• No results found

Om linjer, plan och avstånd

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Om linjer, plan och avstånd"

Copied!
13
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Linjer i planet/rummet

Plan i rummet

✓ Parameterform

✓ Normalform

✓ Exempel

Avstånd

Linjer i planet/rummet Vad behöver vi veta?

(2)

Planet/rummet: Linjens ekvation på parameterform

(

t

)

. L:s ekvation ges av





+





=





x y x

0 0 0

v v v t z y x

z y x

alltså 0P=OP0 +tv

t kallas för en parameter

(

t

)





= z y x

P är koordinaterna för en godtycklig punkt på linjen där P0 är

ortsvektorn med startpunkt i origo och slutpunkt i P, därför har den samma koordinarer som P





=

0 0 0 0

z y x

P är koordinaterna för en given punkt på linjen där OP0 är ortsvektorn

med startpunkt i origo och slutpunkt i P0, därför har den samma koordinarer som P0





=

x y x

v v v v

är koordinaterna för en riktningsvektorn för linjen

Bearbeta bilden för bättre förståelse. Ortsvektorer för punkter på linjen då 4

, 2 , 0 2, t=−3

0 är en fix referenspunkt som kallas ofta origo

(3)

Exempel 1: Låt L vara linjen y=2x3. Ange linjens ekvation på parameterform.

Lösningsskiss:

I två dimensioner är L:s ekvation 





+

 

=



 

y x 0

0

v t v y x y

x där

(

t

)

. Låt t.ex. x =t. Insättning i y=2x3 ger då att y=2t3.

Alltså



= +

 =



=

=

3 t 2 y

0 t 1 x 3 t 2 y

t

x som vi kan skriva som



 



+

 

= −



 





 

 + 



 

= −



 

2 t 1 3 0 y x t 2

t 1 3 0 y

x som är den sökta parameterformen för

given linje i k: formen.

Svar: 

 



+

 

= −



 

2 t 1 3 0 y

x där t.

Kommentar: Vi ser att linjen går genom punkten 

 

= − 3

P0 0 och har

riktningsvektorn 

 

= 2

v1 . Vidare insättning av t.ex. t =3 ger oss en annan punkt

på linjen som ges av 

 

=



 





 

 +



 

= −



 





 



+

 

= −



 

3 3 y x 6 3 3 0 y x 2 3 1 3 0 y

x . Du kan

alltid kontrollera dina lösningar. Om punkten 

 

=



 

3 3 y

x ligger på linjen y=2t3 så bör dess koordinater uppfylla linjens ekvation. Kontrollera!

Exempel 2: Linjen L går genom punkter

(

2, 3,5

)

och

(

0, 1, 1

)

. Ange linjens ekvation på parameterform.

Lösningsskiss:

Inför beteckningar:

(

0, 1, 1

)

P1= och P2 =

(

2, 3,5

)

.

(4)

L:s ekvation ges av





+





=





x y x

0 0 0

v v v t z y x

z y x

. Vi vet att





0 0 0

z y x

är koordinaterna för

given punkt på linjen, tag då t.ex.





=

=





1 1 0 P z y x

1 0 0 0

. Vidare är





x y x

v v v

är linjens

riktningsvektorn , alltså en vektor parallell med

 





=





=





−





=

=

3 1 1 2 6 2 2

1 1 0

5 3 2 r koordinate

unktens startp

- r koordinate

ns slutpunkte P

P1 2

//

v v v

x y x









=

3 1 1 2 P

P1 2 , så ta t.ex.





x y x

v v v





= 3 1 1

. Varför?om du undrar? Spelar

det någon roll hur lång är riktningsvektorn? NÄHÄ ☺ ...

Till slut för





=

=





1 1 0 P z y x

1 0 0 0

och





x y x

v v v





= 3 1 1

blir den sökta linjens ekvation efter

insättningen i





+





=





x y x

0 0 0

v v v t z y x

z y x

följande





+





=





3 1 1 t 1 1 0

z y x

där t.

Svar:





+





=





3 1 1 t 1 1 0

z y x

där t.

Kommentar: Du kan alltid kontrollera om ditt svar är korrekt.

Insättning av t =0 i





+





=





3 1 1 t 1 1 0

z y x

ger oss punkten





= 1 1 0

P1 . Kontrollera!

Insättning av t =2 i





+





=





3 1 1 t 1 1 0

z y x

ger oss punkten





= 5 3 2

P2 . Kontrollera!

(5)

Exempel 3: Avgör om linjer





+





=





1 1

1 t 0 0 1

z y x : L1





+





=





1 1 1 t 1 0 1

z y x : L2

a.

skär varandra

b.

är parallella

Övning! (försök lösa uppgiften på egen hand, lösning kommer att uppdateras så att du kommer kunna jämföra )

Plan i rummet Vad behöver vi veta?

För en linje räcker det med två punkter

v t OP P

0 = 0 + , OBS! längden av riktningsvektorn är ointressant

För ett plan räcker det med tre punkter

(

P0,P1,P2 nedan

)

v t u s OP P

0 = 0 + +  (parameterform)

(6)

Exempel 1: Ange en ekvation på parameterform för planet som går genom punkter P =

(

1, 2, 0

)

, Q =

(

2, 2, 1

)

och R=

(

1, 0, 0

)

.

Lösningsskiss: (tips: skissa alltid enkel figur som ska hjälpa dig att visualisera, inför tydliga beteckningar)

Vektorerna





=





=

=

1 0 1

0 1

2 2

1 2 PQ u

och





=





=

=

0 2 2

0 0

2 0

1 1 PR v

ligger i planet och är icke-parallella (tänk på att två parallella vektorer kan omöjligt spänna upp ett plan alltså never ever for ever )

Med hjälp av tidigare given parameterform 0P=OP0 +su+tv får vi då att





+





+





=





0 2 2 t 1 0 1 s 1 2 2

z y x

där s,t

Svar:





+





+





=





0 2 2 t 1 0 1 s 1 2 2

z y x

där s,t

Kommentar: Svaret kan anges på oändligt många olika sätt. Här är några svar till som beskriver exakt samma plan:





+





+





=





0 2 2 t 3 0 3 s 0 2 1

z y x

där s,t, kan du förklara varför är svaret korrekt?

(7)





+





+





−

=





0 1 1 t 3 0

3 s 0 0 1

z y x

där s,t, kan du förklara varför är svaret korrekt?





+





+





−

=





1 2 3 t 1 0 1 s 0 0 1

z y x

där s,t, kan du förklara varför är svaret korrekt?

Lär dig att kontrollera!





+





+





=





1 2 3 t 1 0 1 s 2 2 3

z y x

där s,t, kan du förklara varför är svaret korrekt?

Lär dig att kontrollera!

Planets ekvation på normalform

Till varje plan i rummet hör flera sinsemmellan paralella normalriktningar, t.ex..





= C

B A

n är en normalvektor





=

0 0 0 0

z y x

P är given punkt i planet

och





= z y x

P är godtycklig punkt i planet

( ) ( ) ( )

(

Ax By Cz

)

0 Cz

By Ax

0 z z C y y B x x A 0 C

B A

z z

y y

x x 0 n P P n P P

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0

0

=

− + + +

=

− +

− +

=





•





=

⊥ 

(8)

Låt nu

(

Ax0By0Cz0

)

=D, där D är en konstant.

För

(

Ax0By0Cz0

)

=D får vi ekvationen för planet  på normalform

Exempel 2: Ange en ekvation på normalform för planet som går genom punkten

(

1, 1, 2

)

P= − och vinkelrät mot





= 3 2 1 w

.

Lösningsskiss:

Vi vet att





= C

B A n //

w 

. Så tag t.ex





=





=

=

3 2 1

C B A n n w  

.

Planets ekvation 1x+2y+3z+D=0

Vi bestämmer D genom att utnyttja att given punkts koordinater måste uppfylla planets ekvation om punkten ligger i planet.

Insättning av P=

(

1,1, 2

)

, punktens koordinater i 1x+2y+3z+D=0 ger då

( )

− +  + =  =− 

 +

1 2 1 3 2 D 0 D 5

1 planets ekvation ges av x+2y+3z5=0.

0 D Cz By

Ax+ + + =

0 D Cz By

Ax+ + + =

(9)

Exempel 3: Låt 1:x2yz=0 och 2 :2x+ yz=4.. Bestäm och beskriv geometriskt den punktmängd som tillhör båda planen.

Lösningsssiss: De punkter som tillhör båda planen uppfyller systemet.



=

− +

=

4 z y x 2

0 z y 2

x

(ekv1 – ekv2) ger x2yz

(

2x+yz

)

=04−x3y=−4x=43y.

Låt y =t, där tdå blir x=43t. Vidare insättning av y =t och x=43ti t.ex. ekv1 ger

(

43t

)

2tz=0z=

(

43t

)

2tz=45t.

Alltså vi har lyckats att uttrycka yx, och zmed hjälp av parameter t,





=

 +

=

=

 



=

=

=

t 5 4 z

t 1 0 y

t 3 4 x

t 5 4 z

t y

t 3 4 x

eller





+





=





5 1

3 t 4 0 4

z y x

där t, som är

ekvation för en linje gående genom punkten





= 4 0 4

P

och som har riktningsvektorn





= 5 1

3 v

.

Svar: Skärningsmängd är en linje





+





=





5 1

3 t 4 0 4

z y x

där.

Kommentar: Uppgiften kan lösas på motsvarande sätt, dock tänk på att du är fri att bestämma vilken av variablerna ska väljas till parametern. Du kommer alltid till samma svar om du tänker korrekt i övrigt. Tänk på tidigare exempel där svaret kan ha ollika ”skepnader” och ändå beskriva exakt samma objekt.

Och du, du kan alltid kontrollera ditt svar.

(10)

Insättning av respektive





=

=

=

t 5 4 z

t y

t 3 4 x

i respektive



=

− +

=

4 z y x 2

0 z y 2

x ska ge dig sanna

samband. Kontrollera ☺

Exempel 4: En ljusstråle går genom punkten P1=

(

7,1, 7

)

, reflekteras i planet 1

z 4 y x 2

: − + =

 och går sedan genom punkten P2 =

(

11, 11, 1

)

. Var träffar ljusstrålen planet?

Lösningsidé/Lösningsskiss: (rita alltid figur att ”tänka med” och inför

beteckningar, obs: alltid ett måste vid examinationen, dina redovisningar skall vara kompletta)

Den sökta punkten M (bilden) är skärningspunkten av linjen som går genom P1s och P2 och planet  .

SökP1p:





 +

− +

=





+





=

 +

=

t 4 7

t 1

t 2 7

4 1 2 t 7

1 7 n t P 0 P

0 1p 1

P1pligger i planet :2xy+4z=1: 2

(

7+2t

) (

− −1t

) (

+47+4t

)

=1t=−2







=





− +

=

=

1 1 3

8 7

2 1

4 7 P

0 2

t 1p P1p =

(

3, 1,1

)

.

( )

1s 1p 1 1p

1 p

1 0P P P 0P

8 2 4

1 7

1 1

3 7 P

P  + =





=





=

(sambandet 0P1s +P1pP1=0P1ppå grund av reflektionen måste P1sP1p =P1pP1)

Vidare

( )





=





=

=

= +

9 3

1

8 1

2 1

4 3 P

0 P P P 0 P 0 P 0 P P P

0 1s 1p 1 1p 1s 1p 1p 1 1s

(11)

Sök M :

=

 +

=0P s P P 0M M

0 1s 1s 2

( )

( )

M

(

1 12s,3 8s, 9 10s

)

s 10 9

s 8 3

s 12 1

9 1

3 11

1 11 s 9 3

1

+

− + +

=







 +

− +

+

=





+





Låt 2 =s u(lättare att räkna)

(

1 12s,3 8s, 9 10s

)

M

(

1 6u,3 4u, 9 5u

)

M = − + + − +  = − + + − +

M ligger i planet :2xy+4z=1:

( ) ( ) ( )

2 u 3 1 u 5 9 4 u 4 3 u 6 1

2 − + − + + − + =  =

= M = 2

u 3

 

 −

=

 

− +  +  − + 

2 , 3 9 , 2 8 5 3 9 2, 4 3 3 2, 6 3 1

Svar: Ljusstrålen träffar planet i punkten

 

 −

2 , 3 9 ,

8 .

Avstånd från en linje till en punkt

Exmpel: Bestäm den punkt Q på linjen





+





=





1 1

1 t 0 0 1

z y x :

L som ligger närmast

(

2, 1, 2

)

P = samt avståndet

mellan Poch Q .

Lösningsskiss:

(12)

QPvQPv=0





 +

− +

=









+





−





=

t 2

t 1

t 1

1 1

1 t 0 0 1

2 1 2 QP

och 



= 1 1

1 v

QPvQPv=0

3 t 2 0 t 2 t 1 t 1 0 1 1

1

t 2

t 1

t 1

=

=

− +

=





•





 +

− +

för

3

t=−2 ges Q:s koordinater av





+





=





1 1

1 t 0 0 1

z y x













=







 

−

+





=





3 2 3 2 3 5

1 1

1 3 2 0

0 1

z y x

för

3 t=−2 blir













−

=











 

−

+





−





=

3 4 3 5 3 1

1 1

1 3 2 0

0 1

2 1 2 QP

(13)

 ( )

3 42 42 3 4 1 5 3 1

1 4 5 1 3 1 4 5 1 3 1

3 4 3 53

1

QP = − 2 + 2 + 2 = =





−

 =





−

=













−

=

Svar: Q:s koordinater är

(

5, 2, 2

)

3

1 − ,

3 QP = 42 l.e.

Kommentar: Försök att ta fram en annan lösning ☺. Använd bilden nedan. Observera att vektor QP0 är ortogonalprojektion av PP0 på v (L).

Alltså QP0 =P0P//v . Har du QP0 som har startpunkten

P0 så hittar du slutpunktens koordinater….osv.

Lycka till!

References

Related documents

Du har rätt att efter skriftlig begäran få information om vilka personuppgifter som behandlas om dig eller ditt minderåriga barn (behöver bara vara med ifall det rör

När konflikterna väl har uppstått arbetar man på olika sätt för att lösa dessa, genom att komma till en lösning stärker man elevernas psykosociala välbefinnande vilket på

31 I materialet lyfts både mänskliga rättigheter och Barnkonventionen upp som argument för arbetet med barn och unga i Svenska kyrkan och ger uttryck både för en moralisk

The effect of guided web-based cognitive behavioral therapy on patients with depressive symptoms and heart failure- A pilot randomized controlled trial.. Johan Lundgren,

Anbudsgivaren/Företaget kan själv, via ”Mina Sidor” (kräver e-legitimation), ta fram en digital SKV 4820 där skuldbelopp avseende skatter och avgifter hos Kronofogden

☐ Leverantören, som är etablerad i annat land än Sverige, och där intyg enligt ii inte utfärdas, försäkrar på heder och samvete att allvarliga ekonomiska svårigheter

I vårt avsnitt om sexuella trakasserier i kapitlet tidigare forskning (kap 2) beskriver vi utifrån Hagman (1995) och JämO (2006) orsaker till varför en

Välkommen till Arena Energiaskor för en hållbar och resurseffektiv användning av energiaskor.. 15 september 2020