ar + b = 0 (1) och en fundamental l¨osningsm¨angd blir • tv˚a olika reella r¨otter s˚a f˚as y1(x

KARL JONSSON

Nyckelord och inneh˚all

• regulj¨ara punkter

• regulj¨ara singul¨ara punkter

• Modifierad ansats f¨or ekvationer med regulj¨ara singul¨ara punkter

• Indexekvationen Inofficiella ”m˚al”

Det ¨ar d¨arf¨or bra om du

(M1) kan l¨osa homogena Euler-ekvationer x²y⁰⁰+ axy⁰+ by = 0 med ansatsen y(x) = x^r och vet att indexekvationen blir

r(r − 1) + ar + b = 0 (1)

och en fundamental l¨osningsm¨angd blir

• tv˚a olika reella r¨otter s˚a f˚as y1(x) = x^r1 och y2(x) = x^r2

• dubbelrot ger y₁(x) = x^r och y2(x) = ln(x)x^r

• komplexa r¨otter d¨ar r = α + iβ ger y₁(x) = x^αcos(β ln x) och y₂(x) = x^αsin(β ln x).

(M2) kan avg¨ora om en punkt x0 ¨ar en ordin¨ar eller singul¨ar punkt till ekvationen

P (x)y⁰⁰+ Q(x)y⁰+ R(x)y = 0 (2)

genom att avg¨ora om P (x₀) = 0.

(M3) vet att ekvationen ovan ¨ar bra att skriva om som (om x0 = 0) x²y⁰⁰+ x[xQ(x)

P (x)]y⁰+ [x²R(x)

P (x)]y = 0 ⇔

x²y⁰⁰+ x[xp(x)]y⁰+ [x²q(x)]y = 0. (3) (M4) givet x0 ¨ar en singul¨ar punkt till ekvation (2), kan avg¨ora om det ¨ar en regulj¨ar singul¨ar punkt

genom att kolla p˚a om funktionerna (x − x₀)Q(x)

P (x) samt (x − x₀)²R(x)

P (x), f¨or ekvation (2), (4)

xp(x) samt x²q(x), f¨or ekvation (3), (5)

¨

ar analytiska (dvs som kan representeras som potensserier) kring x0. (M5) kan h¨arleda indexekvationen fr˚an (Frobenius-) ansatsen

y(x) = x^r

∞

X

n=0

anxⁿ=

∞

X

n=0

anx^n+r (6)

med derivatorna y⁰(x) =

∞

X

n=0

(n + r)a_nx^n+r−1 och y⁰⁰(x) =

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r−2. (7)

Institutionen f¨or matematik, KTH, SE-100 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se.

Date: 18 oktober 2017.

1

(M6) Indexekvationen till

x²y⁰⁰+ x[xp(x)]y⁰+ x²q(x) = 0 (8)

¨ ar

r(r − 1) + p₀r + q₀ = 0 (9)

d¨ar p₀= lim_x→0xp(x) och q₀= lim_x→0x²q(x)

(M7) L˚at r1 och r2 vara l¨osningar till indexekvationen (s˚a att r1 > r2 om vi f˚ar komplexa r¨otter), tre fall kan uppst˚a

(a) r1− r₂ ¨ar inte ett heltal: d˚a f˚ar man fram tv˚a olika rekursionsformler f¨or an = an(r), dvs y₁ och y₂ kan best¨ammas.

(b) r1 och r2 ¨ar samma: en rekursionsformel f˚as fram, ger y1. G¨or ansatsen y2(x) = y1(x) ln |x| + |x|^r1

∞

X

n=1

bnxⁿ. (10)

(c) r1− r₂ ¨ar ett heltal st¨orre ¨an 0: ger y1 m.h.a. r1. G¨or ansatsen y₂(x) = ay₁(x) ln |x| + |x|^r2 1 +

∞

X

n=1

c_nxⁿ

!

. (11)

Obs! Detta ¨ar ett f¨ors¨ok att bryta ned kursm˚alen i mindre och mer konkreta bitar. M˚alen ovan ¨ar inte officiella f¨or kursen, utan ett f¨orslag till hur man kan t¨anka.

Exempel och uppgifter

(U1) Best¨am y⁽ⁱ⁾(0) f¨or i = 2, 3, 4 (dvs h¨ogre ordningens derivator) till IVP y⁰⁰+ xy⁰ + y = 0 med y(0) = 2 och y⁰(0) = 0. Hur kan man med hj¨alp av dessa tal skriva upp en approximation av l¨osningen n¨ara x₀ = 0.

Ledning: t¨ank p˚a Taylors formel...

(U2) Best¨am en undre gr¨ans f¨or konvergensradien f¨or seriel¨osningar till f¨oljande ekvationer kring de givna punkterna:

(a) y⁰⁰+ 4y⁰+ 6xy = 0 f¨or x0= 0 eller x0= 3 (b) (1 + x³)y⁰⁰+ 4xy⁰+ y = 0 f¨or x₀= 0 eller x₀ = 3

(c) (1 + x + x²)y⁰⁰+ (1 − x³)y⁰+ (1 − x)y = 0 f¨or x0 = 2

Kommentar: Vi skriver om ekvationerna p˚a formen y⁰⁰+ py⁰+ qy = 0 och ser om p och q ¨ar analytiska (kan skrivas som potensserier). Vi f¨ors¨oker ta reda p˚a deras konvergensradier. I uppgift (a) s˚a blir p(x) = 4, som ¨ar en analytisk funktion (eftersom den kan skrivas som en potensserie 4 + 0x + 0x²+ 0x³+ . . .) med konvergensradie = ∞. q(x) = 6x ¨ar ocks˚a analytisk, konvergensradie

= ∞. D¨arf¨or s¨ager teorin i boken att seriel¨osningar (som utvecklas kring vilken punkt x0 som helst) kommer att ha ∞ som konvergensradie (den minsta av b˚ada dessa konvergensradier). S˚a svar: R = ∞.

I (b) s˚a f˚ar vi att p = 4x/(1 + x³). Vi betraktar detta som en funktion med komplext argument, f (z) = 4z/(1 + z³). Denna funktion ¨ar analytisk f¨or alla z s˚a att 1 + z³ 6= 0. F¨orst borde vi ta reda p˚a vilka r¨otterna ¨ar. Anv¨and pol¨ar form, s˚a skriv z = re^iθ, d¨ar r och θ ¨ar reella tal. S¨att in i ekvationen, 1 + z³ = 0, allts˚a r³e^3θi = −1. Vi skriver −1 = e^iπ, vilket f¨oljer fr˚an Eulers formel, e^iθ = cos θ + i sin θ. Allts˚a r³e^3θi = e^iπ. Allts˚a r³ = 1 och 3θ = π + n2π f¨or n ∈ Z, allts˚a de tre l¨osningarna blir e^iπ/3= cos(π/3) ± i sin(π/3) = 1/2 ± i√

3/2 och e^iπ = −1.

Teorin s¨ager att om man utvecklar f som en potensserieP∞

n=0c_n(z − z₀)ⁿ kring punkten z₀ s˚a kommer konvergensradien f¨or denna potensserie att bli avst˚andet fr˚an z₀ till den av polerna ovan som ligger n¨armast z0. Om z0= 0 s˚a ligger alla polerna 1/2 ± i√

3/2 och −1 p˚a avst˚and 1 fr˚an 0, s˚a konvergensradien f¨or denna koefficient blir d˚a =1. F¨or den andra koefficienten framf¨or y s˚a f˚ar vi uttrycket 1/(1 + z³) som har samma poler, allts˚a konvergensradie 1.

Allts˚a, om vi f¨ors¨oker skapa en seriel¨osning till ekvation (b) s˚a garanterar teorin en potensseri- el¨osning som konvergerar f¨or alla |z| < 1, s˚a om vi bara tittar p˚a reella tal s˚a f˚ar vi alla reella tal x som ¨ar mindre ¨an 1 i absolutbelopp, allts˚a intervallet (−1, 1).

S¨atter vi x0 = z0 = 3 s˚a blir avst˚andet till n¨armaste pol avst˚andet till en av punkter- na 1/2 ± i√

3/2 vilket mha att rita och anv¨anda pythagoras sats ger att konvergensradien blir

=p25/4 + 3/4 =√ 28/2.

(U3) Finn l¨osningar till

x²y⁰⁰+ 3xy⁰+ 2y = 0 (12)

(x + 1)²y⁰⁰+ 3(x + 1)y⁰+ 0.75y = 0 (13) Kommentar: Detta ¨ar Eulerekvationer. Innan har vi l¨ost dessa genom att ans¨atta en ny oberoende variabel, dvs x = ln(t). Finns annat s¨att. Ans¨att (surprise) y = x^r. Kommer i (a) leda fram till indexekvationen r(r − 1) + 3r + 2 = 0, vi f˚ar l¨osningar r = 1 ± i. S¨att in r = 1 + i i ansatsen ger att y = x¹⁺ⁱ. Vad betyder detta? Vi skriver om mha Eulers formel: y(x) = xxⁱ = xe^ln(x)i = x(cos(ln x) + i sin(ln x)). Det visar sig att man nu kan ta y₁(x) = x cos(ln x) och y₂(x) = x sin(ln x) och att dessa utg¨or en fundamental l¨osningsm¨angd. Derivera och se om det faktiskt ¨ar l¨osningar.

Kolla ocks˚a Wronskianen!

I fall (b) s˚a borde vi ans¨atta y = (x + 1)^r. G¨or detta och f˚a indexekvation med r¨otter 1 ±√ 7/4 vilket ger y₁= (1 + x)¹⁺

√7/4 och y₂ = (1 + x)¹⁻

√7/4. Sjukt coolt.

(U4) Finn γ s˚a att l¨osningen till x²y⁰⁰− 2y = 0, y(1) = 1, y⁰(1) = γ ¨ar begr¨ansad d˚a x → ∞.

Ans¨att y = x^r. Indexekvation r(r − 1) − 2 = 0, ger r₁ = 2, r₂ = −1. Allm¨anna l¨osningen blir y(x) = c₁x² + c₂/x. Om l¨osningen ska vara begr¨ansad d˚a x → ∞ s˚a m˚aste c₁ = 0. Om ¨aven y(1) = 1 s˚a m˚aste y(x) = 1/x. D˚a blir y⁰(1) = −1/1², allts˚a m˚aste γ = −1.

(U5) F¨or ekvationen

xy⁰⁰+ (1 − x)y⁰+ λy = 0,

visa att x₀ ¨ar en regulj¨ar singul¨ar punkt, best¨am index-ekvationen, dess r¨otter samt rekursions- relationen f¨or koefficienterna. Finn en l¨osning d˚a x > 0. Visa att om λ = m ¨ar ett heltal s˚a blir denna l¨osning ett polynom.

Kommentar: Se l¨osningen nedan f¨or vissa detaljer som hoppas h¨ar. Vi skriver om ekvationen som

x²y⁰⁰+ x(1 − x)y⁰+ xλy = 0 (14)

ans¨atter y(x) =P∞

n=0anx^n+r, derivera och s¨att in:

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r+ (1 − x)

∞

X

n=0

(n + r)a_nx^n+r+ λ

∞

X

n=0

a_nx^n+r+1 = 0 (15) Vi skriver om

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r+

∞

X

n=0

(n + r)a_nx^n+r−

∞

X

n=0

(n + r)a_nx^n+r+1+ λ

∞

X

n=0

a_nx^n+r+1= 0 (16)

samma x^n˚agonting

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)anx^n+r+

∞

X

n=0

(n + r)anx^n+r−

∞

X

n=1

(n + r − 1)an−1x^n+r+ λ

∞

X

n=1

an−1x^n+r = 0 (17)

samma summatecken

r(r − 1)a0x^r+ ra0x^r+ (18)

∞

X

n=1

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r+

∞

X

n=1

(n + r)a_nx^n+r−

∞

X

n=1

(n + r − 1)a_n−1x^n+r+ λ

∞

X

n=1

a_n−1x^n+r = 0 (19) skriv om

(r(r − 1) + r)a₀x^r+ (20)

∞

X

n=1

[(n + r)(n + r − 1)a_n+ (n + r)a_n− (n + r − 1)a_n−1+ λa_n−1] x^n+r = 0 (21) skriv om

(r(r − 1) + r)a₀x^r+ (22)

∞

X

n=1

(n + r)²a_n− (n + r − 1 − λ)a_n−1 x^n+r = 0 (23) dra slutsatsen att

r²a₀ = 0, (24)

(n + r)²an− (n + r − 1 − λ)a_n−1= 0, n ≥ 1. (25) vi v¨aljer r = 0 f¨or att a₀ ska bli en fri variabel, rekursionen blir d˚a

an= n − 1 − λ

n² an−1= 0, n ≥ 1. (26)

och vi f˚ar en l¨osning om vi s¨atter a0 = 1 med koefficienter

a₀= 1 (27)

a₁= −λ (28)

a₂= −(1 − λ)λ

2² (29)

a₃= −(2 − λ)(1 − λ)λ

2²3² (30)

a₄= −(3 − λ)(2 − λ)(1 − λ)λ

2²3²4² (31)

. . . (32)

a_n= −(n − 1 − λ) · · · (3 − λ)(2 − λ)(1 − λ)λ

(n!)² (33)

Vi ser att om λ ¨ar ett heltal, s¨ag λ = 2 s˚a kommer a₃ = 0 vilket kommer tvinga att alla efterf¨ol- jande koefficienter ocks˚a blir 0. Allts˚a l¨osningen blir om λ ¨ar ett icke-negativt heltal en potensserie som inneh˚aller endast ¨andligt m˚anga termer, dvs ett POLYNOM. Shit.

(U6) Visa att ekvationen (a) xy⁰⁰+ 2y = 0

(b) x²y⁰⁰+ xy⁰+ (x − 2)y = 0.

har en regulj¨ar singul¨ar punkt x0 = 0, best¨am index-ekvationen och dess r¨otter r1 och r2 (d¨ar vi s¨atter r₁ > r₂ om de ¨ar reella) samt ekvationen f¨or koefficienterna. Best¨am seriel¨osningen f¨or x > 0 f¨or den st¨orre av r¨otterna. Om r1 − r₂ inte ¨ar ett heltal, finn seriel¨osningen f¨or den andra roten ocks˚a.

Vi gjorde (a) p˚a ¨ovningen. Men vi g¨or den igen. Repetition ¨ar kul. Vi ser att x₀ = 0 ¨ar en singul¨ar punkt. ¨Ar det en regulj¨ar singul¨ar punkt? G¨aller om funktionerna x · 0/x² = 0 samt x²· 2/x = 2

¨ar analytiska (dvs kan skrivas som konvergenta potensserier). Vilket ¨ar sant i detta fall. Teorin

garanterar att ansatsen y(x) =P∞

n=0anx^n+r kommer att generera villkor p˚a r och ansom g˚ar att uppfylla (har man inte en regulj¨ar singul¨ar punkt s˚a uttalar sig v˚ar teori i denna kurs inte om dessa ekvationer). Teorin s¨ager ocks˚a att den serie vi f˚ar fram ˚atminstone kommer att ha konvergensradie som ¨ar den minsta av de konvergensradierna f¨or de tv˚a analytiska funktionerna ovan. Funktionerna ovan har konvergensradie ∞ vilket garanterar att l¨osningen kommer ha konvergensradie som ¨ar

∞.

Nu ett trick! Skriv om ekvationen som

x²y⁰⁰+ 2xy = 0, (34)

kommer att vara l¨attare att arbeta med. Anv¨and ansatsen, derivera. T¨ank p˚a vad summationsgr¨an- serna blir. Anv¨and g¨arna f¨oljande knep: 1) skifta index s˚a att alla summor f˚ar samma x^n˚agonting, 2) se till att alla summa-tecken blir lika, dvs fixa specifikt till samma undre gr¨anser.

Du borde f˚a f¨oljande:

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r+ 2

∞

X

n=0

a_nx^n+r+1= 0 (35)

Skifta index

∞

X

n=0

(n + r)(n + r − 1)a_nx^n+r+ 2

∞

X

n=1

a_n−1x^n+r = 0 (36)

fixa samma summatecken r(r − 1)a0x^r+

∞

X

n=1

(n + r)(n + r − 1)anx^n+r+ 2

∞

X

n=1

an−1x^n+r = 0 (37)

skriv om

r(r − 1)a0x^r+

∞

X

n=1

[(n + r)(n + r − 1)an+ 2an−1] x^n+r = 0 (38) dividera med x^r

r(r − 1)a₀+

∞

X

n=1

[(n + r)(n + r − 1)a_n+ 2a_n−1] xⁿ= 0 (39) enligt entydighet f¨or potensserieutvecklingar s˚a g¨aller att

r(r − 1)a0 = 0, (40)

(n + r)(n + r − 1)a_n+ 2a_n−1= 0, (41)

eller omskrivet

r(r − 1)a0 = 0, (42)

a_n= −2

(n + r)(n + r − 1)a_n−1. (43)

Indexekvationen i detta fall blir r(r − 1) = 0. Vi v¨aljer att r ska uppfylla denna ekvation f¨or att d˚a kommer a0 bli en fri variabel. Vi f˚ar tv˚a r¨otter r1 = 1 och r2 = 0. Betrakta m˚al (M7) ovan.

Vi har i detta fall f˚att fram tv˚a stycken r¨otter d¨ar r₁− r₂ = 1, vi ¨ar allts˚a i fall (c). Detta inneb¨ar att om vi anv¨ander r1 s˚a kommer vi mha rekursionsformeln kunna best¨amma anoch p˚a s˚a s¨att f˚a ut en l¨osning y₁ till ekvationen. Vad vi inte f˚ar automatiskt ¨ar en andra l¨osning y₂. Det kommer i allm¨anhet inte vara s˚a att vi f˚ar ut y2 genom att anv¨anda r2. Teorin s¨ager dock att en andra l¨osning kan f˚as fram genom att g¨ora ansatsen

y2(x) = ay1(x) ln |x| + |x|^r2 1 +

∞

X

n=1

cnxⁿ

!

(44) d¨ar talet a och talen cn ska best¨ammas.

Vi b¨orjar med att ta fram y1. Anv¨ander den st¨orsta av r¨otterna, r1 = 1, f¨or att ˚astakomma detta. Rekursionsformlerna blir

an= −2

n(n + 1)an−1, (45)

vilket efter lite t¨ankande/knep kn˚ap/gudomlig insikt ger att an= (−2)ⁿ

n!(n + 1)!a0. (46)

En l¨osning blir d˚a, s¨att a₀ = 1, y1(x) =

∞

X

n=0

(−2)ⁿ

n!(n + 1)!xⁿ⁺¹=

∞

X

n=1

(−2)ⁿ⁻¹

n!(n − 1)!xⁿ. (47)

Konvergensradie kan f˚as fram genom kvottestet, kommer att bli ∞. H¨ar slutar egentligen l¨osnings- f¨orslaget. MEN: F¨or skojs skull tar vi fram en annan oberoende l¨osning ocks˚a. Vi ans¨atter d¨arf¨or enligt f¨orslaget ovan att, med r2= 0,

y(x) = ay₁(x) ln |x| + 1 +

∞

X

n=1

c_nxⁿ (48)

d¨ar vi nu ska best¨amma talet a och koefficienterna cn. I v˚art fall s˚a har vi ju att r2 = 0. Som vanligt, derivera och s¨att in i ekvationen:

y⁰(x) = ay⁰₁(x) ln |x| + ay₁(x)1 x +

∞

X

n=1

nc_nxⁿ⁻¹ (49)

y⁰⁰(x) = ay⁰⁰₁(x) ln |x| + 2ay₁⁰(x)1

x − ay₁(x) 1 x² +

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ⁻² (50) insatt i ekvationen x²y⁰⁰+ 2xy = 0 ger efter lite omskrivning

a ln x x²y₁⁰⁰+ 2xy₁

| {z }

=0 ty y1 ¨ar l¨osn ekv.

+2axy⁰₁(x) − ay₁(x) +

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=1

c_nxⁿ⁺¹ = 0. (51)

s˚a samma sak som

2axy⁰₁(x) − ay₁(x) +

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=1

c_nxⁿ⁺¹ = 0. (52)

s¨att in det vi vet om y1

2ax

∞

X

n=0

(−2)ⁿ (n!)² xⁿ− a

∞

X

n=0

(−2)ⁿ

n!(n + 1)!xⁿ⁺¹+

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=1

c_nxⁿ⁺¹= 0. (53) skriv om

2a

∞

X

n=0

(−2)ⁿ

(n!)² xⁿ⁺¹− a

∞

X

n=0

(−2)ⁿ

n!(n + 1)!xⁿ⁺¹+

∞

X

n=2

n(n − 1)cnxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=1

cnxⁿ⁺¹ = 0. (54) skifta index f¨or att f˚a xⁿ ¨overallt

2a

∞

X

n=1

(−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)²xⁿ− a

∞

X

n=1

(−2)ⁿ⁻¹ n!(n − 1)!xⁿ+

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=2

c_n−1xⁿ= 0. (55) fixa samma summatecken

2ax − ax+ (56) 2a

∞

X

n=2

(−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)²xⁿ− a

∞

X

n=2

(−2)ⁿ⁻¹ n!(n − 1)!xⁿ+

∞

X

n=2

n(n − 1)cnxⁿ+ 2x + 2

∞

X

n=2

cn−1xⁿ= 0. (57)

vi ser att om detta ska g¨alla s˚a m˚aste a = −2 (kolla p˚a koefficienten f¨or x-termen), allts˚a vi f˚ar

−4

∞

X

n=2

(−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)²xⁿ+ 2

∞

X

n=2

(−2)ⁿ⁻¹ n!(n − 1)!xⁿ+

∞

X

n=2

n(n − 1)c_nxⁿ+ 2

∞

X

n=2

c_n−1xⁿ= 0. (58) skriv om

∞

X

n=2



−4 (−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)² + 2 (−2)ⁿ⁻¹

n!(n − 1)!+ n(n − 1)cn+ 2cn−1



xⁿ= 0. (59)

ger enligt entydighet f¨or potensserieutvecklingar att

−4 (−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)² + 2 (−2)ⁿ⁻¹

n!(n − 1)!+ n(n − 1)c_n+ 2c_n−1= 0, n ≥ 2. (60) samma som

c_n= 1 n(n − 1)



4 (−2)ⁿ⁻¹

((n − 1)!)² − 2 (−2)ⁿ⁻¹

n!(n − 1)!− 2c_n−1



, n ≥ 2. (61)

samma som

cn= 1 n(n − 1)

 (−2)ⁿ⁻¹ (n − 1)!



4 1

(n − 1)!− 21 n!



− 2c_n−1



, n ≥ 2. (62)

samma som

cn= 1 n(n − 1)

 (−2)ⁿ⁻¹ (n − 1)!

4n − 2

n! − 2c_n−1



, n ≥ 2. (63)

Det h¨ar ¨ar inget jag t¨anker gissa en sluten formel f¨or. c₁ kommer att vara en fri variabel, s˚a om vi s¨atter c₁ = 1 s˚a f˚ar vi fram vilka tal c_n blir. Om vi n¨ojer oss med detta s˚a f˚ar vi allts˚a svaret f¨or y2 som

y2(x) = −2 ln |x|

∞

X

n=1

(−2)ⁿ⁻¹

n!(n − 1)!xⁿ+ 1 +

∞

X

n=1

cnxⁿ. (64)

Kul.