s 1 kg Α  ms

Något om Dimensionsanalys och Mathematica

Bertil Nilsson 2021-08-15

Assume period T Cm ^Α g ^Β L ^Γ

s 1 kg ^Α  ^m _s

 ^Β m ^Γ s 1 kg ^{Α m} _s

m ^Γ

L

m

Identify exponents

VL HL

kg 0 ^Α

m 0 ^{Β Γ}

s 1 2 Β

Find exponents

Solve 0 Α, 0 Β Γ, 1 2 Β

Α 0, Β 1

2 , Γ 1

2 ^

ť Förord

På följande sidor presenteras en elementär “streetwise guide” till dimensionsanalys med lite användning av Mathematica. Framställ- ningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och typiska exempel ges.

ť Dimensionsanalys

Dimensionsanalys eller enhetsbetraktelse är ett effektivt hjälpmedel för att bekräfta riktigheten eller att hitta fel i formler och uttryck med avseende på enheter, så kallad dimensionskontroll. Men det är också ett mycket kraftfullt redskap vid problemlösning, en direkt studie av de givna storheterna leder ofta direkt till gåtans lösning, så kallad dimensionsbetraktelse.

Dimensionsanalys innebär helt enkelt att man studerar vilken dimension de ingående storheterna har. Ordet dimensionsanalys ska inte tolkas som att man enbart betraktar rumsdimensioner (det vill säga meter, kvadratmeter, och så vidare). Man kan lika naturligt hantera vilka andra storheter som helst med dimensionsanalys, under förutsättning att de mäts i konsistenta enheter (i vår värld SI- enheter), till exempel vikt, tid och acceleration. Populärt uttryckt så utnyttjar metoden att

I en storhetsekvation ska det finnas lika många äpplen och päron på båda sidor likhetstecknet.

Ekvationen ska alltså väga jämt över likhetstecknet med avseende på alla olika frukttyper.

Dimensionsanalysen vilar tungt på SI-systemet och dess grundenheter. Härledda enheter kokas ned till grundenheter. Prefix struntar man i. Det är brukligt att skriva dimensionen för en enhet som dess symbol inom hakparenteser, t.ex. meter [m], massa [kg]. När det gäller de tre fundamentala enheterna ser man ibland även massa [M], längd [L] och tid [T]. Storheter som har dimensionen [1] kallas dimensionslösa. Sedan är det bara att betrakta [ ] som vilken variabel som helst och praktisera dimensionsräkning.

Om vi har en summa (eller skillnad) mellan storheter

x y z krävs att x y z

I övrigt återfaller räknereglerna på vanliga räkneregler för reella tal, exempelvis

x yz x y z x^Α y^Βz^Γ x^Α y ^Βz^Γ

x ^y_z x ^y_z y z ¹ x^Α _z^yΓ^Β x^{Α y}_zΓ^Β y ^Βz ^Γ

De (transcendenta) funktionerna exponentialfunktionen, logaritmfunktionen och de trigonometriska funktionerna måste liksom deras argument vara dimensionslösa, det vill säga ha dimensionen [1]. Sålunda krävs vid t.ex. sin x , cos x , tan x , ln x och ^x att

x 1 . Att åtminstone de trigonometriska funktionerna måste vara dimensionslösa förstår vi eftersom de definieras som en kvot mellan längder i en rätvinklig triangel.

Dimensionen på derivator och integraler brukar vara förbryllande. Vi har att

 ^f_x^def _x^{f f}_x  f x^def f x f x



2f

x² ^def _x _x^f _x^f₂  f x1 x2^def f x1 x2 f x1 x2



nf

xⁿ ^def _x _x _x ^f_x  _x^fn  f x1 x2 xn^def f x1 x2 xn f x1 x2 xn

Vid derivator är det alltså bara att “förkorta bort alla ” och räkna hur många gånger vi har storheten i täljaren respektive nämnaren.

För integraler är det produkten av dimensionerna för integranden och de ingående måtten som gäller.

Obs! Att dimensionskontrollen är korrekt innebär inte nödvändigtvis att formeln är korrekt, det kan ingå en dimensionslös konstant.

Detta var i princip all teori (om vi inte går vidare och fördjupar oss i Edgar Buckinghams Π-teorem ;-). Vi förtydligar med några exempel som förhoppningsvis gör att dimman lättar.

Exempel: - Vad är skillnaden mellan vattnets kokpunkt och en rät vinkel? - 10 grader!!??!

Exempel: Enheten för effekt är watt (W). Uttryck dimensionen av denna härledda enhet i grundenheter.

Effekt energi tidsenhet W J s Energi arbete kraft väg J N m Kraft massa acceleration N kg m s²

W J s N m s kg m s² m s ^{kg m}_s3 ²

Exempel:Hur många m²drar din bil?

Lösningsförslag: Om vi antar att den drar 1 liter/mil har vi följande lilla dimensionskalkyl

1^liter_mil 1 liter 1 dm³, 1 mil 10 km 10 1000 m 1_{10 000 m}^dm3 1_{10 000 m}^{m 103} ₁₀¹_{310 000}¹ m² 1 10 ⁷m²

Detta kan ges en mera konkret geometrisk tolkning, nämligen om bilen drar 1 liter/mil så rullar man hela tiden ut ett “bensinband”

efter bilen som är 1 mm brett och 0.1 mm tjockt, ty volymen av detta band per mil blir just 1 mm 0.1 mm 1 mil ₁₀₀₀^m ^{0.1 m}₁₀₀₀10 000 m ₁₀₀₀¹ m³ ₁₀₀₀¹ 10 dm³ 1 dm³

Exempel:Antag vi vet att det finns ett samband mellan hastigheten v mäts i m s , sträckan s mäts i m och tiden t mäts i s . Vilket är detta samband?

Lösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C,ΑochΒ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α och Β måste var dimen- sionslösa eftersom de är exponenter!

v Cs^Αt^{Β m}_s 1 m^Αs^Β

För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att både [m] och [s] väger jämt. Detta ger ett ekvationssystem som bestämmer Α och Β. Om det inte är entydigt lösbart är vår ansats fel! Börja då om! Här får vi

VL HL

m 1 Α

s 1 Β

Sambandet är alltså v Cs¹t ¹ C^s_t. I mekaniken får man lära sig att C 1.

Exempel: Sök ett samband mellan kraft F , massa m , acceleration a och väg s .

s m

F

Lösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C,Α,Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter!

F Cm^Αa^Βs^Γ N 1 kg^Α^m_s2^Βm^{Γ kg m}_s2 1 kg^{Α m}_s2Β^Β m^Γ För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att alla storheter väger jämt.

VL HL

kg 1 Α

m 1 Β Γ

s 2 2Β

Det inte är så jobbigt att lösa ut de obekanta, men som övning tar vi hjälp av Mathematica.

Solve 1 Α, 1 Β Γ, 2 2 Β Α 1,Β 1,Γ 0

Alltså oberoende av vägen s, så F Cma. I mekaniken får man lära sig att C 1.

Exempel:Det hydrostatiska blodtrycket p N m²kan antas bero på blodets densitetΡkg m³, höjdskillnaden h m mellan hjärtat och en lägre mätpunkt i kroppen och tyngdaccelerationen g m s². Ange ett rimligt uttryck för p så att dimensionerna stämmer.

Lösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C,Α,Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter!

p CΡ^Αh^Βg^Γ _m^N₂ 1_m^kg₃^Αm^Β^m_s2^{Γ kg m}

s²m² 1 _m^kg_3Α^Α m^{Β m}_s2Γ^Γ För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att alla storheter väger jämt.

VL HL

kg 1 Α

m 1 2 3Α Β Γ

s 2 2Γ

Vi tar väl hjälp av Mathematica.

Solve 1 Α, 1 2 3 Α Β Γ, 2 2 Γ Α 1,Β 1,Γ 1

Alltså p CΡhg. Verkar rimligt, eller...? I fysik får man lära sig att C 1.

Exempel:Hastigheten v m s för vattenvågor som går över grunt vatten beror på vattendjupet h m och tyngdaccelerationen g m s². Ange ett rimligt uttryck för v så att dimensionerna stämmer.

Lösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C,Α och Β är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α och Β måste var dimen- sionslösa eftersom de är exponenter

v Ch^Αg^Β ^m_s 1 m^Α^m

s²^{Β m}_s 1 m^{Α mΒ}

s^2Β

För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att alla storheter väger jämt.

VL HL

m 1 Α Β

s 1 2Β

Vi tar väl hjälp av Mathematica.

Solve 1 Α Β, 1 2 Β

Α 1 2,Β 1

2^

Alltså v C hg .

Exempel:Tonhöjden frekvensen f Hz för en sträng på en fiol, gitarr eller harpa antas bero på strängens längd L m, dess densitetΡkg m och spännkraften S N. Ange ett rimligt uttryck för f så att dimensionerna stämmer.

Lösningsförslag: Vi ansätter ett samband där C,Α,Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter. Obs! Α, Β och Γ måste var dimensionslösa eftersom de är exponenter!

f C L^ΑΡ^ΒS^Γ ¹_s 1 m^Α^kg_m^Β^{kg m}_s2 

Γ 1

s 1 m^{Α kg}_mΒ^{Β kg}_s^Γ_2Γ^mΓ För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att alla storheter väger jämt.

VL HL

kg 0 Β Γ

m 0 Α Β Γ

s 1 2Γ

Vi tar väl hjälp av Mathematica.

Solve 0 Β Γ, 0 Α Β Γ, 1 2 Γ

 Β 1 2,Γ 1

2,Α 1

Alltså f ^C_L ^S

Ρ .

Exempel:Genom observationer antog Galilei att periodtiden T s för en matematisk pendel endast beror på det masslösa snörets längd L m, tyngden av den punktformade massan m kg och tyngdaccelerationen

g m s². Ange ett rimligt uttryck för T så att dimensionerna stämmer. L

m

Lösningsförslag: Den linjära analysen stämmer bara om den maximala utslagsvinkeln är relativt liten. I annat fall kommer periodti- den att märkbart bero på denna. Vi provar alltså om det finns ett fysikaliskt relevant samband av typen T Cm^Αg^ΒL^Γ, där C,Α,Β och Γ är godtyckliga dimensionslösa konstanter.

T Cm^Αg^ΒL^Γ s 1 kg^Α^m_s2^Βm^Γ s 1 kg^{Α m}_s2Β^Β m^Γ För att ekvationen ska vara korrekt krävs nu att alla storheter väger jämt.

VL HL

kg 0 Α

m 0 Β Γ

s 1 2Β

Vi tar väl hjälp av Mathematica.

Solve 0 Α, 0 Β Γ, 1 2 Β

Α 0,Β 1 2,Γ 1

2^

Alltså oberoende av m, så GG var rätt ute; T C ^L_g . I mekaniken får man lära sig att C 2Π.

Med dimensionsbetraktelse kan man alltså snabbt få en djup kvalitativ förståelse kring det problem man studerar. Många frågeställ- ningar och överväganden kan hanteras utan att man har tillgång till den dimensionslösa konstanten C, exempelvis, “Hur ändras periodtiden för pendeln i senaste exemplet om vi gör L dubbelt så lång?” Jo,

T_2L T_L

C ^{2 L}_g C ^L_g

2 T2L 2 TL

Ofta bestäms C från någon teoretisk analys eller laboratorieexperiment. Sedan kan även en kvantitativ betraktelse göras. Så Ta för vana att använda dimensionsanalys så ofta du hinner i ditt utvecklingsarbete!!