UPPSALA UNIVERSITET Ordin¨ara differentialekvationer MATEMATISKA INSTITUTIONEN Civilingenj¨orsprogrammet Pepe Winkler
En uppgift
En natt b¨orjade sn¨on falla och det fortsatte att sn¨oa med j¨amn hastighet under n˚agra timmar. En sn¨oplog med den speciella egenskapen att dess hastighet ¨ar omv¨ant propor- tionell mot sn¨ot¨ackets tjocklek startade kl. 2.00. Det visade sig att den tillryggalade en dubbelt s˚a l˚ang v¨agstr¨acka under den f¨orsta timmen som under den andra. N¨ar b¨orjade det sn¨oa ?
L¨osning:
Antag att det b¨orjade sn¨oa vid tiden t0 med hastigheten k mm/timme.
Vid tiden t sn¨oade det t − t0 timmar och sn¨ot¨acket var k(t − t0) mm.
Plogens hastighet ¨ar v(t) = l k(t − t0) .
Den str¨acka plogen tillryggalade under f¨orsta timme ¨ar S(3) − S(2) , d¨ar S(t) =
Z
v(t) dt =
Z a
t − t0 dt= a ln(t − t0) + C , d¨ar a = l k .
Str¨ackan som plogen tillryggalade under andra timmen ¨ar S(4) − S(3) . Vi vet att S(3) − S(2) = 2 · (S(4) − S(3)) . Detta medf¨or att
ln(3 − t0) − ln(2 − t0) = 2(ln(4 − t0) − ln(3 − t0)) ⇔ ln3 − t0
2 − t0 = ln(4 − t0)2 (3 − t0)2 ⇔ (3 − t0)3 = (2 − t0)(4 − t0)2 ⇔ 27 − 27t0+ 9t20− t30 = 32 − 32t0+ 10t20− t30 ⇔ t20− 5t0+ 5 = 0 ⇔ t0 = 2.5 −p
2.52− 5 = 2.5 −√
1.25 ≈ 2.5 − 1.12 = 1.38 ≈ 123.
Svar:
Det b¨orjade sn¨oa kl. 123.
