Tentamen i Mekanik - partikeldynamik

Tentamen i

Mekanik - partikeldynamik

TMME08

2011-08-17, kl 8.00-12.00

Tentamenskod: TEN1

Tentasal: TER4

Examinator: Peter Schmidt

Tentajour: Peter Schmidt, Tel. 28 27 43,

(Besöker salarna ca 9.00 och 11.00)

Kursadministratör: Anna Wahlund, Tel. 28 11 57, anna.wahlund@liu.se

Antal uppgifter: 6

Hjälpmedel: Inga hjälpmedel; (Formelblad bifogas).

Svar anslås på Mekaniks anslagstavla efter skrivningstillfället (Ing. A17 C-korr.). Tentan lämnas efter rättning till Studerande- expeditionen i A-huset, ing 19C.

Betygsgränser: 5 = 12-15 p 4 = 9-11 p 3 = 6-8 p 1 = 0-5 p (UK)

Totalt antal sidor inkl. försättsbladet: 7

Tentamen i Mekanik-partikeldynamik TMME08, 2011-08-17

Teoridel:

1)

En kraft med konstant belopp F verkar hela tiden i horisontell riktning på en partikel som rör sig uppför ett lutande plan enligt figur. Vinkeln är planets lutningsvinkel och h är partikelns höjdändring under rörelsen. Utgå från definitionen av arbete, dvs



²

1

d

U F r^, och beräkna arbetet U som kraften F uträttar på partikeln.

(1p)

h F



2)

Givet en partikel vars rörelse är en centralrörelse, dvs totala kraften F som verkar på partikeln är hela tiden riktad in mot samma punkt O (fix punkt), se figur.

F

Ställ upp Newtons kraftlag i polära koordinater och visa att för en sådan rörelse gäller:

konstant

2



(2p) O

r



Tentamen i Mekanik-partikeldynamik TMME08, 2011-08-17

Problemdel:

3)

En partikel med massan m kan skjutas iväg med hjälp av en katapult som består av en fjäder med fjäderkonstanten k=32mg/R . Partikeln släpps utan hastighet då fjädern är ihoptryckt sträckan från det ospända läget, se figur. Efter att partikeln lämnat fjädern följer den en skena som först är horisontell och sedan övergår till en cirkelformad bana i ett vertikalplan. All friktion kan försummas.

δ

Låt

2 4

δ  R och beräkna normalkraften från skenan på partikeln som funktion av

vinkeln under den cirkulära delen av banan. (3p)

R 

k

R g

k 

m

Tentamen i Mekanik-partikeldynamik TMME08, 2011-08-17

4)

En liten hylsa P kan friktionsfritt glida längs en fix stång enligt figur.

Hylsans rörelse kontrolleras med hjälp av en spårförsedd arm lagrad vid O vilken roterar med konstant  . Ekvationen för stången ges av

cosθ 1

b r 2

  ,

där b är en given konstant, och r är avståndet mellan O och P. Beräkna kraften

som verkar på hylsan P från stången, samt kraften på hylsan P från armen då vinkeln Hylsan har massan m och all friktion kan försummas.

Rörelsen sker i ett horisontalplan och startas utan hastighet då 3p

P

g r



5)

En partikel med massan m2=2m är upphängd i ett snöre med längden L och snörets andra ände är fäst i ett tak. En annan partikel med massan m1=m och horisontell hastighet u 2gL stöter an mot m2, och stöttalet mellan partiklarna är e=0.5.

Bestäm hastigheten hos m1 och m2 omedelbart efter stöten (1p), och kraften i snöret då massan m2 når sitt vändläge efter stöten (2p).

O

b

L u

m1 m2

Tentamen i Mekanik-partikeldynamik TMME08, 2011-08-17

6)

Ett fjäder-dämpsystem består av två lika fjädrar med fjäderkonstanten k vardera, samt en dämpare med dämpkonstanten c2 2km. Systemet startas genom att massan m ges en fart v0 nedåt i figuren då massan befinner sig i sitt statiska jämviktsläge. För vilka värden på v0 nuddar massan aldrig golvet om höjden h=2mg/k.

(3p)

Tak

Jämviktsläget v0

Golv m

k k

c

h

Formelblad som bifogas tentamen i Partikeldynamik:

Kinematik:

Hastighet och acceleration

• Naturliga komponenter n − t v= ˙set

a= ¨set+ ˙s² ρe_n

Kr¨okningen κ och kr¨okningsradien ρ f¨or en kurva x = x(u), y = y(u) ges av:

κ = |_du^d2y2

dx

du−_du^dyd_du^2x2|

n(^dx_du)²+ (^dy_du)²o^3/2, ρ = 1/κ

• Pol¨ara koordinater r − θ

v= ˙rer+ r ˙θeθ

a= (¨r − r ˙θ²)er+ (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)eθ

Kinetik:

• Kraftlagen

XF = ma

• Mekaniska energisatsen

U = ∆T + ∆Vg+ ∆Ve

d¨ar U =

Z 2 1

F · dr, T = 1

2mv², Vg = mgh, Ve= 1 2kx²

1

• Impuls och impulsmomentekvationen Z t₂

t₁

XFdt = p₂− p1, p= mv

Z t₂ t₁

Modt = ho2− h^o1, ho= r × mv

M_o= r ×X F

• St¨ottal

e = (v^′₂)n− (v^′1)n

(v1)n− (v2)n

• Sv¨angningar

¨

x + 2ζωn˙x + ω_n²x = ω²_nx1+F01

m sinωt + F02

m cosωt L¨osningen till differentialekvationen ovan kan skrivas x = xh+ xp. Homogena l¨osningen xhges av:

ζ > 1, xh= Ae^ωnt(−ζ+√

ζ²−1)+ Be^{ωnt(−ζ−}√

ζ²−1)

ζ = 1, xh= (A + Bt)e^−ωnt

ζ < 1, xh= e^{−ζ ωnt}(Acosωdt + Bsinωdt) = Ce^{−ζ ωnt}sin(ωdt + Ψ) ωd= ωnp1 − ζ²

Partikul¨arl¨osningen xp vid en harmonisk st¨orningskraft ber¨aknas med ansatsen:¹

xp = C1+ C2cosωt + C3sinωt

1om ζ = 0 f¨oruts¨attes att ω6= ωn

2