Om multiplikation i bråk. *)
A f K l a s V i n e l i .
A t t v i d m u l t i p l i k a t i o n i hela t a l p r o d u k t e n är pro- p o r t i o n e l l m o t både m u l t i p l i k a t o r n och m u l t i p l i k a n d e n , så a t t t . ex. en fördubbling af den ena af dessa äfven medför
*) Denna l i l l a uppsats är visserligen närmast föranledd af e t t u t - talande i en bokanmälan i Pedag. T i d s k r i f t 1902 sid. 1 2 2 ; m e n frå- gan torde dock vara af den v i k t för undervisningen, a t t clen k a n förtjäna a t t diskuteras i och för sig.
en fördubbling af p r o d u k t e n , inser barnet m y c k e t lätt, och därpå behöfva ej många o r d spillas. När n u m u l t i p l i k a t i o n s - begreppet s k a l l u t v i d g a s , så a t t det passar i n äfven på bråken, synes det v a r a lämpligt a t t fastställa denna funda- m e n t a l a egenskap hos p r o d u k t e n såsom e t t allmänt v i l l k o r , som m u l t i p l i k a t i o n e n måste u p p f y l l a , så a t t m u l t i p l i k a t i o n m e d bråk icke får b e t y d a någonting annat, än h v a d som k a n k o m m a a t t framgå • u r fasthållandet af denna sats.
D e t t a är j u f u l l k o m l i g t analogt m e d det förfarandet, a t t m a n u t l e t a r potensens betydelse u r l i k h e t e n
»'".a" = am + °
(Se t . ex. L i n d m a n s algebra och u t t a l a n d e n i matema- tisk t i d s k r i f t af H u l t m a n ) . L i k s o m definitionen på potens ligger i n n e s l u t e n i denna l i k h e t , så finnes ock i den u r ofvannämnda fundamentalsats n a t u r l i g t härledda m u l t i p l i k a - tionsregeln för decimalbråk den n y a definitionen i n n e s l u t e n , h v i l k e n m a n j u — när så finnes nödigt — k a n göra m e r a t i l l t a l a n d e genom a t t fästa uppmärksamheten på, h u r stor p r o d u k t e n b l i r , då m a n m u l t i p l i c e r a r m e d 1, och h u r stor den följaktligen bör bli, då m a n m u l t i p l i c e r a r m e d någon bråkdel. A t t det tillvägagående, som i denna p u n k t före- skrifves i m i n lärobok — l i k s o m ock i andra, t i l l exem- pel Nyströms — förefaller b a r n e n n a t u r l i g t , s k a l l en h v a r , som använder det, finna. O c h j a g torde ej heller miss- taga m i g därom, a t t det anger den h i s t o r i s k a u t v e c k l i n g s - gången, h v i l k e n n o g icke är så ovetenskaplig och ologisk, som det v i d första b e t r a k t a n d e t k a n se u t . Så är det — för a t t taga e t t exempel från e t t a n n a t område — möjligen något i n k o r r e k t , o m m a n t r o r sig k u n n a bevisa, a t t a° = 1 genom a t t i f o r m e l n
a"1
— = a™-"
a"
sätta m = n ; m e n så f a r l i g t är det väl ej heller, då j u
»beviset» i alla f a l l innebär, a t t m a n bör låta a° b e t y d a 1, d. v . s. definiera det så. M a n bygger på den i n s t i n k t l i k t kända f o r d r a n , a t t regeln bör v a r a allmängiltig. På l i k - a r t a d t sätt k a n m a n äfven få f r a m de negativa talens egen- skaper u r den f o r d r a n , a t t de beräkningar, m a n utför m e d u t -
t r y c k af f o r m e n a—b, böra v a r a allmängiltiga; och den vägen t o r d e väl vara den u r s p r u n g l i g a . För a t t taga ännu ett exem- pel, så innebär det j u i n g e n v e t e n s k a p l i g b r i s t eller någon r i s k , a t t de imaginära talens räknelagar icke bevisas, t y de få icke b e t y d a någonting annat, än h v a d som k a n framgå u r det förhållandet, a t t m a n låter de v a n l i g a räknelagarna gälla — h v i l k e t j u e m e l l e r t i d icke h i n d r a r , a t t m a n k u n d e i något af seende modifiera dessa räknelagar för de i m a g i - nära t a l e n och därmed dessas betydelse, o m det visade sig m e r a f r u k t b a r t .
