• No results found

”F¨ or alla heltal n ¨ ar n 2 − 7n + 12 ≥ 0.” (♠) (b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♠) ¨ ar sant.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "”F¨ or alla heltal n ¨ ar n 2 − 7n + 12 ≥ 0.” (♠) (b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♠) ¨ ar sant."

Copied!
4
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

TATA79/TEN1 Dugga 1, 2016-11-16 Inledande matematisk analys

1.

(a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:

”F¨ or alla heltal n ¨ ar n 2 − 7n + 12 ≥ 0.” (♠) (b) Bevisa att p˚ ast˚ aendet (♠) ¨ ar sant.

(c) Bevisa att p˚ ast˚ aendet

”F¨ or alla reella tal x ¨ ar x 2 − 7x + 12 ≥ 0”

¨ ar falskt.

Solution:

(a) Negationen av (♠) ¨ ar

”Det finns ett heltal n s˚ a att n 2 − 7n + 12 < 0”

(b) Vi kan skriva om n 2 − 7n + 12 = (n − 3)(n − 4) s˚ a n 2 − 7n + 12 ≥ 0 ¨ ar ekvivalent med (n − 3)(n − 4) ≥ 0.

Om n ≥ 4 s˚ a ¨ ar n − 4 ≥ 0 och n − 3 ≥ 1. D¨ arf¨ or ¨ ar (n − 3)(n − 4) ≥

n − 3 ≥ 1 och (n − 4) positivt

1 · (n − 4) = n − 4 ≥ 0.

Om n ≤ 3 s˚ a ¨ ar n − 4 ≤ −1 och 3 − n ≥ 0. D¨ arf¨ or ¨ ar (n − 3)(n − 4) ≥

n − 4 ≤ −1 och (n − 3) negativt

(n − 3)(−1) = 3 − n ≥ 0.

Alla heltal n ¨ ar antingen mindre ¨ an eller lika med 3 eller st¨ orre ¨ an eller lika med 4, s˚ a vi har bevisat (n − 3)(n − 4) ≥ 0 f¨ or alla heltal n.

(c) Ta x = 7/2 (men vilket x ∈ (3, 4) som helst skulle funka lika bra). D˚ a ¨ ar x 2 −7x+12 = (7/2) 2 −7(7/2)+12 = 49/4−49/2+12 = (49−98+48)/4 =

−1/4 6≥ 0. S˚ a olikheten g¨ aller inte f¨ or alla x ∈ R.

2.

(a) Bevisa att

n

X

k=1

ar k−1 = a 1 − r n 1 − r f¨ or a, r ∈ R och r 6= 1.

1

(2)

(b) F¨ orenkla summan

46

X

k=1

4(3) k (−1) k−1

s˚ a att den best˚ ar av h¨ ogst tv˚ a termer. Du m˚ aste inte r¨ akna ut eventuella potenser i de tv˚ a termerna.

Solution:

(a) Det finns flera metoder. Till exempel s¨ att

S n =

n

X

k=1

ar k−1

D˚ a ¨ ar S n+1 = S n + ar n och

S n+1 = a + r

n−1

X

k=1

ar k−1 = a + rS n .

D¨ arf¨ or

S n + ar n = a + rS n

som medf¨ or att

S n = a 1 − r n 1 − r . (b) Vi skriver om

46

X

k=1

4(3) k (−1) k−1 =

46

X

k=1

12(−3) k−1

s˚ a vi anv¨ ander formeln i (a) med n645, r = −3 och a = 12:

46

X

k=1

12(−3) k−1 = 12 1 − (−3) 46

1 − (−3) = 3(1 − 3 46 ) = 3 − 3 47 .

3.

(a) Ge definitionen att en icketom m¨ angd A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.

(b) Bevisa att f¨ oljden (a n ) n∈N ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad d¨ ar a n definieras enligt uttrycket

a n = n + 2

(n + 4)(n + 8) f¨ or alla n ∈ N.

Solution:

(a) Man s¨ ager att m¨ angden A ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad om det finns C ∈ R s˚ a att a ≤ C f¨ or alla a ∈ A.

2

(3)

(b) F¨ or alla n ∈ N ¨ ar n + 2 ≤ n + 4. D¨ arf¨ or ¨ ar a n = n + 2

(n + 4)(n + 8) ≤

↑ (n + 4)(n + 8) positivt

n + 4

(n + 4)(n + 8) = 1 (n + 8) .

Dessutom ¨ ar n ≥ 1 f¨ or alla n ∈ N, s˚ a n + 8 ≥ 9 som medf¨ or att 1/(n + 8) ≤ 1/9. D¨ arf¨ or ¨ ar

a n ≤ 1 (n + 8) ≤ 1

9 f¨ or alla n ∈ N och (a n ) n∈N ¨ ar upp˚ at begr¨ ansad.

4.

(a) L˚ at I vara ett intervall. Definiera begreppet str¨ angt v¨ axande som g¨ aller f¨ or en funktion f : I → R.

(b) Betrakta en funktion f : [6, ∞) → R som definieras enligt formeln f (x) = x 3 − 13x 2 + 57x − 81

x − 3

f¨ or alla x ∈ [6, ∞). Visa att f ¨ ar str¨ angt v¨ axande. [Tips: F¨ orenkla br˚ aket.]

Solution:

(a) En funktion f : I → R kallas f¨ or str¨ angt v¨ axande om x < y medf¨ or att f (x) < f (y) f¨ or alla x, y ∈ I.

(b) Vi kan faktorisera

x 3 − 13x 2 + 57x − 81 = (x 2 − 10x + 27)(x − 3) s˚ a

f (x) = x 3 − 13x 2 + 57x − 81

x − 3 = x 2 − 10x + 27 = (x − 5) 2 + 2 = g(h(x)) d¨ ar h : [6, ∞) → [1, ∞) och g : [1, ∞) → R definieras enligt

h(x) = x − 5 f¨ or alla x ∈ [6, ∞), och g(y) = y 2 + 2 f¨ or alla y ∈ [1, ∞).

Om vi kan visa att b˚ ade h och g ¨ ar str¨ angt v¨ axande, d˚ a ¨ ar f str¨ angt v¨ axande (enligt sats 2.40). Men

x 1 < x 2 =⇒ h(x 1 ) = x 1 − 5 < x 2 − 5 = h(x 2 ) s˚ a h ¨ ar str¨ angt v¨ axande. Och

1 ≤ y 1 < y 2 =⇒

y 2 1 < y 1 y 2

och y 1 y 2 < y 2 2

=⇒ y 2 1 < y 2 2 =⇒ g(y 1 ) = y 2 1 +2 < y 2 2 +2 = g(y 2 )

s˚ a g ¨ ar str¨ angt v¨ axande.

3

(4)

5.

(a) Definiera vad det betyder att s¨ aga u ∈ R ¨ ar en minsta ¨ ovre begr¨ ansning till en icketom m¨ angd A.

(b) Betrakta m¨ angden A = {x ∈ R | x 2 − 4x < 5}. Bevisa att sup A = 5.

Solution:

(a) Det betyder att

(i) a ≤ u f¨ or alla a ∈ A, och

(ii) till varje ε > 0 finns det a ∈ A s˚ a att u − ε < a.

(b) Olikheten x 2 − 4x < 5 ¨ ar ekvivalent med x 2 − 4x − 5 < 0 och vi kan faktorisera x 2 − 4x − 5 = (x + 1)(x − 5) s˚ a

A = {x ∈ R | x 2 − 4x < 5} = {x ∈ R | (x + 1)(x − 5) < 0}.

Olikheten (x + 1)(x − 5) < 0 g¨ aller om och endast om

x + 1 < 0 och x − 5 > 0, eller

x + 1 > 0 och x − 5 < 0

⇐⇒

x < −1 och x > 5, eller x > −1 och x < 5

 Men x < −1 och x > 5 kan inte g¨ aller samtidigt, s˚ a

A = {x ∈ R | − 1 < x < 5} = (−1, 5).

D¨ arf¨ or ¨ ar x ≤ 5 f¨ or alla x ∈ A och 5 ¨ ar d˚ a en ¨ ovre begr¨ ansning (d.v.s (i) uppfylles).

Nu vill vi till varje ε > 0 hitta ett a ∈ A s˚ a att 5 − ε < a. Om 0 < ε < 6

¨ ar −1 < 5 − ε < 5 s˚ a om vi v¨ aljer a = 5 − ε/4 s˚ a har vi att

−1 < 5 − ε < 5 − ε/4 = a < 5 s˚ a a ∈ A och 5 − ε < a. Det vill s¨ aga (ii) uppfylles.

Om ε ≥ 6 har vi att 5 − ε ≤ −1 < 5 s˚ a vi kan v¨ alja, till exempel, a = 1.

D˚ a ¨ ar

5 − ε ≤ −1 < 1 = a < 5 s˚ a a ∈ A och 5 − ε < a. Det vill s¨ aga (ii) uppfylles.

D˚ a har vi visat att (i) och (ii) uppfylles med u = 5, s˚ a sup A = 5.

4

References

Related documents

The Board of Directors and the President &amp; CEO of Active Biotech AB (publ), Swedish corporate registration number 556223-9227 hereby submit their Annual Report and

We recommend that the annual general meeting adopt the in- come statement and balance sheet of the parent company, as well as the consolidated income statement and balance

The earnings and financial position of the group and the parent company are otherwise reported in the income statement, balance sheet, cash flow statements and notes. The

The company’s growth areas are the ProPac packaging concept, Overprinting (printing on finished white envelopes) and Russia/Eastern Europe, which together accounted for a third

With a focus on speed, safety and high performance, the company deve- loped the Nano Induced Magnetic Transfer (NIMT™) technology, which is both a method and a technical tool

HMS’ technology is based on internally developed solutions for connecting industrial equipment to networks, as well as gate- ways for the interconnection of different networks.

ICA is planning to maintain a high establishment rate in 2007 with a large number of new stores on the way at the same time as development and renewal are under way in the

ACquiSiTiON OF SPECiAliST DRuG FROM NOvARTiS, FEBRuARy 2006 Meda acquired the European rights to Parlodel, a proven dopamine agonist-prolactin inhibitor. Meda plans to use target