D O C T O R A L T H E S I S
DIVISION OF WATER RESOURCES ENGINEERING
1993:128 D
ISSN 0348 - 8373
Heat and Water Flows in Freezing and Thawing Soils
Numerical Modelling,
Laboratory and Field Observations
b y
H E L É N E N G E L M A R K
TEKNISKA
HÖGSKOLAN I LULEÅ
P R E F A C E
T h i s t h e s i s i s p r e s e n t e d as p a r t i a l f u l f i l m e n t o f t h e r e q u i r e - ments f o r t h e d e g r e e o f D o c t o r o f P h i l o s o p h y . I n 1986 a l i c e n t i a t e t h e s i s was p r e s e n t e d : I n f i l t r a t i o n and r u n - o f f d u r i n g t h e p e r i o d o f snow m e l t - F i e l d o b s e r v a t i o n and n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s , ( 1 9 8 6 : 0 8 L ) , Luleå U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y . The m a i n r e s u l t s w e r e p u b l i s h e d i n N o r d i c H y d r o l o g y ( V o l . 15, 1 9 8 4 ) . A s h o r t summary o f t h e l i c e n t i a t e t h e s i s i s i n c l u d e d i n t h i s t h e s i s .
A l l r e s e a r c h was c a r r i e d o u t a t t h e D i v i s i o n o f W a t e r R e s o u r c e s E n g i n e e r i n g . The w o r k was p a r t l y f u n d e d b y t h e S w e d i s h C o u n c i l f o r B u i l d i n g R e s e a r c h (BFR). I am p l e a s e d t o a c k n o w l e d g e t h e f i n a n c i a l s u p p o r t o f t h i s o r g a n i z a t i o n .
I w o u l d l i k e t o e x p r e s s my s i n c e r e g r a t i t u d e t o P r o f e s s o r A n d e r s S e l l g r e n , Head o f t h e D i v i s i o n , who s u p e r v i s e d and s u p p o r t e d me i n my w o r k . I am a l s o v e r y g r a t e f u l t o A s s o c i a t e P r o f e s s o r U r b a n S v e n s s o n , who a l s o s u p e r v i s e d and e n c o u r a g e d me, and who was t h e c o - a u t h o r o f P a p e r B i n t h i s t h e s i s .
I a l s o w i s h t o e x p r e s s my s i n c e r e a p p r e c i a t i o n t o D r . Don Gray, Head o f t h e D i v i s i o n o f H y d r o l o g y , U n i v e r s i t y o f S a s k a t c h e w a n , Canada, D r . M i k a e l J o n s s o n and P r o f e s s o r L e n n a r t K a r l s s o n a t t h e D i v i s i o n o f C o m p u t e r A i d e d D e s i g n , Luleå U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y , who a l l e n c o u r a g e d me t o f u l f i l my w o r k .
F o r c o n s t r u c t i v e r e v i e w i n g o f t h e l a n g u a g e o f t h e t h e s i s , I w o u l d l i k e t o t h a n k Mr. P a u l M c M i l l e n who h e l p e d me w i t h P a p e r C and P a r t I , and D r . Simon C r i p p s who h e l p e d me w i t h P a p e r B. I w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k a l l my c o l l e a g u e s f o r t h e e n j o y a b l e w o r k i n g a t m o s p h e r e t h a t t h e y c r e a t e d . L a s t b u t n o t l e a s t , I w o u l d l i k e t o e x p r e s s my deep g r a t i t u d e t o my p a r e n t s , who s p e n t many weeks w i t h my l o v e l y c h i l d r e n , R o b e r t and K r i s t i n a .
Luleå i n May 1993 H e l e n E n g e l m a r k
I
C O N T E N T S
P r e f a c e I A b s t r a c t I I I DISSERTATION: I V
P A R T I :
1 . Background 1 2. O b j e c t i v e s 4 3. E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n 5
4. M a t h e m a t i c a l M o d e l l i n g 6 4.1 B a s i c e q u a t i o n s 10 4.2 M e t h o d s o f s o l u t i o n 12 4.3 V a l i d a t i o n - r e s u l t s 13 4.4 F r e e z i n g a n d t h a w i n g 16
4.5 P a r a m e t e r s t u d y 16 4.5.1 C h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s 18
4.5.2 P r o c e d u r e f o r S W F C - c a l c u l a t i o n 20 4.5.3 S e n s i t i v i t y a n a l y s i s - r e s u l t s 22 5. D i s c u s s i o n s and C o n c l u s i o n s 2 6
6. F u t u r e R e s e a r c h and Development 33
7. R e f e r e n c e s 34
P A R T I I :
A. R a t e s o f I n f i l t r a t i o n i n t o F r o z e n and U n f r o z e n F i n e Sand.
C a n a d i a n J o u r n a l o f E a r t h S c i e n c e s , V o l . 2 5 ( 2 ) , 1 9 8 8 .
B. N u m e r i c a l M o d e l l i n g o f P h a s e Change i n F r e e z i n g a n d Thawing U n s a t u r a t e d S o i l . N o r d i c H y d r o l o g y , V o l . 2 4 ( 2 / 3 ) , 1993, a l s o p r e s e n t e d a t t h e 9t h N o r t h e r n R e s e a r c h B a s i n Symposium /Workshop, W h i t e h o r s e / D a w s o n / I n u v i k , Canada, A u g u s t 1 9 9 2 . ( c o - a u t h o r : U r b a n S v e n s s o n ) . An a p p e n d i x d e s c r i b i n g d e t a i l s o f s o i l a n d o t h e r r e l e v a n t p a r a m e t e r s u s e d h e r e h a s b e e n a d d e d .
C. An A n a l y s i s o f C h a r a c t e r i s t i c P a r a m e t e r s i n N u m e r i c a l M o d e l l i n g o f P h a s e Change i n F r e e z i n g and Thawing S o i l s . S u b m i t t e d f o r i n t e r n a t i o n a l p u b l i c a t i o n .
A B S T R A C T
A l a b o r a t o r y s t u d y o f i n f i l t r a t i o n r a t e s i n t o f r o z e n a n d u n - f r o z e n f i n e s a n d , i n c l u d i n g t e m p e r a t u r e e f f e c t s o f b o t h s o i l a n d i n f i l t r a t i o n w a t e r , i s r e p o r t e d . The a v e r a g e i n f i l t r a t i o n r a t e v a r i e d f r o m a b o u t 10.6 mm/min f o r u n f r o z e n c o n d i t i o n s , t o a b o u t 1-2 mm/min f o r f r o z e n c o n d i t i o n s .
A new n u m e r i c a l m e t h o d f o r s o l v i n g t h e p h a s e change i n u n s a t - u r a t e d f r e e z i n g a n d t h a w i n g s o i l s i s p r e s e n t e d . The g o v e r n i n g e q u a t i o n s a r e s o l v e d b y a t w o - s t e p a p p r o a c h . I n t h e f i r s t s t e p , t h e h e a t a n d w a t e r f l o w e q u a t i o n s , n e g l e c t i n g c h a n g e s i n i c e c o n t e n t , a r e s o l v e d u s i n g a f u l l y i m p l i c i t n u m e r i c a l scheme. I n t h e s e c o n d s t e p , t h e p h a s e change i s d i r e c t l y s o l v e d u s i n g a t o t a l e n e r g y b a l a n c e a n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d f r e e z i n g t e m p e r a t u r e (SWFC). S i m u l a t i o n s o f t h r e e h o r i z o n t a l f r e e z i n g e x p e r i m e n t s u s i n g d i f f e r e n t t i m e - d e p e n d e n t t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s (T b.c) a r e e v a l u a t e d a n d d i s - c u s s e d . R e s u l t s f r o m a s i m u l a t e d f r e e z i n g a n d t h a w i n g c y c l e a r e a l s o d i s c u s s e d . A g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n m e a s u r e d a n d c a l c u l a t - e d t e m p e r a t u r e a n d m o i s t u r e c o n t e n t p r o f i l e s f o r d i f f e r e n t tem- p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s was a c h i e v e d .
The f r e e z i n g a n d t h a w i n g s i m u l a t i o n d e m o n s t r a t e d how t h e i c e g r o w t h c o n t i n u e d d u r i n g t h a w i n g a t t h e c o l d s i d e o f t h e i c e z o n e , c a u s e d b y a v e r y s m a l l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e , a n d how t h e f r o s t ( i c e ) d e p t h d i f f e r e d c o n s i d e r a b l y f r o m t h e d e p t h a t w h i c h 0°C o c c u r r e d . M o r e o v e r , i n t h e m e l t z o n e , w a t e r moved f r o m t h e m e l t f r o n t t o w a r d s t h e zone w i t h t h e maximum i c e c o n t e n t .
Some c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l l i n g o f u n s a t u r a t - e d f r e e z i n g a n d t h a w i n g s i l t l o a m w e r e s t u d i e d . C l o s e d - f o r m e x - p r e s s i o n s f o r s o i l - h y d r a u l i c p r o p e r t i e s w e r e c o m b i n e d w i t h t h e
c o n c e p t t h a t r e l a t e s s o i l w a t e r p o t e n t i a l t o f r e e z i n g - p o i n t d e - p r e s s i o n , t o o b t a i n t h e SWFC. The h i g h e s t s e n s i t i v i t i e s r e s u l t - e d f r o m v a r i a t i o n s o f T b.c a n d i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t s . F o r e x a m p l e , f r e e z i n g - i n d u c e d m o i s t u r e a c c u m u l a t i o n o n l y o c c u r r e d i n t h e i n i t i a l l y w e t t e s t s o i l p r o f i l e b y t h e l a r g e s t amounts f o r T b.c o f l e s s s t r e n g t h .
S i g n i f i c a n t d i s c r e p a n c i e s o c c u r r e d , i n s e v e r a l phenomena, b e - t w e e n s o i l t y p e s . One s o i l t y p e h a d d i r e c t s o l i d - t o - s o l i d c o n - t a c t s (SS) a n d t h e o t h e r h a d p a r t i c l e s w h i c h w e r e a l w a y s s e p a - r a t e d b y l i q u i d w a t e r ( S L S ) . The phenomena w e r e i c e c o n t e n t s , d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e p o s i t i o n o f 0°C a n d f r o s t d e p t h , m e l t z o n e s , a n d t h e t i m e o f t h a w i n g . A s i m i l a r s e n s i t i v i t y p a t t e r n was f o u n d when c o m p a r i n g w e t t i n g a n d d r y i n g c h a r a c t e r i s t i c s , a l t h o u g h t h e s e n s i t i v i t i e s w e r e l o w e r .
F r e e z i n g - i n d u c e d m o i s t u r e a n d i c e a c c u m u l a t i o n s , p e n e t r a t i o n r a t e o f maximum f r o s t d e p t h a n d m e l t zone e x t e n s i o n were s t r o n g l y d e p e n d e n t on t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y . F o r e x a m p l e , t o t a l m o i s t u r e a n d i c e c o n t e n t s c h a n g e d b y a b o u t ±4.5% and
±10%, r e s p e c t i v e l y , f o r T b.c o f t h e l o w e s t s t r e n g t h , b a s e d on c o n d u c t i v i t y c h a n g e s o f ±50%, w h i c h e . g . i s t h e c h a n g e s o f t h e c o n d u c t i v i t y when c o m p a r i n g t h e e f f e c t s o f t h e w a t e r v i s c o s - i t y f o r t e m p e r a t u r e s b e t w e e n 0 a n d +20°C.
S t u d i e d phenomena d u r i n g f r e e z i n g , i n c l u d i n g t i m e o f t h a w i n g , w e r e i n s e n s i t i v e t o c h a n g e s o f an i m p e d e n c e p a r a m e t e r , w h i c h i s n o r m a l l y u s e d i n n u m e r i c a l m o d e l l i n g t o r e d u c e t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y c l o s e t o t h e f r e e z i n g f r o n t .
Key-words: I n f i l t r a t i o n , c o u p l e d h e a t a n d w a t e r f l o w , s o i l w a t e r c h a r a c t e r i s t i c s , f r e e z i n g a n d t h a w i n g s o i l , s i l t l o a m , f i n e sand, u n s a t u r a t e d f r o z e n s o i l , f r e e z i n g - p o i n t d e p r e s s i o n , f r o s t d e p t h .
I l l
DISSERTATION
T h i s t h e s i s c o n s i s t s o f a summary ( P a r t I ) and t h r e e P a p e r s ( P a r t I I ) . I n P a p e r A, an e x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n o f i n f i l - t r a t i o n r a t e s i n t o a f i n e s a n d , u n d e r f r o z e n and u n f r o z e n c o n - d i t i o n s , i s r e p o r t e d . I n P a p e r B, a new n u m e r i c a l m e t h o d t o s o l v e t h e phase change i n f r e e z i n g and t h a w i n g s o i l s i s p r e - s e n t e d and v a l i d a t e d t o d a t a o b t a i n e d i n f r e e z i n g e x p e r i m e n t s . F i n a l l y P a p e r C p r e s e n t s a s t u d y o f some c h a r a c t e r i s t i c p a r a m - e t e r s i n m o d e l l i n g f r e e z i n g and t h a w i n g o f s o i l s and p r o p o s e s a m e t h o d t o c h a r a c t e r i z e a m a j o r component o f t h e p h a s e c h a n g e s o l u t i o n .
The t h r e e P a p e r s a r e as f o l l o w s :
A E n g e l m a r k , H. (1988) R a t e s o f i n f i l t r a t i o n i n t o f r o z e n and u n f r o z e n f i n e s a n d . C a n a d i a n J o u r n a l o f E a r t h S c i e n c e s , V o l . 25, No. 2, 1988.
B E n g e l m a r k , H. and S v e n s s o n , U. (1993) N u m e r i c a l m o d e l l i n g o f p h a s e change i n f r e e z i n g and t h a w i n g u n s a t u r a t e d s o i l . N o r d i c H y d r o l o g y , V o l . 2 4 ( 2 / 3 ) , 1993, a l s o p r e s e n t e d a t 9t h
N o r t h e r n R e s e a r c h B a s i n Symposium/Workshop, W h i t e h o r s e / D a w s o n / I n u v i k , Canada, A u g u s t 1992. An a p p e n d i x d e s c r i b i n g d e t a i l s o f s o i l and o t h e r r e l e v a n t p a r a m e t e r s u s e d h e r e has b e e n added.
C E n g e l m a r k , H. (1993) An a n a l y s i s o f c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e - t e r s i n n u m e r i c a l m o d e l l i n g o f p h a s e change i n f r e e z i n g and t h a w i n g s o i l s . S u b m i t t e d f o r i n t e r n a t i o n a l p u b l i c a t i o n .
P A R T I
1. B a c k g r o u n d
I n t h e h y d r o l o g i c a l c y c l e w a t e r i s c o n t i n u o u s l y t r a n s f o r m e d b e t w e e n t h e d i f f e r e n t p h a s e s , v a p o r , w a t e r and i c e . P a r t s o f t h e s e t r a n s f o r m a t i o n s t a k e p l a c e i n t h e g r o u n d . These phenom- ena a r e c o u p l e d t o h e a t t r a n s f e r . T h i s s t u d y i s f o c u s e d on movements o f w a t e r , p h a s e change b e t w e e n w a t e r and i c e , and h e a t t r a n s f e r i n s u b s u r f a c e u n s a t u r a t e d s o i l .
Many o f o u r a c t i v i t i e s and n e e d s i n c o l d c l i m a t e r e g i o n s a r e i n f l u e n c e d b y f r e e z i n g and t h a w i n g s o i l . I n f i l t r a t i o n and r u n - o f f i n b o t h u r b a n and s u b u r b a n a r e a s a r e phenomena a s s o c i a t e d w i t h t h e s e p r o c e s s e s . I n u r b a n a r e a s , d e s i g n and management o f s t o r m w a t e r s y s t e m s a r e o f i n t e r e s t . I n s u b u r b a n a r e a s , d r a i n - age o f a r a b l e and f o r e s t l a n d , as w e l l as w a t e r s u p p l y t o h y d r o e l e c t r i c p o w e r s t a t i o n s , a r e o f g r e a t e r c o n c e r n . O t h e r i m p o r t a n t phenomena c o n c e r n i n g f r e e z i n g and t h a w i n g o f s o i l s , a r e s t a b i l i t y and f r o s t h e a v e . These a r e r e l a t e d t o f o u n d a - t i o n s o f b u i l d i n g s , r o a d s , r a i l r o a d s , t u n n e l s , s t o r m w a t e r s y s t e m s , a i r p o r t s , e t c .
The p r e s e n t r e s e a r c h w o r k was i n i t i a t e d by d e v e l o p i n g a one- d i m e n s i o n a l n u m e r i c a l m o d e l f o r v e r t i c a l f l o w i n t h e s u b s u r - f a c e u n s a t u r a t e d f r o z e n z o n e . The o b j e c t i v e was t o s t u d y w a t e r i n f i l t r a t i o n i n t o s o i l s w i t h d i f f e r e n t s u r f a c e c o v e r . The p u r - p o s e was a l s o t o compare c a l c u l a t e d d a t a w i t h f i e l d o b s e r v a - t i o n s and t o e s t i m a t e t h e i n f i l t r a t i o n and snow m e l t r u n - o f f f r o m a w a t e r s h e d c o n s i s t i n g o f a r a b l e , p a s t u r e and f o r e s t l a n d . R e s u l t s w e r e p u b l i s h e d i n N o r d i c H y d r o l o g y ( E n g e l m a r k , 1984) and i n a l i c e n t i a t e t h e s i s ( E n g e l m a r k , 1986) w h i c h i s s u m m a r i z e d b e l o w .
The m a t h e m a t i c a l m o d e l c o n s i s t e d o f a c o u p l e d h e a t and m o i s - t u r e t r a n s f e r e q u a t i o n , and an e x p r e s s i o n r e l a t i n g u n f r o z e n m o i s t u r e c o n t e n t s t o t e m p e r a t u r e s b e l o w f r e e z i n g p o i n t (0°C).
The l a t t e r i s i n t h i s t h e s i s d e f i n e d as SWFC ( s o i l - w a t e r - f r e e z i n g c h a r a c t e r i s t i c s ) , w h i c h a r e e x e m p l i f i e d i n F i g u r e 1 .
3
ß Temperature, (°C)
F i g u r e 1 . U n f r o z e n w a t e r c o n t e n t v e r s u s t e m p e r a t u r e b e l o w 0°C.
The SWFC-curves a r e f o r a) Bensby s i l t ( e s t i m a t e d b y E n g e l m a r k 1984) , b) I d a s i l t l o a m - s o i l t y p e SLS
(Paper C ) , c) I d a s i l t l o a m - s o i l t y p e SS (Paper C) a n d f o r d) a f i n e - g r a i n e d s i l i c a s a n d (Jame 1 9 7 7 ) .
The m o d e l was b a s e d on D a r c y ' s l a w a n d w o r k s p r e s e n t e d b y Jame and Norum ( 1 9 7 2 ) , T a y l o r a n d . L u t h i n ( 1 9 7 8 ) , a n d Hromadka e t al. ( 1 9 8 1 ) . An e x p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e scheme was u s e d f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n .
O b s e r v a t i o n s o f a i r a n d s o i l t e m p e r a t u r e s , s o i l w a t e r c o n - t e n t s , f r o s t d e p t h s , snow d e p t h s , g r o u n d w a t e r e l e v a t i o n s , a n d r u n - o f f w e r e made, a n d s o i l - s a m p l e s w e r e t a k e n f r o m s u r f a c e s r e p r e s e n t i n g g r a s s , g r a v e l a n d f o r e s t i n a w a t e r s h e d a r e a
(Bensby) o f 1.8 km . F i e l d o b s e r v a t i o n s w e r e made m o s t f r e - q u e n t l y d u r i n g t h e p e r i o d o f snow m e l t .
The n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s d e a l t w i t h t h e c a s e o f a s o i l p r o - f i l e o f g r a s s s u r f a c e c o n t a i n i n g S i l t Loams (Bensby s i l t , see F i g u r e l a ) d u r i n g t h e p e r i o d o f snow m e l t . The h e a t a n d mass t r a n s f e r p a r a m e t e r s u s e d i n t h e m o d e l w e r e m a i n l y b a s e d on d a t a o f s o i l m a t e r i a l w i t h s i m i l a r p r o p e r t i e s g i v e n i n t h e l i t e r a t u r e . The p r o c e s s o f m o i s t u r e a n d h e a t t r a n s f e r t o a d e p t h o f 0.45 m was s i m u l a t e d f o r t h e m o n t h o f A p r i l 1 9 8 3 .
R e s u l t s f r o m t h e f i e l d o b s e r v a t i o n s showed t h a t a l l t e m p e r a - t u r e s t o a d e p t h o f 0.90 m b e l o w a l l t h r e e s u r f a c e s ( g r a s s , g r a v e l , a n d f o r e s t ) d e c r e a s e d s i g n i f i c a n t l y as s o o n as t h e e n - t i r e snow c o v e r m e l t e d . These r e s u l t s o c c u r r e d a t t h e same
2
t i m e as t h e a i r t e m p e r a t u r e s r o s e above 0 C.
The m a i n c o n c l u s i o n s f r o m t h e r e s u l t s o f t h e f i e l d o b s e r v a - t i o n s and t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s o f i n f i l t r a t i o n and r u n - o f f d u r i n g t h e p e r i o d o f snow m e l t w e r e t h e f o l l o w i n g :
- t h e i n f i l t r a t i o n i n t o t h e g r a s s - c o v e r e d s o i l , w h i c h c o n s i s - t e d o f S i l t Loams, was ca 20 % o f t h e e f f e c t i v e snow m e l t , w h i l e t h e r u n - o f f was ca 80 %
- t h e i n f i l t r a t i o n i n t o t h e f o r e s t s o i l , w h i c h c o n s i s t e d m a i n - l y o f Medium Sand, was much l a r g e r - ca 65 % o f t h e e f f e c - t i v e snow m e l t - w h i l e t h e r u n - o f f was ca 35 %.
The s e n s i t i v i t y o f t h e s i m u l a t i o n r e s u l t s t o p a r a m e t e r v a r i - a t i o n s , and t h e demands f o r a c c u r a c y i n t h e f i e l d o b s e r v a t i o n s w h i c h w e r e i m p o s e d by t h i s s e n s i v i t y w e r e t h e s u b j e c t s o f c o n - t i n u e d r e s e a r c h .
I n o r d e r t o more c l o s e l y s t u d y t h e p r o c e s s e s o f h e a t and w a t e r t r a n s f e r i n c l u d i n g w a t e r i n f i l t r a t i o n i n f r o z e n and p a r - t i a l l y f r o z e n s o i l s , u n d e r d i f f e r e n t m o i s t u r e and t e m p e r a t u r e c o n d i t i o n s , a l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t a l s e t - u p was b u i l t
( E n g e l m a r k and J o n a s s o n , 1 9 8 5 ) . The s e t - u p i s p a r t l y d e s c r i b e d i n P a p e r A, b u t i n i t i a l l y , t h e s e t - u p h a d a g r e a t e r l e v e l o f i n s t r u m e n t a t i o n .
I n a p i l o t t e s t ( E n g e l m a r k , 1 9 8 5 ) , w i t h t h i s i n i t i a l s e t - up, m e a s u r e m e n t s w e r e p e r f o r m e d i n a F i n e Sand. A s o i l c o l u m n
(PVC-pipe) w i t h f u l l i n s t r u m e n t a t i o n was e q u i p p e d w i t h t e m - p e r a t u r e p r o b e s ( P t 1 0 0 ) , c a p a c i t i v e p r o b e s f o r m e a s u r e m e n t o f t h e u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t , and r e s i s t i v e p r o b e s f o r d e t e r m i - n a t i o n o f t h e m a t r i x p o t e n t i a l . The b o t t o m o f t h e c o l u m n c o n - s i s t e d o f a p o r o u s p l a t e c o n n e c t e d t o a w a t e r c o l u m n f o r m e a s u r e m e n t s o f d r a i n a g e w a t e r . P r e c i p i t a t i o n was s i m u l a t e d b e f o r e t h e f r e e z i n g p r o c e s s was s t a r t e d .
The t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s showed t h a t a f t e r t h e f r e e z i n g was s t o p p e d a t t h e u p p e r b o u n d a r y , s e t t i n g t h e a i r t e m p e r a t u r e t o 0°C f r o m -7.0°C, t h e c o l d f r o n t ( d e f i n e d as t h e p o s i t i o n w i t h t h e l o w e s t t e m p e r a t u r e ) c o n t i n u e d t o d e v e l o p . The c o l d f r o n t moved downwards f r o m 0.2 m t o 0.4 m ( t h e t o t a l d e p t h o f t h e s o i l c o l u m n was 0.60 m), s i n k i n g t o t h e l o w e s t t e m p e r a t u r e m e a s u r e d i n t h e s o i l p r o f i l e d u r i n g t h e e n t i r e t e s t , f r o m
a b o u t -0.25 C t o -0.40 C i n 4.72 h o u r s . T h i s b e h a v i o u r was hence s i m i l a r t o t h a t o b s e r v e d d u r i n g t h e f i e l d o b s e r v a t i o n s , when t h e s o i l t e m p e r a t u r e s d e c r e a s e d s i g n i f i c a n t l y as s o o n as t h e e n t i r e snow c o v e r m e l t e d and t h e a i r t e m p e r a t u r e s r o s e t o above 0°C.
The r e s u l t s o f t h e m e a s u r e m e n t s o f u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t i n d i c a t e d w a t e r t r a n s p o r t t o w a r d s t h e f r e e z i n g f r o n t ; 4.6 % b y v o l u m e i n 15.92 h o u r s u n d e r an a v e r a g e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t o f 2.6°C/0.1 m, a n d t h e n 3.3 % b y v o l u m e i n 15 m i n u t e s u n d e r an a v e r a g e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t o f 0.68°C/0.1 m. P e r c o l a t i o n was m e a s u r e d w h i l e t h e f r e e z i n g f r o n t moved downward, b u t was s t o p p e d when t h e e n t i r e s o i l p r o f i l e showed t e m p e r a t u r e s b e l o w 0°C. P e r c o l a t i o n i n t h e same m a g n i t u d e c o u l d be m e a s u r e d a g a i n when t h e l o w e r p a r t o f t h e p r o f i l e showed t e m p e r a t u r e s above 0°C.
A f i e l d o r l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t d e s i g n e d t o v e r i f y a t h e o - r e t i c a l m o d e l c o v e r i n g d i f f e r e n t s o i l s , s u r f a c e l a y e r s a n d d i f f e r e n t m o i s t u r e and t e m p e r a t u r e c o n d i t i o n s w o u l d h a v e r e - q u i r e d c o n s i d e r a b l e r e s o u r c e s . E f f o r t s w e r e t h e r e f o r e c o n c e n - t r a t e d t o a f e w w e l l - d e f i n e d l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s on i n f i l - t r a t i o n r a t e s u n d e r f r o z e n a n d u n f r o z e n c o n d i t i o n s ( P a p e r A) , t o d e v e l o p a n u m e r i c a l m e t h o d t o s o l v e p h a s e change i n u n s a t u - r a t e d f r e e z i n g and t h a w i n g s o i l s ( P a p e r B) a n d t o e v a l u a t e e f - f e c t s o f some c h a r a c t e r i s t i c m o d e l p a r a m e t e r s on f r e e z i n g a n d t h a w i n g phenomena (Paper C ) .
2. O b j e c t i v e s
The o v e r a l l o b j e c t i v e o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t o c o n t r i b u t e t o t h e k n o w l e d g e o f h e a t and w a t e r f l o w s i n f r e e z i n g a n d t h a w i n g s o i l s , i n c l u d i n g w a t e r i n f i l t r a t i o n . The o b j e c t i v e s o f t h e t h r e e P a p e r s , i n p a r t I I : A - C , a r e :
(A) . To p r e s e n t r e s u l t s o f some l a b o r a t o r y e x p e r i m e n t s on i n f i l t r a t i o n r a t e s , w h e r e t h e t e m p e r a t u r e e f f e c t s o f b o t h s o i l a n d i n f i l t r a t i o n w a t e r w e r e s t u d i e d .
(B) . To p r e s e n t a new n u m e r i c a l m e t h o d f o r h a n d l i n g t h e p h a s e c h a n g e w h i c h f a c i l i t a t e s p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n .
4
( C ) . To e v a l u a t e t h e e f f e c t s o f some c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s on s o i l f r e e z i n g a n d t h a w i n g , s i m u l a t e d w i t h t h e m e t h o d p r e s e n t e d i n P a p e r B, as w e l l as t o p r e s e n t a m e t h o d t o o b t a i n a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n f r o z e n s o i l w a t e r c o n - t e n t s a n d f r e e z i n g t e m p e r a t u r e s , w i t h o u t d i r e c t m e a s u r e - ment .
3. E x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n
The e f f e c t o f s o i l t e m p e r a t u r e , as w e l l as t h e e f f e c t o f d i f - f e r e n t t e m p e r a t u r e s o f r a i n o r m e l t w a t e r , on t h e i n f i l t r a t i o n r a t e i n a F i n e Sand w i t h a p o r o s i t y o f a b o u t 0.43, was s t u d i e d u n d e r l a b o r a t o r y c o n d i t i o n s (Paper A) . The i n f i l t r a t i o n t e s t d a t a a n d t h e r e s u l t s a r e shown i n T a b l e 1 a n d i n F i g u r e 2.
TABLE 1. Infiltration test data
Test Time for a water intake Initial unfrozen moisture content Temperature of the rain No. of 25 mm (min) at 50 mm depth (% by volume) or meltwater (°C)
1 2.4 12.2 Unfrozen < ^5 R a i n temperature close
2 2.3 12.4 \0.2 to soil temperature 3 26 7.6 (0.5 Meltwater close to zero
4 13 7.8 F r o z e n h
5 12.5 17.2 16 Warm rain after a cold
* night
e
\ E E
<u
a
c o 15
10H ft Vi
U n f r o z e n
r ©
F i n e s a n d ( l o w to m o d e r a t e
m o i s t u r e c o n t e n t )
F r o z e n
10 15 20
.CD
/
25
T i m e ( m i n )
F i g u r e 2. I n f i l t r a t i o n r a t e s f o r a f i n e s a n d u n d e r u n f r o z e n ( t e s t s 1 , 2) a n d f r o z e n c o n d i t i o n s ( t e s t s 3, 4, 5 ) .
F o r t h e u n f r o z e n c o n d i t i o n , 25 mm o f r a i n w i t h t e m p e r a t u r e s c l o s e t o s o i l t e m p e r a t u r e w e r e s i m u l a t e d f o r t w o d i f f e r e n t s o i l t e m p e r a t u r e p r o f i l e s . One p r o f i l e h a d an i n i t i a l t e m p e r a - t u r e p r o f i l e c l o s e t o +5°C ( t e s t 1) a n d t h e o t h e r c l o s e t o 0°C
( t e s t 2 ) . The t e m p e r a t u r e s o f t h e s i m u l a t e d r a i n w e r e c l o s e t o t h e v a l u e s o f t h e i n i t i a l s o i l t e m p e r a t u r e s . The i n i t i a l m o i s - t u r e c o n t e n t was a b o u t 12 % b y v o l u m e i n b o t h t h e t e s t s . The a v e r a g e i n f i l t r a t i o n r a t e was a b o u t 10.6 mm/min i n t h e t w o t e s t s .
F o r t h e f r o z e n c o n d i t i o n , t h e same amount o f r a i n was s i m u - l a t e d f o r t h r e e d i f f e r e n t s o i l t e m p e r a t u r e p r o f i l e s . One t e m - p e r a t u r e p r o f i l e was b e l o w b u t c l o s e t o 0°C ( t e s t 3) . The o t h e r t w o p r o f i l e s w e r e c o l d e r ( t e s t s 4 a n d 5) . Two o f t h e p r o f i l e s h a d i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t s o f a b o u t 8 % b y v o l u m e
( t e s t s 3 a n d 4) a n d one h a d a b o u t 17 % b y v o l u m e ( t e s t 5) . The t e m p e r a t u r e s o f t h e s i m u l a t e d m e l t w a t e r o r r a i n i n t e s t s 3, 4 and 5, w e r e 0.5°C, 2°C a n d 6°C, r e s p e c t i v e l y . The a v e r a g e i n f i l t r a t i o n r a t e was a b o u t 1 mm/min f o r t e s t 3, w h e r e i n i t i a l and m e l t w a t e r t e m p e r a t u r e s w e r e c l o s e t o 0°C. F o r t h e t e s t s w i t h c o l d e r i n i t i a l t e m p e r a t u r e p r o f i l e s b u t w i t h warmer r a i n , t h e a v e r a g e i n f i l t r a t i o n r a t e s w e r e a b o u t 2 mm/min.
4. M a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g
N u m e r i c a l m o d e l s f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m o f c o u p l e d h e a t a n d m o i s t u r e t r a n s f e r h a v e been p r e s e n t e d b y a number o f a u t h o r s , i n c l u d i n g H a r l a n ( 1 9 7 3 ) , Guymon a n d L u t h i n ( 1 9 7 4 ) , Jame
( 1 9 7 7 ) , Jame a n d Norum ( 1 9 8 0 ) , M o t o v i l o v ( 1 9 7 7 ) , S h e p p a r d e t al. ( 1 9 7 8 ) , T a y l o r a n d L u t h i n ( 1 9 7 8 ) , Guymon e t a l . ( 1 9 8 0 ) , J a n s s o n a n d H a l l d i n ( 1 9 8 0 ) , Hromadka e t al. ( 1 9 8 1 ) , E n g e l m a r k
( 1 9 8 4 , 1 9 8 6 ) , Kung a n d S t e e n h u i s ( 1 9 8 6 ) , C a r y (1987) a n d K a r v o n e n ( 1 9 8 8 , 1 9 8 9 ) . A b r i e f r e v i e w o f a s e l e c t i o n o f t h e a b o v e - l i s t e d p u b l i c a t i o n s i s g i v e n b e l o w .
H a r l a n (1973) e x a m i n e d f r e e z i n g - a f f e c t e d s o i l w a t e r r e d i s - t r i b u t i o n a n d i n f i l t r a t i o n t o f r o z e n s o i l f r o m a phenomeno- l o g i c a l p o i n t o f v i e w , w i t h t h e a i d o f a n u m e r i c a l m o d e l . The m o d e l was b a s e d u p o n a D a r c i a n a p p r o a c h , w h i c h was a p p l i e d t o
6
t h e a n a l y s i s o f c o u p l e d h e a t - f l u i d t r a n s p o r t i n p o r o u s m e d i a w i t h f r e e z i n g and t h a w i n g . H a r l a n t h e n s t u d i e d t h e e f f e c t s o f s o i l t y p e and i n i t i a l c o n d i t i o n s on t h e r e s p o n s e o f a h y p o - t h e t i c a l s o i l c o l u m n . I n g e n e r a l H a r l a n ' s m o d e l showed t h a t t h e r a t e o f u p w a r d r e d i s t r i b u t i o n o f s o i l w a t e r t o a f r e e z i n g zone a t t h e s o i l s u r f a c e d e c r e a s e d f r o m c o a r s e - t e x t u r e d s o i l s t o f i n e - t e x t u r e d s o i l s , and d e c r e a s e d w i t h i n c r e a s e i n d e p t h t o t h e w a t e r t a b l e . S u b s e q u e n t r e d i s t r i b u t i o n d u r i n g m e l t i n g o f t h e f r o s t wedge was shown t o o c c u r a t a r a t e l e s s t h a n t h a t a s s o c i a t e d w i t h f r e e z i n g . I n f i l t r a t i o n t o p a r t i a l l y f r o z e n s o i l was a l s o shown t o h a v e s i g n i f i c a n t i n f l u e n c e on s o i l w a t e r r e d i s t r i b u t i o n and t h e r e s p o n s e o f t h e g r o u n d w a t e r t a b l e .
Guymon and L u t h i n (1974) d e v e l o p e d a n u m e r i c a l scheme b a s e d on t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d f o r s o l v i n g o n e - d i m e n s i o n a l c o u p - l e d h e a t and m o i s t u r e t r a n s p o r t i n a r c t i c s o i l s . T h e i r m o d e l was b a s e d on t h e R i c h a r d s e q u a t i o n and t h e h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n i n c l u d i n g c o n v e c t i v e c o m p o n e n t s . C o n v e r g e n c e and s t a b i l i t y w e r e i n v e s t i g a t e d , and i t was c o n c l u d e d t h a t t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e was c o n v e r g e n t and s t a b l e i n g e n e r a l .
S h e p p a r d e t al. (1978) d e v e l o p e d a m o d e l w h i c h d e s c r i b e d h e a t and w a t e r f l o w i n f r e e z i n g s o i l . M a t h e m a t i c a l f o r m u l a - t i o n s f o r h a n d l i n g o v e r b u r d e n p r e s s u r e and a c c o u n t i n g f o r d e - f o r m a t i o n o f t h e m a t r i x w e r e s u g g e s t e d . The m o d e l was f i r s t c h e c k e d a g a i n s t d a t a g e n e r a t e d f r o m l a b o r a t o r y s t u d i e s and t h e n v e r i f i e d b y u s i n g f i e l d d a t a . O v e r b u r d e n p r e s s u r e was n e - g l e c t e d when t e s t i n g t h e m o d e l . The m o d e l s i m u l a t e d b o t h m o i s - t u r e a n d h e a t f l o w e x t r e m e l y w e l l u n d e r l a b o r a t o r y c o n d i t i o n s t h e f i r s t 20 m i n u t e s , t h e n t h e r e s u l t s f r o m t h e l a b o r a t o r y e x - p e r i m e n t showed f l u c t u a t i o n s i n t e m p e r a t u r e a t t h e b o t t o m o f t h e c o l u m n . The r e s u l t s f r o m s i m u l a t i o n s o f f i e l d c o n d i t i o n s showed t h a t t h e m o d e l d i d n o t p r e d i c t h e a t f l o w a c c u r a t e l y i n t h e n e a r - s u r f a c e l a y e r s , w h e r e t e m p e r a t u r e g r a d i e n t s as l a r g e as 9°C/0.01 m w e r e m e a s u r e d . The p r o b l e m o f f i e l d m o i s t u r e v a r i a b i l i t y i n p r e d i c t i o n o f l a r g e - s c a l e w a t e r f l o w was d i s c u s s e d .
Jame (1977) a n d Jame and Norum (1980) i n v e s t i g a t e d t h e v a l i d i t y o f H a r l a n ' s (1973) m o d e l b y c o m p a r i n g e x p e r i m e n t a l d a t a w i t h n u m e r i c a l s o l u t i o n s o f t h e c o u p l e d h e a t a n d mass t r a n s f e r e q u a t i o n s . The m o d e l was b a s e d u p o n a f i n i t e d i f f e r - ence n u m e r i c a l scheme, and an i t e r a t i v e p r o c e d u r e was u s e d f o r h a n d l i n g t h e t h i r d t i m e - d e p e n d e n t v a r i a b l e , t h e i c e - c o m p o n e n t . D i f f i c u l t i e s w e r e e n c o u n t e r e d i n s i m u l a t i n g t h e t e m p e r a t u r e c o n d i t i o n s a t t h e c o l d e n d b o u n d a r y . The s i m u l a t i o n r e s u l t s were i m p r o v e d when m e a s u r e d t e m p e r a t u r e s a n d m o i s t u r e c o n t e n t s a t 6 h o u r s w e r e u s e d as t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s .
The c o n t r i b u t i o n s r e v i e w e d above h a v e m o d e l s u s i n g t h e a p - p a r e n t v o l u m e t r i c h e a t c a p a c i t y c o n c e p t , i n c l u d i n g a r e l a t i o n - s h i p b e t w e e n u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d f r e e z i n g t e m p e r a t u r e t o s o l v e t h e h e a t and mass t r a n s f e r e q u a t i o n s . The a p p a r e n t v o l u m e t r i c h e a t c a p a c i t y , C , ( e . g . Jame 1977) i s e x p r e s s e d as
where C i s t h e v o l u m e t r i c h e a t c a p a c i t y o f t h e s o i l - w a t e r - i c e
m 3 o . ,
s y s t e m (J/sm C) , a n d L i s t h e v o l u m e t r i c l a t e n t h e a t o f f u - s i o n o f l i q u i d w a t e r (J/m3) . 38 /ST i s t h e r a t e o f change i n
w
u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t w i t h t e m p e r a t u r e , a n d c o r r e s p o n d s t o t h e s l o p e o f t h e SWFC-curve a t t h e s p e c i f i c t e m p e r a t u r e T ( s e e F i g u r e 1 ) .
A n o t h e r b a s i c a l t e r n a t i v e when s o l v i n g t h e h e a t a n d mass t r a n s f e r e q u a t i o n s , u s i n g a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d s o i l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e , i s t o c o m b i n e t h e e q u a t i o n s i n t o a s i n g l e e q u a t i o n f o r t h e f r o z e n z o n e . T h i s i s done b y Hromadka e t al. (1981) a n d E n g e l m a r k ( 1 9 8 4 , 1 9 8 6 ) .
J a n s s o n a n d H a l l d i n ( 1 9 8 0 ) , see a l s o H a l l d i n e t a l . ( 1 9 8 0 ) , d e v e l o p e d a m o d e l w i t h c o u p l e d mass t r a n s f e r a n d h e a t f l o w e q u a t i o n s ( t h e SOIL m o d e l ) . Mass t r a n s f e r was h e r e d e s c r i b e d by t h e D a r c y e q u a t i o n a n d t h e mass b a l a n c e e q u a t i o n . The h e a t f l o w e q u a t i o n , a c c o u n t i n g f o r t h e h e a t o f p h a s e c h a n g e was f o r m u l a t e d w i t h t h e h e a t c o n t e n t as t h e s t a t e v a r i a b l e . The p h a s e c h a n g e o f w a t e r d u r i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g was s i m - p l i f i e d , h a n d l e d w i t h an e m p i r i c a l r e l a t i o n b e t w e e n t h e l a t e n t e n e r g y c o n t e n t a n d t h e t e m p e r a t u r e . A l l t h e w a t e r was assumed
8
t o be f r o z e n a t a t e m p e r a t u r e w h i c h was p r o p o r t i o n a l t o t h e v o l u m e t r i c w a t e r c o n t e n t a t a s o i l w a t e r p o t e n t i a l o f -150 m.
The n u m e r i c a l i n t e g r a t i o n i s b a s e d on an e x p l i c i t f i n i t e d i f - f e r e n c e scheme. S t a t e v a r i a b l e s a n d p a r a m e t e r s a r e i n t e r p o l a - t e d l i n e a r l y b e t w e e n t h e m o d e l c o m p a r t m e n t s .
K a r v o n e n (1988, 1989) d e v e l o p e d a m o d e l f o r s i m u l a t i n g f r e e z i n g a n d t h a w i n g o f u n s a t u r a t e d s o i l s . The m e t h o d f o r s o l v i n g t h e mass a n d h e a t t r a n s f e r e q u a t i o n s was b a s e d on a t o t a l e n e r g y c o n c e p t w h i c h was a l s o u s e d b y J a n s s o n and H a l l d i n (1980) . K a r v o n e n (1988) u s e d t h e f i n i t e e l e m e n t m e t h o d
( G a l e r k i n ' s scheme) f o r s o l v i n g b o t h t h e mass t r a n s f e r e q u a - t i o n , f o r m u l a t e d as t h e R i c h a r d s e q u a t i o n , a n d t h e h e a t t r a n s - f e r e q u a t i o n w i t h t h e t e m p e r a t u r e as t h e s t a t e v a r i a b l e . A f t e r s o l v i n g t h e h e a t a n d mass t r a n s f e r e q u a t i o n s , e x c l u d i n g c h a n g e s i n t h e i c e c o n t e n t , t h e amount o f e n e r g y l o s t f r o m t h e s y s t e m was c a l c u l a t e d . The a c t u a l u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d i c e c o n t e n t w e r e t h e n s o l v e d u s i n g a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n - f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d s o i l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e , c a l c u l a t e d w i t h a s o i l w a t e r r e t e n t i o n c u r v e a n d a f r e e z i n g - p o i n t d e p r e s - s i o n c u r v e . The i t e r a t i v e s o l u t i o n was o b t a i n e d b y t h e Newton-Raphson m e t h o d .
A new n u m e r i c a l m e t h o d f o r h a n d l i n g t h e p h a s e c h a n g e p r o c e s s o f f r e e z i n g a n d t h a w i n g s o i l s i s p r e s e n t e d i n P a p e r B. To r e - f e r t o t h e p a p e r s r e v i e w e d a b o v e , t h i s new m e t h o d f o r h a n d l i n g t h e p h a s e change p r o c e s s i s b a s e d on a t o t a l e n e r g y b a l a n c e a n d a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d s o i l f r e e z i n g t e m p e r a t u r e (SWFC). The p h a s e change d u r i n g a t i m e s t e p i s c a l c u l a t e d , w i t h o u t any i t e r a t i o n , a f t e r t h e h e a t a n d w a t e r f l o w e q u a t i o n s a r e s o l v e d f o r t h e same t i m e s t e p ( i . e . a t w o - s t e p a p p r o a c h ) .
I n P a p e r B, n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r t h r e e e x p e r i m e n t a l c a s e s , w h e r e s o i l c o l u m n s o f u n i f o r m w a t e r c o n - t e n t a n d t e m p e r a t u r e s a b o v e f r e e z i n g a r e s u b j e c t e d t o a l o w t e m p e r a t u r e a t one e n d (Jame, 1977) . The l o w t e m p e r a t u r e s f o r f r e e z i n g a r e s i m u l a t e d b o t h as a b r u p t a n d as s m o o t h t i m e - d e p e n d e n t t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s . The e f f e c t s o f d i f - f e r e n t t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e e v a l u a t e d . A f r e e z -
i n g and a t h a w i n g c y c l e i s s i m u l a t e d , a n d t h e r e s u l t s a r e d i s - c u s s e d i n a q u a l i t a t i v e way.
P a p e r C p r e s e n t s a s t u d y o f some c h a r a c t e r i s t i c p a r a m e t e r s i n t h e m o d e l l i n g o f h e a t a n d mass t r a n s f e r w i t h t h e m o d e l d e - s c r i b e d i n P a p e r B. C l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s f o r s o i l - h y d r a u l i c p r o p e r t i e s , f r o m t h e w o r k o f K o o l a n d P a r k e r ( 1 9 8 7 ) , a r e c o m b i n e d w i t h a c o n c e p t t h a t r e l a t e s s o i l w a t e r p o t e n t i a l t o f r e e z i n g - p o i n t d e p r e s s i o n . The p a p e r p r o v i d e s e v a l u a t i o n s o f m o d e l p a r a m e t e r s s u c h as i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t , f r e e z i n g / t h a w i n g b o u n d a r y c o n d i t i o n s , s o i l t y p e , d r y i n g a n d w e t t i n g c h a r a c t e r i s t i c s , h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y / w a t e r d i f f u s i v i t y a n d t h e i m p e d e n c e p a r a m e t e r . The e v a l u a t i o n s a r e r e l a t e d t o d i f -
f e r e n t f r e e z i n g a n d t h a w i n g phenomena, f o r e x a m p l e f r o s t d e p t h , p o s i t i o n o f 0°C, f r o s t zone t o t a l m o i s t u r e a n d i c e c o n t e n t s , m e l t z o n e , a n d t i m e o f t h a w i n g .
4 . 1 B a s i c e q u a t i o n s
M o i s t u r e t r a n s f e r i n t h e u n s a t u r a t e d s u b s u r f a c e s o i l i s d e s c r i b e d b y t h e d i f f u s i o n f o r m o f t h e mass c o n s e r v a t i o n e q u a t i o n , a n d i n c l u d e s t h e p h a s e change
se p ae a se S K
— + - — 1 = — ( D — " ) + — ( 1 )
a t p a t sz sz dz
where e a n d e a r e u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t a n d i c e c o n t e n t , b y
w I J
v o l u m e o f t o t a l s o i l v o l u m e . W a t e r a n d i c e d e n s i t i e s (kg/m3) a r e d e n o t e d b y p a n d b y p , r e s p e c t i v e l y . K i s t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y (m/s) , t i s t i m e ( s ) , z i s t h e s p a c e c o o r d i n a t e
(m), a n d D i s t h e d i f f u s i v i t y c o e f f i c i e n t (m2/s) as d e f i n e d b y C h i l d s a n d C o l l i s - G e o r g e ( 1 9 5 0 )
30
D = K ( 2 ) 39
w
where ø i s t h e p o r e w a t e r p r e s s u r e ( m ) .
The h e a t t r a n s f e r , n e g l e c t i n g h e a t a s s o c i a t e d w i t h c o n v e c t i v e h e a t f l o w ( e . g . T a y l o r a n d L u t h i n , 1 9 7 6 ) , i s e x p r e s s e d as f o l l o w s ( H a l l d i n e t al. 1 9 8 0 )
1 0
ac T p ae a , aT
m - L — — - = — T > (3)
a t p a t az az
where L i s t h e v o l u m e t r i c l a t e n t h e a t o f f u s i o n o f l i q u i d w a t e r (J/m3) , and T i s t e m p e r a t u r e (°C) . C_ i s t h e v o l u m e t r i c h e a t c a p a c i t y (J/m3 oC)
m
C = c pe + c p e + c p e (4)
m w w I I I s s s
where c , c and c a r e t h e h e a t c a p a c i t i e s (J/kg°C) o f w a t e r ,
w I s
i c e and s o i l c o m p o n e n t s , r e s p e c t i v e l y . ps i s t h e s o i l compact d e n s i t y ( k g / m3) , and e i s t h e v o l u m e t r i c s o i l c o n t e n t o f t o t a l s o i l v o l u m e . K i n e q u a t i o n (3) i s t h e t h e r m a l c o n d u c -
T
t i v i t y (J/sm°C) i n t h e s o i l - i c e - w a t e r - a i r s y s t e m , c a l c u l a t e d by u s i n g t h e m e t h o d a d o p t e d b y de V r i e s (1963) w i t h
K
y F e K
= j - i j j 3 (5)
~ T n
E F e.
3-1 1 3
where j i s t h e number o f d i f f e r e n t k i n d s o f c o m p o n e n t s i n t h e s y s t e m , and K , e and F a r e t h e t h e r m a l c o n d u c t i v i t y , v o l u -
: j j
m e t r i c c o n t e n t and w e i g h t i n g f a c t o r o f t h e j ' t h c o m p o n e n t , r e s p e c t i v e l y . V a l u e s o f c , c , c , K and c a l c u l a t i o n s o f F
w I s j j
a r e shown i n t h e A p p e n d i x o f P a p e r B.
O n l y p a r t i a l f r e e z i n g o f t h e w a t e r c o n t e n t o f t h e s o i l o c c u r s when t h e t e m p e r a t u r e d r o p s b e l o w 0 °C ( F i g u r e 1) . T h i s SWFC, i s h e n c e e x p r e s s e d as
e = e (T) , T < 0 °C (6)
w w
The p a r t i c u l a r f o r m o f e (T) depends on t h e t y p e o f s o i l c o n s i d e r e d . Jame (1972) e x p e r i m e n t a l l y f o u n d t h a t t h e s h a p e o f t h e c u r v e d e s c r i b i n g t h e u n f r o z e n v o l u m e t r i c w a t e r c o n t e n t f u n c t i o n , ( T ) , was i n d e p e n d e n t o f t h e i n i t i a l w a t e r c o n t e n t .
H e a v i n g , v a p o r t r a n s p o r t and c o n v e c t i v e h e a t f l o w a r e n o t c o n s i d e r e d i n t h e p r o p o s e d m o d e l .
4.2 M e t h o d s o f s o l u t i o n
A t w o - s t e p a p p r o a c h i s u s e d f o r each time step. I n t h e f i r s t s t e p , e q u a t i o n s (1) a n d (3) n e g l e c t i n g c h a n g e s i n i c e c o n t e n t s
( i . e . de^/dt = 0) a r e n u m e r i c a l l y s o l v e d . I n t h e s e c o n d s t e p , t h e p h a s e change i s s o l v e d b a s e d on a t o t a l e n e r g y b a l a n c e t o g e t h e r w i t h SWFC. The t o t a l e n e r g y b a l a n c e o f t h e f r o z e n zone i n c l u d e s s e n s i b l e a n d l a t e n t h e a t c o m p o n e n t s
e p c T + e p c T + e p c T - L e — = e p c ( T +AT) +
s s s l w ^ w l I I I 1 i p s s s 1
1 0 cr
P P
(9 +A6 ) p c (T +AT) + (6 -A6 )p C (T + A T ) - L ( 6 - -AB ) (7)
w w w 1 I w p I I I I p w
1 0 I 0K
w h e r e Ae i s t h e c h a n g e i n w a t e r / i c e c o n t e n t , a n d AT i s t h e c o r r e s p o n d i n g i n c r e a s e / d e c r e a s e o f t e m p e r a t u r e d u e t o f r e e z - i n g / m e l t i n g , r e s p e c t i v e l y . I n d i c e s o a n d i d e n o t e v a l u e s b e - f o r e a n d a f t e r s t e p one, r e s p e c t i v e l y .
R e d u c i n g a n d r e a r r a n g i n g e q u a t i o n (7) g i v e s (T p ( c - c ) - L)
1 I w
AT = A6 (8)
w (C - Ae p ( c -c ) )
m w I w
w h e r e C = e p c + e p c + e p c
m s s s w w I I I
1 0
To s o l v e e q u a t i o n ( 8 ) , t h e SWFC ( e q u a t i o n 6) i s d e s c r i b e d b y a number o f l i n e a r e q u a t i o n s o f t h e f o r m
T = r e + r (9)
2 i w o y y >
2
w h e r e rQ a n d r a r e i n t e r s e c t i o n a n d s l o p e c o e f f i c i e n t s . The c h a n g e i n t e m p e r a t u r e a n d u n f r o z e n w a t e r c o n t e n t d u r i n g t h e s e c o n d s t e p i s d e s c r i b e d b y t w o e q u a t i o n s
T2 = Ti + AT ( 1 0 )
e = e + Ae M D
w w w v '
2 1
w h e r e i n d i c e s i a n d 2 o n T a n d e , i n e q u a t i o n s ( 9 ) , (10) a n d
W
( 1 1 ) , d e n o t e v a l u e s a f t e r s t e p one a n d s t e p t w o , r e s p e c t i v e l y . E q u a t i o n s ( 8 ) , ( 9 ) , ( 1 0 ) , a n d (11) g i v e Ae a n d AT a n d h e n c e
w
e a n d T . When Ae i s o b t a i n e d , Ae f o r t h e t i m e s t e p c a n
w » « w I r
2
12
a l s o be d e t e r m i n e d b e c a u s e t h e t o t a l c o n t e n t o f i c e a n d w a t e r does n o t change b e t w e e n s t e p one a n d t w o . More d e t a i l s o f t h i s m e t h o d a r e f o u n d i n P a p e r B.
The s e t o f e q u a t i o n s f o r m u l a t e d was s o l v e d b y PROBE ( S v e n s s o n , 1 9 8 6 ) . PROBE i s b a s e d on t h e f i n i t e - v o l u m e t e c h - n i q u e a n d e m p l o y s a f u l l y i m p l i c i t n u m e r i c a l scheme. The r e - g i o n s o f h i g h n o n - l i n e a r i t y , i . e . a t t h e f r o s t a n d m e l t f r o n t s , and t h e s i m u l a t i o n a c c u r a c y o f t h e m o i s t u r e m i g r a t i o n c a u s e d s m a l l s p a c e a n d t i m e i n c r e m e n t s , a b o u t 0.001 m a n d 1 s e c o n d . I n e a c h s o l u t i o n o f v a l i d a t i o n a n d p a r a m e t e r c h a r a c t e r i z a t i o n ( P a p e r B a n d C) , g r i d - i n d e p e n d e n c e i n s p a c e a n d t i m e was a s s u r e d , t h e r e f o r e t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n r e p r e s e n t e d t h e t r u e i m p l i c a t i o n o f t h e m a t h e m a t i c a l m o d e l .
4.3 V a l i d a t i o n - r e s u l t s
I n P a p e r B, s i m u l a t i o n r e s u l t s o f t h r e e f r e e z i n g e x p e r i m e n t s a f t e r Jame ( 1 9 7 7 ) , w e r e c o m p a r e d t o m e a s u r e d d a t a . I n t h e s e e x p e r i m e n t s , a s i l i c a s a n d ( d r y d e n s i t y : 1335 k g / m3; p o r o s i t y : 0.49) was u s e d i n 0.30 m l o n g h o r i z o n t a l c o l u m n s w i t h u n i f o r m s o i l w a t e r c o n t e n t s . One e n d o f t h e c o l u m n was e x p o s e d t o a t e m p e r a t u r e b e l o w 0°C, w h i l e a t t h e o t h e r e n d a c o n s t a n t t e m p e r a t u r e above 0°C was m a i n t a i n e d . T e m p e r a t u r e s a n d s o i l w a t e r c o n t e n t s were m o n i t o r e d f o r p e r i o d s o f u p t o 72 h o u r s . I n t h e v a l i d a t i o n o f t h e m o d e l as a p p l i e d t o t h e s e h o r i z o n t a l f r e e z i n g e x p e r i m e n t s , t h e h y d r a u l i c c o n d u c t i v i t y g r a d i e n t , dK/dz, o f e q u a t i o n (1) was z e r o .
V a l i d a t i o n r e s u l t s f r o m one o f t h e t e s t s , t e s t 2, a r e h e r e shown i n F i g u r e 3.
The v a l i d a t i o n r e s u l t s o f t h e m o d e l w e r e a c c e p t a b l e f o r t h e f r e e z i n g p r o c e s s . T h i s i s c o n c l u d e d on t h e b a s i s o f t h e r e l a - t i v e l y s m a l l d i s c r e p a n c i e s o b t a i n e d b e t w e e n s i m u l a t e d a n d m e a s u r e d v a l u e s , i n r e g a r d t o t h e unknown a c c u r a c y o f t h e w a t e r d i f f u s i v i t y e s t i m a t e d b y Jame a n d t h e t h e r m a l c o n d u c t i v - i t y f o r d i f f e r e n t f r o z e n c o n d i t i o n s as i t was e s t i m a t e d b y Jame ( s e e A p p e n d i x o f P a p e r B) . A c o m p l e t e v a l i d a t i o n w o u l d demand v e r y a c c u r a t e l y m e a s u r e d d a t a f o r t h e s o i l - i c e - w a t e r -
a i r s y s t e m .
E
X)
C
c o o u
•o
cd
6
4
2
0
-2
-4
i o
8. E
H -5
0 1 2 3 Time, (hours)
Time Measured Calculated Ohr
6hr o 12 hr x 24 hr * 72 hr +
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Distance from cold end (m)
0.3
9" 25
20
15
10
5
0
6-72 hours time-dependent temperature b.c.
Time Measured Calculated Ohr
6 hr o 12 hr x 24 hr * 72 hr +
LOh* t o f c r f g *
1 J
i—f-5—*" *
LOh* t o f c r f g *
1 J
i + + + + T + + + + +
i 1 i
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Distance from cold end (m)
F i g u r e 3. E x p e r i m e n t a l d a t a a n d s i m u l a t i o n r e s u l t s ( t e s t 2) s h o w i n g t e m p e r a t u r e a n d m o i s t u r e c o n t e n t p r o f i l e s ,
The i n i t i a l t e m p e r a t u r e p r o f i l e was a b o u t +5°C, a n d t h e i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t was 10.08 % b y d r y w e i g h t , as i s shown f o r 0 h o u r i n F i g u r e 3. The c o l d e n d t e m p e r a t u r e was s e t t o -5.3°C, w h i l e t h e warm e n d t e m p e r a t u r e was h e l d c o n s t a n t a t +5.0°C. T h i s c o r r e s p o n d e d t o a t e m p e r a t u r e g r a d i e n t o f 34°C/m.
14
I t f o l l o w s f r o m F i g u r e 3 t h a t t h e f r o s t f r o n t p o s i t i o n s ( t h e v e r t i c a l s e c t i o n s o f t h e m o i s t u r e c o n t e n t c u r v e s ) and t h e po- s i t i o n s o f 0°C a r e n o t t h e same, n e i t h e r f o r m e a s u r e d n o r f o r s i m u l a t e d v a l u e s . T h i s phenomenon i s e x p l a i n e d b y t h e n e c e s s - a r y f r e e z i n g - p o i n t d e p r e s s i o n t h a t must be r e a c h e d b e f o r e i c e c a n f o r m , see f o r e x a m p l e F i g u r e 1 i n t h e A p p e n d i x o f P a p e r B.
The a p p l i e d b o u n d a r y t e m p e r a t u r e a t t h e c o l d e n d d u r i n g t h e e x p e r i m e n t c o u l d n o t , a c c o r d i n g t o Jame ( 1 9 7 7 ) , be m e a s u r e d as a o n e - s t e p change o f t e m p e r a t u r e a t t h e c o l d e n d o f t h e s o i l c o l u m n . A s m o o t h t i m e - d e p e n d e n t t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i - t i o n , b a s e d on m e a s u r e d s o i l t e m p e r a t u r e s a t t h e c o l d e n d o f t h e c o l u m n , i n c r e a s e d t h e t o t a l m o i s t u r e a c c u m u l a t i o n c l o s e s t t o t h e c o l d end t o a b o u t 12 %. However, t h e m o i s t u r e p r o f i l e s f r o m a d i s t a n c e o f 0.01 m f r o m t h e c o l d end and o n w a r d s , were a p p r o x i m a t e l y t h e same as w i t h t h e a b r u p t b o u n d a r y c o n d i t i o n .
The i n s e t a t t h e u p p e r l e f t c o r n e r o f F i g u r e 3 shows t h i s s m o o t h b o u n d a r y c o n d i t i o n . The t e m p e r a t u r e s and m o i s t u r e c o n - t e n t s c a l c u l a t e d w i t h t h i s b o u n d a r y c o n d i t i o n ( a l s o i n c l u d e d i n F i g u r e 3) m a i n l y c o i n c i d e d w i t h t h o s e o b t a i n e d w i t h t h e a b r u p t b o u n d a r y c o n d i t i o n .
The e f f e c t o f t h e s m o o t h t e m p e r a t u r e b o u n d a r y c o n d i t i o n on m o i s t u r e a c c u m u l a t i o n w i t h i n 0-0.01 m f r o m t h e c o l d end was l a r g e r w i t h i n c r e a s e d i n i t i a l m o i s t u r e c o n t e n t s , i . e . i n t h e o t h e r t w o t e s t s ( p r e s e n t e d i n P a p e r B) . The e f f e c t was a l s o l a r g e r on t h e t e m p e r a t u r e p r o f i l e s and on t h e f r o s t f r o n t po- s i t i o n s a t e a r l y h o u r s f o r t h e s e t e s t s . The e f f e c t s o f t i m e - d e p e n d e n t b o u n d a r y c o n d i t i o n s d i d , h o w e v e r , o n l y e x p l a i n m i n o r p a r t s o f t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n s i m u l a t e d and m e a s u r e d v a l u e s . The e r r o r s i n t h e m e a s u r e d d a t a w e r e v e r y s m a l l (Jame, 1 9 7 7 ) . I t i s t h e r e f o r e s u g g e s t e d t h a t t h e m a j o r d i s c r e p a n c i e s d e p e n d on i n a c c u r a t e p a r a m e t e r d a t a , p r o v i d e d t h a t t h e m o d e l a s s u m p t i o n s a r e v a l i d . The f r e e z i n g p r o c e s s c o v e r s s i t u a t i o n s f r o m l o w t o h i g h w a t e r / i c e c o n t e n t s . C o n s e q u e n t l y , a c c u r a t e p a r a m e t e r s c o v e r i n g t h i s r a n g e seem t o be i m p o r t a n t .
