1 av 8 DUBBELINTEGRALER.
Rektangulära (xy) koordinater
Definition. Låt z=f(x,y) vara en reell funktion av två variabler x och y. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) D i ändligt antal mätbara delmängder Di och i varje Di väljer en godtycklig punkt (xi, yi).
Dubbelintegral definieras med hjälp av gränsvärdet
( , ) ≝ lim
( )→ ( , ) ( )
(om gränsvärdet existerar)
Definition med ε och :
Integral ∬ ( , ) existerar och har värdet I om för varje reellt tal ε > 0 existerar δ > 0 så att max ( ) < ⇒ | ∑ ( , ) ( ) − | < ε .
• Om funktionen = ( , ) ≥ 0 (alltså endast om ( , ) är en icke-negativ funktion) då är
( , ) = ( )
där = {( , , ): ( , ) ∈ , 0 ≤ ≤ ( , )} d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden D och ytan = ( , ) ( se bilden ovan).
Man använder dubbelintegralens definition för att härleda formler inom matematik, fysik och tekniska tillämpningar, men själva beräkningen utför man oftast genom upprepad (itererad, successiv) integration.
Beräkning av dubbelintegraler genom upprepad (itererad) integration ---
2 av 8 Om integrationsområde D är definierad med
≤ ≤ , ℎ ( ) ≤ ≤ ( ), d. v. s x mellan två tal, y mellan två funktioner (av x),
beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration
( , ) = ( , )
( )
( )
Anmärkning:
( , )
( )
( ) är en kortare beteckning för ( )( ) ( , ) ,
alltså vi integrerar på y först, substituerar y-gränser, och därefter integrerar vi på x.
--- Om integrationsområde D är definierad med
≤ ≤ , ℎ ( ) ≤ ≤ ( ), d. v. s y ligger mellan två konstanta tal, x mellan två funktioner (av y), beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration
∬ ( , ) = ( )( ) ( , ) ,
alltså , i detta fall, först på x och därefter på y .
====================================================================
Exempel 1. Beräkna dubbelintegral x x y dxdy
D
)
( 2 2
∫∫
+då D definieras genom 0≤ x≤1,
0 ≤ y ≤ 2 Lösning:
dxdy y x x
D
)
( 2 2
∫∫
+ ==
∫ ∫
1 +0 2
0
2
2 )
(x x y dy dx
3 av 8
[ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar x tillfälligt som en konstant.]
y dx x xy
2
0 1
0
3 2
∫ ⎢ ⎣ ⎡ + 3 ⎥ ⎦ ⎤
[Vi substituerar y- gränserna 2 och 0]=
∫
1⎢⎣⎡ + ⎥⎦⎤0
2
3 2 8x dx
x [Till slut integrerar vi med avseende på x.]
9 17 9 1 8 9
8
10 3
2
⎥ = + =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + x x
===========================================================
Exempel 2. Beräkna dubbelintegral x y dxdy
D
) 4
∫∫
( +då D definieras genom 0≤ x≤1,
0 ≤ y ≤ x + 1
.Lösning:
∫∫
+D
dxdy y x 4 )
( =
=
∫ ∫
1 + +0 1
0
) 4 (
x
dy y x dx
[ Först integrerar vi med avseende på y och tillfälligt betraktar x som en konstant.]
[ xy y ]
x 1dx
0 1
0
2
2∫ +
+ Vi substituerar gränserna=
∫
1[
+ + +]
0
)2
1 ( 2 ) 1
(x x dx
x , förenklar
[ ]
∫
1 + +0
2 5 2
3x x dx, och till slut integrerar med avseende på x
2 2 11 2 1 5 2 2
5
10 2
3
⎥ = + + =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ + x + x
x
.======================================================
Uppgift 1.
Beräkna dubbelintegral f x y dxdyD
∫∫
( , ) om4 av 8
a)
f ( x , y ) = x + 2 y
och D definieras genom 0≤ x≤1,0 ≤ y ≤ 2
b)f ( x , y ) = x + y
2+ 2
och D definieras genom 0≤ x≤1,0 ≤ y ≤ x
c)f ( x , y ) = 2 x + 2 y
och D definieras genom 1≤ x≤2,− x ≤ y ≤ x
d)f ( x , y ) = e
x+y och D definieras genom 2≤ x≤3,0 ≤ y ≤ 1
e)
f ( x , y ) = e
x+y och D är triangeln med hörnen i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1)f)
f ( x , y ) = sin( 2 x + 2 y )
och D definieras genom0 ≤ x ≤ π 2
,0 ≤ y ≤ π 2
Tips: Eftersom variabeln x ligger mellan två konstanter integrerar vi först på y och därefter på x, d.v.s. ∬ ( , ) = ( )( ) ( , ) .
Svar:
a) 5 b) 17/12 c) 28/3 d)
e
4− 2 e
3+ e
2 e) 1 f) 0Uppgift 2.
Beräkna dubbelintegral f x y dxdyD
∫∫
( , ) oma)
f ( x , y ) = x + 3 y
och D definieras genom 0≤x≤ y,0 ≤ y ≤ 1
b)f ( x , y ) = x + y
2 och D definieras genom 0≤ x≤ y,0 ≤ y ≤ 2
c)
f ( x , y ) = e
x+y och D definieras genom 0≤x≤ y+2,0 ≤ y ≤ 1
Tips: Eftersom variabeln y ligger mellan två konstanter integrerar vi först på x och därefter på y,
alltså ∬ ( , ) = ( , )
( )
( ) ,
Svar:
a) 7/6 b) 16/3 c)
1 2
2
2 4
− e − e + e
Uppgift 3.
Beräkna dubbelintegral f x y dxdy∫∫
D ( , ) där5 av 8
A(0.0)
C(1,1)
B(2,0)
y
x
y=x y
= 2- x
D
1D
2(1,0)
A(0.0)
C(1,1)
B(2,0)
y
x
x=y x
= 2- y
D
( , ) = 5 + och D är triangel ABC med hörn i A(0,0) , B ( 2,0) och C(1,1) genom att integrera a) först på y sedan på x dvs ( )( ) ( , )
b) först på x sedan på y dvs ( )( ) ( , )
Vilket sätt a eller b ger enklare beräkningar för integralen i uppgiften?
Lösning:
a)
Vi delar D i två områden D1 och D2 och beräknar därefter
dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f
D D
D
∫∫ ∫∫
∫∫
= +2 1
) , ( )
, ( )
,
( .
=
= ∫∫ f x y dxdy
I
D1
1
( , )
6 11 2
11 ] 0
5 2 [ 1
0 0
) 5 (
1
0 1 2
0
2
=
= +
=
∫ dx x ∫ x + y dy ∫ xy y x dx ∫ x dx
=
= ∫∫ f x y dxdy
I
D 2
2
( , )
2 ) 7 2 8 9 2 ( )
5 (
2
1 2 2
1 2
0
=
− +
=
+
∫
∫ ∫
dx −x x y dy x x dxdxdy y x f
D
∫∫ ( , )
=I1+I2=16 3
:b)
Området D kan beskrivas med 0 ≤ ≤ 1
≤ ≤ 2 −
Den här gången kan vi beräkna integralen direkt utan att dela integrations område i två delar.
∫∫ f x y dxdy =
D
) ,
( ∫ ∫
−+ = ∫
1− − =
0
2 1
0 2
) 2 8 10 ( )
5
( x y dx y y dy
dy
y
y
3
16
6 av 8
I den här uppgiften är det enklare att beräkna i ordningen
( )( ) ( , ) dvs först med avseende på x [ som i b )].Uppgift 4. Beräkna x dxdy
y
D
∫∫ 2 +
där D definieras av 0 ≤ ≤ ≤ 2 −
Tips. Rita integrationsområdet D och integrera i den ordning som enligt din uppfattning ger enklare räkningar.
Lösning:
D ligger i första kvadranten eftersom både x och y är ≥ 0
Kurvorna
= ℎ = 2 −
har i första kvadranten en skärningspunkt (1,1).
+ =
∫∫ y x dxdy
D
2 24
) 13 2 1 2
2 ( ) 2 ( 2 2
1
0
3 2 1
0 2 2 1
0 2 2
= +
−
−
= =
−
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
= +
+ ∫ ∫
∫ ∫ dx
−xy x dy y x y y x x dx x x x dx
x
Några till synes enkla funktioner har inte någon elementär primitiv funktion, t ex
, , sin( ) , cos( ) , sin, 1
…
T ex
kan inte uttryckas som ändlig kombination av elementära funktioner (men, med hjälp av Taylorutveckling, kan vi ange integral som en oändlig summa)
Däremot är enkelt att beräkna eftersom är konstant med avseende på y och därför
= +
Vi tar hänsyn till detta när vi väljer integrationsordning i nedanstående uppgifter
7 av 8
Uppgift 5. Beräkna
a)
y dxdy
D
∫∫ sin 2 b) e dxdy
D
∫∫
3y2där D definieras av 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2
Lösning a)
∫∫ y dxdy =
D
sin
2∫ ∫
=∫ [ ]
== =∫
20
2 2
0
0 2 2
0 0
2 sin sin
siny dx x y dy y y dy
dy xx y
y
= − cos = − cos 4
Svar a)
= − cos 4Svar b) −
Uppgift 6. Beräkna
a)
x dxdy
D
∫∫ cos 3 b x dxdy
D
∫∫ sin 3
där D definieras av 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2.
Lösning a)
dxdy x
D
∫∫ cos 3 =∫ ∫
= ∫ [ ]
= =∫
=
=
2
0
3 2
0 2
0
3 2
0 0
3 cos cos
cos
2 2
dx x x dx x
y dy x dx
x y
y x
[ Integralen
∫ x
2cos x
3dx
beräknas med hjälp av substitutionen: = ⇒ 3 = ….]⇒ sin = 1
2sin = −1
2cos +
= −1
2cos + Substitution: =
⇒ 2 = ⇒ =
8 av 8
= 3
8 sin 0 2 3 sin 3
⎥ =
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ x
Svar a) 3
8 sin
Svar b)
3 8 cos 1 − 3
Uppgift 7. Beräkna följande integraler genom att ändra integrationsordningen.
a) / / sin b) e
Lösning a)
Integrationsområdet ( kolla integralens gränser) definieras av 0 ≤ ≤ /2, ≤ ≤ /2
Vi ritar området
och ändrar integrationsordning:
/ / sin = / sin = / sin
= / sin = − cos /2 = − cos ( /2) =