GEOMETRISKA UPPGIFTER
I D E S K R I F T L I G A A F G A N G S E X A M I N A
PÅ R E A L L I N I E N
1J. T. 1879—V. T. 1808
M E D S V A R O C H A N V I S N I N G A R
Lic. C . F . R Y D B E R G
A D J U N K T "VID N Y A ^ f t E M E X T A R S K O L A N
S T O C K H O L M
T . A . N O R S T E D T ifc S Ö N E R S F Ö R L A G
S T O C K H O L M
K U I G L . B O K T R Y C K E R I E T . P . A . N O R S T E D T & S Ö X E K
1899
F Ö R O R D .
V i d ordnandet af föreliggande s a m l i n g af geometriska u p p - g i f t e r har en o l i k a p r i n c i p följts i fråga o m å ena sidan u p p - g i f t e r n a i a n a l y t i s k g e o m e t r i och t e o r e m e n samt å andra sidan k o n s t r u k t i o n s u p p g i f t e r n a . De båda förra slagen af u p p g i f t e r hafva u t e s l u t a n d e ordnats efter f o r m e n af den g e o m e t r i s k a figur, h v a r o m de handla, under det a t t k o n s t r u k t i o n s u p p g i f t e r n a i första r u m m e t ordnats efter den m e t o d , som k a n k o m m a t i l l använd- n i n g v i d deras lösande, och i andra r u m m e t efter figurens f o r m .
Då i många f a l l en och samma, u p p g i f t k a n lösas efter flera metoder, och åtskilliga u p p g i f t e r taga i anspråk k o m b i n e - rade förfaringssätt, har denna a n o r d n i n g n a t u r l i g t v i s stött på svårigheter såsom i viss mån g o d t y c k l i g . M e n då u t g i f v a r e n i sin egen u n d e r v i s n i n g s p r a x i s f u n n i t den använda klassifice- r i n g e n ändamålsenlig, har han h o p p a t s , a t t densamma s k a l l be- finnas g a g n e l i g , såsom underlättande v a l e t af u p p g i f t e r t i l l . lär- j u n g a r n a s s k r i f n i n g a r .
Benämningen »hjälpfigur» är hämtad från C. G. Hellströms förträffliga uppsats »Om den skriftliga behandlingen af problem och teorem» i slutet af hans lärobok i e l e m e n t a r g e o n i e t r i och innebär, a t t k o n s t r u k t i o n e n af den sökta figuren kan förmedlas g e n o m k o n s t r u k t i o n e n af någon viss annan figur, som står i en
<nkel r e l a t i o n t i l l den förra.
I a f d e l n i n g e n Likytighet äro sådana u p p g i f t e r saminan- förda, v i d h v i l k a s lösande vissa t e o r e m rörande l i k y t i g a figurer k o m m a t i l l användning
Svar och a n v i s n i n g a r hafva af pedagogiska g r u n d e r endast lämnats t i l l u p p g i f t e r i a n a l y t i s k g e o m e t r i , och i u n d a n t a g s f a l l , där e t t annat förfaringssätt s k u l l e leda t i l l v i d l y f t i g a och be
svärliga räkningar, har lösningen utförts.
S t o c k h o l m i n o v e m b e r 1 8 9 8 .
C. F. Rydberg.
G e o m e t r i s k a uppgifter.
A . A n a l y t i s k g e o m e t r i .
I . Räta linien.
1. E n p e r p e n d i k e l t i l l l i n i e n — + 'f = 1 skär d e n m e l l a n a o
k o o r d i n a t a x l a r n a belägna d e l e n däraf m i d t i t u . H u r u s t o r a s t y c k e n afskär p e r p e n d i k e l n a f a x l a r n a ? ( V . T . 1 8 8 2 . )
2 . H v a d är t r i g o n o m e t r i s k a t a n g e n t e n för v i n k e l n m e l l a n de två räta l i n i e r n a ax2 + ibxy + c.y2 = 0 ? ( V . T . 1 8 9 1 . ) 3 . E k v a t i o n e n 2x2 — xy — 3y2 + lOx — 5y + 12 = 0
r e p r e s e n t e r a s a f två räta l i n i e r . H u r s t o r v i n k e l b i l d a de m e d h v a r a n d r a ? ( H . T . 1 8 9 2 . )
4 . Bestäm k i e k v a t i o n e n
. i ;2 — 6xy + 6?/2 + 2x + 2y + k = 0 ,
så a t t d e n s a m m a k o m m e r a t t b e t y d a två räta l i n i e r , och a n g i f dessas e k v a t i o n e r l i v a r för s i g ! ( V . T . 1 8 9 4 . )
I I . Cirkeln.
5 . F r å n o r i g o äro två t a n g e n t e r d r a g n a t i l l c i r k e l n + y2 — 2 « — 14y + 2 5 = 0 ;
a n g i f k o o r d i n a t e r n a för deras t a n g e r i n g s p u n k t e r ! ( V . T . 1 8 8 1 . )
6 . E n p u n k t r ö r s i g så, a t t s u m m a n a f k v a d r a t e r n a p å dess afstånd från e n g i f v e n r e k t a n g e l s f y r a s i d o r är k o n s t a n t ; b v i l k e n k u r v a b e s k r i f v e r d e n ? ( H . T . 1 8 8 3 . )
Rydberg, Geometriska uppgifter. 1
