Repetition Transformer Slumptal
Matematisk statistik 9 hp
F¨orel¨asning 3: Transformation och simulering
Anna Lindgren
8+9 september 2016
Repetition Transformer Slumptal Stokastisk variabel Kvantil
Stokastisk variabel
Enstokastisk variabelellerslumpvariabel¨ar etttalvars v¨arde styrs av slumpen (en funktionΩ →R).
Bet.X, Y, . . ..
Kan varadiskretellerkontinuerlig En stokastisk variabel beskrivs av:
Sannolikhetsfunktion F¨or en diskret s.v. X
pX(k) = P(X = k) T¨athetsfunktion F¨or en kontinuerlig s.v.Xhar vifX(x).
P(X ∈ A) = Z
A
fX(x) dx F¨ordelningsfunktion Summa avpX(k)eller integral avfX(x).
FX(x) = P(X ≤ x)
Repetition Transformer Slumptal Stokastisk variabel Kvantil
Standardf¨ordelningar & kvantiler
I Diskret f¨ordelning
I Binomialf¨ordelning
I Poissonf¨ordelning
I ffg-f¨ordelning
I Geometrisk f¨ordelning
I Kontinuerlig f¨ordelning
I Rektangel- eller likformig f¨ordelning
I Exponentialf¨ordelning
I Normalf¨ordelning
α-kvantil, xα
Enkvantil,xα, till en s.v.X ¨ar en gr¨ans som ¨overskrids med slhα. Den f˚as som l¨osning till n˚agon av f¨oljande ekvationer.
FX(xα) =1 − α ⇐⇒
Z xα
−∞
fX(x) dx = 1 − α ⇐⇒
Z ∞ xα
fX(x) dx = α
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Exempel: Keno-3 (igen)
I Keno-3 v¨aljs 3 av 70 nr. Vid dragning v¨aljs 20 av dessa 70 ut som vinstnummer. L˚atX = Antal vinstnr man prickar in.
Sannolikhetsfunktionen f¨orX ¨ar
j 0 1 2 3
pX(j) 0.36 0.45 0.17 0.02 Tv˚a vinstnr ger 5 kr och 3 vinstnr ger 90 kr.
S¨attY = Vinsten (kr). Hur ser f¨ordelningen f¨orY ut?
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Transformation av stokastiska variabler
Givet en s.v.X. Vilken f¨ordelning f˚arY = g(X)?
OmY ¨ar diskret kan man r¨akna ut sannolikhetsfunktionen pY(k) = X
j;g(j)=k
pX(j)
dvsP(Y = k)f˚as genom att ”l¨agga ihoppX(j)f¨or allajs˚adana att g(j) = k”.
Metod omY ¨ar kontinuerlig:
1. S¨att uppFY(y) = P(Y ≤ y).
2. Stoppa inY = g(X)och uttryckFY(y)som fkn avFX(·).
3. Derivera f¨or att f˚afY(y)som fkn avfX(·)
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Exempel
1. Best¨ampY(k)omY = X4och k −1 0 1 2
pX(k) 0.2 0.5 0.2 0.1 2. Vilken t¨athetsfunktion harY = 2 + 3X omXhar t¨athetfX(x)?
3. Vilken t¨athetsfunktion harY = πX2omX ∈ R(−1, 1)?
4. Vilken f¨ordelning harY = −12ln X omX ∈ R(0, 1)?
5. Vilken f¨ordelning f˚ar man om man stoppar inX ∈ R(0, 1)i inversen till f¨ordelningsfunktionen f¨or en kont s.v.Y? dvsg(X) = FY−1(X).
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Inversmetoden
Hur drar vi slumptal fr˚an en godtycklig kontinuerlig s.v. med f¨ordelningsfunktionFY(y)?
I L˚atX ∈ R(0, 1), dvsFX(x) = x, 0 ≤ x ≤ 1.
I Finn inversenFY−1(y), till f¨ordelningsfunktionen,FY(y), f¨orY.
I Best¨am f¨ordelningsfunktionen f¨orZ = FY−1(X)
FZ(z) =P(Z ≤ z) = P(FY−1(X) ≤ z) = P(FY(FY−1(X)) ≤ FY(z))
=P(X ≤ FY(Z)) = FX(FY(z)) = FY(z)
F¨or att dra slumptal fr˚an en f¨ordelning med f¨ordelningsfunktionFY(y):
1. R¨akna utFY−1(y)
2. Dra slumptal fr˚an enR(0, 1)-f¨ordelning.
3. Ber¨aknaFY−1(y)f¨or varje slumptal.
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Kontinuerlig f¨ordelning Exp(2)
−0.20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Inversmetoden
fX(x)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.5 1 1.5 2
fY(y) Önskad täthet
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
FY(y)
Önskade slumptal
Repetition Transformer Slumptal Intro Exempel Inversmetoden
Diskret f¨ordelning Ge(0.3)
−0.50 0 0.5 1 1.5
0.5 1
Inversmetoden
Önskad sannolikhetsfunktion
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0 0.5 1
Önskade slumptal
Repetition Transformer Slumptal
Pseudoslumptal
Pseudoslumptal¨ar tal som genereras enligt en algorithm men ”ser slumpm¨assiga ut”
I Har r¨att f¨ordelning
I L˚ang periodicitet
I “Oberoende”
I Snabba att ber¨akna
De flesta programspr˚ak tillhandah˚aller slumptal som ¨arR(0, 1).
I randochunifrndiMATLAB I randi C/C++
I gsl rng uniformi “GNU Scientific Library”
I Randomi Java
Repetition Transformer Slumptal
Generering av slumptal fr˚an R(0, 1)-f¨ordelning
Ett enkel s¨att ¨ar att anv¨anda enkongruensalgoritmav typen xn+1 = (axn+b) mod c
som ger heltal mellan0ochc − 1. Dettaxi-v¨arde delas sedan medcf¨or att hamna i intervallet[0, 1).
I Sekvensen ¨ar periodisk med periodenc(vissa villkor).
I Man f˚arsammasekvens f¨or ett givet startv¨ardex0. N˚agra exempel:
a b c
Numerical Recipes 1664525 1013904223 232
glibc (GCC) 1103515245 12345 232
MATLABpre v. 5 75=16807 0 232−1
RANDU (IBM 1960) 216+3 = 65539 0 231
Se t.exNumerical Recipies in C, kap. 7 f¨or diskussion och andra algoritmer.
Mersenne twister(en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_twister) ¨ar nu mer standard i de flesta programspr˚ak (MT19937), period219937−1.
