ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä, 2006, ÚÓÏ 406, ‹ 4, Ò. 1–4 1 ïÓÓ¯Ó ËÁ‚ÂÒÚ̇ Óθ ÚÓ˜Ì˚ı ÓˆÂÌÓÍ Í·ÒÒË-˜ÂÒÍËı ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ‚ „‡ÏÓÌ˘ÂÒÍÓÏ ‡Ì‡ÎËÁÂ Ë ÒÏÂÊÌ˚ı ӷ·ÒÚflı. Ç ÔÓÒΉÌ ‚ÂÏfl ËÒıÓ‰fl ËÁ ÌÓ‚˚ı Á‡‰‡˜ ‡Ì‡ÎËÁ‡ ‚ÂҸχ ÔÓÔÛÎflÌ˚ÏË ÒÚ‡ÎË ÓˆÂÌÍË ÓÔ‡ÚÓÓ‚ Ì ̇ ‚ÒÂÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â, ‡ ̇ ÌÂÍÓÚÓ˚ı ÍÓÌÛÒ‡ı ‚ ˝ÚËı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı (ÒÏ., ̇-ÔËÏÂ, [1–4]). äÓÏ ÚÓ„Ó, ‚ ÚÂÓËË ËÌÚ„‡Î¸-Ì˚ı ÓÔ‡ÚÓÓ‚ Ò ÔÓÎÓÊËÚÂθÌ˚ÏË fl‰‡ÏË ıÓÓ-¯Ó ËÁ‚ÂÒÚ̇ ÚÂÓÂχ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË òÛ‡ (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [5]), ÍÓÚÓ‡fl „Ó‚ÓËÚ, ˜ÚÓ ËÌÚ„‡Î¸-Ì˚È ÓÔ‡ÚÓ Kx(t) = (t, s)x(s)ds Ò k(t, s) ≥ 0 Ó„‡-Ì˘ÂÌ ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â Lp ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl, ÍÓ̘̇fl Ô.‚. ÙÛÌ͈Ëfl u(t), ˜ÚÓ ÓÔ‡ÚÓ Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ Ô‡‡ı K: → Ë K: → , „‰Â v = u1/p – 1. éÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‚ Ò‚flÁË Ò ‡Á΢Ì˚ÏË Á‡‰‡˜‡ÏË ‡Ì‡ÎËÁ‡ ËÌÚÂ-ÂÒ Í ÚÂÓÂÏ‡Ï ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË Á̇˜ËÚÂθÌÓ ‚ÓÁ-ÓÒ [6–8]. èÓ˝ÚÓÏÛ Ë ‚ ÚÂÓÂχı ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï fl‚ËÎÒfl ·˚ ÔÂÂıÓ‰ ÓÚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ã·„‡ Lp Í ÍÓÌÛÒ‡Ï ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı ã·„‡. Ç Ì‡ÒÚÓfl˘ÂÈ ‡·ÓÚ ‰Îfl ‚‡ÊÌÂȯËı ÍÓÌÛÒÓ‚ ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı ã·„‡ Ô‰·„‡ÂÚÒfl ‰Û͈Ëfl Á‡-‰‡˜Ë ÓˆÂÌÍË ÓÔ‡ÚÓ‡ ̇ ÍÓÌÛÒÂ Í Á‡‰‡˜Â Ó· ÓˆÂÌÍ ÓÔ‡ÚÓ‡ ̇ ÌÓ‚ÓÏ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Â, ÍÓÚÓ-Ó ÒÚÓËÚÒfl ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ ÔÓ ÍÓÌÛÒÛ Ë ËÒıÓ‰ÌÓ-ÏÛ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û. í‡Í‡fl ‰Û͈Ëfl ÔÓÁ‚ÓÎflÂÚ ÔË-ÏÂÌËÚ¸ ‚Ò˛ ‡Á‡·ÓÚ‡ÌÌÛ˛ ÚÂıÌËÍÛ ÔÓÎÛ˜ÂÌËfl ÚÓ˜Ì˚ı ÓˆÂÌÓÍ Ì‡ ‚ÂÒÓ‚˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı ã·„‡ Í ÔÓÎÛ˜ÂÌ˲ ÚÓ˜Ì˚ı ÓˆÂÌÓÍ ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ̇ ÍÓÌÛ-Ò‡ı. àÒÔÓθÁÛfl ‰ÛÍˆË˛, Ï˚ Ú‡ÍÊ Ô‰ÎÓÊËÎË ‰Îfl ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó Í·ÒÒ‡ ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ÌÓ‚Û˛ ÚÂÓÂ-ÏÛ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ÓÔ‡ÚÓÓ‚, ÓÔ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ̇ ÍÓÌÛÒ‡ı ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı ã·„‡. èÛÒÚ¸ S(µ) = S(R+, Σ, µ) (R+ = (0, +∞) – ÔÓÒÚ‡Ì-ÒÚ‚Ó ËÁÏÂËÏ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ x: R+ → R. ç‡ÔÓÏÌËÏ, ˜ÚÓ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó X = (X, ||·|X||), ÒÓÒÚÓfl-k
∫
Lu∞ Lu∞ Lv 1 Lv 1 ˘Â ËÁ ËÁÏÂËÏ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ, ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ˉ‡θ-Ì˚Ï [9], ÂÒÎË ËÁ y∈ X, ËÁÏÂËÏÓÒÚË x Ë ‚˚ÔÓÎÌÂ-ÌËfl Ô.‚. ̇ R+ ̇‚ÂÌÒÚ‚‡ |x(t)|≤|y(t)| ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ x∈X Ë ||x|X||≤||y|X||. ä‡Í Ó·˚˜ÌÓ, ÒËÏ‚ÓÎÓÏ Lp (1 ≤ ≤ p≤∞) Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Í·ÒÒ˘ÂÒÍÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ã·„‡. èÛÒÚ¸ w: R+ → R+ – ÔÓÎÓÊËÚÂθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl (‚ÂÒ). ÖÒÎË X – ˉ‡θÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó, ÚÓ ÒËÏ‚Ó-ÎÓÏ Xw Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl ÌÓ‚Ó ˉ‡θÌÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ-‚Ó, ÌÓχ ‚ ÍÓÚÓÓÏ Á‡‰‡ÂÚÒfl ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓÏ ||x|Xw|| = = ||wx|X||. é Ô Â ‰ Â Î Â Ì Ë Â 1. èÛÒÚ¸ X – ˉ‡θÌÓ ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ S(µ), K – ÌÂÍÓÚÓ˚È ÍÓÌÛÒ ‚ S(µ). ëËÏ-‚ÓÎÓÏ K∩ X Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl, Í‡Í Ó·˚˜ÌÓ, Ô Â Â -Ò Â ˜ Â Ì Ë Â Í Ó Ì Û -Ò ‡ K Ò Í Ó Ì Û Ò Ó Ï X+. é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂÂÁ K(↓) ÍÓÌÛÒ ‚ S(µ), ÒÓÒÚÓfl˘ËÈ ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ x: R+→ R+, ͇ʉ‡fl ËÁ ÍÓÚÓ˚ı Ì ‚ÓÁ-‡ÒÚ‡ÂÚ, Ú.Â. x(t + h) ≤ x(t) ‰Îfl h ≥ 0, ˜ÂÂÁ K(↑) Ó·Ó-Á̇˜ËÏ ÍÓÌÛÒ ‚ S(µ), ÒÓÒÚÓfl˘ËÈ ËÁ ÙÛÌ͈ËÈ, ͇Ê-‰‡fl ËÁ ÍÓÚÓ˚ı Ì ۷˚‚‡ÂÚ, ‡ ˜ÂÂÁ K(↓, ↑) Ó·ÓÁ̇-˜ËÏ ÍÓÌÛÒ ‚ S(µ), ÒÓÒÚÓfl˘ËÈ ËÁ ‚Ó„ÌÛÚ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ x: R+→ R+, ͇ʉ‡fl ËÁ ÍÓÚÓ˚ı Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓflÂÚ ‰Ó-ÔÓÎÌËÚÂθÌ˚Ï ÛÒÎÓ‚ËflÏ: (t) = 0, x(t) = 0. í Â Ó Â Ï ‡ 1. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞) Ë Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w Ú‡-͇fl, ˜ÚÓ (1) (2) èÛÒÚ¸ ÓÔ‡ÚÓ Q ÓÔ‰ÂÎÂÌ ‡‚ÂÌÒÚ‚ÓÏ x t→0 lim t–1 t→0 lim wp( )s ds 1 ∞∫
= ∞; t ∀ 0 ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ Ì‡‚ÂÌÒÚ‚Ó wp( )s ds 0 t∫
<∞. > Qx t( ) x( ) ττ d . t ∞∫
=åÄíÖåÄíàäÄ
é èêÖÑëíÄÇàåéëíà çÖäéíéêõï äéçìëéÇ
Ç
à ùäëíêÄèéãüñàà éèÖêÄíéêéÇ çÄ äéçìëÄï
© 2006 „. Ö. à. ÅÂÂÊÌÓÈ, ã. å‡ÎË„‡Ì‰‡
è‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÓ ‡Í‡‰ÂÏËÍÓÏ ë.å. çËÍÓθÒÍËÏ 30.03.2005 „. èÓÒÚÛÔËÎÓ 23.09.2005 „.L
vp ìÑä 513.88+517.5 üÓÒ·‚ÒÍËÈ „ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ ËÏ. è.É. ÑÂÏˉӂ‡ íÂıÌ˘ÂÒÍËÈ ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ „. ãÛÎÂÓ, ò‚ˆËfl2 ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä ÚÓÏ 406 ‹ 4 2006 ÅÂÂÊÌÓÈ, å‡ÎË„‡Ì‰‡ éÔ‰ÂÎËÏ ÌÓ‚Û˛ ÙÛÌÍˆË˛ v ËÁ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ (3) (˜ÂÂÁ κ(D) Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl ı‡‡ÍÚÂËÒÚ˘ÂÒ͇fl ÙÛÌ͈Ëfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ D.) íÓ„‰‡ ÒÔ‡‚‰ÎË‚˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl: ÓÔ‡ÚÓ Q ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡Ì˘ÂÌ ‚ ԇ (4) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ c > 0 ڇ͇fl, ˜ÚÓ ∀y ∈ ∈ K(↓) ∪ Ò ||y| || = 1 ̇ȉÂÚÒfl ÙÛÌ͈Ëfl x ∈ Ò ||x| || = 1, ‰Îfl ÍÓÚÓÓÈ ÔË ‚ÒÂı t ∈ (0, ∞) ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ Ì‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (5) éÚÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ÛÒÎÓ‚Ë (4) ·Û‰ÂÚ ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ‚ ÒË-ÎÛ Í·ÒÒ˘ÂÒÍËı ÓˆÂÌÓÍ ÓÔ‡ÚÓ‡ Q ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ-‚‡ı (ËÏÂÌÌÓ Ú‡Í Ë ‚˚·Ë‡ÎÒfl ‚ÂÒ v ‚ (3)) (ÒÏ., ̇-ÔËÏÂ, [4, 10]). ÑÎfl ÙÛÌ͈ËË y ∈ K(↓) ∩ ÙÛÌÍ-ˆËfl x ‚ (5) ÒÚÓËÚÒfl ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ. á ‡ Ï Â ˜ ‡ Ì Ë Â 1. íÂÓÂχ 1 ËÏÂÂÚ ÔÓÎÌ˚È ‡Ì‡ÎÓ„ ‰Îfl ÍÓÌÛÒÓ‚ K(↑), K(ϕ, ↓) = {x: R+ → R+: ϕ(t)x(t)↓} Ë K(ϕ, ↑) = {x: R+→ R+: ϕ(t)x(t)↑}. í·Û-ÂÚÒfl ÚÓθÍÓ ‚ÏÂÒÚÓ ÓÔ‡ÚÓ‡ Q ‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸ ÓÔ‡ÚÓ˚ èÓ‰ÂÏÓÌÒÚËÛÂÏ ÔËÏÂ˚ ÔËÏÂÌÂÌËfl ÚÂÓ-ÂÏ˚ 1. í Â Ó Â Ï ‡ 2. èÛÒÚ¸ 1 ≤ p0 < p1 < ∞ Ë Á‡‰‡Ì˚ ‰‚ ‚ÂÒÓ‚˚ ÙÛÌ͈ËË u, w, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ë ÛÒ-ÎÓ‚ËflÏ (1) Ë (2). íÓ„‰‡ ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌË Ú.Â. ˝ÚË ÍÓÌÛÒ˚ Ì ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú ÌË ÔË Í‡ÍËı ‚ÂÒÓ-‚˚ı ÙÛÌ͈Ëflı, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘Ëı Ô‰ÔÓÎÓÊÂ-Ì˲ ÚÂÓÂÏ˚. ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ ÓÔ‡ÚÓ T: S(µ) → S(µ) ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È, ÂÒÎË ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÛÒÎÓ‚Ëfl: |T(x + + y)(t)|≤ T|x|(t) + T|y|(t) Ë |T(λx)(t)|≤λ|Tx(t)| (λ≥ 0). àÁ ÚÂÓÂÏ˚ 1 Ò‡ÁÛ Ê ÔÓÎÛ˜ËÏ ÒÔ‡‚‰ÎË-‚ÓÒÚ¸ ÒÎÂ‰Û˛˘Â„Ó Ù‡ÍÚ‡. í Â Ó Â Ï ‡ 3. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞) Ë Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w, Û‰Ó‚-κ(0 t, )w Lp κ(t,∞)1 v ---- Lp' ⋅ ≡1 Q: Lv p ( )+ K( )↓ Lw p ; ∩ → Lwp Lp w Lw p Lv p Qx ( )( )t ≥cy t( ). Lup Lp w Px t( ) x s( )ds, Qϕx t( ) 0 t
∫
1 ϕ( )t --- x s( )ds, t ∞∫
= = Pϕx t( ) 1 ϕ( )t --- x s( )ds. 0 t∫
= K( ) ∩ Lu↓ p0 K( ) ∩ ↑ Lup1 , ≠ ÎÂÚ‚Ófl˛˘‡fl ÛÒÎÓ‚ËflÏ (1), (2). èÛÒÚ¸ Y – ÌÂÍÓÚÓ-Ó ˉ‡θÌÓ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ S(µ). ÑÎfl ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ T ‰ÂÈÒÚ‚Ó‚‡Î Ë ·˚Î Ó„‡Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ ËÁ K(↓) ∩ ‚ Y, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ, ˜ÚÓ·˚ ÓÔ‡ÚÓ ÒÛÔÂÔÓÁˈËË TQ ‰ÂÈÒÚ‚Ó‚‡Î Ë ·˚Î Ó„-‡Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ ËÁ ‚ Y. àÒÔÓθÁÛfl ÚÂıÌËÍÛ ÓˆÂÌÓÍ ÓÔ‡ÚÓÓ‚ L: → → Y (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [2, 4, 11, 12]), ËÁ ÚÂÓÂÏ˚ 3 ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ‡Á΢Ì˚ ÂÁÛθڇÚ˚, ÔÓÒ‚fl-˘ÂÌÌ˚ ӈÂÌÍ‡Ï ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ̇ ÍÓÌÛÒ ÏÓÌÓÚÓÌ-Ì˚ı ÙÛÌ͈ËÈ ‚ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ı ã·„‡. èÂÂȉÂÏ ÚÂÔ¸ Í ‡ÒÒÏÓÚÂÌ˲ ÍÓÌÛÒ‡ K(↓, ↑). ÑÎfl ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ Ì‡ R+ ÓÔ-‰ÂÎËÏ ‰‚‡ ÓÔ‡ÚÓ‡ ë ÔÓÏÓ˘¸˛ ÔÓÒÚÓ„Ó ËÌÚ„ËÓ‚‡ÌËfl ÔÓ ˜‡ÒÚflÏ Î„ÍÓ ÔÓ͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ÂÒÎË ÙÛÌ͈Ëfl x ∈ K(↓, ↑) ËÏÂ-ÂÚ ‡·ÒÓβÚÌÓ ÌÂÔÂ˚‚ÌÛ˛ ÔÂ‚Û˛ ÔÓËÁ‚Ó‰-ÌÛ˛, ÚÓ ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó Ô‰ÒÚ‡‚ÎÂÌË „‰Â z(s) – ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθ̇fl ÙÛÌ͈Ëfl. åÓÊÌÓ ÔÓÎÓ-ÊËÚ¸ z(s) ≡ –x"(s). í Â Ó Â Ï ‡ 4. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞) Ë Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w Ú‡-͇fl, ˜ÚÓ ∀t ∈ R+ ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl (6) ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÍÓÌÛÒ K(↓, ↑) ∩ . ÑÎfl ‚ÒÂı t > 0 ÓÔ‰ÂÎËÏ ‰‚ ÌÓ‚˚ ‚ÂÒÓ‚˚ ÙÛÌ͈ËË w0, w1 ËÁ ‡‚ÂÌÒÚ‚ (7) (8) Ë ÔÓÎÓÊËÏ Lw p Lv p Lwp Q1x t( ) t x s( )ds; P1x t( ) t ∞∫
sx s( )ds. 0 t∫
= = x t( ) z( ) ττ d s ∞∫
s = d 0 t∫
= = t z s( )ds t ∞∫
sz s( )ds 0 t∫
+ = Q1z t( )+P1z t( ), min 1 s t --, p wp( )s ds 0 ∞∫
<∞. Lw p κ(t,∞) 1 w0( )s --- Lp' ⋅ κ(0 t, )sw s( ) Lp ≡1, κ(0 t, ) s w1( )s --- Lp' ⋅ κ(t,∞)w s( ) Lp ≡1 v( )t = max w{ 0( )t ,w1( )t }.ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä ÚÓÏ 406 ‹ 4 2006 é èêÖÑëíÄÇàåéëíà çÖäéíéêõï äéçìëéÇ 3 íÓ„‰‡ ÒÔ‡‚‰ÎË‚˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl: ÒÛÏχ ÓÔÂ-‡ÚÓÓ‚ Q1 + P1 ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡Ì˘Â̇ ‚ Ô‡Â: (9) ‰Îfl ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡Î‡ ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡ c > 0 ڇ͇fl, ˜ÚÓ ∀y ∈ K(↓, ↑) ∩ Ò ||y| || = 1, ̇È-‰ÂÚÒfl ÙÛÌ͈Ëfl x ∈ Ò ||x| ||= 1, ‰Îfl ÍÓÚÓÓÈ ÔË ‚ÒÂı t ∈ (0, ∞) ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ Ì‡‚ÂÌÒÚ‚Ó (10) ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ, ˜ÚÓ·˚ ‚˚ÔÓÎÌflÎÓÒ¸ ÛÒÎÓ‚Ë (11) ìÒÎÓ‚Ë (6) „‡‡ÌÚËÛÂÚ ÔË̇‰ÎÂÊÌÓÒÚ¸ ͇È-ÌËı ÙÛÌ͈ËÈ min 1, ÍÓÌÛÒ‡ K(↓, ↑) ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Û . ìÒÎÓ‚Ë (7) ‰‡ÂÚ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚Â Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌÓÒÚË ÓÔ‡ÚÓ‡ Q1 Í‡Í ÓÔ‡-ÚÓ‡ ËÁ ‚ , ‡ ÛÒÎÓ‚Ë (8) ‰‡ÂÚ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚Â Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl Ó„‡Ì˘ÂÌÌÓÒÚË ÓÔ‡ÚÓ-‡ P1 Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ‡ ËÁ ‚ . èÓ˝ÚÓÏÛ ÔË Ú‡-ÍÓÏ ‚˚·Ó ÙÛÌ͈ËË v ÛÒÎÓ‚Ë (9) ·Û‰ÂÚ ‚˚ÔÓÎ-ÌÂÌÓ ‚Ò„‰‡. ìÒÎÓ‚Ë (11) ‚ ÚÂÓÂÏ 4 ÂÒÚ¸ ÔÓÒÚÓ ‚ÓÁÏÓÊ-ÌÓÒÚ¸ ‚˚ÔÓÎÌÂÌËfl ÛÒÎÓ‚Ëfl (10) ‰Îfl ÒÂÏÂÈÒÚ‚‡ ͇ÈÌËı ÙÛÌ͈ËÈ min 1, ÍÓÌÛÒ‡ K(↓, ↑). á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‰Îfl ÙÛÌ͈ËË y ∈ K(↓, ↑) ∩ ÙÛÌ͈Ëfl x ‚ (10) ÒÚÓËÚÒfl ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚ÌÓ. ëΉÛÂÚ ÓÚÏÂÚËÚ¸ Ú‡ÍÊÂ, ˜ÚÓ ÚÂÓÂχ 4 ËÏÂÂÚ ‡Ì‡ÎÓ„ ‰Îfl ÍÓÌÛÒÓ‚ K(ϕ, ψ) = {x: R+→ R+: x(t) · ϕ↑ & ψ(t) · x(t)↓}. ìÒÎÓ‚Ë (11) ‚˚ÔÓÎÌflÂÚÒfl Ì ‚Ò„‰‡. åÓÊÌÓ ÔË‚ÂÒÚË ‡Á΢Ì˚ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜Ì˚ ÛÒÎÓ‚Ëfl ‰Îfl ‚˚ÔÓÎÌÂÌËfl (11). Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ‚ ÒÚÂÔÂÌÌÓÈ ¯Í‡ÎÂ, Ú.Â. ‰Îfl w(t) = tα, ÛÒÎÓ‚Ëfl (11) ·Û‰ÛÚ ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÔË α∈ – 1, . ëÂȘ‡Ò Ï˚ ÔÓ‰ÂÏÓÌÒÚËÛÂÏ ÔËÏÂÌÂÌËfl ÚÂ-ÓÂÏ˚ 4. í Â Ó Â Ï ‡ 5. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞) Ë Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w, Q1+P1 ( ): Lv p ( )+ K(↓ ↑, ) ∩ Lw p ; → Lwp Lwp Lv p Lv p Q1+P1 ( )x ( )( )t ≥cy t( ), κ(0 t, ) s v( )s --- Lp' t κ(t,∞) s v( )s --- Lp' + × t sup × κ(t,θ)s t --w s( ) Lp + κ(0 t, )w s( ) Lp ∞. < s t -- Lwp Lwp0 Lwp Lwp1 Lwp s t -- Lw p 1 p ---– 1 p ---– Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘‡fl (6). èÛÒÚ¸ ÔÓ ÙÛÌ͈ËË Ë ÔÓ-ÒÚÓÂÌ˚ ÙÛÌ͈ËË w0, w1, v, ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ‚˚ÔÓÎ-ÌÂÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë (11). èÛÒÚ¸ Y – ÌÂÍÓÚÓÓ ˉ‡θ-ÌÓ ·‡Ì‡ıÓ‚Ó ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ S(µ). ÑÎfl ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ ÒÛ·ÎËÌÂÈÌ˚È ÓÔ‡ÚÓ T ‰ÂÈÒÚ‚Ó‚‡Î Ë ·˚Î Ó„‡Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ ËÁ K(↓, ↑) ∩ ‚ Y, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ë ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ, ˜ÚÓ-·˚ ÓÔ‡ÚÓ ÒÛÔÂÔÓÁˈËË T(Q1 + P1) ‰ÂÈÒÚ‚Ó‚‡Î Ë ·˚Î Ó„‡Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ ËÁ ‚ Y. íÂÔ¸ Ï˚ ÔÂÂıÓ‰ËÏ Í ÚÂÓÂÏ‡Ï ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎfl-ˆËË ‰Îfl ÓÔ‡ÚÓÓ‚, ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘Ëı ‚ ÍÓÌÛÒ‡ı. ÑÎfl ˝ÚÓ„Ó ‚‡Ï ÔÓÚÂ·Û˛ÚÒfl ÌÂÍÓÚÓ˚ ‰ÓÔÓÎÌËÚÂθ-Ì˚ ÔÓÒÚÓÂÌËfl. èÛÒÚ¸ X0, X1 – ‰‚‡ ˉ‡θÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X0, X1⊂ S(µ). á‡ÙËÍÒËÛÂÏ 0 < θ < 1. çÓ‚Ó ˉ‡θÌÓ ÔÓ-ÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó (ÍÓÌÒÚÛ͈Ëfl ä‡Î¸‰ÂÓ̇–ãÓ-Á‡ÌÓ‚ÒÍÓ„Ó) ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ ÚÂı x ∈ S(µ), ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ÍÓ̘̇ ÌÓχ (12) èÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚‚‰ÂÌÓ Ä.è. ä‡Î¸‰ÂÓ-ÌÓÏ [13] ÔË ËÁÛ˜ÂÌËË ÍÓÏÔÎÂÍÒÌÓ„Ó ÏÂÚÓ‰‡ ËÌ-ÚÂÔÓÎflˆËË. ÖÒÎË K – ÌÂÍÓÚÓ˚È ÍÓÌÛÒ ‚ S(µ), ÚÓ ÔÓ ‡Ì‡ÎÓ-„ËË Ò ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÓÏ ÏÓÊÌÓ ‚‚ÂÒÚË ÌÓ‚˚È ÍÓÌÛÒ (K ∩ X0)θ(K ∩ X1)1 – θ, ‡ÒÒχÚË‚‡fl ‡ÁÎÓÊÂ-ÌËfl ‚ (12) ÚÓθÍÓ ÔÓ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ï ÍÓÌÛÒ‡. ëÎÂ‰Û˛-˘‡fl ÚÂÓÂχ ÌÓÒËÚ ËÌÚÂÔÓÎflˆËÓÌÌ˚È ı‡‡ÍÚÂ. ÑÎfl ÍÓÌÛÒ‡, ÒÓÒÚÓfl˘Â„Ó ËÁ ÌÂÓÚˈ‡ÚÂθÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ, Ó̇ ıÓÓ¯Ó ËÁ‚ÂÒÚ̇ (ÒÏ., ̇ÔËÏÂ, [14, 15]). í Â Ó Â Ï ‡ 6. èÛÒÚ¸ T – ÔÓÁËÚË‚Ì˚È ÓÔ‡-ÚÓ, K0, K1 – ‰‚‡ ÍÓÌÛÒ‡ ‚ S(µ)+. èÛÒÚ¸ ‚ S(µ) Á‡‰‡-ÌÓ ˜ÂÚ˚ ˉ‡θÌ˚ı ·‡Ì‡ıÓ‚˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ X0, X1, Y0, Y1. èÛÒÚ¸ ÓÔ‡ÚÓ T ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡-Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ T: Xi∩ K0→ Yi∩ K1 (i = 0, 1). èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ θ ∈ (0, 1). íÓ„‰‡ ÓÔ‡ÚÓ T ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡Ì˘ÂÌ Í‡Í ÓÔ‡ÚÓ T: (K0 ∩ X0)θ(K0 ∩ X1)1 – θ→ (K1 ∩ Y0)θ(K1 ∩ ∩ Y1)1 – θ. á ‡ Ï Â ˜ ‡ Ì Ë Â 2. ä‡Í Ó·˚˜ÌÓ ·˚‚‡ÂÚ ‚ ÚÂÓËË ËÌÚÂÔÓÎflˆËË, ‰Îfl ÔÓËÁ‚ÓθÌÓ„Ó ÍÓÌÛÒ‡ K ‡‚ÂÌ-ÒÚ‚Ó (K ∩ )θ(K ∩ )1 – θ = K ∩ (( )θ( )1 – θ) ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ‰‡ÎÂÍÓ Ì ‚Ò„‰‡ ‰‡Ê ‰Îfl ÍÓÌÛÒ‡ K(↓). í Â Ó Â Ï ‡ 7. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞) Ë Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w, Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Ófl˛˘‡fl ÛÒÎÓ‚ËflÏ (1) Ë (2), ÔÓ ÍÓÚÓ-ÓÈ, Òӄ·ÒÌÓ (3), ÔÓÒÚÓÂ̇ ÙÛÌ͈Ëfl v. èÓÎÓ-Lwp Lv p X0 θ X1 1–θ x X0 θ X1 1–θ inf λ 0: x t( ) λ x0( )t θ x1( )t 1–θ ⋅ ≤ > { = t ∀ ∈Ω; x0 X0≤1, x1 X1≤1}. X0 θ X1 1–θ X0 θ X1 1–θ Lv0 1 Lv1 ∞ Lv0 1 Lv1 ∞
4 ÑéäãÄÑõ ÄäÄÑÖåàà çÄìä ÚÓÏ 406 ‹ 4 2006 ÅÂÂÊÌÓÈ, å‡ÎË„‡Ì‰‡ ÊËÏ θ = . èÛÒÚ¸ Á‡‰‡Ì ÎËÌÂÈÌ˚È ÔÓÁËÚË‚Ì˚È ÓÔ‡ÚÓ T, ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘ËÈ Ë Ó„‡Ì˘ÂÌÌ˚È ‚ ԇ íÓ„‰‡ ̇ȉÛÚÒfl ÙÛÌ͈ËË v0, v1, u0, u1 Ú‡ÍËÂ, ˜ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl (13) ÓÔ‡ÚÓ TQ ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡Ì˘ÂÌ, ÂÒÎË Â„Ó ‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸ ‚ Ô‡‡ı: é·˙‰ËÌÂÌË ÚÂÓÂÏ 6 Ë 7 ‰‡ÂÚ ‚‡Ë‡ÌÚ ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ‰Îfl ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ̇ ÍÓÌÛÒ K(↓). í Â Ó Â Ï ‡ 8. èÛÒÚ¸ ÙËÍÒËÓ‚‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ p ∈ ∈(1, ∞), Á‡ÙËÍÒËÓ‚‡Ì‡ ‚ÂÒÓ‚‡fl ÙÛÌ͈Ëfl w, Û‰Ó‚-ÎÂÚ‚Ófl˛˘‡fl ÛÒÎӂ˲ (6), ÔÓ ÍÓÚÓÓÈ ÔÓÒÚÓÂ-Ì˚ ÙÛÌ͈ËË w0, w1, v, ÔÛÒÚ¸ ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÛÒÎÓ‚Ë (11). èÓÎÓÊËÏ θ = . èÛÒÚ¸ Á‡‰‡Ì ÎËÌÂÈÌ˚È ÔÓ-ÁËÚË‚Ì˚È ÓÔ‡ÚÓ T, ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘ËÈ Ë Ó„‡ÌË-˜ÂÌÌ˚È ‚ ԇ íÓ„‰‡ ̇ȉÛÚÒfl ÙÛÌ͈ËË v0, v1, u0, u1 Ú‡ÍËÂ, ˜ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌÂÌ˚ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl (13) Ë ÓÔ‡ÚÓ T(Q1 + P1) ‰ÂÈÒÚ‚ÛÂÚ Ë Ó„‡Ì˘ÂÌ, ÂÒÎË Â„Ó ‡ÒÒχÚË-‚‡Ú¸ ‚ Ô‡‡ı: é·˙‰ËÌÂÌË ÚÂÓÂÏ 6 Ë 7 ‰‡ÂÚ ‚‡Ë‡ÌÚ ÚÂÓÂÏ˚ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎflˆËË ‰Îfl ÓÔ‡ÚÓÓ‚ ̇ ÍÓÌÛÒ K(↓, ↑). ꇷÓÚ‡ ·˚· ÔÓ‰‰Âʇ̇ „‡ÌÚÓÏ ò‚‰ÒÍÓÈ äÓÓ΂ÒÍÓÈ Äç ‰Îfl ÒÓÚÛ‰Ì˘ÂÒÚ‚‡ Ò êÓÒÒËÂÈ (ÔÓÂÍÚ 35160). è‚˚È ‡‚ÚÓ ÔÓθÁÓ‚‡ÎÒfl ÔÓ‰-‰ÂÊÍÓÈ êÓÒÒËÈÒÍÓ„Ó ÙÓ̉‡ ÙÛ̉‡ÏÂÌڇθÌ˚ı ËÒÒΉӂ‡ÌËÈ (ÔÓÂÍÚ 05–01–00206). ëèàëéä ãàíÖêÄíìêõ
1. Sawyer E.T. // Stud. math. 1990. V. 96. P. 145–158. 2. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. // í. å‡Ú. ËÌ-Ú‡ êÄç. 1993. í. 204.
ë. 3–36.
3. Heinig H., Maligranda L. // Stud. math. 1995. V. 116. P. 133–165.
4. Kufner A., Persson L.-E. Weighted Inequalities of Hardy Type. Singapore: World Sci., 2003.
5. äÓÓÚÍÓ‚ Ç.Å. àÌÚ„‡Î¸Ì˚ ÓÔ‡ÚÓ˚. çÓ‚Ó-ÒË·ËÒÍ: ç‡Û͇, 1983.
6. Garcia-Cuerva J., Rubio de Francia J. Weighted Norm Inequalities and Related Topics. Amsterdam: North Hol-land, 1985. 7. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. // ÑÄç. 1995. í. 344. ‹ 6. ë. 727– 730. 8. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à., å‡ÎË„‡Ì‰‡ ã. // ÑÄç. 2003. í. 393. ‹ 5. ë. 583–586. 9. äÂÈÌ ë.É., èÂÚÛÌËÌ û.à., ëÂÏÂÌÓ‚ Ö.å. àÌÚÂ-ÔÓÎflˆËfl ÎËÌÂÈÌ˚ı ÓÔ‡ÚÓÓ‚. å.: ç‡Û͇, 1978. 10. Maz’ja V.G. Sobolev Spaces. B.: Springer, 1985. 11. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. // í. 凯. ËÌ-Ú‡ Äç ëëëê. 1991.
í. 201. ë. 26–42.
12. Berezhnoi E.I. // Proc. AMS. 1999. T. 127. ‹ 1. P. 79–87. 13. ä‡Î¸‰ÂÓÌ Ä.è. // å‡ÚÂχÚË͇. 1965. í. 9. ‹ 3.
ë. 56–129.
14. ÅÂÂÊÌÓÈ Ö.à. Ç Ò·.: 䇘ÂÒÚ‚ÂÌÌ˚Â Ë ÔË·ÎËÊÂÌ-Ì˚ ÏÂÚÓ‰˚ ËÒÒΉӂ‡ÌËfl ÓÔ‡ÚÓÌ˚ı Û‡‚ÌÂ-ÌËÈ. üÓÒ·‚θ: üÓÒ·‚. „ÓÒ. ÛÌ-Ú. 1981. ë. 3–12. 15. Maligranda L. Orlicz Spaces and Interpolation.
Campi-nas, 1989. 1 p ---T : K( )↓ ∩Lwp→Lwp. v0θ( )t ⋅v11–θ( )t v( )t , u0 θ t ( ) u1 1–θ t ( ) ⋅ u t( ); ≡ ≡ TQ: Lv0 1 Lu0 1 , TQ: Lv1 ∞ Lu1 ∞ . → → 1 p ---T : K(↓ ↑, ) Lw p ∩ Lu p . → T Q( 1+P1): Lv0 1 Lu10, T Q( 1+P1): Lv1 ∞ Luv1. → →