HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
NÅGRA VIKTIGA TRIGONOMETRISKA FORMLER
) cos(
) ) sin(
tan( a
a = a , om cos(a)≠0 ,
) sin(
) ) cos(
cot( a
a = a om sin(a)≠0 ,
) cot(
) 1
tan(a = a om sin(a)≠0och cos(a)≠0
============================
Trigonometriska ettan: sin2a +cos2a =1
============================
Additionsformler:
sin(a β+ )=sin cosa β+cos sina β sin(a β− )=sin cosa β−cos sina β
---
cos(a β+ )=cos cosa β−sin sina β cos(a β− )=cos cosa β+sin sina β
---
β a
β β a
a 1 tan tan
tan ) tan
tan( − ⋅
= + +
β a
β β a
a 1 tan tan
tan ) tan
tan( + ⋅
= −
−
---
β a
β β a
a cot cot
1 cot ) cot
cot( +
= − +
β a
β β a
a cot cot
1 cot ) cot
cot( −
−
=−
−
=============================================
Dubbelvinkel:
θ θ θ 2sin cos 2
sin = , cos2θ = cos2θ−sin2θ θ
θ θ2
tan 1
tan 2 2
tan = − ,
a θ θ
cot 2
1 ) cot
2 cot(
2 −
=
=============================================
Formler för halva vinkel:
2 cos 1
sin2θ2 = − θ ,
2 cos 1 cos2θ2 = + θ Ekvivalenta formler ( substitutionen =x
2
θ i ovanstående formler) :
2 ) 2 cos(
sin2 1 x
x −
= ,
2 ) 2 cos(
cos2 1 x
x +
=
=============================================
Sida 1 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Faktorisering av sinx±siny och cosx±cosy:
cos 2 sin 2
2 sin
sin x y x y
y
x+ = + − ,
sin 2 cos 2
2 sin
sin x y x y
y
x− = + −
cos 2 cos 2
2 cos
cos x y x y
y
x+ = + − ,
sin 2 sin 2
2 cos
cos x y x y
y
x− =− + −
=============================================
Udda och jämna funktioner:
x x) cos cos(− =
x x) sin sin(− =−
x x) tan tan(− =−
x x) cot cot(− =−
Alltså är cosx en jämn funktion,
medan sin , x tan och x cot är udda funktioner. x
=============================================
ÖVNINGAR
Uppgift 1. Använd additionsformlerna och bevisa följande formler:
a) π θ θ
cos 2 )
sin( − = b) π θ θ
sin 2 )
cos( + =− c) sin(π +θ)=−sinθ Bevis c) Vi använder formeln sin(a +β)=sinacosβ +cosasinβ
= + )
sin(π θ sinπcosθ +cosπsinθ =0⋅cosθ−1⋅sinθ =−sinθ vilket skulle bevisas.
Uppgift 2. Förenkla uttrycket sinacosa⋅(tana +cota).
Lösning: )
sin cos cos
(sin cos sin ) cot (tan
cos
sin a
a a
a a a a
a a
a ⋅ + = ⋅ +
1 cos cos sin
sin cos cos sin
sin 2 2
2 2
= +
+ =
⋅
= a a
a a
a a a
a .
Uppgift 3. Förenkla uttrycket (cot tan ) 2
cos
1 a a
a ⋅ − .
Svar:
a acos sin
1
Sida 2 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
Uppgift 4. Beräkna cosv och tan då v
5 sinv = 3 och
a) 0< v<90 b) 180< v<270 a) Från trigonometriska ettan har vi
1 cos
sin2v+ 2v = ⇒ cos2v =1−sin2v ⇒ cosv =± 1−sin2v
Om 0< v<90 ligger vinkeln v i första kvadranten där cosv är positiv. Därför väljer vi tecknet + dvs
5. 4 5 1 3 cos
2
=
− +
=
v
Slutligen
4 3 5 4 5 3 cos
tan = sin = = v v v
b) I tredje kvadranten är cosv negativ. Därför väljer vi tecknet – dvs.
5. 4 5
1 3 cos
2
−
=
−
−
= v
Därefter
4 3 5
4 5 3 cos
tan sin − =−
=
= v
v v .
Uppgift 5. Beräkna cosv och sin då v tanv=−5 och 90< v<180 Lösning: Vi delar sin2v+cos2v =1 med cos2v och får
v v
v v
v
2 2
2 2
2
cos 1 cos
cos cos
sin + = eller
v 2v
2
cos 1 1
) (
tan + = (*)
Formeln (*) använder vi för att beräkna cosv om tan är känd. Vi substituerar v
5 tanv=−1 i (*) och får
Sida 3 av 4
HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) Armin Halilovic
26 cos 1
26 cos 1
cos 1 1
25+ = 2 ⇒ 2v= ⇒ v=±
v .
Eftersom 90 < v<180 och cos v är negativ i andra kvadranten, väljer vi tecknet – och får
26 cosv=− 1 .
Slutligen från
v v v
cos
tan = sin har vi
26 5 26 5 1 cos tan
sinv= v⋅ v=− ⋅ − =
Svar:
26 cosv=− 1 ,
26 sinv= 5 .
Uppgift 6. Förenkla följande uttryck
a) sin(x+y)+sin(x−y) b) cos(x+y)+cos(x−y) c) cos(x+ y)−cos(x−y). Tips: Använd additionsformler
Svar: a) 2sinx cosy b) 2cosx cosy c) −2sinx siny
Uppgift 6. Visa följande formler:
a) 2
) 2 cos(
cos2 1 x
x= + b)
2 ) 2 cos(
sin2 1 x
x= −
c) x
x 2x
tan 1
tan ) 2
2
sin( = + d)
2) ( tan 1
2) tan(
2 ) sin(
2 x
x x
+
=
e) x
x 2x
2
tan 1
tan ) 1
2
cos( +
= − f)
2) ( tan 1
2) ( tan 1 ) cos(
2 2
x x x
+
= − .
Sida 4 av 4
