Identifikace a řízení průtahového ústrojí mykacího stroje Identification and Control of Drafting Process

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI

FAKULTA MECHATRONIKY

A MEZIOBOROVÝCH INŽENÝRSKÝCH STUDIÍ

Studijní program: 2612M - Elektrotechnika a informatika

Studijní obor: 2612T - Automatické řízení a inženýrská informatika

Identifikace a řízení průtahového ústrojí mykacího stroje Identification and Control of Drafting Process

Jiří Vraštil

Vedoucí práce: Dr. Ing. Mgr. Jaroslav Hlava Technická univerzita Liberec Konzultant: Doc. Ing. Bedřich Janeček, CSc.

Technická univerzita Liberec

Rozsah práce a příloh:

Počet stran textu: 76 Počet obrázků: 26 Počet grafů: 22 Počet tabulek: 7 Počet vzorců: 99

Počet příloh: 3

Počet CD – ROM: 1

Tady bude zadání DP

Anotace

Diplomová práce se zabývá problematikou matematického modelování, simulace a řízení procesu protahování textilního pramene. Cílem práce je nalezení vhodného přístupu k modelování, vytvoření matematického modelu a návrh řízení průtahového ústrojí.

V úvodu jsou shrnuty základní poznatky z technologie předení a definovány základní veličiny pro klasifikaci pramene. Dále je práce zaměřena na problematiku modelování procesu protahování. Je uvažováno několik variant teoretických modelů vycházejících z různých předpokladů o struktuře a vlastnostech protahovaného pramene. Vedle toho je navržen také čistě experimentální model získaný identifikací z naměřených dat. Na závěr je vytvořen návrh řízení průtahového ústrojí.

Abstract

This thesis deals with mathematical modelling, simulation and control of textile sliver drafting process. Thesis objectives are to find suitable modelling approach, to build and evaluate mathematical model and to design control system for sliver drafting process.

The most important concepts and definitions from the field of cotton spinning technology are summarized in the introductory part of the thesis. In the next part, the thesis is devoted to modelling of drafting process. Several variants of theoretical models based on different assumptions on drafted sliver structure and characteristics are considered. A purely experimental model identified from experimental data is also proposed and tested. Control system design is described in the final part of the thesis. Its applicability is demonstrated using both simulational testing and with real process.

Prohlášení

Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se plně vztahuje zákon č. 121/2000 o právu autorském, zejména § 60 (školní dílo).

Beru na vědomí, že TUL má právo na uzavření licenční smlouvy o užití mé diplomové práce a prohlašuji, že souhlasím s případným užitím mé diplomové práce.

Jsem si vědom toho, že užít své diplomové práce či poskytnout licenci k jejímu využití mohu jen se souhlasem TUL, která má právo ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů vynaložených univerzitou na vytvoření díla (až do jejich skutečné výše).

Diplomovou práci jsem vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury a na základě konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.

V Liberci 23. 5. 2003 ………..

Jiří Vraštil

Místopřísežné prohlášení

„Místopřísežně prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.“

V Liberci 23.5.2003 ……….……

Poděkování

Za pomoc při řešení diplomové práce bych rád poděkoval vedoucímu práce Dr. Ing. Mgr. Jaroslavu Hlavovi a konzultantovi Doc. Ing. Bedřichu Janečkovi, CSc., že mi ochotně umožnili získat cenné odborné informace formou konzultací a technické dokumentace.

OBSAH

1 ÚVOD ... 10

2 TEORIE PROCESU PŘEDENÍ... 11

2.1 PROCESY SPŘÁDÁNÍ... 11

2.2 ROZVOLŇOVÁNÍ, ČECHRÁNÍ, ČIŠTĚNÍ, MÍSENÍ... 11

2.2.1 Rozvolňování (čechrání), čištění... 11

2.2.2 Mísení... 12

2.3 ROZVLÁKŇOVÁNÍ – MYKÁNÍ... 12

2.4 PŘÍPRAVA PRO ČESÁNÍ (DRUŽENÍ A PROTAHOVÁNÍ)... 14

2.5 VYLUČOVÁNÍ KRÁTKÝCH VLÁKEN - ČESÁNÍ... 14

2.6 DRUŽENÍ A PROTAHOVÁNÍ... 15

2.6 PŘEDPŘÁDÁNÍ... 15

2.7 DOPŘÁDÁNÍ... 15

2.8 ZÁVĚREČNÉ PRÁCE... 15

3 VLASTNOSTI PRAMENE ... 16

3.1 NESTEJNOMĚRNOST OBECNĚ... 16

3.2 HMOTNÁ NESTEJNOMĚRNOST... 17

3.3 SNÍMAČ HMOTNÉ NESTEJNOMĚRNOSTI TRUMPET... 19

3.4 VLASTNOSTI PRAMENE ZHLEDISKA STRUKTURY... 21

3.4.1 Jemnost vláken ...21

3.4.2 Počet vláken v průřezu... 21

3.4.3 Rozložení vláken...22

3.4.4 Délka vláken... 22

3.5 PRŮTAH... 23

3.5.1 Matematické odvození statické charakteristiky procesu... 23

4 TEORETICKÉ MODELY PROTAHOVACÍHO ÚSTROJÍ ... 25

4.1 MODEL JEDNOZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKNA... 26

4.2 MODEL JEDNOZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SNEKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKNA... 28

4.3 MODEL DVOUZÓNOVÉHO PROTAHOVACÍHO ÚSTROJÍ... 31

4.4 MODEL DVOUZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SNEKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKEN... 34

5 PRACOVIŠTĚ PROTAHOVACÍHO ZAŘÍZENÍ... 38

5.1 MECHANICKÁ ČÁST ZAŘÍZENÍ... 38

5.2 ELEKTRICKÁ ZAŘÍZENÍ... 39

5.2.1 Frekvenční měniče ... 39

5.2.2 Vstupně výstupní karty ... 40

5.2.3 Blokové schéma pracoviště protahovacího zařízení ...40

5.2.4 Programová podpora...42

6 MODELY PROTAHOVACÍHO ÚSTROJÍ ... 47

6.1 MODEL JEDNOZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKNA... 47

6.2 MODEL JEDNOZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SNEKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKNA... 48

6.3 MODEL DVOUZÓNOVÉHO PROTAHOVACÍHO ÚSTROJÍ... 50

6.4 MODEL DVOUZÓNOVÉHO ÚSTROJÍ SNEKONSTANTNÍ DÉLKOU VLÁKEN... 52

6.5 EXPERIMENTÁLNÍ MODEL PRŮTAŽNÉHO ÚSTROJÍ... 53

6.6 POROVNÁNÍ STUDOVANÝCH MODELŮ... 55

7 REGULACE PRŮTAHOVÉHO ÚSTROJÍ ...58

7.1 REGULAČNÍ STRUKTURY... 58

7.2 DOPŘEDNÁ STRUKTURA ŘÍZENÍ... 59

7.2.1 Zhodnocení dopředné regulace...61

7.3 KOMBINACE DOPŘEDNÉHO A ZPĚTNOVAZEBNÍHO ŘÍZENÍ... 63

7.3.1 Návrh optimálního PI regulátoru ... 64

8 ZÁVĚR ... 72

SEZNAM POUŽITÝCH VELIČIN A ZKRATEK

Rozptyl s² [-]

Směrodatná odchylka s [-]

Variační koeficient v [%]

Počet n [-]

Lineární nestejnoměrnost U [%]

Kvadratická nestejnoměrnost CV [%]

Index nestejnoměrnosti I [-]

Jemnost T [tex]

Hmotnost m [kg]

Délka vlákna l [m]

Délka průtahového pole L [m]

Parametr Poissonova rozdělení λ [-]

Průtah P [-]

Síla F [N]

Rychlost v [m/s]

Čas t [s]

Dopravní zpoždění τd [s]

Frekvence f [Hz]

Tlak p [Pa]

Obrazový přenos Fs [-]

Analogově-digitální převodník A/D Digitálně-analogový převodník D/A Vstupně-výstupní zařízení v/v

Osobní počítač PC

1 Úvod

1 ÚVOD

V současné době je všeobecně nastolen trend výrobních technologií urychlovat a v co nejmenší režii vyrábět velice kvalitní produkty. Jinak tomu není ani v textilním průmyslu, kde je také velice tvrdé a konkurenční prostředí.

Technologie spřádání pramene je velice sledovaná a důležitá oblast v textilním odvětví, protože z pramene se dále vyrábí různé produkty. Z tohoto důvodu je nutné zajišťovat a pečlivě sledovat kvalitu vyráběného pramene, od které se následně přímo odvíjí kvalita a další vlastnosti finálních výrobků. Jedním z nejsledovanějších parametrů je z hlediska posuzování kvality hmotná nestejnoměrnost. Dokonce se celosvětově vydávají statistické přehledy o kvalitě vyráběné příze, která je stanovena kontinuální metodou hmotné nestejnoměrnosti.

Při protahování dochází ke zvětšování hmotné nestejnoměrnosti, proto se tato technologie kombinuje s dalšími speciálními operacemi jako je družení, aby se kompenzoval tento negativní jev. Znamená to družit k sobě i několik pramenů, které jsou protahovány. Toto přináší dobré výsledky, ale za cenu větší náročnosti a to jak z hlediska časového, prostorového, tak i v nemalé míře finančního.

V současné době je snaha využít současné nutně používané technologie protahování a v rámci protahování provádět regulaci v průtažné zóně, a to pomocí řízení otáček odtahovacích válečků, a tím zlepšovat hmotnou nestejnoměrnost.

Tato diplomová práce byla vypracována v rámci výzkumného ústavu VÚTS Liberec a zabývá se právě otázkou modelování, identifikace a řízení protahovacího zařízení, které je součástí mykacího stroje UNICARD CZ 0103. Zároveň zde byla snaha pojednat některé z problémů pokud možno v obecné rovině tak, aby výsledky byly aplikovatelné i na libovolná jiná válečková průtažná ústrojí.

2 Teorie procesu předení

2 TEORIE PROCESU PŘEDENÍ

2.1 Procesy spřádání

Cílem technologie předení je ze vstupní vlákenné suroviny vyrobit co nejkvalitnější přízi. Kvalita příze se dá posuzovat podle mnoha různých hledisek. Např. pevnost, tažnost, pružnost, stejnoměrnost a mnoho dalších.

Vlákennou surovinu, tj. neurovnanou, často slisovanou a znečištěnou masu vláken, nelze zpracovat v jedné technologické operaci, ale musí se jednotlivé operace provádět postupně.

Pro názornost a přehlednost je uvedeno obecné schéma postupu předení viz tab.2.1.1, kde je nejlépe vidět návaznost jednotlivých technologických operací i vznikající přádelnické polotovary a produkty.

Technologická operace (Proces) Forma vycházejícího vlákenného materiálu I. ROZVOLŇOVÁNÍ, ČECHRÁNÍ,

ČIŠTĚNÍ, MÍSENÍ

Vločky (rouno)

II. MYKÁNÍ (rozvlákňování) Pavučina (pramen, přásty)

III. DRUŽENÍ A PROTAHOVÁNÍ Prameny(stůčka)

IV. ČESÁNÍ Pramen + odpad

V. DRUŽENÍ A PROTAHOVÁNÍ Pramen

VI. PŘEDPŘÁDÁNÍ Přást

VII. DOPŘÁDÁNÍ Příze

VIII. ZÁVĚREČNÁ PRÁCE Příze

Tab.2.1.1 Obecné schéma a procesy předení

Ne vždy musí při výrobě přízí proběhnout veškeré operace. Řazením jednotlivých technologických stupňů za sebou, vynecháváním nebo jejich vícenásobným zařazováním, je možné docílit vypřádání různých typů přízí – od přízí mykaných až k přízím česaným. Dále je zde uveden stručný popis jednotlivých procesů, které probíhají při spřádání vlákenného materiálu.

2.2 Rozvolňování, čechrání, čištění, mísení 2.2.1 Rozvolňování (čechrání), čištění

Technologie, která zajišťuje počáteční rozvolnění slisované hmoty vláken

2 Teorie procesu předení

mísení). Jedná se o první proces, který umožní následující procesy, probíhající postupně nebo i současně v čistírnách.

Rozvolňování se dělí na čechrání ve volném stavu, v sevřeném stavu a potěrání podle použitého typu stroje.

Od rozvolňovacích strojů je vlákenný materiál dopravován k čechracím strojům, které umožní načechrání vlákenného materiálu a současné uvolňování, resp. vypadávání různých nečistot, obsažených ve vlákenných surovinách.

Zbývající nečistoty, převážně rostlinného původu, se musejí odstraňovat při dalších technologických operacích, tj. při mykání a česání.

2.2.2 Mísení

Mísením zajišťujeme lepší vlastnosti příze tím, že vlákna co nejvíce navzájem promísíme. Výsledkem z čistírny je vyčištěný, načechraný a promísený vlákenný materiál ve formě vloček, nebo ve formě částečně slisovaného rouna navinutého do stůček. Vločky vláken jsou přepravovány většinou pneumatickým dopravníkem k mykacímu stroji a jsou mu předkládány v požadovaném množství a šíři. Dodávka k mykacímu stroji musí být rovnoměrná.

2.3 Rozvlákňování – mykání

Účelem mykání je vyrobit z překládaného vlákenného materiálu (vločky, rouno) co nejstejnoměrnější pavučinu, resp. pramen – mykanec, vyjímečně při vlnařské mykané technologii přásty.

Mykání se zařazuje do technologického postupu tak, aby předchozí zpracování zaručovalo dostatečné rozvolnění, pročechrání, případně hrubé odřepíkování u vlny. Na mykacích strojích probíhá více procesů rozvolňování, čištění, napřimování, ojednocování, promísení, urovnávání vláken do podélného směru, vyloučení vlákenných vad. Výstupem z mykacího stroje je rovnoměrná jemná vlákenná vrstva – pavučina. Ta je příliš jemná pro další manipulaci, a proto je shrnována a slisována do pramene viz obr.2.3.1.

2 Teorie procesu předení

Obr.2.3.1 Pramen v technologické konvi

Správně vytvořená rovnoměrná pavučina je nutným předpokladem pro další přádelnické operace. Pavučina má částečnou směrovou orientaci vláken v podélném směru.

K vyrobení kvalitní jemné příze je nutné tuto orientaci dokončit. Toho se dociluje protahováním pramene.

Pro určité přádelnické technologie a určité vlákenné materiály se používají různé typy mykacích strojů. Pro bavlnářské vlákenné materiály – víčkové mykací stroje. Pro vlnařské vlákenné materiály a pro lýková vlákna – válcové mykací stroje.

Všechny pracovní části mykacího stroje, tedy válce, bubny, víčka jsou opatřeny speciálními pracovními potahy, které umožňují vlastní mykací proces a přímo působí na propracování vláken.

Činnosti mykacího stroje jsou následující. Vlákenný materiál je podávaný podávacím ústrojím k rozvolňovacímu válci. V důsledku rychle se otáčejícího rozvolňovacího válce zde dochází k uvolňovaní chomáčků vláken. Nečistoty obsažené v těchto chomáčcích jsou působením odstředivé síly odděleny a propadávají roštem umístěným pod rozvolňovacím válcem. Vločky se po rozvolňovacím válci dostávají k hlavnímu bubnu mykacího stroje.

V důsledku vyšších otáček hlavního bubnu je vlákenný materiál převzat bubnem a unášen k víčkům. Mezi víčky a bubnem probíhá vlastní mykaní. Jednotlivá vlákna jsou zachycována trny víček a trny na povrchu bubnu. Tím dochází k ojednocování vláken.

Vlákenný materiál je poté snímán snímačem a zhušťován. Z povlaku snímače je pavučina snímána snímacím ústrojím. Pavučina se dále shrnuje do pramene. Takto získaný pramen prochází dvouzónovým průtažným ústrojím a je často ukládán do konve viz. obr.2.3.1.

2 Teorie procesu předení

2.4 Příprava pro česání (družení a protahování)

V širším smyslu se s procesem protahování setkáváme v celém průběhu přádelnické výroby v souvislosti s postupným ztenčováním přediva. V užším smyslu se o protahovacích strojích hovoří v souvislosti s přípravou pramene vhodného pro další postupy předpřádání nebo přímé předení příze z pramenů mykaných nebo česaných. Na protahovacích strojích dochází vedle protažení (ztenčení) k dalším procesům ovlivňujícím charakter pramene. Je to paralelizace a napřímení vláken, zajištění potřebné stejnoměrnosti a promíchání vláken vlivem družení a utvoření vhodné struktury pramene pro další zpracování.

Po technologické operaci mykání následuje ve většině případů proces družení. Družení je v přádelnické technologii používáno jako známý zestejnoměrňující proces. Účelem družení a protahování pramenů je zlepšení jejich stejnoměrnosti, struktury, orientace vláken v pramenech, napřimování vláken v pramenech a v neposlední řadě ztenčení pramenů a tvorba vhodné předlohy (stůčky). Tento proces probíhá vlivem různých rychlostí pracovních orgánů protahovacích strojů.

Pro protahování, resp. ztenčování vlákenných produktů z různých vlákenných materiálů se používají na protahovacích strojích různé typy průtahových ústrojí. Pro bavlnu se používá válečkové průtahové ústrojí.

2.5 Vylučování krátkých vláken - česání

Česáním rozumíme operaci zpracování materiálu, při které dochází vlivem vícenásobného mechanického působení ojehlených hřebenů na přiváděnou vlákennou třáseň k vyčesání, tj. k odstranění do odpadu těch vláken, která nejsou v pevném sevření čelistí nebo oddělovacích válečků. Dále jsou vyčesány vlákenné vady, nečistoty, slepence a nopky.

Vyčesaná vlákna jsou vlákna krátká nebo relativně krátká, vlivem špatné směrové orientace háčků na vlákně, případně polohy vlákna. Velikost vylučovaných nečistot a vlákenných vad je dána hustotou sázení jehel v posledním hřebenu česacího segmentu a hustotou sázení jehel dočesávacího hřebenu. Při česání dochází též ke zvýšení směrové orientace vláken, která se však při odvádění částečně naruší. Česáním se z pramene vylučují krátká vlákna, jemné nečistoty. Výsledným produktem je „pramen česanec“. Vedlejším odpadním produktem jsou krátká vlákna tzv. výčesky. Tyto jsou většinou používány pro výrobu přízí s nižší jemností nebo pro výrobu netkaných textilií.

2 Teorie procesu předení

2.6 Družení a protahování

Tato část přádelnické technologie navazuje bud´ na technologickou operaci mykání (předení mykaných nebo rotorových přízí bavlnářských), nebo následuje po operaci česání.

Vyrovnání nestejnoměrnosti pramenů dosáhneme družením. Urovnání vláken do rovnoběžné polohy a zjemnění pramenů dosáhneme průtahem.

Družení a protahování se provádí na protahovacích strojích. Při protahování po česání dosahujeme ještě stejnosměrného rozložení vláken, které bylo česáním narušeno. Princip protahování a družení byl popsán v kapitole 2.4

2.6 Předpřádání

Je to mezistupeň před konečným zjemněním při dopřádání. Zjemnění je v podstatě snižování počtu vláken v průřezu délkové textilie. Při technologické operaci předpřádání se jedná o následující postupné procesy. Ztenčení( zjemnění) vlákenného útvaru (pramene- průtahem; pavučiny-dělením) a zpevnění ztenčeného vlákenného útvaru (mírným zákrutem, zaoblováním) a navinutím vzniklého přástu do vhodného tvaru.

U některých technologií odpadá předpřádání jako příprava přástu a dopřádá se přímo z jemných pramenů.

2.7 Dopřádání

Dopřádání je proces, kdy délkový vlákenný útvar přást (eventuelně pramen) je ještě dále zjemněn (protažen), zpevněn trvalým zákrutem a navinut na přízové těleso vhodného tvaru (potáč, vytáč, válcová křížová cívka, kónusová křížová cívka, válcová cívka s okrajovými kotouči).

2.8 Závěrečné práce

Dokončovací práce v přádelnách se zařazují podle typu vypřádaných přízí a podle požadavků odběratelů. Jedná se zejména o soukání, paření a barvení.

K popisu technologického procesu zpracováni vlákenné suroviny byla použita literatura [2], [3] (Ursíny, 1992).

3 Vlastnosti pramene

3 VLASTNOSTI PRAMENE

3.1 Nestejnoměrnost obecně

Nestejnoměrnost je procentuální vyjádření kolísání náhodně proměnné veličiny. Je velmi sledovanou vlastností kolísání délkové hmotnosti, která je definována jako hmotná ( nebo též hmotová ) nestejnoměrnost. Čím je hodnota nestejnoměrnosti menší, tím je příze kvalitnější. Hmotová nestejnoměrnost se nejčastěji měří na testovací aparatuře Uster, která využívá kapacitního snímače hmotnosti.

Za předpokladu, že se jedná o náhodně proměnnou veličinu, tak její statistické vlastnosti můžeme vyjádřit pomocí charakteristik, jako kupříkladu:

Průměrnou hodnotu (3.1)

Rozptyl (3.2)

Směrodatnou odchylku (3.3)

Variační koeficient [%] (3.4)

Směrodatná odchylka udává kolísání naměřených hodnot okolo průměrné hodnoty v absolutních jednotkách. Toto kolísání vyjádřené v procentech vyjadřuje variační koeficient, který je vyjádřením nestejnoměrnosti. Můžeme hovořit o nestejnoměrnosti délkové hmotnosti ( jemnosti ), nestejnoměrnosti pevnosti, apod.

Existují tři příčiny hmotné nestejnoměrnosti:

a) Příčina nestejného počtu vláken v různých průřezech příze a uspořádání vláken do

„svazků“ v její struktuře.

b) Příčina nestejného průřezu, resp. délkové hmotnosti ( jemnosti ) samotných vláken.

c) Nedokonalost návaznosti konců staplových vláken na sebe vlivem nestejnoměrné délky vláken.

∑

=

= ⁿ

1 i

xi

n x 1

( )

∑

=

− −

= ⁿ

1 i

2 i

2 x x

1 n s 1

s2

= δ

102

x s ⋅

= ν

3 Vlastnosti pramene

3.2 Hmotná nestejnoměrnost

Podle délky úseků, na které je délková textilie při měření rozdělena můžeme popisovat hmotnou nestejnoměrností na krátkých a dlouhých úsecích. Pro seznámení a definování následujících pojmů a vztahů bylo použito studijních materiálů, které jsou v literatuře [15]

(Kovačič, 2001).

Hmotná nestejnoměrnost je definována jako a) lineární hmotná nestejnoměrnost

[%] (3.5)

-vychází ze statické rozptylové charakteristiky lineární odchylky

[g] (3.6)

b) kvadratická hmotná nestejnoměrnost

[%] (3.7)

-vychází z rozptylu s²

kde … průměrná hmotnost na řešené délce m_i … hmotnost jednoho úseku

p … určuje velikost řešené délky

U stanovení CV [%] předpokládáme, že se kolísání hmotné nestejnoměrnosti řídí normální zákonem rozdělení pravděpodobnosti. Za tohoto předpokladu ( kolísání neperiodických vad je symetrické ) pak platí:

a z toho plyne CV ≈ 1,25⋅U [%] (3.8)

Hmotná nestejnoměrnost v délkové textilii vždy nějaká bude, protože samotná vlákna jsou ve své tloušťce nestejnoměrná a nestejnoměrná jsou vlákna i ve své délce. Vyplývá z toho, že se teoreticky nemůžeme dostat pod určitou úroveň hmotné nestejnoměrnosti. Určitá

∑

=

−

⋅

= ^p

1 i

i 2

m p m

1 m U 10

( )

∑

=

−

= ^p

1 i

2

i m

p m w 1

( )











 −

⋅ −

=

∑

= p

1 i

2 i 2

m 1 m

p 1 m

CV 10

2 U CV = π

m

3 Vlastnosti pramene

limitní nestejnoměrnost se objeví i za předpokladu, že vlékna jsou stejně dlouhá a se zcela stejným průřezem. Této mezní nestejnoměrnosti se říká nestejnoměrnost limitní.

Limitní nestejnoměrnost je závislá na stejnoměrnosti tloušťky a délky vláken. Dá se vypočítat podle vztahu:

[%] (3.9)

[%] (3.10)

kde T … jemnost délkové textilie v [tex]

v_di…variační koeficient průměru vláken d[%] i-té komponenty T_vi… délková hmotnost vláken [dtex] i-té komponenty

p_i … hmotnostní podíl [%] i-té komponenty v délkové textilii

Praktický význam výpočtu limitní nestejnoměrnosti U_lim [%] a CV_lim [%] spočívá v tom, že z nich a z naměřených tzv. efektivních nestejnoměrností můžeme vypočítat index nestejnoměrnosti.

index nestejnoměrnosti [-] (3.11)

Ze vztahu pro index nestejnoměrnosti vidíme, že tato veličina je bezrozměrná a bude nabývat hodnot větších než 1. Vyjadřuje jak se reálný produkt liší od ideálního. To proto, že se můžeme dostat maximálně na limitní nestejnoměrnost. V tomto případě by byl index nestejnoměrnosti roven 1.

( )











 + ⋅ ⋅ ⋅

=

∑

= n

1 i

i vi 2 di

lim 1 0,0004 v T p

T 8 1 , 2 CV

( )











 + ⋅ ⋅ ⋅

=

∑

= n

1 i

i vi 2 di

lim 1 0,0004 v T p

T 5 1 , 3 U

lim ef lim

ef

CV CV U

I= U =

3 Vlastnosti pramene

Obr.3.3.1 Trychtýř

3.3 Snímač hmotné nestejnoměrnosti TRUMPET

Snímač se skládá ze tří hlavních částí. Vrchní část snímače slouží k připevnění snímače k jeho držáku. Spojení držáku a snímače musí být pevné a nesmí přenášet vibrace ze stroje na snímač. Střední část je nosník namáhaný na ohyb. Na povrchu jsou nalepeny čtyři tenzometry. Dva jsou namáhané na tlak a dva na tah. Spodní část tvoří měřící trychtýř viz obr.3.3.1, kterým prochází měřený pramen.

Pramen procházející snímačem je stačován do měřícího trychtýřku. Tím vzniká tlak na stěny snímače trychtýř viz obr.3.3.2. Tlak je přímo úměrný tloušťce pramene. Čím silnější bude pramen tím větší síla bude zapotřebí k jeho stlačení do dutinky snímače a tím větší tlak bude působit na stěny snímače. Síly jsou následně převáděny na požadovanou hmotnost.

Pramen

C A

B

Fc

3 Vlastnosti pramene

∫

) (S

Pro jednotlivé třecí síly platí následující vztahy:

Oblast A: Síly působící v dutině snímače

T1 = f ⋅ N1 (3.12) N1= p ⋅ S1 (3.13)

Oblast B: Pro sílu F platí Eulerový vztah

F = T2 ⋅ e ^α⋅f (3.14)

Oblast C: Síly v trychtýři snímače

1.Třecí síla mezi vláknem a stěnou snímače

T₂ = f ⋅ N2 (3.15) N₂= p ⋅ dS2 (3.16) 2.Vznik síly F_v a změna rychlosti v₁ na v₂ vlivem změny pohybu pramenu

(3.17)

Výsledná síla ohýbající snímač:

Fc = (-T₁) + F + Fv (3.18)

Popis veličin:

T₁ … třecí síla pramenu F … odtahová síla

T2 … třecí síla pramenu N1… výsledná síla tlaku na stěnu dutinky f … součinitel smykového tření N2… výsledná síla tlaku na stěnu trychtýřku p … tlak pramene na stěnu snímače S1… plocha dutinky

α … úhel ohybu S2… plocha trychtýřku

β … úhel svírající rychlosti v1 a v2

Další důležité vlastnosti snímače potřebné pro regulaci, jako je statická charakteristika a dynamické vlastnosti jsou uvedeny v kapitole 5.2.5.

Podrobnější rozbor možno nalézt v literatuře [6] (Semerák, 1998).

( )

_



 





− β

⋅

⋅

=

−

⋅

= cos

1 1 v m v v m

Fv _{1 2 1}

3 Vlastnosti pramene

3.4 Vlastnosti pramene z hlediska struktury 3.4.1 Jemnost vláken

Za jemnost vláken se zpravidla považuje střední hodnota jemnosti vláken. Tato hodnota se určuje většinou praktickým měřením v laboratorních podmínkách a bývá pro daný druh, jakost a zralost známa.

Jemnost příze vyjadřuje vztah mezi délkou příze l a hmotností příze m. Pro vyjádření jemnosti zavádíme jednotku 1 tex (zkratka tex). Jeden tex je jednotkou délkové hmotnosti a má následující fyzikální význam.

[ ]

1[km] ] g [ tex 1

1 = (3.19)

Jedná se tedy o střední hodnotu jemnosti na délku 1 km. Jemnost T v jednotkách [kTex]

se vypočte podle vztahu:

l 1000

T= m⋅ (3.20)

3.4.2 Počet vláken v průřezu

Vlákna jsou v prameni různě rozložena. Struktura pramene má tedy náhodný charakter a proto ji popisujeme pravděpodobnostními funkcemi. Považuje-li se počet vláken v průřezu pramene, kde se sleduje kolísání hmotnosti úseků pramene, jejich délka se blíží nule, předpokládáme bez uvažování jakýchkoliv vlivů mimo náhodné vlivy může se řídit tato náhodná veličina Poissonovým rozdělením. Počet vláken v průřezu je tedy dán vztahem :

( 0<n’<∞ ) (3.21)

Kde:

P(n’)…pravděpodobnost výskytu n’ vláken v průřezu příze λ ... parametr Poissonova rozdělení

n’... obecný počet vláken v průřezu

( )

n' e n'! P

'

λn

⋅

= ^−λ

3 Vlastnosti pramene

Parametr Poissonova rozdělení λ může nabývat libovolné kladné hodnoty a je dán vztahem:

v případě pramene: (3.22)

3.4.3 Rozložení vláken

Vlákna v prameni preferují podélný směr k ose pramene. Jsou známy teoreticky odvozené funkce v literatuře [13] (Neckář, 2001) směrového rozložení krátkých úseků vláken délky l v prameni. Míra směrové uspořádanosti vláken vyjádřené koeficientem C závisí na druhu a počtu předcházejících operací.

(3.23)

3.4.4 Délka vláken

Délka vláken závisí na druhu, jakosti, zralosti, kvalitě vstupní bavlny, jejím zpracováním v mykacím stroji apod.

V textilní praxi se používají buď velmi dlouhá, nebo naopak poměrně krátká. Vlákna, která jsou ve skutečnosti dlouhá mnoho metrů označujeme jako vlákna nekonečná. Krátké typy textilních vláken, tj. vlákna dlouhá jen několik centimetrů či decimetrů nazýváme vlákna staplová. Jednotlivá staplová vlákna v prameni bývají různě dlouhá. Rozložení vlákenných délek se zapisuje do tzv. staplového diagramu viz obr.3.4.2 nebo staplové křivky. Na ose y je vynesena délka vláken v l[mm] a na ose x je pravděpodobnost výskytu vláken P[%].

Pravděpodobnost výskytu vláken je popisováno normálním rozdělením. Tak popsáno v literatuře [16] (Militký, 1995). Staplový diagram a křivka se pro různé druhy bavlny liší.

( )

^n'

( )

^n'

x =σ²

=

λ ⁿ=^x

( )

^n' =σ²

( )

^n'

( )

^{ψ = π1⋅cos2}

( )

^{ψ ⋅}

(

^1+CC2⋅tg2

( )

^ψ

)

f

Obr 3.4.1 Směrové rozložení krátkých úseků vláken s porovnáním praktického měření

3 Vlastnosti pramene

3.5 Průtah

Existuje několik teorií, které popisují rychlost pohybu vláken v průtahové poli.

Nejčastěji uváděnou je teorie ideálního průtahu. Ideální průtah je pokud všechna vlákna se během pohybu v průtahovém poli pohybují přiváděcí rychlostí v1a na rychlost odváděcí v2

přechází skokově až v místě svěru odváděcích válců. Zjevným nedostatkem je předpoklad skokové změny rychlosti z v₁ na v_2, kdy by bylo nutné nekonečně velké zrychlení a tím i nekonečně velká urychlovací síla, což je fyzikálně nerealizovatelné. Při praktických měřeních však bylo prokázáno, že většina vláken přechází na odváděcí rychlost v₂ skutečně v těsné blízkosti svěru odváděcích válečků.

3.5.1 Matematické odvození statické charakteristiky procesu

Pro konstrukci tohoto modelu se vychází ze zákona o zachování hmoty, vstupující objem do soustavy se musí rovnat vystupujícímu objemu ze soustavy.

2 1

2 2 2 1

2 2 2 1 2 1

2 2 2 1

2 1

2 1

4 4

d d l l

l d l d

d l d l

V V

=

⋅

=

⋅

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

=

π π

, dále platí

1 2 1 2 2

2 1 1

2 2 2

2

1 1 1

1

l l v v v

l v l

v t l t v l

v t l t v l

=

=

=

= ⇒

=

= ⇒

(3.24)

nyní byla získána rovnost:

l [mm]

l_2,5 l₅₀ l_2.5

2.5% 50% P(l)[%]

Obr.3.4.2 Staplový diagram

3 Vlastnosti pramene

1 2 2 2

2 1 1 2

l l d d v

v = = , dále je do vztahu implementována jemnost ₁₀₀₀ l

T = m⋅ , po dosazení za l

je získán hledaný vztah pro průtah, který je možno definovat různými veličinami.

2 1 1 2 2 2

2 1 1 2

T T l l d d v

p= v = = = ^(3.25)

vstupující do soustavy: vystupující ze soustavy:

V₁… objem V₂… objem

d1… průměr příze d2… průměr příze

l1… délka vstupující příze l2… délka vystupující příze v₁… rychlost příze v₂… rychlost příze

T1 …vstupní jemnost příze T2 …výstupní jemnost příze t… čas udávající dobu procesu

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

4 TEORETICKÉ MODELY PROTAHOVACÍHO ÚSTROJÍ

Teoretické modely zavádějí mnohdy zjednodušující předpoklady i odstranění jednoduchého omezujícího předpokladu vede ke zkomplikování modelu natolik, že není možné model dokončit.

Modely zde byly rozděleny do čtyř kapitol a to tak, že první dvě kapitoly modelují jednozónové protahovací ústrojí a další dvě dvouzónové ústrojí. Nejde zde o rozdělení modelů na jedno či dvouzónové, protože ve výsledku jde především o popis procesu protahování v průtahové zóně a tudíž zde nejde o počet protahovacích zón v ústrojí. Různé modely jsou zde uváděny z toho důvodu, že v každém z těchto modelů se nahlíží odlišně na problémy a dále předpokládají méně či více různých zjednodušujících předpokladů.

U prvního zmiňovaného modelu jednozónového ústrojí s konstantní délkou vlákna viz kapitola 4.1 se uvažuje několik následujících předpokladů. Jemnost všech vláken v prameni je konstantní. Vlákna jsou napřímená, rovnoběžná s podélnou osou pramene, neovlivňují se navzájem a jejich délka je konstantní. Rychlost vláken v průtahovém poli se na rychlost odváděcí mění skokově v místě svěru odváděcích válců. Tento model byl publikován v literatuře [3] (Ursíny, 1992). Získaný výsledný vztah tohoto modelu je určen vstupní a výstupní rychlostí vlákna, délkou vlákna a velikostí průtahové zóny.

U dalšího jednozonového modelu ústrojí s nekonstantní délkou vlákna viz kapitola 4.2 je uvažována různá délka vláken v prameni, která je zde popisována náhodným rovnoměrným rozdělením. Další odlišností od prvního modelu je, že se neuvažuje změna rychlosti vlákna v místě svěru odváděcích válců, nýbrž se zavádí koeficient přechodu, ale jde stále o skokovou změnu, což je fyzikálně nerealizovatelné. Bylo zjištěno v práci (Novák, 1995) uvedená literatura [10], že poloha změny rychlosti je prakticky až v těsné blízkosti odváděcích válečků. Ostatní zjednodušující předpoklady jsou zde uvažovány jako v předchozím případě.

U třetího popisovaného modelu dvouzónového protahovacího ústrojí viz kapitola 4.3 se opět dospělo k nestabilnímu přenosu. Odvozeno v literatuře [1] (Djiev, 1994). Tato nestabilita zde byla částečně odstraněna pomocí Paddého aproximace, následně po dosazení funkce hustoty rozložení vlákenných délek do přenosu se přenos systému stává zase nestabilním. Tím pádem vylučuje jeho praktickou použitelnost při použití této pravděpodobnostní hustoty rozložení délek vláken. Na tuto nestabilitu autor neupozorňuje.

U posledního zmiňovaného modelu dvouzónového ústrojí s nekonstantní délkou

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

( )

{ } ( )

^b

[

^{sa sb}

]

a t s

0

b

a t s t

s e e

s c s

c e dt e c dt t h e t h

L ^{− ⋅ − ⋅}

⋅

∞ −

⋅

−

⋅

− = ⋅ −













⋅ −

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

∫ ∫

pravděpodobnosti rozložení délek vláken použito Pearsonovo rozdělení prvního druhu, jehož zvláštním případem je trojúhelníkový staplový diagram. Dále byla zavedena k charakterizaci pramene hustota počátečních konců vláken na jednotku délky. Změna rychlosti vláken se zde uvažuje prakticky až v těsné blízkosti odváděcích válečků, což vychází ze závěrů autora druhého modelu (Novák, 1995) uvedená literatura [10]. U tohoto modelu bylo také dospěno k nestabilnímu přenosu, ale problém byl vyřešen pomocí využití Taylorova rozvoje exponenciální funkce a nestabilita byla důkladně sledována.

4.1 Model jednozónového ústrojí s konstantní délkou vlákna

Platí zde základní teoretická úvaha, která pro jednoduchost uvažuje průchod vlákna délky l kolem obecného bodu v rychlostním poli průtahového systému v poloze x. Tento model byl publikován v literatuře [3] (Ursíny, 1992).

Pro čas průchodu platí rovnice (4.1), kde t_x representuje čas průchodu vlákna délky l kolem obecného bodu x a v_x rychlost vlákna v poloze x (poloha určena char. bodem-předním koncem).

, (4.1)

h(t)=0 ; t∈<0;a> a t∈<b;∞>

h(t)=c ; t∈<a;b>

Laplaceovou transformací funkce h(t) dostaneme obraz funkce v příslušných integračních mezích a a b. Funkce h(t) je zde časová funkce tloušťky vlákna, c představuje míru tloušťky vlákna (jemnosti) a parametrem s rozumíme Laplaceuv operátor.

(4.2) v dx

t 1

l x

x x

x ⁼

∫

⁺

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

, v dx b 1

, v dx

a 1

l x

0 x

x

0 x

∫

∫

^{= +}

=

( )

{ }















−

⋅

= ^{− ⋅∫ − ⋅ ∫}

+ v dx s 1 v dx

s 1

l x

0 x x

0 x e

s e t c h L

( )

{ }

^{e e n}

s t c h L

v dx s 1 v dx

s 1

l x

0 x x

0 x ⋅

















−

⋅

= ^{− ⋅∫ − ⋅ ∫}

+

( )

v dx s 1 v dx

s 1

v dx s 1 v dx

s 1

v dx s 1 v dx

s 1

v dx s 1 v dx

s 1

1 l x

0 x

x1 0 x

2 l x

0 x

x2 0 x 1 l

x

0 x

x1 0 x

2 l x

0 x

x2 0 x

e e

e e

n e

s e c

n e

s e c

s Fp

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

+ +

+ +

−

= −

⋅

















−

⋅

⋅

















−

⋅

=

( )

v dx s 1

v dx s 1 v dx

s 1

v dx s 1 0

v dx s 1 v dx

s 1

L 0 x

l L

0 x L

0 x L

0 x l L

0 x L

0 x

e 1

e e

e e

e s e

Fp

⋅∫

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

⋅∫

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

−

−

= −

−

= −

+ +

Pro jednotlivé časové okamžiky platí:

(4.3)

po dosazení do vztahu (4.2) pro průchod vlákna o jemnosti c tedy platí následující:

(4.4)

pro pramen o n vláknech v obecném bodě x pak platí:

(4.5)

Chceme získat obrazový přenos pro průtah P. Průtah je definován jako podíl výstupní ku vstupní jemnosti pramene viz kapitola 3.2. Obrazový přenos je definován jako podíl Laplaceových obrazů. Pokud x1 je bod na vstupu a bod x2 na výstupu průtahového ústrojí, pak obrazový přenos pro průtah je následující:

(4.6)

Pro x₁=0 a x₂=L vyplývá:

(4.7)

L…délka průtahového pole

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

( )

( )

1 2 1

1 2 1 1

L 0 1

l L

L 2 L

0 1 L

0 1

v s l

v s l v

s L

v s l

v s l v s L v s L

v dx s 1

v dx s 1 vdx s 1 v dx

s 1

e 1

e e 1

s Fp

e 1

e e

e 1

e s e

Fp

⋅

−

⋅

⋅ −

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅∫

−

⋅ ∫

∫ −

⋅

∫ −

⋅

−

−

⋅ −

=

−

= −

−

= −

+

v(x)

x α(L-l)

l 0 L

Obr.4.2.1 Změna rychlosti vlákna

v₁ v₂

(1-α)(L-l)

a za předpokladu změny rychlosti v₁ na v₂ skokově, platí následující výraz:

(4.8)

4.2 Model jednozónového ústrojí s nekonstantní délkou vlákna

Jedná se o dvourychlostní model průtahového ústrojí jako v předchozím případě. Jsou zde brány na zřetel některé předpoklady, které byly v předchozím případě zamítnuty z hlediska zjednodušování modelu. Je to především délka vláken, která je zde popsána náhodným rozdělením f(l). Dále byl zde

zaveden koeficient přechodu α ^viz obr.4.2.1, který určuje místo, kde vstupní rychlost vlákna se mění na výstupní, ale stále za předpokladu, že tato změna se děje skokově, což je předpoklad, který je fyzikálně nerealizovatelný. Model byl studován v literatuře [10] (Novák, 1995).

Vyjádření časových funkcí vstupu u(t) a výstupu y(t):

a) vstup

(4.9)

kde t_v představuje konstantní jemnost vláken, tzn. nemají vlastní nestejnoměrnost

( ) ( )

^,

v t l t t

t u

1

v 





 



 



 − η

− η

⋅

=

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

b) výstup

Nyní je provedena Laplaceova transformace časových funkcí u(t) a y(t).

Toto je definováno pro jedno vlákno s danou délkou l. Pro vlákenný útvar s celkovým počtem N vláken a s délkou vláken, která se řídí hustotou pravděpodobnosti f(l) dostaneme následující vztah:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) { ( ( ) ) ( ( ) ) }

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 D

D D

v

2 2

1 2 1

v

v l P

1 1 P l 1

B v ,

l P

1 P l 1

A P ,

1 P

v t L kde

, l B t t l A t t t t y

) 10 . 4 ( , v

l v

l L l

v l L t l

v l L l

v l L t l

t t y

+ ⋅

−

⋅ α

= −

⋅

− ⋅

⋅ α

= − α ⋅

− + α

⋅ ⋅

⋅ +

− η

−

⋅ +

− η

⋅

=































 



 



 +α⋅ − + −α ⋅ − +

− η

−

−







 



 



 +α⋅ − + −α ⋅ −

− η

⋅

=

=

Obr.4.2.2 Časové průběhy funkcí u(t) a y(t)

u(t)

t t_v

l/v₁

y(t)

t

t_D l/v₂

t_v

( ) ( )

^{( ) ( )( ) ( )( )}

) 11 . 4 ( e

e s e

s t Y , e s 1

s t

U ^P

1 1 1 P v s l P

1 1 P v s l P

1 P v s L v v

s l

v _{1 1 1 1}

















−

⋅

⋅

 =















−

⋅

=

+ α

−

⋅

⋅ −

⋅ α −

−

⋅

⋅ −

⋅ α −

− + α

⋅ ⋅

⋅

−

⋅

−

( )

^lmax

∫ ( ) ( ) ( )

^lmax

∫ ( ) ( )

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

Výsledný tvar přenosové funkce je pak definován :

(4.13)

Uvažujme nyní přenosovou funkci pro dva modelové případy:

a) jednotná délka vláken (což bylo uvažováno i ve vztahu pro předchozí odvozený model kapitola (4.1))

f(l) =δ(l)

b) variabilní délka vláken f(l) =l/lmax

(4.15)

(4.16)

( ) ( )

( )

^s

U s P Y s Fc

c

⋅ c

=

( ) ( )

( )

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

) 14 . 4 ( e

1 e e 1

e P

e s 1

N t

e e

s e N t s P

U s P Y s Fc

1 2 1

1

1

1 1

1

v s l

v s l P

1 1 P v s l P

1 P v s L

v s l v

P 1 1 1 P v s l P

1 1 P v s l P

1 P v s L v

c c

⋅

−

⋅ α −

−

⋅

⋅ −

⋅ α −

− + α

⋅ ⋅

⋅

−

⋅

−

+ α

−

⋅

⋅ −

⋅ α −

−

⋅

⋅ −

⋅ α −

− + α

⋅ ⋅

⋅

−

−

⋅ −

⋅

⋅

=

=

















−

⋅

⋅

















−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

( ) ( ) ( )

































−

⋅

−

⋅ ⋅

= ⋅

⋅

⋅

= ^max

∫

^{− ⋅maxv1}

pl 1

2 max max

v l

0

c l s v 1 e

s l

t dl N

s U l f N s U

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

^_^



 ⋅ − − ⋅ −

⋅

⋅ ⋅

= ⋅

=

−

⋅

⋅ ⋅

= ⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅ −

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

−

∫

∫

max max

D

max D max

l B s l

A s t

s 2 max

v

l

0

l B s l A s t

s max

v l

0 c

e B 1 e 1

A 1 e 1

s l

t N

dl e

e s e

l t dl N

s Y l f N s Y

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

Výsledný obrazový přenos pro pramen s vlákny o variabilní délce je následující:

( )

4.3 Model dvouzónového protahovacího ústrojí

Model je prezentován pomocí čtyř vstupů a jednoho výstupu viz.obr.4.3.1, kde v1,v2,v3

představují rychlosti jednotlivých válečků a T1, T2 lineární hustotu na vstupu a výstupu pramene. Model byl odvozen v literatuře [1] (Djiev, 1994).

Přenosové funkce jsou odvozeny jak pro vlákna s konstantní délkou tak i pro vlákna, která jsou různě dlouhá. Při získávání modelu bylo použito několik zjednodušujících předpokladů.

Přední konce vláken jsou umístěny ve velmi malém úseku pramene a proběhnou danou sekcí válečků za dobu ∆τ rychlostí v(t). Základní rovnicí je vztah pro protahovaný počet vláken:

∆N(θ,x) = v(θ)⋅ϕ(θ,x)⋅∆τ, (4.18)

kde ∆N(θ,x)…počet vláken na pozici x v čase θ v(θ) …rychlost pramene

ϕ(θ,x)…staplový diagram vlákna

∆τ…úsek času

Model T₁(t)

v₁(t) v₂(t) v₃(t)

T₂ (t)

Obr.4.3.1 Struktura modelu

-Lmax

ϕ(θ,x)

K

0 x

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

































− + ⋅

−

⋅ α

−

− ⋅

















−

− ⋅

⋅ α

−

⋅ ⋅

⋅

































−

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

=

































−

⋅

−

⋅ ⋅

⋅



 



 ⋅ − − ⋅ −

⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

+ ⋅

−

⋅ α

⋅ −

−

− ⋅

⋅ α

⋅ −

−

⋅

− α

− + α

⋅ ⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

−

1 max 1

max

1 max 1

1 max

max D max

v l P

1 1 P s 1 v 1

l P

1 P s 1 1

v pl 1

max P

1 P v s L

v pl 1

2 max max

v

l B s l

A s t

s 2 max

v

c c

e 1 1 1 P 1

v e P

1 1 P 1

v P

) 17 . 4 ( e

1 v s l e 1

P

e 1 v s l s l

t N

e B 1 e 1

A 1 e 1

s l

t N s P

U s P Y s Fc

4 Teoretické modely protahovacího ústrojí

( ) ( ) [ ( ) ] ^{( )}

( ) ( ) ( )

^v

( )

^{p ,}

v e v

p W f K p

v v e v

e p W f K

p v e

p W f K e

e 1

e p 1 N p N

3 30 20 p 0

0 2

20 p 10 p

0 0

1 p 0

0 p

v p L

v p L

1 2

1 0

1

0 0

10 max

30 max

⋅



 



− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+

⋅









 



 



 − ⋅

⋅

⋅

⋅ +

+

⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅ −

=

⋅ τ

−

⋅ τ

−

⋅ τ

−

⋅ τ

−

⋅ τ

−

⋅

−

⋅

−

( )

^{p N}

( )

^{p W}

( )

^{p W}

( ) ( )

^{p v p W}

( ) ( )

^{p v p W}

( ) ( )

^{p v p}

N₂ = ₁ ⋅ _N + ₁ ⋅ ₁ + ₂ ⋅ ₂ + ₃ ⋅ ₃

ϕ(θ,x) = a) K (θ), x >0

b) ϕ(θ,x), 0 ≥ x ≥ - Lmax (4.19)

c) 0, -Lmax ≥ x

Dále je provedena Laplaceova transformace s odkazem na literaturu [11] a Je získán následující přenos pro počet vláken na výstupu:

(4.20)

kde

a

N1… počet vláken na vstupu N2 … počet vláken na výstupu Lmax…maximální délka vlákna K ... výška staplového diagramu

f0 … hustota rozložení vlákenných délek

x1 ... vzdálenost měřícího místa od výstupního válce

Tento model může být zobrazen jako struktura na obr.4.3.1, kde jemnost T nahradíme počtem vláken N:

, (4.21)

kde WN(p), W1(p), W2(p) a W3(p) jsou obrazové přenosy mezi čtyřmi vstupy a výstupem.

( ) [

^p

]

0 1 e ²

p p 1

W = ⋅ − ^{−τ ⋅}

30 max 2

30 2 1 1 1 30

2 1 1 20

2

0 v

, L v

L L , x

v L L x v

L + + − τ = + − τ =

= τ