• No results found

Ballistisk pendel laboration Mekanik II

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Ballistisk pendel laboration Mekanik II"

Copied!
12
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Ballistisk pendel laboration  Mekanik II 

Utförs av: 

William Sjöström 19940404­6956  Philip Sandell 19950512­3456 

Uppsala  2015­05­09  (Sensur)

(Sensur)

(2)

Sammanfattning

 

Ett sätt att mäta en gevärkulas hastighet är att låta den träffa en pendel med en oelastisk  stöt. Pendeln kommer att söttas i rörelse tillsammans med pilen.  

I stöten så bevaras systemets rörelsemängdsmoment och efter stöten så bevaras systemets  mekaniska energi. Detta utnyttjas för att få ett uttryck för pilens ursprungshastighet beroende 

av pendelns maximala utslagsvinkel och periodtid.  

 

I denna laboration så undersöker vi hur pendelns utformning påverkar resultatet.  

Vi visar att rörelsemängden och den mekaniska energin hos systemet ändras vid stöten. 

(3)

Inledning

En avfyrad gevärkula har en hastighet. Denna hastighet kan vara bra att veta bland annat för  att få reda på hur långt från målet som geväret kan avfyras. Det är även intressant för att ta  reda på vilken licens som behövs för att få avfyra geväret. 

 

Ett sätt att mäta hastigheten på kulan är med hjälp av en ballistisk pendel. Låter man kulan  träffa en betydligt tyngre pendel med en oelastisk stöt så bevaras kulans 

rörelsemängdsmoment runt pendelns rotationsaxel. Efter stöten bevaras istället den  mekaniska energin. Utnyttjar man dessa två fenomen kan man ställa upp ett samband  mellan pendelns maximala utslagsvinkel, periodtiden och kulans utgångshastighet. 

 

I denna laboration kommer vi att avfyra ett luftgevär mot en pendel och sedan beräkna  utgångshastigheten. Vi kommer även analysera data från ett annat experiment där  avståndet mellan upphängningspunkten och träffpunkten har varierats. 

 

Teori

Pendelns periodtid kan uttryckas som: 

      (4)  Där M är massan för både pilen och pendeln, g är tyngdaccelerationen och d är avståndet  från pendelns upphängningspunkt till dess masscentrum, se figur 2. 

Omskrivet ger det ett uttryck för pendelns totala tröghetsmoment, I​t, efter stöten: 

       (5)   

Pendelns kinetiska energi efter stöten ges av: 

      (9)  Pendelns potentiella energi vid max utslagsvinkel ges av: 

       (10)  Där g är tyngdaccelerationen, M är massan för både pendeln och pilen. h är höjden, i detta  fall: 

      (11)  Där d är avståndet från rotationsaxeln till masscentrum och ​θ​max​ är den maximala 

utslagsvinkeln som pendeln har. 

 

Eftersom att den mekaniska energin bevaras efter stöten så är ekvation (9) = (10), vilket  efter förenkling ger ett uttryck för vinkelhatigheten, w: 

(4)

      (12)    Pilens rörelsemängdsmoment, H​p, runt pendelns rotationsaxel strax innan stöten ges av: 

      (13)  Där p är pilens rörelsemängd, vilken ges av: 

      (14)  Där m​p är pilens massa och v​p är pilens hastighet innan stöten. 

 

Systemets (pendeln + pilen) rörelsemängdsmoment, H​E, efter strax stöten ges av: 

      (15)  Där w är pendelns vinkelhastighet efter stöten och I​t systemets tröghetsmoment efter stöten,  se ekvation (8). 

   

   

(5)

Eftersom att rörelsemängdsmomentet bevaras vid stöten så blir ekvation (13) = (15), genom  det kan vi få ut ett uttryck för pilens hastighet innan stöten, v​p

       (16)  Kombinerat med ekvation (8) och (12) fås: 

       (17)   

 

     

     

(6)

Metod

Materialet som användes: 

● En handdator (Pasco xplorer GLX). 

● Vinkelsensor. 

● Pendel (aluminiumrör) med gummikopp. 

● Ett luftgevär med pil­ammunition. 

● En linjal. 

● En digital våg. 

   

  Figur 1, illustrering av laboration. 

 

Pendeln monterades på vinkelsensorn och vinkelsensorn kopplades till handdatorn enligt  figur 1. Luftgeväret placerades så att det på kort avstånd kunde avfyras och pilen träffa mitt i  gummikoppen. 

 

Laborationen utfördes enligt följande: 

1. Pendeln med gummikopp och ammunitions­pilens vikt noterades. 

2. Avståndet, d, från masscentrum på pendeln inkusive pilen till infästningen i 

vinkelsensorn samt avståndet, R, från infästningen i vinkelsensorn till gummikoppens  mitt noterades. 

3. Mätningen på handdatorn startades och luftgeväret avfyrades. 

4. Mätningen på handdatorn avslutades och värdena för pendelns maximala vinkel och  dess periodtid noterades. 

5. Steg 3 till 4 återupprepades tre gånger. 

   

(7)

Resultat

 

  Figur 2 

 

Pendelns massa, m​s =246,89(1) g. 

Ammunitionspilens massa, m​p​ = 0,87(1) g. 

Avståndet d = 31,6(1) cm  Avståndet R = 48,9(1) cm 

Pendelns totala längd var 57,9(1) m. 

 

I tabell 1 nedan redovisas mätvärdena för max utslagsvinkel och periodtiden, T. 

 

Mätning 

Max vinkel [rad]  0,248  0,250  0,251 

R [mm]  489  489  489 

T [s]  1,30  1,28  1,30 

Tabell 1, mätdata från laboration. 

(8)

  Figur 3. Graf på pilens hastighet. 

 

  Figur 4. Graf på skillnaden i rörelsemängd före och efter stöt.

(9)

  Figur 4. Graf på skillnaden i den totala energin före och efter stöt.

(10)

Diskussion

   

 

Mätning 

Max vinkel 

[rad]  0,1585  0,1325  0,109  0,087  0,0615  0,036 

R [mm]  515  437  361  283  203  120 

T [s]  1,234  1,232  1,232  1,231  1,233  1,23 

Tabell 2, mätvärden från laboration utförd av andra personer[1]  

Som man kan se i figur 3 och 4 skiljer sig både energin och rörelsemängden före och efter  stöt vilket stämmer överens med teorin.  

Det som är sticker ut är att hastigheten på pilen skiljer sig åt mellan experimenten, vilket de  inte borde göra eftersom att alla pilar skjuts med samma gevär och är den enda faktor som  borde påverka pilens hastighet.  

Att den uppmätta hastigheten varierar kan bero på hur pilen träffat gummikoppen, det kan  påverka den uppmätta periodtiden och maxvinkeln. Eftersom att skillnaden inte är stor, cirka  3%, kan dessa skillnader förklaras genom mätosäkerheter. 

 

Skillnaden mellan rörelsemängden före och efter stöt blir en linjär funktion. När avståndet  mellan träffpunkten och rotationsaxeln är litet så förloras rörelsemängd i stöten, men ju  längre avståndet blir desto mindre förloras, tills ett avstånd där rörelsemängden istället ökar. 

Detta beror på att kraften i upphängningspunkten måste motverka att systemet fortsätter  röra på sig. När pilen träffar pendeln så kommer den ge upphov till en rotationsrörelse samt  en translationsrörelse, vilket håll som pendeln vill rotera åt beror på var pilen träffar i 

förhållande till pendelns masscentrum.  

Om pilen träffar ovanför pendelns masscentrum (pilen kommer från vänster enligt figur 1) så  vill pendeln rotera medurs. Men eftersom att rotationsaxeln som pendeln roterar runt är fast  monterad så måste dessa rörelser motverkas av en kraft motsatt pilens riktning och därför  minskar rörelsemängden. Även när pilen träffar mitt i pendelns masscentrum så minskar  rörelsemängden, eftersom att pilen här enbart ger upphov till en translationsrörelse, vilken  motverkas av en kraft i motsatt pilens riktning.  

När pilen däremot träffar under masscentrum, så kommer rotationsrörelsen att vara  motriktad translationsrörelsen, det är när de krafter som motverkar dessa rörelser är lika  stora som rörelsemängden bevaras. När träffpunkten är tillräckligt långt under masscentrum  så kommer rotationsrörelsen att bli större än translationsrörelsen och den motverkade  kraften blir i pilens riktning, således ökar systemets rörelsemängd. 

 

I figur 4 så motsvarar det negativa värdet på delta E förlorad energi, detta beror på att stöten  inte är elastisk och en stor del av energin går förlorad i stöten. 

 

Det finns flera felkällor i detta experiment, bland annat så har vi antagit att pilen alltid träffar  på samma ställe, det kan även finnas defekter i träffytan som påverkar resultatet.  

 

(11)

Slutsatser

Denna laboration visar att rörelsemängden och den mekaniska energin hos systemet skiljer  sig före och efter stöt. Skillnaderna i rörelsemängd samt energi verkar inte heller följa något  mönster beroende på längden mellan träffpunkt och rotationsaxel.  

   

Referenser

[1] Given av laborationsbeskrivningen. 

     

Appendix

Matlab koden som användes bifogas nedan: 

 

clear​ all 

ms=0.47675;​%massa pendel  mp=0.00095;​%massa pil 

d=0.2990;​ %avstånd från rot.axel till masscentrum  g=9.82; ​%tyngdaccelerationen 

l = 0.579;​ %pendelns längd 

R=[0.515 0.437 0.361 0.283 0.203 0.120];​%avstånd från rot.axel till träff. 

theta = [0.1585 0.1325 0.1090 0.0870 0.0615 0.0360];​%vinkel  T = [1.234 1.232 1.232 1.231 1.233 1.230]; ​%periodtid 

M=mp+ms; 

for ​y=1:length(R) 

    I(y)= (1/12)*ms*l^2+ms*d^2+mp*R(y)^2;​%trögheten      h(y) = d*(1­cos(theta(y)); 

    w(y) = sqrt(2*M*g*h(y)/I(y)); ​%vinkelhastigheten 

    vp(y) = (2*g*M*d*T(y)*sin(theta(y)/2))/(mp*R(y)*2*pi);​%hastighet      pf(y) = mp*vp(y);​%rörelsemängd före 

    pe(y) = M*d*w(y);​%rörelsemängd efter      Ee(y) = M*g*h(y);​%energi efter 

    Ef(y) = (mp*vp(y)^2)/2;​%energi före      Ediff(y) = Ee(y)­Ef(y);​%skillnad i energi      pdiff(y) = pe(y)­pf(y);​%skillnad i rörelsemängd  end 

%alla grafer är plottad separat för större format. 

plot(R,Ediff,​'*'​) 

title ​'Skillnad mellan totala energin före och efter stöt'   xlabel ​'Avstånd mellan pilens träffpunkt och rot.axeln(m)'  ylabel ​''\Delta'E(J)' 

(12)

axis ([0 0.6 ­0.4 ­0.3])   

 

References

Related documents

Order enligt undertecknad anmälningssedel ger Aqurat fullmakt att för undertecknads räkning sälja, köpa eller teckna sig för finansiella instrument enligt de villkor som gäller

Finansiella instrument som omfattas av erbjudandet har inte och avses inte att registreras i något annat land än Sverige och kommer således inte att erbjudas

Order enligt undertecknad anmälningssedel ger Aqurat fullmakt att för undertecknads räkning sälja, köpa eller teckna sig för finansiella instrument enligt de villkor som

Härmed tecknar jag/vi, genom samtidig kontant betalning, det antal aktier i Aptahem AB (publ) som anges nedan enligt villkoren för teckningsoptionen.. Antal

Order enligt undertecknad anmälningssedel ger Aqurat fullmakt att för undertecknads räkning sälja, köpa eller teckna sig för finansiella instru- ment enligt de

• Att jag genom undertecknandet av denna anmälningssedel befullmäktigar Sedermera att för undertecknads räkning verkställa teckning av units enligt de villkor som framgår

 Att jag genom undertecknandet av denna anmälningssedel befullmäktigar Sedermera Fondkommission att för undertecknads räkning verkställa teckning av aktier enligt de villkor som

Teckning sker i enlighet med villkoren i memorandumet utgivet i mars 2012 av styrelsen för Gullberg & Jansson AB (publ).. Vid en bedöm- ning av bolagets framtida utveckling är