L ä r o g å n g v i d d e n grundläggande u n d e r v i s - n i n g e n i räkning jämte m e t o d i s k a an- v i s n i n g a r a f K. JP. Nordlund, l e k t o r v i d Gäfie h ö g r e allmänna läroverk. A n d r a u p p l a g a n . S t h m , 0 - E . F r i t z e s k . hof- b o k h a n d e l . P r i s 1 k r . 50 öre.
R e s u l t a t e t a f skolans räkneundervisning t o r d e i allmänhet i e k e m o t s v a r a h v a d m a n af denna u n d e r v i s n i n g väntar s i g e l l e r skä- l i g e n k a n f o r d r a . I l y c k l i g a s t e f a l l h a r lärjungen efter 6 k 7 års skolgång förvärf- vat m e k a n i s k färdighet i de f y r a räknesät- t e n m e d h e l a t a l o c h bråk j ä m t e k ä n n e d o m o m de s. k . s o r t e r n a o c h åtskilliga slag a f tillämpningsöfningar. T i l l i k a är h a n må- hända i stånd a t t — åtminstone så länge han rör s i g i n o m de h e l a t a l e n s o m r å d e
— räkna m e d » r e d o g ö r e l s e » . M e n värdet af denna sistnämda förmåga förringas d o c k ej sällan Väsentligt a f det f a k t u m , a t t d e n i m i n d r e g r a d är u t t r y c k e t f ö r v e r k l i g i n - s i k t än r e s u l t a t e t a f dressyr, a f en g e n o m f l i t i g u p p r e p n i n g förvärfvad v a n a a t t i vissa inlärda o r d a l a g » r e d o g ö r a » för e t t förfa- r a n d e , u t a n a t t likväl de inöfvade talesätten m o t s v a r a s a f k l a r t b e g r i p a n d e .
T o r f t i g a s t v i s a s i g f r u k t e r n a , då förmå- gan . a t t p r a k t i s k t tillämpa räknefärdigheten sättes på p r o f . Så länge lärjungen h a r a t t lösa u p p g i f t e r , i n o r d n a d e u n d e r r u b r i k e r an- g i f v a n d e » r ä k n e s ä t t e t » , synes a l l t gå b r a nog. M e n beröfvas h o n o m denna finger-
visning och ställes han på egen hand inför uppgifter, som kräfva själfständig uppfatt- ning, håller han icke profvet. A f de två moment, som höra t i l l lösningen af en räk- neuppgift, nämligen l ) analys af uppgiften och utstakandet af vägen för lösningen samt 2) räkningen, är det j u s t i det första af dessa moment lärjungen sä ofta kommer t i l l korta. Häri uppenbarar sig en alldeles på- taglig brist på insikt i matematiska för- hållanden och däraf följande oförmåga att för praktiska ändamål använda den förvärf- vade räknefärdigheten.
Orsakerna t i l l detta förhållande har man i främsta rummet att söka i det rådande af räknesättsprincipen med sina tillbehör af latinska termer m . m . behärskade under- visningssättet och framför allt i bristen på åskådlighet. Naturligtvis kan denna sist- nämda v i d d e n ' a l l r a första räkneundervis- ningen icke helt och hållet umbäras.
Men allt för snart öfvergifves åskådning- ens säkra väg och man beträder abstrak- tionens, på hvilken lärjungen skall läras att finna sig t i l l rätta förmedelst matematiska talesätt och termer, af hvilkas verkliga i n - nebörd han i vanliga fall har en mycket bristfällig och ofullkomlig uppfattning. U n - dervisningen kan under sådant förhållande karakteriseras med följande yttrande af professor Poul la Cour:
Der, er måske i n t e t a n d e t Område l i v o r d e r så l e t d a n n e r s i g en u o v e r s k r i d e l i g K t e f t m e l l e m Leererens og E l e v e n s Ståndpunkt,, så at de i k k e en g a n g förstå, at de i k k e förstå h i n a n d e n . *
De skadliga följderna häraf: oklarhet i räkneinsikterna och osäkerhet i deras t i l l - lämpning, uteblifva icke.
Skall räkneundervisningen blifva mera fruktbringande såväl för den formella bild- ningen som för räknefärdighetens praktiska användbarhet än hvad den för närvarande synes vara, torde det nog befinnas nödvän- digt att bryta med häfdvunnen praxis och • i stället i största möjliga utsträckning grunda undervisningen på åskådningens princip.
Förtjänsten att hafva gått i spetsen för en s,ådan reform tillkommer författaren af det arbete, hvars andra upplaga härmed an- mäles. Han har i detta hänseende ej låtit sig nöja med halfheter eller kompromisser utan har tagit steget fullt ut. Därigenom har han ock lagt en ny grand för räkneunder- visningen, hvilken, dä den bygges därpå, verkligen för t i l l målet: en klar och säker insikt i matematiska förhållanden samt för- måga att på egen hand reda sig med i det praktiska lifvet vanligen mötande uppgifter, utan att vidkommande behöfva taga sin t i l l - flykt t i l l den osäkra, men likväl så ofta an- litade utvägen att använda regler, »nycklar», schabloner o. d.
E t t arbete af så reformerande natur som det ifrågavarande företer helt naturligt åt- skilliga nyheter. E n sådan är utmönst- ringen af så godt som hela den sedvanliga latinska räkneterminologien, hvilken genom seklers häfd förvärfvat sig ett slags helgd, på hvilken man hittills tvekat att förgripa sig. A t t förf. därigenom på samma gång
* Poul la Cour, H i s t o r i s k m a t e m a t i k , i n l e d - n i n g e n , s i d . V .
r i k t a t en dödsstöt åt räkncsättsprincipen, som h i t t i l l s o b e s t r i d t i n n e h a f t högsätet v i d räkneundervisningen, är måhända i åtskil- ligas ögon e t t » m a j e s t ä t s b r o t t » . M e n därigenom göres i själfva v e r k e t räkneun- d e r v i s n i n g e n en s t o r tjänst. H v a r j e m e d d e n n a u n d e r v i s n i n g förtrogen lärare v e t af e r f a r e n h e t , h u r u l i t e t lärjungarna förstå af alla dessa l a t i n s k a t e r m e r , h v i l k a i stället o u n d v i k l i g e n medföra o k l a r h e t o c h förvir- r i n g , j a , r e n t a f utgöra e t t v e r k l i g t o n d t , som ständigt ställer sig h i n d r a n d e i vägen för e n k l a r s a k l i g u p p f a t t n i n g .
E n e n k l a r e o c h säkrare g r u n d a t t b y g g a räkningen på är i det ifrågavarande a r b e t e t a n g i f v e n g e n o m b e g r e p p e t o m det hela, de- larne o c h delarnes antal samt, för förkla- r i n g e n af m u l t i p l i k a t i o n o c h d i v i s i o n i bråk, den föregående, den efterföljande och förhål- lande.
D e n , s o m h a r tillfälle a t t göra behöfliga i a k t t a g e l s e r och anställa jämförelser, s k a l l b l i f v a öfverraskad af a t t finna h v i l k e n o l i k - h e t i i n s i k t , som v i s a r s i g hos lärjungar, u n d e r v i s a d e e n l i g t räknesättsprineipen, o c h lärjungar u n d e r v i s a d e i e n l i g h e t m e d de g r u n d s a t s e r , s o m framställas u t i ifrågavarande
» l ä r o g å n g » . D e senare h a f v a en långt k l a - r a r e och säkrare u p p f a t t n i n g af t i l l lösning framställda räkneproblem än de förra. E t t e x e m p e l b l a n d de många, som k u n d e anfö- ras, må förtydliga d e t t a påstående. O m fråga v o r e a t t lösa följande u p p g i f t :
Då 0,04 af e n p e n n i n g s u m m a är 2,4 k r . , h u r u m y c k e t utgör h e l a s u m m a n ?
så gäller d e t för e n på v a n l i g t häfdvun- n e t sätt u n d e r v i s a d lärjunge a t t få r e d a på h v i l k e t »räknesätt» h a n s k a l l använda. I regel står d e t ej k l a r t för h o n o m . ( H u r u s k a l l m a n f ö r öfrigt k u n n a begära, a t t det s k a l l af lärjungen k l a r t inses, a t t räknesät- tet är d i v i s i o n ? ) H a n gissar på m u l t i p l i - k a t i o n e l l e r d i v i s i o n , försöker s i g först m e d d e t ena o c h , o m l y c k a n i c k e är g o d , m e d d e t a n d r a ; h a r h a n r i k t i g o t u r , företager h a n på n y t t uträkningen m e d t a l e n t a g n a i omvänd o r d n i n g . F a c i t finner h a n j a på ena e l l e r a n d r a sättet, o c h då anser h a n sig n a t u r l i g t v i s h a f v a » l ö s t » u p p g i f t e n . E n efter l e k t o r N o r d l u n d s p r i n c i p e r u n d e r v i s a d lärjunge löser u p p g i f t e n på e t t d e r a af två följande sätt.
Då 0,04 af d e n sökta p e n n i n g s u m m a n är 2,4 k r . , så är 0 , o i a f d e n s a m m a = 4:dedelen af 2,4 k r . = 0,6 k r . , o c h h e l a s u m m a n är = 100-falden af 0,6 k r . = 60 k r . ;
e l l e r :
Då 0,04 af d e n sökta s u m m a n , e l l e r 2,4 k r . , är d e t s a m m a s o m 25:tedelen däraf, så är s u m - m a n ' = 25-falden af 2,4 k r . = 60 k r .
D e n n e siste lärjunge befinner sig u n d e r lösningen på f a s t m a r k o c h e r f a r d e n här- • af följande känslan a f t r y g g h e t o c h säker- h e t , h v a r e m o t den förre nödgas ge s i g u t på gissningarnes g u n g f l y e l l e r i n på d e t halfförståddas ovissa o c h d i m m i g a område, där h a n a l d r i g får e r f a r a den b e h a g l i g a känslan a f v i s s h e t o c h säkerhet.
Lärjungar, s o m u n d e r v i s a s e f t e r » L ä r o - gångens» a n v i s n i n g a r , lära s i g k l a r t inse och u p p f a t t a talens egenskaper o c h inbör- des förhållanden samt b e t y d e l s e n a f de o l i k a
räkneoperationerna. D e tillhållas ständigt att föreställa sig de k o n k r e t a sakförhållan- d e n , som ingå i e t t g i f v e t p r o b l e m , s a m t deras inbördes s a m b a n d o c h på den vägen k o m m a de äfven a t t inse sättet f ö r p r o - b l e m e n s lösning. M e n härigenom a f v i n n e s ämnet e t t i n t r e s s e , k l a r h e t s i n t r e s s e t , som d e t i n g a l u n d a e r b j u d e r , då d e t b e d r i f v e s på ett a b s t r a k t , d o g m a t i s k t eller m e k a n i s k t sätt.
D e t v i k t i g a s t e m e d e l , h v a r i g e n o m från a l l r a första början lägges en f a s t o c h o s v i k - l i g g r u n d för räkningen, är a t t e n l i g t »läro- gångens» a n v i s n i n g på k o n k r e t väg göra lärjungarne f u l l t förtrogna m e d t a l b e g r e p p e t , i n n a n dettas s y m b o l e r , s i f f r o r n a , införas i u n d e r v i s n i n g e n . D ä r i g e n o m f ö r e b y g g e s det af h v a r j e e r f a r e n lärare n o g s a m t kända för- hållandet, a t t t a l t e c k n e t för lärjungen lätt träder i t a l b e g r e p p e t s ställe, h v a r a f följer o k l a r h e t , förvirring o c h » m e k a n i s m » , m o t h v i l k a f e l m a n sedan v i d u n d e r v i s n i n g e n ständigt h a r a t t kämpa.
E n a n n a n förtjänst hos » l ä r o g å n g e n » är, att den åt h v a r j e t a l i n o m talområdet 1 —-100 I ägnar en g r u n d l i g o c h a l l s i d i g b e h a n d l i n g i
långt högre g r a d än m a n finner i någon
| an nan räknemetodik. D å därvid t a l e n städ- se sättas såsom bestämningar t i l l föremål, och alla våra b r u k l i g a mått, v i k t e r o c h m y n t m . m . e f t e r h a n d införas i u n d e r v i s - n i n g e n , så v i n n e s därigenom för det första, att lärjungen a l d r i g k o m m e r a t t släppa själfva talföreställningarna — h v i l k e t så lätt sker g e n o m e n s i d i g t b r u k af s i f f r o r n a och g e n o m » m e k a n i s k » räkning — o c h för d e t a n d r a förvärfvar en förtrolig kännedom o m » s o r t e r n a » , h v i l k a därför ej behöfva särskildt f ö r s i g inöfvas.
D e n f o r m e l l a u t v e c k l i n g e n o c h d e n m e - k a n i s k a räknefärdigheten sättas på i n t e t ställe såsom mål i o c h f ö r sig u t a n v i n n a s så a t t säga p å köpet, o c h r e s u l t a t e n b l i f v a i c k e sämre f ö r det, tvärtom. M e d rätta gisslar förf. det undervisningssätt, som be- står däri, a t t m a n g i f v e r b a r n e n föreskrif- t e r , h u r u de skola gå t i l l väga m e d siff- r o r n a f ö r a t t erhålla e t t rätt svar, i stället för a t t m e d lämpliga åskådningsmedel visa, hvarför de skola gå t i l l väga på det u p p - g i f n a sättet.
S y n n e r l i g o m s o r g h a r förf. ägnat åt d e t språkliga u t t r y c k e t . Skoningslöst h a r h a n b l o t t a t o e g e n t l i g h e t e r och o r i k t i g h e t e r hos en mängd v i d räkneundervisningen v a n l i g e n använda frågeformer, t e r m e r o c h u t t r y c k s - sätt. Dessa h a u t b y t t s m o t a n d r a , s o m f u l l t m o t s v a r a - d e föreställningar o c h b e g r e p p , som g e n o m d e m u t t r y c k a s o c h h v i l k a där- för f ö r b a r n e n underlätta o c h möjliggöra en s a k l i g och' r i k t i g u p p f a t t n i n g . D e n y t - t e r l i g t stora v i k t e n häraf l i g g e r f ö r öppen dag.
F l e r a e n s k i l d h e t e r , som nog v o r e förtjänta af a t t framhållas, t . ex. d e n mästerliga be- h a n d l i n g e n af bråkläran m . m . , måste i en r e c e n s i o n af så begränsad o m f a t t n i n g som d e n förevarande förbigås.
Såsom allmänt s l u t o m d ö m e må sägas, a t t arbetets h e l a planläggning, äfvensom dennas utförande i d e t a l j a l l t i g e n o m röjer d e n er- f a r n e o c h i n s i k t s f u l l e pedagogen, s o m i g r u n d och b o t t e n lärt känna a l l a svårigheterna v i d räkneundervisningen. Ä f v e n v i t t n a r a r b e t e t
I o m e n k l a r o c h fördomsfri b l i c k såväl f ö r
| a l l a de f e l o c h o e g e n t l i g h e t e r , h v a r m e d den häfdvunna räkneundervisningen är behäftad, som äfven f ö r rätta sättet a t t afhjälpa d e m , och förf. h a r ej t v e k a t a t t i d e t t a sist- nämda hänseende beträda n y a , h i t t i l l s oför- sökta vägar. Förf:s förmåga a t t » s e m e d lärjungens ö g o n » o c h på h v a r j e p u n k t läm- p a s i g eft er hans u t v e c k l i n g v i s a r sig både i lärostoffets a n o r d n i n g och i sättet a t t be- h a n d l a d e t s a m m a . O t v i f v e l a k t i g t är, a t t förf:s » l ä r o g å n g » utgör d e n y p p e r s t a h a n d - l e d n i n g , som står a t t erhålla för den g r u n d - läggande räkneundervisningen, och den är ägnad a t t , där d e n k o m m e r t i l l användning, göra denna u n d e r v i s n i n g ovärderligt gagn.
A n m ä l a r e n , som pröfvat m e t o d e n i sko- lan, h a r h a f t tillfälle a t t k o n s t a t e r a dess s y n n e r l i g t fördelaktiga v e r k n i n g a r . B a r n , som från början u n d e r v i s a t s i e n l i g h e t där- med, h a g j o r t större f r a m s t e g , v i s a t e t t l i f - l i g t intresse för räkning samt lämnat lär- j u n g a r , u n d e r v i s a d e på häfdvunnet sätt, långt efte r s i g , dä det gällt själfständighet i a r b e t e t , nämligen v i d lösningen a f p r a k - t i s k a u p p g i f t e r .
Lärogängen äfvensom förf:s räkneöfnings- e x e m p e l äro n y l i g e n antagna som läroböc- ker v i d K a r l s t a d s s e m i n a r i u m .
A r b e t e t hör t i l l d e m , som böra stude- ras a f h v a r j e lärare. D e n mödan lönar sig väl. J . Q. S—g.
