tolka och utvärdera en matematisk modell. De uppgifter som prövar elevens modelleringskompetens kan testa antingen hela modelleringsprocessen eller bara delar av den. Uppgifterna kan även vara mer eller mindre öppna och kan även vara sådana att de ger för mycket eller för lite information.

Resonemangskompetens är den kompetens som innehåller flest olikartade kvalitéer. Inom kompetensen ingår det att föra resonemang baserat på allmänna logiska och speciella ämnesteoretiska grunder samt att via undersökande aktivitet hitta mönster, formulera, förbättra och undersöka hypoteser. Det ingår även kritisk granskning av matematiska argument. Till sist skall resonemangen kunna föras både med algoritmiska resonemang och dels som en aktivitet i en problemlösande situation.

Uppgifter där eleven har möjlighet att visa på kommunikationskompetens har ett upplägg som ger eleverna möjlighet att kommunicera matematiska idéer och tankegångar muntligt och/eller skriftligt. Eleverna kan antingen ombedas att förklara eller beskriva begrepp, lagar eller metoder. Det kan också vara så att uppgiften ställer krav på att redovisningen och det matematiska språket ligger på en hög nivå.

Uppgifterna kan också kategoriseras efter vilka kunskaper och vilken begreppskännedom som krävs för att lösa dem.

3.4 Elevers inställning till matematik

I skolverkets rapport Lusten att lära – med fokus på matematik (2003) beskrivs tillfällen då individer känt lust i sitt lärande. Dessa tillfällen har varit då individen engagerat både kropp och själ i lärandet eller då individen haft en aha-upplevelse angående matematisk förståelse eller ett matematiskt problem. I dessa situationer har lärandet kopplats till glädje.

Tyvärr har många inte dessa positiva minnen till matematik och lärandesituationer i matematik. Tvärtom känner många att skolmatematiken var meningslös och svår att förstå (Skolverket, 2003). Denna känsla samt negativa erfarenheter av matematik ges ofta vidare till nästa generation. Dessa negativa erfarenheter kommer oftast från de senare åren i grundskolan och gymnasiet. Enligt Lusten att lära är en klassrumsmodell vanligare än andra när det kommer till undervisning i grundskolans senare år och i gymnasiet – genomgång, egen räkning med läraren som går runt i klassrummet och hjälper och till sist diagnos eller prov. Denna arbetsform används ofta och bryts sällan av andra aktiviteter, laborationer eller diskussioner.

Bland de tidigare åldrarna ses en större lust till lärande och matematik än i de senare årskurserna (Skolverket, 2003). Eleverna har också hög tilltro till sig själv och sin egen prestation i matematik och i andra ämnen. I år 5 börjar man dock se en viss ändring i attityden till matematik från eleverna. Fler tycker att matematik är tråkigt och till dessa hör de som har lätt för ämnet. De anser att undervisningen innehåller för få utmaningar och för mycket upprepningar (Skolverket, 2003). Om det är målen som upprepas eller om det är undervisningens upplägg som upprepas och leder till denna inställning till ämnet går inte att läsa ut ur Lusten att lära. Skolverket nämner även i sin rapport 221 att elevens syn på och attityd till ämnet matematik grundläggs så tidigt som före och under skolstarten. Varför sker då den ändring i attityder till matematik som nämnts ovan vid år 5? I år 9 är det ännu fler av

10

eleverna som inte längre är positiva till ämnet matematik och fler elever än tidigare tycker att uppgifterna de arbetar med är antingen för svåra eller för lätta. Då man ställer Lundqvists (2007) resultat mot denna information, nämligen att många läromedel inte har en lagom ökning i svårighetsnivå då undervisningen flyttas från den obligatoriska till den frivilliga skolfomen, är det lätt att fråga sig huruvida attityden har med upplägget av undervisning och uppgifter att göra.

3.5 Begreppsutveckling

I Skolverkets rapport Lusten att lära – med fokus på matematik (2003) beskrivs olika teorier kring lärande. Enligt socialkonstruktivistisk teori kan inte kunskap förmedlas mellan eleven och läraren utan är något som växer fram i mötet mellan elev och lärare. Lärarens jobb är att skapa lärandesituationer som främjar kunskapstillväxten hos eleven. Metakognitiv teori menar att barn lär genom att först göra, sedan veta och till sist förstå vad och hur man lärt. Enligt denna teori är problemlösning en väg till kunskap, men den kan även nås via diskussioner och dialoger. Den tredje teorin som tas upp i rapporten handlar om att använda olika språkliga uttrycksformer i undervisningen. Denna teori väver även in elevens erfarenheter och koppling från situationer utanför skolan in i skolmiljön.

Det finns flera olika sätt att som lärare bedriva undervisning. Några av dessa är katederundervisning, laborationer, diskussioner i olika stora grupper, individuellt räknande m.fl. Att alla grupper och individer är olika och att det inte finns en optimal väg till lärande nämner Skolverkets rapport 221 (2003) som en självklarhet. Hur situationen än sett ut har lusten att lära funnits i de situationer där eleverna funnit utmaning och har kännetecknats av variation i innehåll och arbetsformer. Enligt Eriksson (2001) i Matematik – ett kommunikationsämne blir det lättare att lära de geometriska begreppen i ett socialt sammanhang och uppmuntrar därför arbete i par och grupp. Även Vygotskijs teorier stöder tanken på att arbete i par eller grupp stimulerar lärandet.

Inom momentet geometri är det vanligt med begreppsmissuppfattningar i de tidigare skolåren. Area och omkrets är begrepp som ofta blandas ihop (Unenge, 1998). Förhoppningen är ju att elever skall få bättre och bättre förståelse för de olika matematiska begreppen och bättre begreppkännedom genom skolåren. Syns detta i läromedlen? Stimulerar läromedlen till att begreppsbilden byggs på och klarnar genom skolåren?

3.6 Användning av läromedel

Det är idag vanligt att lärare använder läromedel som en grund i sin planering och som bas för lektionens genomförande (Andersson och Håkansson, 2006; Skolverket, 2003). Enligt Lusten att lära – med fokus på matematik sker övergången tidigt till den mer formaliserade räkningen och fokus i matematikundervisningen flyttas även dit. I vissa fall kan denna förändring ske så tidigt som i förskoleklassen. Att använda en bok behöver inte vara negativt utan beror på bokens uppbyggnad och hur den används, men det finns en risk att det kan leda till att räknefärdigheten går före förståelsen.

Den förhärskande pedagogiken i matematikklassrummet idag är att läraren använder den största delen av tiden till att individuellt hjälpa elever. Detta leder till att läraren i snitt har två minuter per elev och lektion och att den på denna tid inte hinner föra någon diskussion med eleven om hans eller hennes lösningar eller begreppsförståelse (Lusten att lära). Eleven

11

kommer därför att använda större delen av lektionen till att räkna själv, vänta på hjälp eller till att läsa i matematikboken, men att i väldigt liten utsträckning reflektera över sitt eget lärande. Lusten att lära visar på att ett alltför frekvent användande av tyst räkning i matematikboken ger en variationsfattig undervisning.

De allra flesta matematiklärare använder matematikböcker och dessa blir viktiga i elevens matematikutveckling då man inser hur mycket tid eleven tillbringar hänvisad till boken på lektionerna. Vilken bok som används kan alltså styra hur mål tolkas och hur tiden planeras för eleverna. Att läroboken är så central i så många klassrum gör att det blir intressant att studera hur böcker är upplagda. Stimulerar de till kommunikation mellan eleverna, hur tolkar de målen och hur stimulerar de begreppsförståelse? Vilken sorts uppgifter finns representerade i boken?

I examensarbetet Är steget till gymnasiets matematik stort? (Lundqvist, 2007) visar resultatet på att huruvida matematik A blir en lagom fördjupning till tidigare matematikstudier beror mycket på vilket läromedel eleverna använder dels i högstadiet och dels i gymnasiet. Beroende på läromedlet kan steget bli för stort, lagom eller bara en upprepning av tidigare undervisning.

12

4 Metodologiska överväganden

För att nå syftet med detta arbete har styrdokument, nationella prov och olika läromedel granskats och undersökts.

4.1 Undersökning av nationella prov

De tidigare nationella proven från vårterminen 2008 och 2007 för år 9 och vårterminen 2005 och 2002 för gymnasiets matematik A kommer att studeras utifrån deras hanterande av geometriuppgifterna. Dessa prov väljs därför att de är de senaste ej sekretessbelagda utgivna proven. Geometriuppgifterna i de nationella proven kommer att granskas utifrån vilka kompetenser eleverna kan visa vid lösandet av dem. Provuppgifterna från de olika proven kommer även att jämföras med varandra för att se om och hur provkonstruktörerna vill att eleverna skall ha vidareutvecklat sina kunskaper från år 9 till gymnasiets matematik A.

Eftersom de lärargjorda proven har en högre andel rutinuppgifter som kan lösas med ett särskilt handlingsmönster jämfört med de nationella proven (Boesen, 2006) så har de nationella proven valts ut som underlag för denna studie. Dessa skall ha konstruerats utifrån styrdokumenten och skall vara ett stöd för lärarna i deras betygsättning. På så sätt kan de också hjälpa lärarna genom att ge en tolkning av styrdokumenten och en bild av vilka sorts uppgifter eleverna utifrån styrdokumenten är menade att klara av i år 5, år 9 respektive matematik A.

4.2 Undersökning av läromedel

Läromedlen kommer att granskas utifrån hur de väljer att tolka geometrimålen och hur de tar till vara den begreppsbildning som eleverna har med sig från tidigare år. En jämförelse mellan läromedlen och de nationella proven kommer också att göras. Uppgifterna kommer att studeras och klassificeras enligt den modell som presenteras av Boesen (2006) och Palm et al (2004) och som beskrivits tidigare i arbetet.

De läromedel som kommer att granskas är Mattestegen steg 1-16 (2003) samt Matematik 4000 kurs A (2007). Samtliga läromedel kommer från förlaget Natur och Kultur. Mattestegen är ett läromedel för hela grundskolan där klassen hålls samlad i olika teman, men varje elev klättrar på stegen i sin egen takt. Matematik 4000 är enligt förlaget baserat på färdighet – förståelse – problemlösning och med ett särskilt fokus på kommunikation. De avsnitt i böckerna som kommer att studeras och jämföras är geometridelarna. Andra delar av böckerna lämnas åt andra arbeten att studera.

Att läromedlet Mattestegen valdes ut beror på att den är en serie där böckerna är menade att bygga på varandra. På så sätt kan upprepningar mellan årskurser som beror på att olika bokserier tar upp olika moment i olika ordning undvikas och istället kan fokus läggas på hur böckerna väljer att presentera begreppen utifrån tidigare kunskaper. Vidare valdes de eftersom jag inte har någon tidigare erfarenhet av dessa böcker och därför inte har tidigare förutfattade meningar om dem.

Eftersom kurserna på gymnasiet skall programanpassas och det specifikt står i målen för matematik A att detta skall ske så finns böcker som är anpassade till olika program. Detta gäller dock inte för alla läromedel, utan flertalet är mer generella. I detta arbete kommer en mer generell gymnasiebok studeras, nämligen Matematik 4000. Redan detta val medför att

13

böckerna inte kommer att kunna leva upp till alla styrdokumentens mål, men det kommer att bortses från i arbetet. Att visa hur läromedlen är anpassade eller kan anpassas för att passa specifika program är ett syfte som inte tagits med i detta arbete. Att boken Matematik 4000 valdes beror på att den kommer från samma förlag som Mattestegen-böckerna och är en vanlig bok i svenska gymnasieskolan. Jag har inte som lärare använt boken Matematik 3000 kurs A eller Matematik 4000 kurs A, däremot känner jag till den och har använt en förlaga till dessa böcker i mina egna gymnasiestudier. Den gröna varianten av Matematik 4000 kurs A är utformad för de elever som avser att även läsa B-kursen på gymnasiet, medan den röda är tänkt för elever på yrkesprogram och den blå för de elever som avser att läsa mer matematik. Den gröna valdes för att den är ”mellan-boken” och att denna studie inte vill fokusera på varken elever med svårigheter i matematik eller elever med fallenhet för matematik.

4.3 Validitet

Undersökningen tar avstamp i en analys av styrdokumenten och de nationella proven. Dessa är beskrivna i det regeringsuppdrag som Skolverket lyder under och är en del av grunden för den skolverksamhet som bedrivs i Sverige idag. Analys av dessa och ett läromedel kommer att visa på hur detta läromedel tolkar uppdraget och de mål som finns beskrivna i styrdokumenten, men kommer inte att kunna svara för alla läromedels tolkning. Undersökningen kan dock svara på vilken spridning detta läromedel har i sina uppgifter samt hur styrdokument och nationella prov skiljer sig åt i mål och utformning genom åren. För att stärka validiteten används ett kompetensramverk i analysen.

14

5 Resultat och analys

I slutet av år 5 skall eleven ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster samt kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer, vinklar, massor och tider samt kunna använda ritningar och kartor. Dessa geometrimål skall sedan byggas vidare på så att eleven i år 9 skall kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer, vinklar, massor, tidpunkter och tidsskillnader samt kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor.

I gymnasiets Matematik A skall eleven sedan ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen samt vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning. Det finns även fler mål man kan välja att arbeta med inom ramen för matematik A som kan relateras till geometri, men här har de mål som nämner geometri specifikt valts ut.

5.1 Genomgång av läromedlen

Mattestegen är uppdelad på 4 böcker innehållande 4 steg var upp till steg 16. Läromedelsförfattarna anser att man bör nå målen för år 5 på steg 5 och att man bör nå målen för år 9 på steg 14. För en mer specificerad genomgång av uppgifterna i Mattestegen hänvisas till bilaga 1. För varje steg i läromedlet Mattestegen redovisas en frekvenstabell som visar fördelningen mellan de olika uppgiftstyperna.

5.1.1 Mattestegen steg 1

Steg 1 handlar om sträckor och detta begrepp presenteras och används på flera olika sätt. Från styrdokumenten ser vi att det är målet att eleven skall kunna jämföra, uppskatta och mäta längder som steg 1 fokuserar på. Eftersom eleven skall kunna mäta sträckor blir det många uppgifter i momentet som ger möjlighet att träna på algoritmkompetens. Momentet innehåller inte så många uppgifter som primärt behandlar begrepp, resonemang eller kommunikation. Några uppgifter är uttryckligen sådana där läromedelsförfattarna tänkt sig att eleverna skall räkna i par eller grupp. Dessa uppgifter är fyra till antalet och ligger i slutet av kapitlet. I uppgifter där eleverna skall räkna i grupp kan de få möjlighet att träna på och visa resonemangskompetens och kommunikationskompetens. Det finns ett antal uppgifter i momentet där eleven ställs inför uppgifter som är av problemlösningskaraktär. Det skall dock sägas att huruvida en uppgift är av algoritmtyp eller problemlösningstyp beror ofta av elevens förkunskaper.

15 Steg 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 1

Ett exempel på en större uppgift i steg 1 är den om Taftnäs ridskola. På Taftnäs ridskola finns det 11 hästar. På dagarna går hästarna ute i de tre hagarna med grönt och saftigt gräs. Hur långt är staketet runt den minsta hagen? Hur långt är staketet runt den största hagen? Hur långt måste du gå för att gå runt alla hagarna? Hur många hästar tycker du att det ska vara i de olika hagarna om alla hästar ska få lika mycket av det saftiga gräset?

Nästa år ska ridskolan på Taftnäs få 6 nya hästar. Till dem ska de bygga en ny hage. Hur stor tycker du den hagen ska vara? Gör en ritning på cm-rutat papper. Låt en ruta betyda 10 m.

På Gåsinge har man också ridhästar. Staketet runt en av hagarna är 300 m långt. Rita hur hagen kan se ut. Rita på cm-rutat papper. Låt en ruta betyda 10 m.

Här får eleverna först fundera kring längder på staketet runt de olika rektangulära hagarna där sidornas längder är givna. Detta är en rutinuppgift som framför allt visar på algoritmkompetens. Därefter får eleven själv fundera ut hur stor hage som måste byggas till ridskolans 6 nya hästar då skolan tidigare hade 11 hästar. Eleverna skall fundera ut och sedan rita upp den nya hagen. Detta är en öppen uppgift som kan ha flera olika svar och där all information inte är given. Tänker man sig att varje häst skall tilldelas lika stor yta? De andra hagarna är alla 70 meter breda, måste den nya hagen också vara så bred? Det här är en uppgift som främjar de flesta av de matematiska kompetenser som eftersöks hos eleverna. Eleven tränar och visar på modelleringskompetens samtidigt som den löser problem och visar förståelse för begreppen area och sträcka. I redovisningen kan även resonemangskompetens och kommunikationskompetens visas.

5.1.2 Mattestegen steg 2

Steg två är en introduktion till de vanligaste geometriska figurerna. Momentet behandlar målet att eleven skall kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos

16

geometriska figurer och börjar med en presentation av de vanligaste geometriska figurerna; rektangel, kvadrat, triangel och cirkel. En stor del av uppgifterna i momentet behandlar de nya begreppen och de geometriska figurernas egenskaper. Det finns inga uppgifter i steg 2 som uppmanar till arbete i par eller grupp och inte så många uppgifter av problemlösnings-, modellerings- eller resonemangskaraktär. Däremot blir det en del algoritmräkning för att befästa de nya begreppen. Ett exempel på algoritmuppgifter från uppgiften är att rita rektanglar med olika givna sidolängder.

Steg 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 2 5.1.3 Mattestegen steg 3

I steg tre presenteras begreppet omkrets som är en viktig egenskap hos geometriska figurer och dessutom jämförs de olika längdenheterna. Till sist får eleverna även bekanta sig med några äldre enheter såsom fot, tum, aln och famn. Momentet har en jämn fördelning mellan uppgifter av algoritm- och problemlösningskaraktär, men denna fördelning kan skjutas åt båda hållen beroende på elevens förkunskaper. Steget innehåller några uppgifter som lutar åt modelleringshållet så till vida att de utgår från elevens vardag. Inte heller i steg 3 hittas några uppgifter där eleverna uppmanas att arbeta i par eller grupp och det finns inga uppgifter där kommunikationskompetens primärt övas. Uppgifter som har klassats primärt som problemlösnings- och sekundärt som begreppsuppgifter är till exempel där fyra liksidiga trianglar satts ihop till en stor triangel och eleven utifrån information om den lilla triangelns omkrets ska ta reda på den stora triangelns omkrets eller tvärtom.

17 Steg 3 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 3 5.1.4 Mattestegen steg 4

I steg 4 introduceras begreppet skala och det blir en hel del algoritmräknande för att lära sig hantera denna typ av uppgifter och för att förstå begreppet. Eleverna får även lära sig att hantera ritningar och kartor. Mot slutet av momentet får eleven lära sig att jämföra, uppskatta och mäta vinklar. Här passar läroboksförfattarna även på att väva in en del klockor. Det finns en del uppgifter som är av problemlösningskaraktär. En av dem ber eleven att utifrån en verklig karta hitta närmaste vägarna mellan olika ställen på Norra Djurgården. Denna uppgift har även modelleringskaraktär då den är öppen med flera möjliga lösningar och verklighetsnära då situationen är autentisk och frågeställningen har praktisk relevans. Många uppgifter är av algoritmräkningskaraktär och många arbetar på att befästa de nya begreppen. Det finns en uppgift i momentet som uttryckligen skall lösas i par eller grupp och inga uppgifter av resonemangskaraktär. Steg 4 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 4

18

5.1.5 Mattestegen steg 5

I steg 5 behandlas begreppet area. Eleven får mäta, jämföra och uppskatta areor vilket leder till att många av uppgifterna är av problemlösnings- eller algoritmkaraktär. De är formulerade annorlunda från början, men det är många uppgifter vilket leder till att de till sist blir rutinartade. Exempel på en sådan uppgift är där en del av en större rektangel är färgad och eleven ska ta reda på hur stor del det är genom att uppskatta och jämföra den lilla arean mot den stora. Uppgifter där eleven kan öva eller visa på modellerings-, eller kommunikationskompetens saknas helt.

I en av uppgifterna från steg 5 ombeds eleven att undersöka hur många färger som krävs för att färglägga en kvadrat med 64 rutor utan att någon ruta har samma färg som rutan bredvid. Denna uppgift kan visa på resonemangskompetens då eleverna behöver undersöka och dra slutsatser. Steg 5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 5 5.1.6 Mattestegen steg 6

Steg 6 ägnas åt geometri i slöjden, trianglar och cirklar. I kapitlet ”geometri i slöjden” tillverkas sådant vi alla känner igen från slöjdtimmarna, som till exempel sypåse, skärbräda, kryddhylla och ljusstake. Eleverna får räkna på materialåtgång, kostnad, hur hålen skall borras m.m. Eftersom eleverna själva har slöjd blir dessa uppgifter verklighetsnära för dem och är uppgifter av problemlösningskaraktär och modelleringskaraktär.

Styckena om trianglar och cirklar arbetar med målet att eleverna skall kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster. Begreppen liksidig och likbent triangel presenteras och eleverna får rita och mäta omkrets på dem. Dessutom får eleverna arbeta med triangelmönster. I stycket om cirklar presenteras begreppen radie och diameter. En hel del uppgifter i stycket arbetar med de nya begreppen och det finns inslag av resonemangsuppgifter. Uppgifter av kommunikationskaraktär saknas helt.

19 Steg 6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Al g o ri tm-ko mp e te n s Pro b le m-l ö sn in g s-ko mp e te n s Be g re p p s-ko mp e te n s R e so n e ma n g s-ko mp e te n s Ko mmu n ika ti o n sko mp e te n s Mo d e ll e ri n g s-ko mp e te n s Steg 6

Uppgifterna 11-14 bygger på varandra och där handlar det om att arbeta med mönster. Från ett mönster av småtrianglar bygger eleverna större trianglar som är två, tre, fyra och fem småtrianglar höga. De skall räkna och undersöka hur många småtrianglar som får plats i den stora triangeln och till sist klura ut utan att räkna hur många småtrianglar det borde finnas i en stor triangel som är sex småtrianglar hög. Uppgifterna bygger upp till en uppgift av resonemangskaraktär där det gäller att hitta mönstret och formulera sambandet mellan den stora triangelns höjd och antalet småtrianglar. Nedan syns två stora trianglar med höjden av två respektive tre småtrianglar.

5.1.7 Mattestegen steg 7

I steg 7 får eleverna lära sig att räkna ut arean på en rektangel, använda flera olika areaenheter samt att enhetsomvandla mellan dessa. Till sist tittar de på ritningar och skala. I styrdokumentens mål för år 9 står det att eleven skall kunna bestämma areor samt kunna tolka och använda ritningar och kartor. Även steg 7 domineras av uppgifter med begrepps-, algoritm- eller problemlösningskaraktär. Uppgifter med modellering- eller resonemangskaraktär saknas helt. I tre uppgifter uppmanas eleverna att arbeta i par eller grupp vilket ger eleverna möjlighet att i dessa uppgifter öva på sin kommunikationskompetens.

20 Steg 7 0 0,05 0,1 0,150,2 0,250,3 0,350,4 0,45 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 7

Uppgifterna mot slutet av kapitlet på karta och skala skiljer sig inte nämnvärt från dem i steg 4. I båda stegen ska man bland annat titta på ett rum i skala 1:100 och svara på frågor om längder. I steg 7 kommer följdfrågor som till exempel hur mycket färg som behövs för att måla taket. Dessa uppgifter klassas som algoritmuppgifter och/eller problemlösningsuppgifter.

5.1.8 Mattestegen steg 8

I steg 8 får eleverna lära sig att rita och räkna ut arean hos trianglar samt några viktiga egenskaper hos vinklar. De får även lära sig begreppet grader och att hantera en gradskiva. I styrdokumenten för år 9 står det bland annat att eleven skall kunna använda metoder och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma areor och vinklar. Även i steg 8 är de flesta uppgifter av algoritm-, begrepps- eller problemlösningskaraktär. En uppgift uppmanar eleven att förklara varför det inte går att rita en triangel med sidorna 4, 5 och 10 centimeter och hamnar bland resonemangs- och kommunikationskompetensuppgifterna.

Steg 8 0 0,050,1 0,150,2 0,250,3 0,350,4 0,450,5 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 8

21

I uppgift 17 och 18 får eleverna arbeta med att uppskatta vinklar genom att leka en vinkellek. En elev ritar en vinkel med linjal och därefter skall alla gissa hur stor den är. Därefter mäts vinkeln med gradskiva och vinnaren får ett poäng. Först till 10 poäng vinner. I nästa steg leker man på samma sätt men alla börjar på 50 poäng och subtraherar ett poäng för varje grad de gissar fel. Eleven som sist får noll poäng vinner. Dessa uppgifter har klassats som begreppsuppgifter.

5.1.9 Mattestegen steg 9

Målet för steg 9 är att eleverna skall kunna beräkna omkrets och area för triangel, parallelltrapets och parallellogram. Steget har ökat i antal uppgifter från ungefär 30 stycken i tidigare steg till 70. I momentet finns två uppgifter vardera av resonemangs- respektive kommunikationstyp. Dessutom finns mycket få uppgifter som klassas som modelleringsuppgifter. De flesta uppgifter är algoritmräknings-, problemlösnings- eller begreppsuppgifter. Vissa uppgifter i momentet är slående lika uppgifter från tidigare moment som till exempel uppgift 9 i steg 9 och uppgift 24 i steg 5, där en area ska uppskattas jämfört med en given area. Flera uppgifter är rutinuppgifter som kräver lösningar i flera steg och därför har klassats som problemlösningsuppgifter eftersom de blir mer komplexa och ovanliga (t.ex. uppgift 3, 7-8 och 27-31). Ett exempel på en sådan uppgift är nr 7 där eleverna ska rita rektanglar med samma area som andra givna figurer och omkretsen 20 cm. Beroende på elevens förkunskaper kan dessa uppgifter klassas som algoritmräkning vilket skulle leda till en ännu större övervikt av algoritmräkningsuppgifter i steget.

Steg 9 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 9 5.1.10 Mattestegen steg 10

I steg 10 får eleverna bekanta sig mer med vinklar och dessutom introduceras talet π som används för att beräkna area och omkrets hos cirklar. Även i steg 10 syns en övervikt av antalet algoritmtränande uppgifter och även här är det sällsynt med modellerings-, resonemangs- eller uppgifter av kommunikationskaraktär. Introduktionen av talet π sker med hjälp av en elevaktivitet där eleverna arbetar i par eller grupp. Denna aktivitet ligger ungefär mitt i momentet som innehåller ett 60-tal uppgifter. Exempel på algoritmuppgifter i steget är då eleven ska berätta hur många varv en snowboardåkare snurrar då denna hoppar runt ett

22

visst antal grader eller hur långt man springer i en bana i en friidrottsanläggning (rektangel med två halvcirklar). Båda dessa uppgifter dyker även upp senare i geometridelen i Matematik 4000 kurs A. Steg 10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 10 5.1.11 Mattestegen steg 11

Steg 11 börjar med många uppgifter av resonemangskaraktär vilket är en skillnad mot tidigare steg. Eleverna ska resonera och hitta samband kring månghörningar i en cirkel. Därefter tar algoritmuppgifterna över mer och mer och över hela momentet så hamnar fler än hälften av uppgifterna i den kategorin. Liksom tidigare så kan vissa uppgifter hamna i både algoritm- och problemlösningskategorin beroende på elevens förkunskaper. Det är trots det tänkvärt många algoritmuppgifter. I uppgift 52 skall eleverna arbeta i grupp, men den har ändå klassats som en algoritmuppgift eftersom nivån på uppgiften, att räkna volymen i klassrummet, är för låg för att inspirera till kommunikation eller resonemang. Ingen uppgift i momentet hjälper eleverna att utveckla sin matematiska kommunikation.

23 Steg 11 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 11 5.1.12 Mattestegen steg 12

I början av steg 12 kommer en del uppgifter som liknar uppgifter från tidigare steg. Ett exempel är uppgift 3 där väggar i ett rum skall målas och kostnaden efterfrågas utifrån att en liter färg har ett särskilt pris. Dessa uppgifter har klassats som algoritmuppgifter eftersom de redan har behandlats tidigare i steg 7 och borde vara rutinartade för eleverna. Vidare har uppgifter om sträcka på kartan redan diskuterats i steg 4 och i steg 7 och vissa uppgifter därifrån återkommer identiska i steg 12.

Steg 12 innehåller många nya begrepp för eleverna, som till exempel likformighet, normal, bisektris, tangent och parallellprojektion, och en del uppgifter tar upp dessa nya begrepp. Resonemangs- och kommunikationsuppgifter förekommer sparsamt och det finns några uppgifter i andra halvan av momentet där eleverna uppmanas att arbeta i par eller grupp. Även i steg 12 är algoritmräkningsuppgifter vanligast, med problemlösningsuppgifter på andra plats. Steg 12 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -lö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s -k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 12

24

5.1.13 Mattestegen steg 13

Steg 13 behandlar koner, pyramider och begränsningsarea. Eleverna får aktivt testa och resonera sig fram till formler för dessa geometriska figurer och dessutom finns det tre uppgifter där eleverna uppmanas att arbeta i par eller grupp. Totalt omfattar dessa uppgifter bara sex av 55 uppgifter och gruppuppgifterna kommer som nummer 24, 50 och 54, det vill säga mot slutet av momentet. Ungefär hälften av uppgifterna i steg 13 har klassats som problemlösningsuppgifter. Steget innehåller en mindre andel algoritmuppgifter jämfört med tidigare steg. Uppgifter av modelleringskaraktär saknas.

Steg 13 0 0,050,1 0,150,2 0,250,3 0,350,4 0,450,5 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 13 5.1.14 Mattestegen steg 14

Steg 14 börjar med att presentera olika vinkelbegrepp såsom alternat-, sido-, vertikal-, likabelägna- och supplementvinklar. Eleverna får rita de nya begreppen, svara på frågor om dem och använda dem i algoritmräkning. Därefter är det dags för begreppen medelpunktsvinkel och randvinkel och eleverna får själva formulera ett samband mellan dessa. Bland dessa tolv första uppgifter i steget får eleverna arbeta med begrepp, lösa problem (algoritmräkning och problemlösning) och ta fram ett samband (resonera och kommunicera). Kapitlet fortsätter med en bra variation av uppgifter, förutom kommunikationsuppgifter vilket inte förekommer någon mer gång. I steget behandlas vinklar, Pythagoras sats, klotet samt volym- och areaskala.

25 Steg 14 0 0,050,1 0,150,2 0,250,3 0,350,4 0,45 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 14

I och med steg 14 skall eleverna enligt läromedelsförfattarna för Mattestegen ha nått målen för år 9. Steg 15 och 16 är fördjupningar för de elever som hinner.

5.1.15 Mattestegen steg 15

I steg 15 bearbetas topptriangelsatsen, pythagoreiska tal och volymförhållanden. Steg 15 innehåller en mindre andel algoritmuppgifter och en större andel resonemangsuppgifter än tidigare steg. Uppgifter med tydliga kommunikationsmöjligheter förekommer endast vid ett tillfälle då eleverna uppmanas att arbeta i par eller grupp.

Steg 15 0 0,05 0,1 0,150,2 0,25 0,3 0,350,4 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 15 5.1.16 Mattestegen steg 16

Steg 16 är inte upplagt efter en viss typ av uppgifter utan är ett mer tematiskt kapitel. Det första temat som ingår är topologi där eleverna bland annat får arbeta med fyrfärgsproblemet och Königsbergs broar. Sedan kommer ett stycke om Erathostenes där eleverna får använda

26

hans metod för att beräkna jordens omkrets. I detta område får eleverna möjlighet att visa och öva på både algoritmräkning och problemlösning samt resonerings-, kommunikations-, och modelleringskompetens. Det tredje och fjärde temat belyser Arkimedes och hans princip samt sinus, cosinus och tangens. Även i dessa finns det stor spridning bland uppgiftstyperna. Till sist avslutas steg 16 med ett tema om gyllene snittet.

Steg 16 0 0,05 0,1 0,150,2 0,250,3 0,35 0,4 A lg o ri tm -k o m p e te n s P ro b le m -l ö s n in g s -k o m p e te n s B e g re p p s -k o m p e te n s R e s o n e m a n g s -k o m p e te n s K o m m u n ik a ti o n s k o m p e te n s M o d e lle ri n g s -k o m p e te n s Steg 16

5.1.17 Matematik 4000 kurs A grön bok

Läroboken matematik 4000 kurs A har ett kapitel med geometri. Kapitlet har fem underkapitel och genom kapitlet tre aktivitetsuppgifter inlagda. Dessutom avslutas kapitlet med blandade övningar och en diskussionsuppgift. Diskussionsuppgiften heter ”Sant eller falskt” och består av 15 påståenden som skall diskuteras. I denna uppgift kan både resonemangs- och kommunikationskompetens visas.

Underkapitlet Omkrets och area börjar med en aktivitet där sambandet mellan omkrets och area hos rektanglar studeras. En liknande studie fick eleverna göra i Mattestegen steg 9. Därefter får eleverna beräkna area och omkrets hos rektanglar, trianglar, parallellogram, parallelltrapets och cirklar och dessutom behandlas längdenheter och areaenheter. De flesta uppgifter är av algoritmtyp eftersom även de flesta textuppgifter är repetition från steg 9 och 10 och därför inte kan ses som problemlösningsuppgifter. Många uppgifter är väldigt lika dem från Mattestegen. Några ”nya” uppgifter ur resonemangs- och kommunikationskategorin förekommer men är mycket få. Exempel på en sådan uppgift är 5118 ”Kan du beräkna arean av en kvadrat om du vet omkretsen? Förklara.” och ”Kan du beräkna arean av en rektangel om du vet omkretsen? Förklara.”. Ett stycke ägnas åt historiska fakta och fördjupning kring talet π kommer i ett eget stycke i slutet av kapitlet.

Även underkapitlet Area och volym liknar de flesta uppgifterna dem från Mattestegen steg 11, 13 och 14. I kapitlet beräknas volymer hos rätblock, prismor, cylindrar och klot. Kapitlet tar även upp volymsenheter. De flesta uppgifter är av algoritm- eller problemlösningstyp, Eftersom eleverna bör ha arbetat med dessa områden tidigare borde inte frågeställningarna vara nya för dem, men uppgifterna kan ändå vålla problem för dem att lösa. Uppgifter av kommunikations-, resonemangs- eller modelleringskaraktär är ytterst få.

27

Aktiviteten i början av Vinklar leder till ett resonemang om vinkelsumman i en månghörning. En liknande aktivitet finns även i Mattestegen steg 11. Kapitlet tar upp vinkelsumma, olika trianglar och har många uppgifter där det gäller att bestämma vinkeln. I slutet av underkapitlet finns uppgifter där vinkeln bestäms med hjälp av en ekvation. Även i detta kapitel finns nästan alla uppgiftstyper att finna i Mattestegen och klassas som algoritmuppgifter eller problemlösningsuppgifter.

Underkapitlet Skala tar upp förminskning och förstoring samt likformighet. Förminskning återfinns bland annat i steg 12 och likformighet i steg 11. Förstoring återfinns inte i Mattestegen. Uppgifterna är av algoritm- eller problemlösningskaraktär. Någon uppgift har modelleringskaraktär.

Det femte och sista kapitlet är Kvadratrötter och Pythagoras sats. Kvadratrötter har behandlats i Mattestegen, men inte inom området geometri. Pythagoras sats hittas i steg 14 och 15. I delen med Pythagoras sats finns fyra uppgifter som skiljer sig något från uppgifterna i Mattestegen. De uppgifterna är resonering- och problemlösningsuppgifter. Kapitlet avslutas med en historisk tillbakablick på Pythagoras.

5.2 Genomgång av nationella prov

Eftersom de två nationella proven skall jämföras kommer endast de delar som är jämförbara med varandra att analyseras. Den muntliga delen av det nationella provet för år 9 har inte någon motsvarighet i det nationella provet för gymnasiets kurs A i matematik och kommer därför inte vara med i analysen. Vidare är det bara de uppgifter som ligger i ämnesområdet geometri som analyserats.

5.2.1 Nationellt prov år 9 VT 2008

Del B1 innehåller tre uppgifter av geometrikaraktär. Den första är nr 15 där eleven skall bestämma värdet på en vinkel. Den är en rutinuppgift av algoritmkaraktär. I uppgift nr 16 skall eleven ta reda på hur stor del av rektangeln som är skuggad vilket är en uppgiftstyp där eleven visar begreppskompetens både för bråk och area. Uppgiften kan klassas som en problemlösningsuppgift om uppgiftstypen är ny för eleven. Uppgiften går att lösa med en metod och skulle i så fall istället vara en algoritmuppgift. I den sista uppgiften skall eleven använda det generella areamåttet areaenheter (ae) och bestämma en triangels yta i ett rutmönster. Denna uppgift klassas som huvudsakligen problemlösningsuppgift.

Del B2 innehöll inte någon uppgift av geometrikaraktär.

I del C får eleverna i uppgift 5 lösa en uppgift med area och omkrets. Det är en uppgift i flera steg av problemlösningskaraktär. För att lösa uppgiften måste eleven även visa på begreppskompetens. Därefter får eleverna i uppgift 7 beräkna volymen på en cylinder där de får möjlighet att visa på algoritmkompetens och resonemangskompetens. I uppgift 10 får eleverna jämföra areor och resonera över hur många små hjärtan som ”får plats” i det stora.

5.2.2 Nationellt prov år 9 VT 2007

I del B1 uppgift 8 skall eleverna bestämma arean av en figur som består av halva och hela rektanglar då man vet att varje rektangel har arean 2 cm2. Detta är en algoritmuppgift då det finns en lösningsmetod att använda samt att eleverna har arbetat med många liknande uppgifter tidigare. I uppgift 18 undras hur stor area en liksidig triangel har om sidan är 5 dm.

28

Eleven får visa begreppskompetens och antingen algoritmkompetens eller problemlösningskompetens.

Uppgiften i del B2 har inte geometrikaraktär.

Del C innehåller flera uppgifter med geometrikaraktär. Den första är nr 5 där eleverna skall beräkna volymen hos en ring och i nr 8 skall ett avstånd mellan två platser bestämmas utgående från en karta. Båda uppgifterna är av algoritmkaraktär. I nr 9 gäller det att beräkna volym regnvatten på en viss yta. Uppgiften är annorlunda formulerad vilket leder till att den är av problemlösningskaraktär.

5.2.3 Nationellt prov Matematik A VT 2005

Del 1 innehåller flera uppgifter av geometrikaraktär. I uppgift 2 skall eleven skugga 3/8 av en viss figur. Denna uppgift visar på begreppskompetens när det gäller bråk och area. Vidare skall eleven svara på hur många grader en liksidig triangel skall vridas så att figuren sammanfaller med den ursprungliga i uppgift 13. Denna uppgift visar framför allt begreppskompetens. I uppgift 15 skall eleven välja den graf som visar sambandet mellan radien och omkretsen i en cirkel. Uppgiften kräver begreppskompetens både då det gäller cirkeln och grafer samt resonemangskompetens.

I del 2 får eleverna i uppgift 2 visa på algoritmkompetens när det gäller att tillverka en silverkula och i uppgift 4 visa på begreppskompetens när det handlar om enheter. I uppgift 7 skall eleverna räkna på ett doseringsmått för spagetti. Elevernas uppgift blir att beräkna och att jämföra areor vilket visar på algoritm- och resonemangskompetens. I uppgift 9 skall eleven berätta hur stor del av en figur som är skuggad. För att lösa uppgiften visar eleven framför allt på resonemangskompetens.

5.2.4 Nationellt prov Matematik A VT 2002

I uppgift 8 i del 1 skall eleven bestämma vinkeln i en fyrhörning där en vinkel är given till 42 grader och två vinklar är räta. Denna uppgift visar på begreppskompetens om vinkelsumman i fyrhörningar. I uppgift 12 handlar det om att bestämma hur stor del av en figur som är skuggad och i uppgift 13 skall en sida i ett rätblock ändras så att volymen ändras så lite som möjligt. Båda dessa visar begrepps- och resonemangskompetens.

I del 2 uppgift 2 skall eleven ge ett utryck för omkretsen på en fyrhörning vilket visar på algoritmkompetens då det är en rutinuppgift. I uppgift 3 skall eleverna undersöka likbenta trianglar med en vinkel som är 50 grader.

29

6 Diskussion

6.1 Resultatdiskussion

6.1.1 Upprepning i läromedlen

Då geometrimålen för år 5 och år 9 jämförs kan vissa skillnader i dessa identifieras, men till stor del överensstämmer de med varandra. I år 5 skall eleven kunna jämföra, uppskatta och mäta längder, areor, volymer och vinklar samt kunna använda ritningar och kartor medan de i år 9 skall kunna använda metoder, måttsystem och mätinstrument för att jämföra, uppskatta och bestämma längder, areor, volymer och vinklar. Skillnaden ligger i att det till år 9 är specificerat hur eleven skall göra, att eleven skall kunna bestämma (d.v.s. räkna ut) och att eleven skall använda enheter. Vidare skall eleven i år 5 ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer medan de i år 9 skall kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt. När det gäller kunskapen om skala skall eleven i år 5 kunna använda ritningar och kartor, medan de i år 9 skall kunna tolka desamma. Dessa mål i geometri i år 5 och 9 är väldigt lika varandra, men betyder det att de tolkas lika? På vilket sätt tolkas dessa mål olika hos författare av nationella prov, läromedel och lärare?

Det märks att böckerna i Mattestegen är tänkta att följa på varandra. Genom böckerna är det mesta material nytt när det tas upp och det nya materialet bygger väl på det föregående. Läromedelsförfattarna verkar ha haft svårt att se skillnaden mellan målen i år 5 och i år 9 som berör kartor och ritningar, då skala är det enda område där näst intill ingen progression sker genom böckerna. Eleverna får i läromedlet repetera gamla kunskaper igen då kartor skall hanteras och uppgifterna är väldigt lika varandra. I de andra delarna av grundskoleläromedlet sker inte så mycket upprepning av moment och uppgifter.

Målen för gymnasiets matematik A är inte lika kunskapsspecificerade som för år 5 och år 9, utan säger att eleverna skall ha fördjupat kunskaperna om geometriska begrepp och kunna tillämpa dem i vardagssituationer och i studieinriktningens övriga ämnen. Dessutom skall de vara så förtrogna med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning. Det som framför allt framträdde då uppgifterna i Matematik 4000 analyserades var att de flesta var väldigt lika uppgifter från Mattestegen. Det var endast några få uppgifter som skulle vara nya för eleverna om de tidigare arbetat med Mattestegen. Geometridelen i Matematik 4000 var, jämfört med Mattestegen, en repetition av gamla kunskaper vilka eleven redan borde besitta om denna haft godkänt betyg från grundskolan. Vad som är grundläggande geometriska satser och resonemang är fritt för vida tolkningar, men hårdrar man resonemanget skulle man kunna hävda att, med stöd i styrdokumenten, den ”vanliga” och klassiska matematik A-kursens geometridel som beskrivs i Matematik 4000 kurs A skulle kunna ersättas med att kursen skulle kunna klaras av enbart via problemlösning i de andra kurser som ingår i elevens gymnasieutbildning. Enligt målen borde således geometriundervisningen i matematik A inte vara en repetition av målen från grundskolan utan istället vara en fördjupning med problemlösning i fokus. Eftersom många lärare lägger upp sin undervisning med stöd i läromedel och om fler gymnasieläromedel liknar Matematik 4000 betyder det att den matematik A-undervisning som bedrivs i Sverige kan vara en repetitionskurs.