• No results found

Raie hkvaeie ExaeabeefökadidaexaeiaeaikvidGöebg iveie Daiagiai EdviWedi ik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Raie hkvaeie ExaeabeefökadidaexaeiaeaikvidGöebg iveie Daiagiai EdviWedi ik"

Copied!
63
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Examensarbete för kandida texamen i matematik vid Göteborgs universitet

Damiano Ognissanti

Edvin Wedin

Niklas Andersson

Institutionen för matematiska vetenskaper

Chalmers tekniskahögskola

Göteborgs universitet

Göteborg 2012

(2)
(3)

Examensarbete för kandidatexamen i matematik inom matematikprogrammet

vid Göteborgs universitet

Damiano Ognissanti EdvinWedin

Examensarbeteför kandidatexameni tillämpadmatematikinommatematikpro-

grammet vid Göteborgs universitet

Niklas Andersson

Handledare: ,GenkaiZhang

Examinator: Carl-HenrikFant

Omslagsbild:JohnTenniel, 1865[2℄

Institutionenförmatematiskavetenskaper

Chalmerstekniskahögskola

(4)
(5)

Rotationeri3-dimensionellarumlärsvanligtvisutiformav rotationsmatriser.Ett

alternativtillrotationsmatriserärkvaternioner,vilkakansessomenutvidgningav de

komplexa talen.Genomattrepresenteravektorersomkvaternionerkanrotationer be-

räknasmedenformelkortareo henklareattmemoreraänmosvaranderotationsmatris.

Irapporten härledervidennaformelo hdiskuterarolikasättattrepresenterarotatio-

ner.Avslutningsvisliggerennumeriskdeldärberäkningshastigheto hstabilitetjämförs

mellankvaternionero hmatriser.

Abstra t

Rotations in3dimensionsare ommonlytaughtbymeansofmatri es. Analterna-

tiveisusingquaternions,whi h anbeseenasanextensionofthe omplexnumbers.By

representating 3-dimensionalve tors as imaginary quaternions, rotations anbe om-

puted by shorter formulas,easy to remember ompared to its orresponding rotation

matrix. Inthisreportwewillderivethoseformulasanddis ussdierentwaystorepre-

sentrotations. Attheendisanumeri alpart,where omputationalspeedandstability

is omparedbetweenmatri esandquaternions.

(6)

Bete kning Betydelse

N={0, 1, 2, 3, ...} Mängdenavallanaturligatal.

Z={... − 2, −1, 0, 1, 2, ...} Mängdenavallaheltal

Z+= N\{0} Mängdenavalla positivaheltal

Q={ab : a, b∈ Z, b 6= 0} Mängdenavalla rationellatal.

R Mängdenavallareellatal.

C={a + bi : a, b ∈ R, i2=−1} Mängdenavallakomplexatal.

H=s + ai + bj + ck, s, a, b, c ∈ R, i2= j2= k2= ijk =−1



Mängdenavallakvaternioner.

HIm=0 + ai + bj + ck, a, b, c ∈ R, i2= j2= k2= ijk =−1



Mängdenavallarentimaginärakvaternioner.

H1={q ∈ H : ||q|| = 1} Mängdenavallaenhetskvaternioner.

Zn={Z/n, n ∈ Z+} Mängdenavheltalmodulon

q = s + ai + bj + ck qbete knarkvaternionenmed skalärdelso hvektordel(a, b, c).

v= (v1, ...vn) vbete knarenvektoriRn som

harkomponenternav1, v2, ..., vn.

v• w bete knarskalärprodukten

(inreprodukten)mellan vektorernavo h w. v× w ×bete knarkryssproduktenmellanvektorernav o hw. Rv(θ) Rotationsmatrisförrotationθ radianerkringvektornv [s, (a, b, c)] Ettannat skrivsättförkvaternionenq = s + ai + bj + ck. SO(n) Mängdenavallaortogonalan× n-matrisermeddeterminant1.

GLn(K) Mängdenavallainverterbaran× n-matrisermedelementiK.

A, B, ... Matriserbete knasmed versaler

(7)

1 Inledning 1

1.1 Syfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Avgränsningar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Metod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.4 Rapportensupplägg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Kvaternioner 2 2.1 Utvidgningavdekomplexatalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Grundläggandeegenskaper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Kvaternionersomkomplexa2x2-matriser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Representationeravrotationer 6 3.1 Eulervinklaro haxel-vinkel-tvåparametriseringaravrotationer . . . . . . . 6

3.2 Sättattrepresenterarotationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2.1 RepresentationavEulervinklarmatrisform. . . . . . . . . . . . . . 7

3.2.2 Representationavaxel-vinkelrotationmatrisform . . . . . . . . . . 8

3.2.3 Kvaternionerkansessomrotationero hrotationersomkvaternioner . 10 3.2.4 Representationavaxel-vinkelrotationkvaternionform . . . . . . . . 12

3.2.5 RepresentationavEulervinklarkvaternionform . . . . . . . . . . . 13

3.2.6 Metodattnnakvaternionensomroterarenpunkttillenannan . . . 14

3.3 Sammanfattningavrotationersparametriseringaro hrepresentationer . . . . 16

4 Topologiska skilnadermellanSO(3)o hH1 17 4.1 Kvaternionerkanläggasenboll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Rotationerkanläggasienboll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Rotationernaärdubbeltövertä ktaavenhetskvaternionerna. . . . . . . . . . 18

5 Förlust av frihetsgrader hos Eulervinklar 20 6 Numerik 23 6.1 Beräkningavrotationsmatrisrespektiverotationskvaternion . . . . . . . . . . 23

6.2 Beräkningavqp¯q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3 Simulering1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4 Simulering2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7 Resultat 27 7.1 Simulering1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.2 Simulering2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Diskussion 32 8.1 Axel-vinkelparametriseringvs.Eulervinklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.2 Matriservs.kvaternioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.3 Simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

9 Slutsatser 33 10 Vidarestudier 33 A Cliordalgebror i B Källkod iv B.1 Beräkningavqp¯q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

B.2 Beräkningavrotationsmatrisrespektivekvaternion . . . . . . . . . . . . . . . v

B.3 Simulering1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

B.4 Simulering2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

B.4.1 MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

B.4.2 MEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xviii

(8)

Utöverindividella tidsloggar har även en gruppdagbok förts där arbetspro essen doku-

menterats.Varjeavsnittavrapportenharhuvdsaklingentre olikaarbetsmoment:inläsning,

bearbetning av material o h dokumentation. Undantaget från detta är numerikdelen, där

simuleringartillkommer.

Arbetsfördelningenöverdeolikasty kenairapportenhardelatsuppenligtnedan:

Förord:Niklas

Inledning

 Dokumentation: Niklas,Edvin

 Huvudansvarig:Edvin

Kvaternioner

 Inläsning:Niklas

 Bearbetningavmaterial:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Niklas

 Huvudansvarig:Niklas

Rotationer

 Bearbetningavmaterial:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Damiano(3.1,3.2.3-3.2.6,3.3),Niklas(3.2.1-3.2.2)

 Huvudansvarig:Damiano

Topologi

 Bearbetningavmaterial:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Edvin

 Huvudansvarig:Edvin

GimbalLo k

 Bearbetningavmaterial:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Edvin

 Huvudansvarig:Edvin

Numerik

 Utve klingavMATLAB-program:

Simulering1:Niklas,Damiano,Edvin

Simulering2:Niklas

 Bearbetningavmaterial:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Niklas

 Huvudansvarig:Niklas

Resultat

 Bearbetning:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation: Niklas

 Huvudansvarig:Niklas

Diskussion

(9)

 Huvudansvarig:Niklas,Edvin

Slutsatser

 Bearbetning:Niklas,Damiano,Edvin

 Dokumentation:Niklas,Damiano,Edvin

 Huvudansvarig:Niklas,Damiano,Edvin

Cliordalgebror

 Inläsning:Niklas

 Bearbetningavmaterial:Niklas

 Dokumentation: Niklas

 Huvudansvarig:Niklas

(10)

Kvaternionerkansessomenutvidgningavde komplexatalen.Deras räknereglero hkopp-

ling till rotationer upptä ktes av Olinde Rodrigues [3℄ 1840, men slog inte igenom förän

William RowanHamilton, oberoende av Rodrigues, upptä kte kvaternionerna 1843. Innan

matrisalgebranutve kladesanvändeskvaternionerförattrepresenteravektorerirummet[6℄.

Idagär matriser o h vektorerlångt vanligareänkvaternioneri tillämpningar, men just för

attrepresenterarotationeruppvisarmatrisframställningenbristersominteåternnshoskva-

ternionerna.Kvaternionerharlängeanväntsinom rymdfarten[8℄ o hförekommeräveninom

datoranimeringo hrobotik.Gemensamtfördessaområdenärattdeärberoendeavsnabba

o h stabiladatoriseraderotationsberäkningar.

1.1 Syfte

Syftet med det här projektet är att studera o h förstå rotationer i rummet, både ur ett

tillämpato hrentmatematisktperspektiv.Attvälkunnamodellerao hsimulerarotationer

ärviktigtinom mångaområden.Trotssin underliggandegruppstrukturbjuderrotationerna

do k motstånd när man försöker räkna med dem; såväl datorer som människor tenderar

föredraatt räknamed tal.Vi vill därförge exempelo h jämföraolikaparametriseringar

avrotationernao hutröna derasegenheter,ävenurett numerisktperspektiv.Spe ielltvill

viundersökahurkvaternionerkananvändasförattrepresenterarotationer,dettadeofta

beskrivssommy ket lämpligaur beräkningssynpunkt.

1.2 Avgränsningar

Rotationerutgörengruppo hdetnnsmånga sättattanvändadesselement.Mankantill

exempel studera sätt attinterpoleraen mängdav dem, lösa rotationsekvationerellersätta

dem sammantill matriser. Vi hardo k,utöveratt beskrivamängdernarotationer o hkva-

ternioner, huvudsakligenbegränsatoss till att studera sammansättning,operationenunder

vilkenrotationernaärengrupp.Enannan,lättförbisedd,avgränsningärattvibarajobbar

med rotationeri tre dimensioner, detta det inte i alla högre dimensioner går att räkna

med kvaternioner. Slutligen harvi inte studerat degeneraliseringaro h vidareutve klingar

avkvaternionersomkangörasdettaskulle varaattfrångåvårt huvudspår rotationerna.

Ett undantag är Cliordalgebrorna, en större klass algebror av vilka kvaternionerna utgör

ettspe ialfall,vilkabehandlasi ettappendix.

Endasttvåsimuleringarhargenomförts,o hdessainvolverarendastvridningarformen

axel-vinkel.

1.3 Metod

Arbetetär främstenliteraturstudie meninbegriperäven enstakaegna resultat.Huvuddelen

av arbetstiden harägnats åt detrent matematiska,men även simuleringar har ingått som

viktig del.Simuleringarnaharsyftattill attjämförakvaternion-o h matrisrepresentationer

av rotationer. Vi har jämfört tidsåtgång o h stabilitet; tidsåtgången är viktig närman till

exempelvillhasnabbadatoranimationero hstabilitetenman arbetarmed väldigtlånga

serierrotationer,exempelvisinnomrobotik.

1.4 Rapportens upplägg

Rapporteninledsmeddenitionerförkvaternionero hrotationersamtegenskaperhosdessa.

Därefter presenterasdetvåstuderade parametriserningarnaavrotationernao hhur dekan

skrivas med kvaternioner o h matriser. De olikaparametriseringarnastopologi diskuteras i

tvåavsnittinnansimuleringsavsnittet,ivilketkvaternionero h matriserjämförsnumeriskt.

Tillsistknytsdeolikadelarnaihopmedendiskussionsdel.

(11)

Det första avsnittet ägnasåt att beskrivavad kvaternioner är o h de mest grundläggande

begreppeniteorinkringdessa.Begreppsomkonjugat,norm, m.m.denierasförattkunna

användas i senare kapitel. Dessutom presenteras olika framställningar av kvaternioner. Vi

börjarmedattpre iseravadvimenarmed enkvaternion:

Denition2.1. (Hamiltonsdenition avkvaternioner)Medenkvaternionqavses etttal

formen

q = s + ai + bj + ck (1)

där s, a, b, c ∈ R. s kallas realdelen av q o h a, b, c är imaginärde larna av q. i,j,k kallas de

imaginära enheterna, o h uppfyller i2= j2= k2= ijk =−1. Mängden av alla kvaternioner bete knasH

Iblandanvändstermernaskalärdel o hvektordel ,o hskrivsq = (s, v),därsärskalär-

delenförqo h värvektordelen,v= (a, b, c).

Förstbehandlasden kanskemest naturligahärledningen, nämligenattskapakvaternio-

nernagenomenutvidgningavdekomplexatalen.

2.1 Utvidgning av de komplexa talen

De komplexatalen fåssombekantfrån dereellagenom attman inför taletisom uppfyller i2=−1o hbetraktarallalinjärkombinationerx + yi,därx, y∈ R.

Närmaninförkvaternionernakandetgörasliknandesätt.Låtj bete knadenimagi-

näraenheten,j2=−1,o hbetraktaallatalformenα + βj,därα, β∈ C.

Oms + aio h b + ciär tvåkomplexatalär den kvaternionq somfåsmed ovanstående denitionq = (s + ai) + (b + ci)j = s + ai + bj + cij,vilketföljeravräknereglerförkomplexa tal.Införnubete kningenij = k o hdenieraij =−jikanqskrivassom

q = (s + ai) + (b + ci)j = s + ai + bj + ck

vilkenärdenform somHamiltonanvändenärhanförstdenieradekvaternioner.

Detföljer fråndenitionenatti2= j2=−1, o hdetkonstaterasenkeltattk2= (ij)2= ijij = i(−ij)j = −i2j2 =−(−1) · (−1) = −1. Vidareär (ij)k = kk =−1,vilket stämmer

överensmeddenitionen.

Nästkommande avsnitt denierar viktiga begrepp som används när man arbetar med

kvaternioner.

2.2 Grundläggande egenskaper

Föradditionavtvåkvaternionerq1= (s1, v1)o hq2= (s2v2)gäller,analogtmedkomplexa

tal:

q1+ q2= (s1+ s2, v1+ v2) = (s1+ s2) + (a1+ a2)i + (b1+ b2)j + (c1+ c2)k

Produkteravdeimaginäraenheternafårmangenomomskrivningavdeformlersomingåri

denitionenavenkvaternion.Ettexempelärsomföljer:antagattproduktenjkskaberäknas.

Enligt denitionen aven kvaternion gälleratt ijk =−1.Vi kan multipli era bådaleden med−io h (−i)(ijk) = −(−i) ⇔ jk = i.

sammasätthärledsföljandetabellöverprodukteravdeimaginäraenheternai, j, k.

· i j k

i -1 k -j

j -k -1 i k j -i -1

Tabell1:Cayley-tabellöveri, j, kmed operationenmultiplikation

(12)

Urtabellenfåst.ex.attij = k,menji =−k,vilketvisarattkvaterionerintekommuterar.

Eftersomkvaternionerärnärabesläktademeddekomplexatalenärdetrimligtattanta

attmankanmultipli eratvåkvaternionersammasättsomkomplexatal.Dettafungerar

utmärkt att göradet endaman behövergöraär att tillämpa den distributivalagen o h kommaihågattkvaternionerinte ärkommutativa.Vivisarmed ettnumerisktexempel:

(1 + 2j)· (2i + 3k) = 1 · 2i + 1 · 3k + 2j · 2i + 2j · 3k

= 2i + 3k + 4ji + 6jk = 2i + 3k + 4(−k) + 6 · i = 2i + 3k − 4k + 6i = −4i − k.

Iovanståendeberäkninghartabell1använtsförberäkningavproduktermellani, j o h k.

Detnnsenformelförproduktenavtvåkvaternioner,vilkenvisasiföljande lemma:

Lemma 2.2. För produktenav två kvaternioner q1 = s1+ a1i + b1j + c1k = (s1, v1), q2 = s2+ a2i + b2j + c2k = (s2, v2)gälleratt

q1q2= (s1, v1)· (s2, v2) = (s1s2− a1a2− b1b2− c1c2) + (s1a2+ a1s2+ b1c2− c1b2)i+

+(s1b2+ b1s2+ c1a2− a1c2)j + (s1c2+ a1b2− b1a2+ c1s2)k =

= (s1s2− (v1• v2), s1v2+ s2v1+ v1× v2)

Bevisetärenbartenberäkning.Andralikhetenföljeravattmanberäknarproduktenför

tvåkvaternionerm.h.a.distributivalagen o h kommerihågatt behålla rätt ordningför de

imaginäraenheterna.Sistalikhetenföljer avdenitionenförkryss-o h skalärprodukt.

Vi noterarattkvaternionerkan sessomvektoreri R4 genom att låtakvaternionen q = s + ai + bj + ck∈ Hrepresenterasavvektorn(s, a, b, c)∈ R4.Dettainnebärattmängdenav

alla kvaternionertillsammans medoperationenaddition, dvs.(H, +),är ettvektorrum,o h

sammanormsomiR4kananvändasiH.

Denition 2.3. Konjugatet till kvaternionenq = s + ai + bj + ck denierassom kvater-

nionen s− ai − bj − ck o h bete knasq¯.

Denition 2.4. Normen av kvaternionen q denieras som det reella talet ||q|| = q ¯q =

s2+ a2+ b2+ c2. Man brukarvissa fall användabete kningen N (q) = q ¯q = ¯qq =||q||2.

Denition2.5. Låtqvaraenkvaternion. Om||q|| = 1 kallas qför enenhetskvaternion . Mängden av alla enhetskvaternionerbete knas H1.

Lemma 2.6. Omq1= s1+ a1i + b1j + c1ko h q2= s2+ a2i + b2j + c2k ärtvåkvaternioner gäller följa nd e:

1. q1+ q2= ¯q1+ ¯q2

2. q1q2= q2q1

3. N (q1q2) = N (q1)N (q2)

Bevis. Bevisetärenbartenrutinberäkningo hlämnassomövningåtläsaren

Denition 2.7. Låt q 6= 0 vara en kvaternion. Inversen till q bete knas q−1 o h är den

entydigt bestämda kvaternionsom uppfyller qq−1= q−1q = 1

Sats 2.8. Fören kvaternion q6= 0 gällerattq−1 =Nq¯(q)

Bevis. Vihar

qq−1= q· q¯

N (q) = q ¯q

N (q) = N (q) N (q) = 1

o h

q−1q = q¯

N (q)· q = qq¯

N (q) = N (q) N (q) = 1

q−1=Nq¯(q) q

References

Related documents

- Aktualitetsstandard : Visst preciserat kartinnehåll inom planområdet är kontrollerat och Skalan för primärkartan är 1:2 000 (byar). Kartstandard

omplement redu tion, null-spa e proje tion method, minimum residual methods, numeri al.. stability, rounding

[r]

[r]

[r]

[r]

Den mot Tassos person och poesi så hätska och stränga Accademia della Crusca skulle ej eljest hafva underlåtit at t h å rd t ställa honom till ansvar för

Klimatkrisen växer mer för varje dag och den får allt större konsekvenser. Som svar på det har vi de senaste åren har sett en förändring där allt fler aktörer på marknaden