TATA79/TEN1 Dugga 1, 2016-11-16 Inledande matematisk analys
1.
(a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:
”F¨ or alla heltal n ¨ ar n 2 − 7n + 12 ≥ 0.” (♠) (b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♠) ¨ ar sant.
(c) Bevisa att p˚ ast˚ aendet
”F¨ or alla reella tal x ¨ ar x 2 − 7x + 12 ≥ 0”
¨ ar falskt.
Solution:
(a) Negationen av (♠) ¨ ar
”Det finns ett heltal n s˚ a att n 2 − 7n + 12 < 0”
(b) Vi kan skriva om n 2 − 7n + 12 = (n − 3)(n − 4) s˚ a n 2 − 7n + 12 ≥ 0 ¨ ar ekvivalent med (n − 3)(n − 4) ≥ 0.
Om n ≥ 4 s˚ a ¨ ar n − 4 ≥ 0 och n − 3 ≥ 1. D¨ arf¨ or ¨ ar (n − 3)(n − 4) ≥
↑
n − 3 ≥ 1 och (n − 4) positivt
1 · (n − 4) = n − 4 ≥ 0.
Om n ≤ 3 s˚ a ¨ ar n − 4 ≤ −1 och 3 − n ≥ 0. D¨ arf¨ or ¨ ar (n − 3)(n − 4) ≥
↑
n − 4 ≤ −1 och (n − 3) negativt
(n − 3)(−1) = 3 − n ≥ 0.
Alla heltal n ¨ ar antingen mindre ¨ an eller lika med 3 eller st¨ orre ¨ an eller lika med 4, s˚ a vi har bevisat (n − 3)(n − 4) ≥ 0 f¨ or alla heltal n.
(c) Ta x = 7/2 (men vilket x ∈ (3, 4) som helst skulle funka lika bra). D˚ a ¨ ar x 2 −7x+12 = (7/2) 2 −7(7/2)+12 = 49/4−49/2+12 = (49−98+48)/4 =
−1/4 6≥ 0. S˚ a olikheten g¨ aller inte f¨ or alla x ∈ R.
2.
(a) Bevisa att
n
X
k=1
ar k−1 = a 1 − r n 1 − r f¨ or a, r ∈ R och r 6= 1.
1
(b) F¨ orenkla summan
46
X
k=1
4(3) k (−1) k−1
s˚ a att den best˚ ar av h¨ ogst tv˚ a termer. Du m˚ aste inte r¨ akna ut eventuella potenser i de tv˚ a termerna.
Solution:
(a) Det finns flera metoder. Till exempel s¨ att
S n =
n
X
k=1
ar k−1
D˚ a ¨ ar S n+1 = S n + ar n och
S n+1 = a + r
n−1
X
k=1
ar k−1 = a + rS n .
D¨ arf¨ or
S n + ar n = a + rS n
som medf¨ or att
S n = a 1 − r n 1 − r . (b) Vi skriver om
46
X
k=1
4(3) k (−1) k−1 =
46
X
k=1
12(−3) k−1
s˚ a vi anv¨ ander formeln i (a) med n645, r = −3 och a = 12:
46
X
k=1
12(−3) k−1 = 12 1 − (−3) 46
1 − (−3) = 3(1 − 3 46 ) = 3 − 3 47 .
3.
(a) Ge definitionen att en icketom m¨ angd A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.
(b) Bevisa att f¨ oljden (a n ) n∈N ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad d¨ ar a n definieras enligt uttrycket
a n = n + 2
(n + 4)(n + 8) f¨ or alla n ∈ N.
Solution:
(a) Man s¨ ager att m¨ angden A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad om det finns C ∈ R s˚ a att a ≤ C f¨ or alla a ∈ A.
2
(b) F¨ or alla n ∈ N ¨ ar n + 2 ≤ n + 4. D¨ arf¨ or ¨ ar a n = n + 2
(n + 4)(n + 8) ≤
↑ (n + 4)(n + 8) positivt