TRIGONOMETRISKA EKVATIONER
A) Ekvationen sin(x)=a (och liknande ekvationer).
Ekvationen sin(x)=ahar lösningar endast om −1≤a≤1 (eftersom −1≤sin(x)≤1).
Exempelvis, ekvationen sin(x)=3saknar lösningar.
Uppgift 1. Lös följande ekvationer
a) sin(x)=4 b) sin(x)=−5 Svar: a) Ingen lösning eftersom −1≤sin(x)≤1. b) Ingen lösning eftersom −1≤sin(x)≤1.
Uppgift 2. Lös följande ekvationer
a) sin(x)=1 b) sin(x)=−1 c) sin(x)=0 Tips. Rita den trigonometriska cirkeln
Svar:
a) π π
k
x 2
2 +
= b) π π
k
x 2
3 +2
= c) x=kπ (där k =0,±1,±2,...).
---
Om v1 är en lösning till ekvationen sin(x)=a, där −1<a<1, så är v2 =π −v1 också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
π k v
x= 1+2 eller x=π −v1+2kπ , där k är ett heltal (dvs. k=0,±1,±2,...).
---
Vi använder oftast värdena av sinusfunktionen för vinklar 6 π ,
4 π och
3 π :
Sida 1 av 11
vinkeln v 2
− π
3
− π
4
− π
6
− π 0
6 π
4 π
3 π
2 π sin(v) − 1
2
− 3
2
− 2
2
− 1 0
2 1
2 2
2
3 1
Notera att
1) sin(−x)=−sin(x) (dvs sin( x är en udda funktion) )
2) sin(x+2kπ)=sin(x), där k=0,±1,±2,..., (dvs sinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden 2 ) π
---
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k =0,±1,±2,...).
Uppgift 3. Lös följande ekvationer
a) 2
) 1
sin(x = b)
2 ) 1
sin(x =−
c) 2
) 2
sin(x = , d)
2 ) 2
sin(x =−
e)
2 ) 3
sin(x = f)
2 ) 3 sin(x =−
Svar:
a) Ekvationen har fäljande lösningar:
π π k
x 2
6 +
= eller x π π kπ π 2kπ
6 2 5
6)
( − + = +
= .
Vi kan också ange svaret i grader:
360
30 + ⋅
= k
x eller x=150 +k⋅360.
b) π π
k
x 2
6 +
−
= eller x π π kπ π 2kπ
6 2 7
6)) (
( − − + = +
= .
c) π π
k
x 2
4 +
= eller π π
k
x 2
3 +4
= .
Sida 2 av 11
d) x 2kπ 4 +
−
= eller x 2kπ
5 +4
= .
e) π π
k
x 2
3+
= eller π π
k
x 2
3 2 +
= .
f) π π
k
x 2
3 +
−
= eller π π
k
x 2
3
4 +
= .
Uppgift 4. Lös ekvationen
2 ) 1 2 3
sin( +π =
x .
Tips. Beteckna x+ =v 2 π3
och lös först ekvationen
2 sinv=1.
Lösning:
Låt = x2 +π3
v . Först löser vi ekvationen
2 sinv= 1.
Vi får π π
k
v 2
6 +
= och π π
k
v 2
5 +6
= ,
och därmed π π
π k
x 2
6
2 + 3 = + eller π π π
k
x 2
6 5
2 + 3 = + .
Härav
i) π π π π π π π π
k x
k x
k
x 2
2 6 3 2
2 6 6 2
2 + 3 = + ⇔ = − + ⇔ =− + (dela med 2)
π π k x=− +
⇔ 12 .
På liknande sätt
π π π π
π π π
π k x k x k
x 2
2 2 3 2
6 2 5 6 2
5
2 + 3 = + ⇔ = − + ⇔ = + (dela med 2)
π π k x= +
⇔ 4
Svar: π π
k x=− +
12 eller π π
k x= +
4 .
Sida 3 av 11
Uppgift 5. Lös ekvationen ) sin( 4 ) 2
sin( = +π
x
x .
Tips: Från ekvationen sin(α)=sin(β) följer att π
β
α= +2k eller α =(π −β)+2kπ . Lösning:
Från )
sin( 4 ) 2
sin( = +π
x
x får vi två nya ekvationer (utan sinusfunktionen) : i) 2x=x+2kπ
och ii) 2x=(π −x)+2kπ Från i) följer x=2kπ
Från ii) har vi 3x=π +2kπ och därmed
3 2 π π k x= +
Svar: x=2kπ eller
3 2 π π k x= +
Uppgift 6. Lös ekvationen 0
2 ) 1 2sin(
) 3 (
sin2 x − x + = .
Tips: Beteckna sin(x)=z. Lösning:
Låt z=sin(x). Först löser vi andragradsekvationen 0 2 1 2
2 − z3 + =
z .
Vi får två lösningar 2 1
1 =
z och z2 =1.
Alltså har vi två elementära ekvationer
2 ) 1
sin(x = och sin(x)=1.
i) Från
2 ) 1
sin(x = får vi
π π k
x 2
6 +
= och π π
k
x 2
5 +6
=
Sida 4 av 11
ii) Från sin(x)=1har vi x 2kπ 2 +
=
Svar: π π
k
x 2
6 +
= , π π
k
x 2
5 +6
= eller π π
k
x 2
2 +
= .
===============================================
B) Ekvationen cos(x)=a (och liknande ekvationer).
Ekvationen cos(x)=ahar lösningar endast om −1≤a≤1 (eftersom −1≤cos(x)≤1).
Exempelvis, ekvationen cos(x)=5saknar lösningar.
Uppgift 7. Lös följande ekvationer
a) cos(x)=24 b) cos(x)=−15 Svar: a) Ingen lösning eftersom −1≤cos(x)≤1. b) Ingen lösning eftersom −1≤cos(x)≤1.
Uppgift 8. Lös följande ekvationer
a) cos(x)=1 b) cos(x)=−1 c) cos(x)=0 Tips. Rita den trigonometriska cirkeln
Svar:
a) x=0+2kπ =2kπ b) x=π +2kπ c) π π k x= +
2 (där k =0,±1,±2,...).
---
Om v1 är en lösning till ekvationen cos(x)=a, där −1<a<1, så är v2 =−v1 också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av
π k v
x= 1+2 och x=−v1+2kπ , där k är ett heltal (dvs. k =0,±1,±2,...).
---
Sida 5 av 11
För att lösa exakt några ekvationer som innehåller sinusfunktionen kan vi använda värdena i nedanstående tabell.
vinkeln v 0
6 π
4 π
3 π
2 π
3 2π
4 3π
6
5π π
cos(v) 1
2 3
2
2
2
1 0
2
− 1
2
− 2
2
− 3 − 1
Notera att
1) cos(−x)=cos(x) (dvs cos(x är en jämn funktion) )
2) cos(x+2kπ)=cos(x), där k=0,±1,±2,..., (dvs cosinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden 2 ) π
---
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k =0,±1,±2,...).
Uppgift 9. Lös följande ekvationer
a) 2
) 1
cos(x = b)
2 ) 1
cos(x =−
c) 2
) 2
cos(x = , d)
2 ) 2
cos(x =−
e)
2 ) 3
cos(x = f)
2 ) 3 cos(x =−
Svar:
a) π π
k
x 2
3 +
±
=
Vi kan också ange svaret i grader:
360
60 + ⋅
±
= k
x
b) π π
k
x 2
3
2 +
±
= (kolla ovanstående tabell).
Sida 6 av 11
c) x 2kπ 4 +
±
=
d) π π
k
x 2
3 +4
±
=
e) π π
k
x 2
6 +
±
=
f) π π
k
x 2
5 +6
±
=
Uppgift 10. Lös ekvationen
2 ) 2 10 3
cos( −π =
x .
Tips. Beteckna x− =v 10 π3
och lös först ekvationen
2 sinv=1.
Lösning:
Låt = x10 −π3
v . Först löser vi ekvationen
2 cosv= 2 .
Vi får följande lösningar π π
k
v 2
4 +
= eller π π
k
v 2
4 +
−
= ,
och därmed π π
π k
x 2
4
10 − 3 = + eller π π π
k
x 2
4
10 − 3 =− + . Härav
i) 120 5
2 7 12 10 7 4 2
10 π3 π π π π π kπ
x k x
k
x− = + ⇔ = + ⇔ = +
På liknande sätt
5 2 120
10 12 4 2
10 π3 π π π π π kπ
x k x
k
x− =− + ⇔ = + ⇔ = +
Svar:
5 120
7π kπ
x= + eller
5 120
π π k
x= + .
Sida 7 av 11
Uppgift 11. Lös följande ekvationer
a) 2cos2(x)−cos(x)=0. (Tips: Beteckna cos(x)=z.)
b) 4
) 5 cos(
) (
sin2 x + x = (Tips: Använd formeln sin2(x)=1−cos2(x).)
Lösning a)
Låt z=cos(x). Vi har 2z2−z=0⇒z(2z−1)=0. Härav får vi två lösningar z1=0och
2 1
2 =
z .
Därmed cos x= 0⇒ π π k x= +
2
och = ⇒
2
cos x 1 π π
k
x 2
3+
±
=
Svar: a) π π k x= +
2 och π π
k
x 2
3 +
±
=
b) π π k
x 2
3 +
±
=
Uppgift 12. Lös följande ekvationer
a) ) cos(2 )
10 3
cos( x−π = x
b) ) cos( )
10 4
sin( x−π = x
(Tips: Använd formeln ) cos(2 )
sin(t = π −t .) Lösning:
a) Från ) cos(2 )
10 3
cos( x−π = x
har vi
π π
k x
x 2 2
10 − 3 =± +
i) 2 24 4
8 3 2
3 2
10 π π π π π kπ
x k x
k x
x− = + ⇔ = + ⇔ = +
Sida 8 av 11
ii) 2 36 6 12 3
2 3 2
10x− =− x+ kπ ⇔ x= + kπ ⇔x= +
Svar a)
4 24
π π k
x= + eller
6 36
π π k x= +
b) Vi använder formeln )
cos(2 )
sin(t = π −t
och skriver om ekvationen
) cos(
) 4 10 cos(3 )
cos(
4)) 10 2 ( cos(
) cos(
4) 10
sin( x−π = x ⇔ π − x−π = x ⇔ π − x = x
Härav π π
k x
x 2
4 10
3 − =± +
i) 11
2 44 2 3
4 11 3 2
4 10
3π π π π π kπ
x k x
k x
x= + ⇔ = − ⇔ = −
−
ii) 9
2 2 12
4 9 3 2
4 10
3π π π π π kπ
x k x
k x
x=− + ⇔ = − ⇔ = −
−
Anmärkning: Vi kan även skriva x=+2kπ i ovanstående lösningar eftersom k genomlöper alla heltal, både positiva och negativa.
Svar b)
11 2 44 3π kπ x= − eller
9 2 12
π
π k
x= − .
===============================================
C) Ekvationer tan(x)=a och cot(x)=b.
Följande egenskaper använder vi ofta när vi löser sådana ekvationer:
1) tan och x cot har grundperioden π (till skillnad från sinus- och cosinusfunktioner vars x grundperiod är 2 . π
Alltså
x k
x ) tan
tan( + π = , x k
x ) cot
cot( + π = .
2) tan och x cot är udda funktioner dvs. x
Sida 9 av 11
x x) tan tan(− =−
x x) cot cot(− =− .
3) Både tan och x cot har värdemängden x (−∞,∞)och därmed är ekvationen a
x=
tan lösbart för varje a.
Samma gäller för cot(x)=b, dvs den är lösbart för varje b.
Båda har oändligt många lösningar:
Om x=v1är en lösning till tanx=a så får vi alla lösningar genom x=v1+kπ. Om x=v1är en lösning till cotx=b så får vi alla lösningar genom x=v1+kπ .
4) x
x x cos
tan = sin är definierad om cosx≠0 dvs om π π k x≠ +
2 .
x
x x sin ) cos
cot( = är definierad om sinx≠0 dvs om x≠kπ .
--- I nedanstående tabeller har vi funktionernas värden för viktiga vinklar vinkeln v
2
− π
3
− π
4
− π
6
− π 0
6 π
4 π
3 π
2 π tan(v) ej def − 3 − 1
3
− 3 0
3
3 1 3 ej def
vinkeln v 0
6 π
4 π
3 π
2 π
3 2π
4 3π
6
5π π
cot(v) ej def 3 1
3
3 0
3
− 3 − 1 − 3 ej def
ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs. k =0,±1,±2,...).
Sida 10 av 11
a) tan(x)=0 b)
3 ) 3
tan(x = c) tan(x)=−1, d) tan(x)=− 3 e) cot(x)=0 f)
3 ) 3 cot(x = g) cot(x)=−1 h) cot(x)=− 3
Svar: a) x=kπ b) π π k x= +
6
c) π π
k x=− +
4 d) π π
k x=− +
3 e) π π
k x= +
2 f) π π
k x= +
3
g) π π
k x=− +
4
3 (alternativt svar π π k x=− +
4 )
h) π π
k
x= +
6
5 (alternativt svar π π k x=− +
6 )
Uppgift 14. Lös ekvationen tan2(x)−tan(x)=0.
Tips: Beteckna tan(x)=z. Från z2 − z=0 eller z(z−1)=0får vi två lösningarz1 =0 och
2 =1
z . Alltså, tan(x)=0 eller tan(x)=1 Svar: Ekvationen har följande lösningar:
π k
x= eller π π k x= +
4
Uppgift 15. Lös ekvationen )
10 2 cos(
2) 10
sin( π π
+
=
+ x
x .
Lösning: Vi delar ekvationen med ) 10 2 cos( +π
x . (Notera att ) 10 2 cos( +π
x =0 ger inte någon lösning till ekvationen eftersom ) 0
10 2
sin( +π ≠
x i detta fall.)
Vi får ) 1
10 2
tan( +π =
x som ger π π π
k x+ = +
4
10 2 . Härav π π
k x=− +
10 4 och slutligen 10
40 π π k x=− + . Svar:
10 40
π π k
x=− + (där k är ett heltal.)
Sida 11 av 11
