Spektrum av en ring

INOM

EXAMENSARBETE TEKNIK, GRUNDNIVÅ, 15 HP

STOCKHOLM SVERIGE 2021,

Spektrum av en ring

PELLE ANDERSSON

Abstract

This paper is a basic introduction to the theory of spectra of mathematical rings, inspired by exercises from Introduction to Commutative Algebra by Atiyah, MacDonald and The Geometry of Schemes by Harris, Eisenburg. The spectrum is a structure of a ring, in which the prime ideals of the ring are seen as points in a topological spece. As such, the spectrum has a geometric interpretation and the resulting topology is called the Zariski topology. In the paper, some theorems are derived and presented, as a result of basic ring theory and the Zariski topology.

Example of results from these theorems are that open sets of the spectrum are almost always very large, relative to almost everything in the spectrum. Additionally, single points in the spectrum need not be closed sets. Specific cases of rings as polynomial rings are also discussed.

One very important aspect of spectra of rings is that a spectrum need not have a single, unique, ring of origin, which threatens the introduction of spectra to become meaningless. To tackle this, sheafs of rings are implemented, which is a system where each large open set of a topological space is assigned a more wieldy ring. This solves two problems with the spectrum of a ring.

Firstly, the overwhelming open sets become more manageable. Secondly, it turns out that the pair spectrum plus sheaf, a so called affine scheme, are equivalent with a ring of origin of the spectrum. In fact, commutative rings and affine schemes are equivalent as categories. With a sheaf of rings, the spectrum is not only a geometric structure derived from a ring, but the geometric interpretation of that ring. Generalizations are not discussed in detail, but it is noted that rings can be, in essence, generalized by generalizing affine schemes into general schemes, a result very hard to reach without the introduction of spectra of rings.

Sammanfattning

Denna text fungerar som en egen genomg˚ang av spektra av matematiska ringar, inspirerad av uppgifter fr˚an Introduction to Commutative Algebra av Atiyah, MacDonald och The Geometry of Schemes av Harris, Eisenburg. Spektrumet ¨ar en struktur ur varje ring d¨ar en rings primideal ses som punkter i ett topologiskt rum. Spektrumet har allts˚a en geometrisk tolkning och topologin kallas Zariskitopologi. I texten presenteras en rad satser utifr˚an grundl¨aggande ringl¨ara och Zariskitopologin. Det tas upp resultat s˚asom att ¨oppna m¨angder i spektrumet n¨astan alltid ¨ar mycket stora i j¨amf¨orelse med det mesta, och att enskilda punkter i spektrumet inte m˚aste vara slutna. Konkreta exempel med fallet ringar som polynomringar i tv˚a eller fler variabler tas ¨aven upp i anslutning till satsresultaten. En mycket viktig aspekt med ringspektra ¨ar att de inte har entydiga ursprungsringar, som riskerar att g¨ora introduktionen av ringspektra ej meningsfull.

F¨or detta till¨ampas k¨arve av ringar som ¨ar ett system d¨ar stora ¨oppna m¨angder i ett topologiskt rum tilldelas mer l¨atthanterliga ringar. Detta visar sig l¨osa tv˚a problem med ringspektra. Dels blir de ¨overv¨aldigande stora ¨oppna m¨angderna mer l¨attf¨orst˚aeliga, men det kommer ocks˚a r˚ada ekvivalens mellan paret ringspektrum-k¨arve - s˚a kallat affint schema - och ursprungsringen.

Faktum ¨ar att det till och med kommer vara ekvivalens mellan hela kategorierna av kommutativa ringar respektive affina scheman. Affina scheman blir inte bara en geometrisk struktur som h¨arr¨or en ring, utan just den geometriska tolkningen av ringen. ¨Aven om det inte ing˚ar i arbetssyftet s˚a n¨amns det att det d˚a blir m¨ojligt att i stort sett g¨ora generaliseringar av ringar genom att g¨ora generaliseringar av affina scheman i form av att klistra ihop affina scheman till allm¨anna scheman. Detta hade varit mycket l˚angs¨okt och sv˚art om endast kunskap om ringen hades, och om teorin om Zariskitopologin var ok¨and.

Stora tack g˚ar till min handledare Roy Skjelnes.

1 Introduktion

Givet en ring s˚a g˚ar det alltid att hitta nya algebraiska strukturer i form av exempelvis delgrupper, delringar och kvotringar. Det g˚ar d¨aremot ocks˚a att hitta nya strukturer ur en ring som inte bara

¨

ar algebraiska utan ocks˚a geometriska, i form av topologiska rum. Detta rum kallas spektrumet av en ring och bygger p˚a att se en rings primideal som punkter, snarare ¨an ringelementen. Geometrin kommer i h¨ogsta grad bero p˚a ursprungsringen men en utmaning kommer vara att tv˚a mycket olika ringar kan ha likadana resulterande geometrier.

Ett s¨att att hantera denna icke-injektivitet ¨ar att koppla ihop data fr˚an ursprungsringen till olika delm¨angder av spektrumet. Detta kommer visa sig inte bara vara ett s¨att att identifiera vanligen mycket stora delm¨angder, utan kommer anv¨andas f¨or att identifera en ekvivalens mellan ringen och spektrum-data-paret, d¨ar paret kommer kallas ett affint schema. Det kommer betyda att ett spekt- rum av en ring inte bara ¨ar en intressant geometri som beror p˚a ringen, utan som ett affint schema kommer det verkligen vara den geometriska tolkningen av en ring, och att unders¨oka geometriska tolkningen med hj¨alp av avbildningar mellan scheman blir i stort sett detsamma som att anv¨anda homomorfier mellan ringar, om ¨an med motsatta riktningar.

2 Metod och uppl¨ agg

Detta kandidatsexamensarbete har huvudsakligen genomf¨orts genom egna l¨osningar av uppgifter ur Kapitel 1 och 3 i Introduction to Commutative Algebra av Atiyah, MacDonald. Baserat p˚a dessa l¨osningar s˚a g¨ors en teoretisk genomg˚ang av f¨orst spektra av ringar i Sektion 3 och d¨arefter en utvidgning av spektra genom att inf¨ora k¨arvar till spektrumet i Sektion 4. I bokens uppgifter ing˚ar kunskap om Zariskitopologi s˚asom enskilda begrepp, men explicit tillh¨orande teori g˚as inte igenom i teoridelarna av boken.

Viktiga resultat kommer att sammanfattas i satser, men kommer inte ha formella bevis direkt efter. I st¨allet sker h¨arledningen av resultat innan sj¨alva satsformuleringen. Ett par lemman anv¨ands ocks˚a och dessa bevisas i Appendix.

2.1 Klarg¨oranden

Det kommer antas att l¨asaren har grundl¨aggande kunskaper om ringar motsvarande en f¨orsta uni- versitetskurs i abstrakt algebra. Definitioner och satser fr˚an motsvarande kurser kommer till¨ampas utan h¨arledning och kontinuerlig k¨allh¨anvisning. N¨ar andra begrepp och satser i ringteori till¨ampas kommer dock de att k¨allh¨anvisas.

Ringar kommer alltid antas vara kommutativa med multiplikativ identitet och kommer normalt betecknas med stora bokst¨aver A, B o.s.v. och elementen med sm˚a bokst¨aver t.ex. a, b, f, g. Primideal till ringar betecknas h¨ar med gotiska sm˚a bokst¨aver t.ex. p och q, och allm¨anna ideal med stora bokst¨aver t.ex. I, J.

Symbolen f¨or ’delm¨angd till’ kommer alltid betecknas som ⊂, vilken till˚ater b˚ade ¨akta delm¨angd eller lika med, om inget annat anges.

Sammansatta avbildningar ¨ar ordnade fr˚an h¨oger till v¨anster, d¨ar t.ex. Γ ◦ ψ ◦ φ skulle kunna motsvara ett diagram

A ^φ B ^ψ C ^Γ D.

3 Spektrum av en ring

3.1 Definition av spektrum och dess slutna m¨angder

Betraktas en ring A, s˚a inf¨ors beteckningen Spec(A) := {p ⊂ A : p ¨ar ett primideal} . Detta l¨ases som spektrumet av ringen A, och i denna m¨angd ¨ar det allts˚a primidealen p som ¨ar elementen, och inte n˚agra element ur A. F¨or A = Z s˚a motsvarar varje element i spektrumet antingen 0 eller ett positivt primtal, medan Spec(K) f¨or kroppar K best˚ar av ett enda element som ¨ar nollidealet. ¨Aven om det ¨ar f¨or ett s˚a enkelt exempel som Spec(K), s˚a ¨ar en viktig iakttagelse att ¨aven om tv˚a spektra

¨ar i stort sett identiska m˚aste inte de tv˚a ursprungsringarna i allm¨anhet vara isomorfa.

Det mest grundl¨aggande med ett spektrum av en ring A ¨ar att det kommer vara ett topologiskt rum givet att man inf¨or beteckningen

V (E) := {p ∈ Spec(A) : E ⊂ p} (1)

d¨ar E ¨ar n˚agon delm¨angd av ringen A. M¨angden av alla V (E) kommer d˚a utg¨ora en topologi p˚a Spec(A) d¨ar V (E) best¨ams vara de slutna m¨angderna i Spec(A) och topologin kallas Zariskitopo- login. Innan detta visas ¨ar det dock v¨art att n¨amna att definitionen (1) kan appliceras p˚a endast ideal I ⊂ A utan f¨orlust av generalisering. Det ¨ar n¨amligen s˚a att om (E) ¨ar idealet genererat av delm¨angden E ⊂ A s˚a f˚as sambandet V (E) = V ((E)).

Ta ett godtyckligt element p ∈ V (E). Det g˚ar d˚a att skapa element

(

n

X

i=1

fiei) d¨ar fi∈ A, ei∈ E, (2)

som d˚a ing˚ar i p eftersom det ¨ar ett ideal som inneh˚aller varje element i E. Men (2) ¨ar definitionen av ett godtyckligt element ur E:s genererade ideal (E) s˚a d˚a g¨aller (E) ⊂ p och d¨armed p ∈ V ((E)).

˚At andra h˚allet has ett specialfall av vad som sker med V (E) n¨ar E ⊂ F . Direkt fr˚an definitionen (1) g¨aller att

V (F ) ⊂ V (E) om E ⊂ F, (3)

som f¨or ¨ovrigt kommer till¨ampas ofta i det h¨ar arbetet. S˚aledes g¨aller det att V (E) och V ((E)) ¨ar delm¨angder av varandra och m˚aste d¨arf¨or vara lika. I allm¨anna fallet s˚a kan man d¨arf¨or i V (E) anta att E ¨ar ett ideal och inte bara en delm¨angd.

Det ¨ar dessutom m¨ojligt att g˚a ett steg l¨angre i att det g˚ar att anta f¨or V (E) att E = √ I ¨ar radikalen till ett ideal I ⊂ A som definieras enligt

√

I = {f ∈ A : fⁿ∈ I, n ¨ar n˚agot positivt heltal} . (4)

Exempelvis ¨arp(0) de nilpotenta elementen i A.

Ta ett p ∈ V (I) d¨ar I ¨ar ett ideal och ett f ∈√

I. Det g¨aller d˚a att fⁿ ∈ I ⊂ p f¨or ett positivt heltal n, men eftersom p ¨ar just ett primideal s˚a m˚aste n˚agon av faktorerna f eller fⁿ⁻¹tillh¨ora p.

Om nu inte f g¨or det s˚a kan man utf¨ora samma argument p˚a fⁿ⁻¹= f · fⁿ⁻²∈ p och forts¨atta tills f²∈ p. Oavsett f˚as allts˚a att f ∈ p och V (I) ⊂ V (pI), ty f och p var godtyckliga. Till sist g¨aller ur (4) s˚aklart att I ⊂√

I, s˚a till¨ampas (3) igen erh˚alles V (I) = V (√

I). Sammanfattningsvis erh˚alles en sats:

Sats 3.1. F¨or en delm¨angd E ⊂ A och med V (E) definierat enligt (1) s˚a g¨aller V (E) = V ((E)) = V (p

(E)), (5)

d¨ar (E) ¨ar idealet genererat av E i A.

Det g˚ar allts˚a att s¨aga att samma V (E) har flera olika representanter men det ¨ar alltid m¨ojligt att anta att argumentet i V (. . . ) ¨ar ett ideal eller radikal till ett ideal.

3.1.1 Koppling mellan V(I) och ursprungsringen

Som tidigare n¨amnt s˚a kan olika ringar ha likadana spektra d¨ar exemplet d˚a var spektra med ett enda element. Utifr˚an (5) kommer det dock finnas m˚anga fler exempel. Mer specifikt g¨aller att det finns en koppling mellan kvotrummet A/I och m¨angden V (I) ⊂ Spec(A). Fr˚an Sats 1.1 i Introduction to Commutative Algebra, s˚a finns en 1-1 ordningsbevarande matchning mellan idealen i A/I och idealen i A som innesluter I [1]. Slutsatsen blir d˚a, om detta appliceras p˚a primidealen i A, att m¨angderna V (I) och Spec(A/I) ¨ar i stort sett identiska. S˚aledes blir ¨aven Spec(A/I) och Spec(A/√

I) identiska, trots att I =√

I i st¨orsta allm¨anhet inte g¨aller.

N˚agot annat viktigt att notera ¨ar att ¨aven om V (I) och Spec(A/I) ¨ar desamma s˚a skrivs inte motsvarande primideal till p exakt p˚a formen p i A/I eftersom elementen i A/I ¨ar ekvivalensklasser och inte ringelement. D¨aremot kommer h¨adanefter oftast beteckningen Spec(A/I) anv¨andas i st¨allet f¨or V (I), men p ∈ Spec(A/I) kommer fortfarande skrivas om det ¨ar s˚a att I ⊂ p ⊂ A.

3.2 Spektrum av en ring ¨ar ett topologiskt rum

Vi ˚aterg˚ar nu till att bekr¨afta att samlingen Spec(A/I) utg¨or en topologi p˚a Spec(A) i form av slutna m¨angder. De m˚aste d˚a uppfylla f¨oljande p˚ast˚aenden:

i Tomma m¨angden och Spec(A) ¨ar slutna, det vill s¨aga ¨ar p˚a formen Spec(A/I).

ii Ett godtyckligt snittT

αSpec(A/I_α) ¨ar slutet.

iii En godtycklig ¨andlig union av olika Spec(A/I) ¨ar sluten.

F¨or kravet (i) s˚a g¨aller f¨or nollidealet (0) att A/(0) ∼= A och d¨arf¨or ¨ar Spec(A) = Spec(A/(0)).

Vidare ¨ar ett av kraven p˚a att p ska vara primideal ¨ar att det inte ska vara hela A. V¨aljs delm¨angden I = A ⊂ A blir d¨arf¨or Spec(A/I) = ∅. Tomma m¨angden och hela Spec(A) ¨ar allts˚a b˚ada slutna m¨angder.

F¨or kravet (ii) s˚a anv¨ands ekvivalensen p∈\

α

Spec(A/Iα) ⇐⇒ p ∈ Spec(A/Iα) f¨or alla α. (6)

Men p˚a grund av hur V (I) = Spec(A/I) ¨ar definierat i (1) s˚a betyder det senare att varje Iα ¨ar delm¨angd till p som ¨ar ekvivalent med att unionen S

αIα ⊂ p som i sin tur ¨ar ekvivalent med att p∈ Spec(A/(S

αIα)). Det g¨aller d˚a f¨or godtyckliga snitt att

\

α

Spec(A/Iα) = Spec(A/([

α

Iα)) (7)

och specifikt att snitt av slutna m¨angder ¨ar ocks˚a slutna.

F¨or kravet (iii) ¨ar bara ¨andliga unionen intressanta, s˚a det r¨acker att visa att Spec(A/I) ∪ Spec(A/J ) ¨ar sluten. Det g¨aller s˚aklart att snitten av idealen I ∩ J ¨ar delm¨angder till b˚ade I och J s˚a till¨ampas (3) p˚a detta f˚as (Spec(A/I) ∪ Spec(A/J )) ⊂ Spec(A/I ∩ J ). Fr˚an andra h˚allet, om p ∈ Spec(A/I ∩ J ) s˚a g¨aller det d˚a att f¨or godtyckliga f ∈ I, g ∈ J att f g ∈ I ∩ J ⊂ p (m¨ark dock att f g inte n¨odv¨andigtvis ¨ar ett godtyckligt element i I ∩ J ). Men p var primideal och f, g var helt godtyckliga s˚a vi f˚ar antingen I ⊂ p eller J ⊂ p som ju i sin tur ¨ar samma sak som p∈ Spec(A/I) ∪ Spec(A/J ). D¨arf¨or has f¨or ideal I, J ⊂ A

Spec(A/I) ∪ Spec(A/J ) = Spec(A/I ∩ J ) (8)

och specifikt att en ¨andlig union av slutna m¨angder ¨ar sluten.

Sammantaget ¨ar allts˚a spektrumet av en ring Spec(A) ett topologiskt rum d¨ar en sluten m¨angd av primideal Spec(A/I) = V (I) definieras enligt (1). Vanligtvis anv¨ands beteckningen X = Spec(A) som kommer g¨oras ¨aven h¨ar.

3.3 Oppna m¨¨ angder i spektrum

N¨ar man ska f¨ors¨oka definiera en topologi p˚a en m¨angd s˚a g˚ar det lika bra att konstruera en samling av antingen slutna m¨angder (som gjordes ovan) eller ¨oppna m¨angder som ska uppfylla komplement¨ara krav. Sedan definieras ¨oppna och slutna m¨angder som komplementen till slutna respektive ¨oppna m¨angder - vilka som nu anv¨andes f¨or att definiera topologin. Vanligtvis brukar dock topologier definieras med hj¨alp av ¨oppna m¨angder men det finns f¨ordelar med att topologin i Spec(A) definieras av slutna m¨angder V (I). De ¨oppna m¨angderna kommer d˚a bli primideal p som inte har ett I som en hel delm¨angd vilket f¨orst˚as egentligen inte ¨ar mindre precist ¨an de primideal som inneh˚aller I. De

¨ar ju bara komplementen till varandra. En skillnad dock, ¨ar att varje sluten m¨angd i Spec(A) ocks˚a kan skrivas som spektrum av en ring, n¨amligen som Spec(A/I). Det kommer ses senare att ¨aven de viktigaste ¨oppna m¨angderna g˚ar att skriva som spektra av ringar, men inte varje allm¨an ¨oppen m¨angd. Det kommer ocks˚a ses senare att ¨oppna m¨angder i den h¨ar topologin kommer i allm¨anhet vara betydligt mycket st¨orre ¨an de flesta slutna m¨angder.

3.3.1 Grundl¨aggande ¨oppna m¨angder

Aven om de ¨¨ oppna m¨angderna i X = Spec(A) redan nu ¨ar f¨ardigdefinierade som komplementen till varje slutet V (I) = Spec(A/I), s˚a ¨ar det intressant att betrakta en viss typ av ¨oppna m¨angder i detalj. F¨or ett element f ∈ A, l˚at X_f vara komplementet till Spec(A/(f )) det vill s¨aga

Xf := (Spec(A/(f ))^c = {p ∈ X : f 6∈ p} . (9) Det som g¨or denna typ av ¨oppna m¨angder speciell ¨ar att den utg¨or en bas av ¨oppna m¨angder i X och varje ¨oppen m¨angd i X kan d˚a uttryckas som en union av olika Xf. Men f¨or att ¨overhuvudtaget kunna diskutera unioner av ¨oppna m¨angder definierade som komplement till redan k¨anda m¨angder Spec(A/(E)) s˚a beh¨ovs ett lemma (vars bevis hittas i appendix):

Lemma 1. F¨or en familj m¨angder {A_α}_αmed komplement A^c_α i ett universum U g¨aller att

[

α

A_α

!c

=\

α

A^c_α.

En godtycklig ¨oppen m¨angd ¨ar komplementet till en godtycklig sluten m¨angd (Spec(A/I))^c d¨ar I ⊂ A. Med hj¨alp av (7) och Lemma 1 kan denna skrivas om till

(Spec(A/I))^c= (Spec(A/



 [

f ∈I

{f }



)^c=





\

f ∈I

Spec(A/(f ))





c

= [

f ∈I

(Spec(A/(f )))^c= [

f ∈I

X_f, (10) det vill s¨aga att varje ¨oppen m¨angd ¨ar en union av olika Xf. Familjen av Xf kallas de grundl¨aggande

¨oppna m¨angderna i X och ¨ar en bas f¨or X. Sj¨alva formella definitionen f¨or att en familj ¨oppna m¨angder utg¨or en bas f¨or X ¨ar litet annorlunda, men ovanst˚aende ¨ar den viktigaste aspekten f¨or de grundl¨aggande ¨oppna m¨angderna.

Exempelvis beh¨ovs det bara en enda grundl¨aggande ¨oppen m¨angd X_f f¨or att t¨acka hela topolo- giska rummet X. Som n¨amnt f˚ar inga primideal i A vara hela ringen A, vilket betyder att de inte f˚ar inneh˚alla inverterbara element f ; i s˚a fall skulle de inneh˚alla (gf⁻¹) · f = g d¨ar g ¨ar godtyckligt ringelement. Allts˚a blir X_f = X. Faktum ¨ar att det r˚ader en ekvivalens X_f = X omm f ¨ar inverter- bart. Implikationen till h¨oger kommer ur att varje icketrivial ring inneh˚aller minst ett maximalideal och varje icke-inverterbart element ing˚ar i ett maximalideal, fr˚an satser 1.3 och 1.5 i Introduction to Commutative Algebra[1]. Eftersom maxideal ¨ar primideal m˚aste d¨arf¨or f vara inverterbart givet X_f^c = Spec(A/(f )) = ∅.

D¨artill g¨aller det ¨aven att ett ¨andligt snitt av grundl¨aggande Xfinte bara ¨ar union av grundl¨aggande

¨oppna m¨angder (som det m˚aste vara eftersom ¨andliga snitt av ¨oppna m¨angder ¨ar ¨oppna) utan ¨ar i sig en enda grundl¨aggande ¨oppen m¨angd. Betraktas X_f, X_g ⊂ X f¨or n˚agra element f, g ∈ A s˚a betyder det att om ett primideal p ing˚ar i snittet Xf∩ Xg att varken f eller g tillh¨or p. Eftersom p ¨ar primideal kan d¨arf¨or inte produkten f g ∈ p s˚a p ∈ X_{f g} och liknande argument g¨ors om man antar p ∈ Xf g fr˚an b¨orjan. F¨or varje f, g ∈ A g¨aller allts˚a likheten

Xf∩ Xg= Xf g. (11)

Om nu exempelvis Xg vore en delm¨angd till Xf g s˚a m˚aste fr˚an (11) Xg = Xf g, med andra ord att tv˚a olika ringelements motsvarande Xf kan vara lika och det kan d¨arf¨or vara bekv¨amt med att precisera ett f¨orh˚allande mellan de ringelementen i s˚a fall.

Givet att en likhet Xf = Xghas, m˚aste deras komplement vara lika s˚a Spec(A/(f )) = Spec(A/(g)).

Intuitivt kanske (f ) = (g) skulle kunna g¨alla d˚a, men det kan t¨ankas ett fall n¨ar (f ) 6= (g), (g) =p(f) som fr˚an (2) skulle inneb¨ara Spec(A/(f )) = Spec(A/(g)) ¨and˚a. Om i st¨allet radikalernap(f) och p(g) betraktas, s˚a g¨aller det att radikalen av n˚agot ideal I ¨ar exakt snittet av de primideal som inne- sluter I, fr˚an sats 1.14 i Introduction to Commutative Algebra. s. 9, vilket ¨ar elementen i Spec(A/I).

Eftersom Spec(A/(f )) = Spec(A/(g)) kan en av radikalerna omskrivas till p(f ) = \

p∈Spec(A/(f ))

p= \

p∈Spec(A/(g))

p=p (g).

D¨arf¨or g¨aller f¨oljande sats f¨or tv˚a likadana grundl¨aggande ¨oppna m¨angder d¨ar implikation till v¨anster f¨oljer direkt av att Spec(A/(f )) = Spec(A/p(f)).

Sats 3.2. Om Xf och Xg ¨ar grundl¨aggande ¨oppna m¨angder till X = Spec(A) s˚a ¨ar Xf = Xg , om och endast omp

(f ) =p (g)

d¨arp(f) ¨ar radikalen till idealet (f).

Ett specialfall av Sats 3.2 med f = 0, som d˚a f¨orst˚as ger Xf = ∅, s¨atter krav p˚a attp(g) =√ 0 och specifikt att g ¨ar nilpotent.

3.3.2 Oppna m¨¨ angder ¨ar stora

Att grundl¨aggande ¨oppna m¨angder X_f utg¨or bas f¨or Spec(A) kan g¨ora att de intuitivt kan ses som ringspektras analogi till sm˚a bollar i Rⁿ d¨ar ¨oppna m¨angder ¨aven d˚a ¨ar unioner av bollar. Liknelsen tar dock slut d¨ar eftersom X_f, och d¨armed n¨astan alla ¨oppna m¨angder i Spec(A), ¨ar oftast extremt stora - oavsett vilken geometrisk tolkning en v¨aljer att g¨ora.

F¨or till¨ampningen A = K[x] med kropp K s˚a kommer ett f tillh¨ora ett primideal om och endast om f som polynom har ett irreducibelt polynom i K[x] som faktor, d¨ar det irreducibla polynomet motsvarar primidealet. Graden av polynomet f begr¨ansar d¨armed s˚a klart hur m˚anga faktorer f kan ha och d¨armed hur m˚anga primideal som kan inneh˚alla det. ¨Oppna m¨angden X_f kommer d¨arf¨or alltid best˚a av alla utom ett ¨andligt antal element ur Spec(A), givet att Xf 6= ∅. ¨Aven f¨or den vanligaste till¨ampningen A = K[x, y] s˚a kommer motsvarande g¨alla, om ¨an med specifikt maximalideal och inte allm¨anna primideal i K[x, y].

Storleken i ¨oppna m¨angden kan ses i den geometriska tolkningen av slutna m¨angder Spec(A/f ) ⊂ Spec(K[x, y]) som nollst¨allekurvan till polynomet f i xy−planet. Tolkningen av X_f blir ju d˚a som komplementet n¨astan hela xy − planet. Senare i texten i Sektion 4.1.1 kommer ett system i form av k¨arvar inf¨oras f¨or att sp˚ara de v¨asentliga data tillh¨orande de annars ¨overv¨aldigande ¨oppna m¨angderna i Spec(A).

3.3.3 Kompakta ¨oppna m¨angder

En annan viktig egenskap som varje grundl¨aggande Xf har ¨ar att de ¨ar s˚a kallade kvasikompakta.

Detta inneb¨ar att varje ¨oppen ¨overt¨ackning av Xf har en ¨andlig del¨overt¨ackning, det vill s¨aga om en ¨overt¨ackning ¨ar en union indexerad ¨over m¨angden K, s˚a finns en ¨andlig delm¨angd L ⊂ K s˚a att samma union men indexerad ¨over m¨angden L ocks˚a en ¨overt¨ackning. Det r¨acker nu dessutom att anta att varje ¨oppen ¨overt¨ackning av X_f ¨ar grundl¨aggande m¨angder {X_fk}_k∈K med X_f ⊂ S

k∈KX_fk, eftersom ju varje ¨oppen m¨angd i ¨overt¨ackningen kan uttryckas med grundl¨aggande ¨oppna m¨angder.

Om U1¨ar delm¨angd till U2s˚a ¨ar det n¨odv¨andigt att komplementet till U1m˚aste ha komplementet till U2 som delm¨angd. Fr˚an Lemma 1 och ekvationen f¨or snitt av slutna m¨angder (7) has d¨arf¨or f¨or

¨overt¨ackningen {Xf_k}_k∈K

(Xf)^c= Spec(A/(f )) ⊃ [

k∈K

Xf_k

!c

= Spec(A/ [

k∈K

{fk}) = Spec(A/I) (12)

d¨ar vi s¨atter I som idealet genererat av m¨angden {f_k}_k∈K. F¨orst och fr¨amst g¨aller att f ∈p(f) som betyder att f tillh¨or √

I. Detta eftersom√ J =T

p∈Spec(A/J )p f¨or ett ideal J och p(f ) = \

p∈Spec(A/(f ))

p⊂n

Anv¨ander Spec(A/(f )) ⊃ Spec(A/I)o

⊂ \

p∈Spec(A/I)

p=√ I

n¨ar vi tar snitt av f¨arre m¨angder.

F¨or n˚agot positivt heltal m g¨aller allts˚a att f^m∈ I. Med tanke p˚a att I var idealet genererat av {f_k}_k∈K s˚a kan f^m uttryckas

f^m=

n

X

k=1

gkfk d¨ar gk ∈ A, (13)

per definition av ideal genererade av m¨angder. Men detta ¨ar ocks˚a ett element i idealet genererat av den ¨andliga unionenS

k∈L{fk} med L ⊂ K och L har de n st fk som beh¨ovs i (13). Detta ideal kan d¨opas till I⁰ d¨ar d˚a f^m∈ I⁰.

Det g¨aller nu att Spec(A/f ) ⊃ Spec(A/I⁰) = Spec(A/S

k∈L{fk}) eftersom ett p som ing˚ar i Spec(A/I⁰) kommer inneh˚alla f^m och som visat tidigare ¨aven f eftersom p ¨ar primideal. Till sist g˚ar det att g˚a tillbaka till ¨oppna m¨angder via komplement av senaste sambandet och f˚a

X_f ⊂ V [

k∈L

{fk}

!^c

= [

k∈L

X_fk (14)

d¨ar L ⊂ K ¨ar ¨andlig. S˚aledes blir varje grundl¨aggande ¨oppen m¨angd i X kvasikompakt. Speciellt ¨ar d¨arf¨or hela X ocks˚a kvasikompakt d˚a X1= X.

Intuitivt borde dessutom en ¨andlig union av grundl¨aggande Xfocks˚a vara kvasikompakt eftersom varje del av unionen ¨ar det. Rent formellt s˚a betraktas d˚a en ¨oppen ¨overt¨ackning {X_gk}_k∈K till en

¨andlig union av grundl¨aggande ¨oppna m¨angder d¨ar [

l∈L

Xf_l⊂ [

k∈K

Xg_k (15)

d¨ar allts˚a L ¨ar ¨andlig. ¨Overt¨ackningen blir d˚a ocks˚a en ¨overt¨ackning till varje enskilt Xf_l som ¨ar som bekant kompakta och ¨overt¨ackningen har d˚a en ¨andlig ¨overt¨ackning f¨or vardera Xf_l. Detta kan skrivas

X_fl⊂ [

k∈K_l

X_gk

d¨ar K_l⊂ K ¨ar ¨andlig. Detta kan ins¨attas i varje X_fl i v¨ansterledet i (15) som ger sambandet [

l∈L

X_fl⊂ [

l∈L

[

k∈K_l

X_gk = [

k∈S

l∈L(K_l)

X_gk

d¨arS

l∈L(Kl) ⊂ K ¨ar ¨andlig. Allts˚a har {Xg_k}_k∈K en ¨andlig del¨overt¨ackning och att vara en ¨andlig union av grundl¨aggande ¨oppna m¨angder ¨ar allts˚a ett tillr¨ackligt krav f¨or att vara kvasikompakt.

Det ¨ar egentligen dessutom ett n¨odv¨andigt krav, om m¨angden i fr˚aga ¨ar ¨oppen. Betrakta ¨oppna m¨angden U som d˚a ¨ar en union av grundl¨aggande m¨angder i form U = ∪k∈KXf_k och anta b˚ade att den ¨ar kvasikompakt och att K aldrig kan vara ¨andligt. Det g¨aller f¨orst˚as att U ⊂ U s˚a {Xf_k}_k∈K

¨ar en ¨oppen ¨overt¨ackning av U s˚a den m˚aste ha en ¨andlig del¨overt¨ackning. En del¨overt¨ackning kan dock inte ge en st¨orre union ¨an vad den ursprungliga gav, s˚a d¨arf¨or m˚aste ∪_k∈LX_fk= ∪_k∈KX_fk = U f¨or n˚agot ¨andligt L ⊂ K. Detta ger dock mots¨agelse f¨or att U var inte ¨an ¨andlig union. F¨oljande sats erh˚alls d¨arf¨or:

Sats 3.3. En ¨oppen m¨angd U ⊂ Spec(A) f¨or en ring A ¨ar kvasikompakt om och endast om U ¨ar en ¨andlig union av grundl¨aggande ¨oppna m¨angder Xf ⊂ Spec(A). Detta medf¨or att hela Spec(A)

¨ar kvasikompakt.

Ett konkret exempel p˚a en ickekompakt m¨angd som ¨and˚a ¨ar okomplicerad ¨ar i fallet f¨or polynom i o¨andligt antal variabler, det vill s¨aga A = K[x₁, x₂, ...]. Det kommer ses senare att Spec(A/p) ¨ar enstakta punkter om p ¨ar ett maxideal, och mer precis exakt punkten p. Med valet p som maxidealet (x1, x2, ...) ⊂ A, det vill s¨aga alla polynom vars nolltegradskoefficient ¨ar 0, s˚a kommer komplementet till slutna m¨angden Spec(A/p) = A\p inte vara kompakt.

Det g˚ar att anv¨anda resultatet ur (10), modifierat med att unionen i h¨ogerledet S

f(Xf) bara beh¨over indexeras ¨over de f som genererar idealet I f¨or att (Spec(A/I))^c = S

f(X_f). Allts˚a ¨ar A\p =S∞

i=1Xx_ioch unionen kan inte skrivas som en ¨andlig s˚adan. Trots att hela X ¨ar kvasikompakt s˚a ¨ar det allts˚a, i ˚atminstone ett fall, m¨ojligt att bara ta bort en enda punkt ur X f¨or att resultatet ska bli n˚agot ickekompakt.

Sk¨alet till prefixet ’kvasi’ i kvasikompakt ¨ar att m˚anga egenskaper som kompakta m¨angder har kr¨aver dessutom att hela topologiska rummet X ska vara ett Hausdorffrum, ¨aven kallat T₂−rum.

S˚a m¨angder kallas bara kompakta om de ¨ar kvasikompakta och dessutom del av ett T2−rum. Ett s˚adant rum har T₂-kravet att tv˚a distinkta punkter i X alltid kan separeras med varsin omgivning kring sig, s˚a att de tv˚a omgivningarna inte sk¨ar varandra[2]. Detta g¨aller i allm¨anhet ej f¨or spektrum av alla ringar utan de uppfyller som b¨ast det relaterade T0−kravet som diskuteras senare. Att Xf

¨ar kvasikompakta kommer dock anv¨andas senare i arbetet n¨ar topologiska rummet X = Spec(A) och dess ¨oppna delm¨angder ska sammankopplas till ursprungsringen A.

3.4 Punkter i Spec(A)

Det kan vara v¨art att p˚aminna sig om att spektrumet av en ring ¨ar ett h¨ogst allm¨ant topologiskt rum, d¨ar egenskaper fr˚an metriska rum s˚asom Rⁿ(som ¨ar mycket specifika topologiska rum) vanligen inte g¨aller f¨or ringspektra. En v¨asentlig skillnad ¨ar tolkningen av enstaka element eller punkter i topologiska rum X. F¨or metriska rum ¨ar de alltid slutna m¨angder men det ¨ar inte givet om X = Spec(A) utan beh¨over unders¨okas specifikt.

Betrakta ett element p ∈ X och dess slutna h¨olje {p} som ¨ar den minsta slutna m¨angd som inneh˚aller p, d¨ar ’minsta’ syftar p˚a att alla slutna m¨angder som inneh˚aller p har {p} som delm¨angd.

Slutna m¨angden kan skrivas{p} = Spec(A/I) och det g¨aller att Spec(A/I) ⊂ Spec(A/p). Tas ett q∈ Spec(A/p) s˚a innesluter q primidealet p och d¨armed ¨aven I. D¨arf¨or q ∈ Spec(A/I) = {p} och eftersom q var godtyckligt g¨aller

{p} = Spec(A/p). (16)

Slutna h¨oljet till p ¨ar allts˚a m¨angden av primideal som inneh˚aller det. Av detta f¨oljer det direkt fr˚an definitionen av Spec(A/p) att {p} sj¨alv ¨ar slutet om och endast om p ¨ar ett maximalideal i A.

Ar p ett maximalideal s˚¨ a finns inget ¨akta ideal som innesluter p s˚a Spec(A/p) best˚ar av ett enda element. ¨Ar p inte ett maximalideal men fortfarande primideal s˚a m˚aste per definition det finnas ett annat ideal q som innesluter p, det vill s¨aga Spec(A/p) best˚ar av fler ¨an ett element.

Det ¨ar allts˚a bara maxideal i A som kommer motsvara ’isolerade’, slutna punkter i topologiska rummet X = Spec(A). Enkla ringar s˚asom heltalen Z och polynomringar K[x], med K kropp, har spektra d¨ar varje punkt utom en ¨ar sluten, d¨ar undantaget ¨ar primidealet (0). Men att bara inf¨ora en extra variabel i polynom leder till fler ickeisolerade punkter i exempelvis Spec(K[x, y]) eftersom K[x, y] i allm¨anhet har m˚anga fler primideal ¨an (0) som inte ¨ar maximalideal.

Tidigare n¨amndes att X inte kommer vara ett T2-rum i allm¨anhet, det vill s¨aga att tv˚a olika punkter kan separeras till den grad att det finns omgivningar kring vardera punkt s˚a att omgiv- ningarna inte sk¨ar varandra. D¨aremot g¨aller i allm¨anhet det mycket svagare T₀−kravet g¨allande hur mycket punkter kan separeras. Det ¨ar till och med det svagaste kravet f¨or hur punkter kan separe- ras. Att X = Spec(A) ¨ar ett T₀-rum inneb¨ar att f¨or varje distinkt par av punkter p, q ∈ X s˚a finns

˚atminstone en ¨oppen omgivning till p som inte inneh˚aller q, eller vice versa.[2]

Det kan visas med en falluppdelning. Om p ∈ (Spec(A/q))^cs˚a ¨ar denna m¨angd en omgivning till p som inte inneh˚aller q. Om i st¨allet p ∈ Spec(A/q) s˚a m˚aste punkterna som ideal betraktat p ⊃ q.

Det omv¨anda p ⊃ q kan inte g¨alla om p, q ska vara distinkta s˚a d¨arf¨or m˚aste q ∈ (Spec(A/p))^c och denna m¨angd blir allts˚a en omgivning till q som inte inneh˚aller p.

F¨or allm¨anna ringspektra f˚as d¨arf¨or resultatet

Sats 3.4. Om X = Spec(A) d¨ar A ¨ar en ring, s˚a ¨ar X ett T0−rum, det vill s¨aga, f¨or varje distinkt par av punkter p, q ∈ X s˚a finns ˚atminstone en ¨oppen omgivning till p som inte inneh˚aller q, eller vice versa. Punkterna i X s¨ags d˚a vara topologiskt distinkta[2].

3.5 Irreducibilitet

Faktum ¨ar att X = Spec(A) f¨or de vanligaste till¨ampningarna p˚a A (s˚asom tv˚avariabelspolynom) aldrig kommer vara ett T₂−rum. Detta beror dels p˚a att X ofta kan visa sig bli irreducibelt som

betyder att X 6= ∅ och att varje par icke-tomma ¨oppen m¨angd har en sk¨arning. Detta h¨anger ihop med tolkningen att ¨oppna m¨angder i ringspektra oftast ¨ar mycket stora, och s˚a pass stora att en

¨oppen m¨angd alltid sk¨ar alla andra ¨oppna m¨angder, givet att hela Spec(A) ¨ar irreducibelt.

F¨or att Spec(A) ska vara irreducibelt s˚a ¨ar ett b˚ade n¨odv¨andigt och tillr¨ackligt krav att √ 0, de nilpotenta elementen i A, ¨ar ett primideal. Specialfall ¨ar om A ¨ar ett heltalsomr˚ade som inneb¨ar dels 0 =√

0 och 0 ¨ar ett primideal. D¨arf¨or kommer Spec(A) med vanligaste till¨ampningen A = K[x, y]

vara irreducibelt och aldrig ett T2−rum.

F¨or att visa att √

0 ∈ X = Spec(A) leder till irreducibilitet s˚a till¨ampas sambandet (16) att slutna h¨oljet alltid ¨ar k¨ant och i detta fallet ¨ar det Spec(A/√

0) = X. V¨aljs d˚a tv˚a godtyckliga icke- tomma ¨oppna m¨angder (Spec(A/I)^c, (Spec(A/J ))^cs˚a kommer komplementen Spec(A/I), Spec(A/J ) b˚ada inte kunna utg¨ora hela X. D˚a ing˚ar som element√

0 i varken Spec(A/I) eller Spec(A/J ) och d¨arf¨or inte heller i unionen Spec(A/I) ∪ Spec(A/J ). D˚a m˚aste det ing˚a i komplementet av unio- nen, allts˚a√

0 ∈ (Spec(A/I))^c∩ (Spec(A/J ))^c s˚a snittet av icke-tomma ¨oppna m¨angder blir d¨arf¨or icke-tomt.

Om nu i st¨allet √

0 inte ¨ar ett primideal s˚a finns ett par f, g ∈ A s˚a att f g ∈ √

0 men varken f eller g f¨or sig sj¨alvt ing˚ar. Tidigare n¨amndes att grundl¨aggande ¨oppna m¨angder Xf ¨ar tomma om och endast om f ¨ar nilpotent. D¨arf¨or ¨ar med f, g fr˚an ovan X_f, X_g icke-tomma ¨oppna m¨angder men deras snitt, som f˚as ur (11), Xf g= ∅ f¨or att f g ∈√

0 s˚a det mots¨ager att Spec(A) skulle vara irreducibelt. Satsen nedan kan nu f˚as.

Sats 3.5. Givet att X ¨ar ett spektrum av en ring A s˚a ¨ar X irreducibelt om och endast om √ 0 ∈ Spec(A).

Som sagt kommer de vanligaste fallen av ringar ge att X blir irreducibelt, men det ¨ar m¨ojligt att konstruera reducibla rum. V¨aljs A = K[x, y]/(xy) f¨or n˚agon kropp K s˚a kommer X = Spec(A) motsvara de primideal i K[x, y] som innesluter xy. Eftersom de ¨ar primideal m˚aste de d¨arf¨or inneh˚alla minst ett av x och y. Slutsatsen blir d˚a att Xx∩ Xy= ∅ s˚a X m˚aste vara reducibelt.

3.6 Avbildningar mellan spektra

I Spec(A) tolkas visserligen primidealen p som enskilda punkter, men de ¨ar f¨orst˚as fortfarande delm¨angder till ringen A. Ringhomomorfier kan allts˚a appliceras p˚a primideal p och homomorfierna kan modifieras s˚a att de blir avbildningar mellan spektra av ringar. Givet en ringhomomorfi φ : A −→

B s˚a ¨ar φ(I) ⊂ B inte n¨odv¨andigtvis ideal om I ⊂ A ¨ar det men d¨aremot ¨ar alltid inversa bilden φ⁻¹(J ) ⊂ A ideal om J ⊂ B ¨ar det. Specifikt ¨ar φ⁻¹(q) ⊂ A primideal om q ⊂ B ¨ar primideal. Med beteckningar X = Spec(A), Y = Spec(B) s˚a inducerar ringhomomorfin en v¨aldefinierad avbildning φ^∗: Y −→ X d¨ar φ^∗(q) = φ⁻¹(q) f¨or varje q ∈ Y.

V¨art att till¨agga ¨ar att f¨or sammans¨attningar av homomorfier φ : A −→ B och ψ : B −→ C s˚a blir den inducerade avbildningen (ψ ◦ φ)^∗: Spec(C) −→ Spec(A) p˚a formen

(ψ ◦ φ)^∗= φ^∗◦ ψ^∗ (17)

utifr˚an att inducerade topologiska avbildningar definieras med hj¨alp av inversen av homomorfin.

F¨or en allm¨an ringhomomorfi φ s˚a erh˚aller dessutom φ^∗ ett antal egenskaper.