• No results found

y dx x xy

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "y dx x xy"

Copied!
8
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

1 av 8 DUBBELINTEGRALER.

Rektangulära (xy) koordinater

Definition. Låt z=f(x,y) vara en reell funktion av två variabler x och y. Vi delar integrationsområde (definitionsområde) D i ändligt antal mätbara delmängder Di och i varje Di väljer en godtycklig punkt (xi, yi).

Dubbelintegral definieras med hjälp av gränsvärdet

( , ) ≝ lim

( )→ ( , ) ( )

(om gränsvärdet existerar)

Definition med ε och :

Integral ∬ ( , ) existerar och har värdet I om för varje reellt tal ε > 0 existerar δ > 0 så att max ( ) < ⇒ | ∑ ( , ) ( ) − | < ε .

• Om funktionen = ( , ) ≥ 0 (alltså endast om ( , ) är en icke-negativ funktion) då är

( , ) = ( )

där = {( , , ): ( , ) ∈ , 0 ≤ ≤ ( , )} d.v.s. K består av punkter som ligger mellan definitionsmängden D och ytan = ( , ) ( se bilden ovan).

Man använder dubbelintegralens definition för att härleda formler inom matematik, fysik och tekniska tillämpningar, men själva beräkningen utför man oftast genom upprepad (itererad, successiv) integration.

Beräkning av dubbelintegraler genom upprepad (itererad) integration ---

(2)

2 av 8 Om integrationsområde D är definierad med

≤ ≤ , ℎ ( ) ≤ ≤ ( ), d. v. s x mellan två tal, y mellan två funktioner (av x),

beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration

( , ) = ( , )

( )

( )

Anmärkning:

( , )

( )

( ) är en kortare beteckning för ( )( ) ( , ) ,

alltså vi integrerar på y först, substituerar y-gränser, och därefter integrerar vi på x.

--- Om integrationsområde D är definierad med

≤ ≤ , ℎ ( ) ≤ ≤ ( ), d. v. s y ligger mellan två konstanta tal, x mellan två funktioner (av y), beräknas dubbelintegralen med följande upprepad integration

∬ ( , ) = ( )( ) ( , ) ,

alltså , i detta fall, först på x och därefter på y .

====================================================================

Exempel 1. Beräkna dubbelintegral x x y dxdy

D

)

( 2 2

∫∫

+

då D definieras genom 0≤ x≤1,

0 ≤ y ≤ 2 Lösning:

dxdy y x x

D

)

( 2 2

∫∫

+ =

=

∫ ∫

1 +

0 2

0

2

2 )

(x x y dy dx

(3)

3 av 8

[ Först integrerar vi med avseende på y och betraktar x tillfälligt som en konstant.]

y dx x xy

2

0 1

0

3 2

+ 3

[Vi substituerar y- gränserna 2 och 0]

=

1 +

0

2

3 2 8x dx

x [Till slut integrerar vi med avseende på x.]

9 17 9 1 8 9

8

1

0 3

2

⎥ = + =

⎢ ⎤

⎡ + x x

===========================================================

Exempel 2. Beräkna dubbelintegral x y dxdy

D

) 4

∫∫

( +

då D definieras genom 0≤ x≤1,

0 ≤ yx + 1

.

Lösning:

∫∫

+

D

dxdy y x 4 )

( =

=

∫ ∫

1 + +

0 1

0

) 4 (

x

dy y x dx

[ Först integrerar vi med avseende på y och tillfälligt betraktar x som en konstant.]

[ xy y ]

x 1

dx

0 1

0

2

2

+

+ Vi substituerar gränserna

=

1

[

+ + +

]

0

)2

1 ( 2 ) 1

(x x dx

x , förenklar

[ ]

1 + +

0

2 5 2

3x x dx, och till slut integrerar med avseende på x

2 2 11 2 1 5 2 2

5

1

0 2

3

⎥ = + + =

⎢ ⎤

⎡ + x + x

x

.

======================================================

Uppgift 1.

Beräkna dubbelintegral f x y dxdy

D

∫∫

( , ) om

(4)

4 av 8

a)

f ( x , y ) = x + 2 y

och D definieras genom 0≤ x≤1,

0 ≤ y ≤ 2

b)

f ( x , y ) = x + y

2

+ 2

och D definieras genom 0≤ x≤1,

0 ≤ yx

c)

f ( x , y ) = 2 x + 2 y

och D definieras genom 1≤ x≤2,

xyx

d)

f ( x , y ) = e

x+y och D definieras genom 2≤ x≤3,

0 ≤ y ≤ 1

e)

f ( x , y ) = e

x+y och D är triangeln med hörnen i punkterna (0,0), (1,0) och (0,1)

f)

f ( x , y ) = sin( 2 x + 2 y )

och D definieras genom

0 ≤ x π 2

,

0 ≤ y π 2

Tips: Eftersom variabeln x ligger mellan två konstanter integrerar vi först på y och därefter på x, d.v.s. ∬ ( , ) = ( )( ) ( , ) .

Svar:

a) 5 b) 17/12 c) 28/3 d)

e

4

− 2 e

3

+ e

2 e) 1 f) 0

Uppgift 2.

Beräkna dubbelintegral f x y dxdy

D

∫∫

( , ) om

a)

f ( x , y ) = x + 3 y

och D definieras genom 0≤xy,

0 ≤ y ≤ 1

b)

f ( x , y ) = x + y

2 och D definieras genom 0≤ xy,

0 ≤ y ≤ 2

c)

f ( x , y ) = e

x+y och D definieras genom 0≤xy+2,

0 ≤ y ≤ 1

Tips: Eftersom variabeln y ligger mellan två konstanter integrerar vi först på x och därefter på y,

alltså ( , ) = ( , )

( )

( ) ,

Svar:

a) 7/6 b) 16/3 c)

1 2

2

2 4

ee + e

Uppgift 3.

Beräkna dubbelintegral f x y dxdy

∫∫

D ( , ) där

(5)

5 av 8

A(0.0)

C(1,1)

B(2,0)

y

x

y=x y

= 2- x

D

1

D

2

(1,0)

A(0.0)

C(1,1)

B(2,0)

y

x

x=y x

= 2- y

D

( , ) = 5 + och D är triangel ABC med hörn i A(0,0) , B ( 2,0) och C(1,1) genom att integrera a) först på y sedan på x dvs ( )( ) ( , )

b) först på x sedan på y dvs ( )( ) ( , )

Vilket sätt a eller b ger enklare beräkningar för integralen i uppgiften?

Lösning:

a)

Vi delar D i två områden D1 och D2 och beräknar därefter

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f

D D

D

∫∫ ∫∫

∫∫

= +

2 1

) , ( )

, ( )

,

( .

=

= ∫∫ f x y dxdy

I

D1

1

( , )

6 11 2

11 ] 0

5 2 [ 1

0 0

) 5 (

1

0 1 2

0

2

=

= +

=

dx xx + y dyxy y x dxx dx

=

= ∫∫ f x y dxdy

I

D 2

2

( , )

2 ) 7 2 8 9 2 ( )

5 (

2

1 2 2

1 2

0

=

− +

=

+

∫ ∫

dx x x y dy x x dx

dxdy y x f

D

∫∫ ( , )

=I1+I2=

16 3

:

b)

Området D kan beskrivas med 0 ≤ ≤ 1

≤ ≤ 2 −

Den här gången kan vi beräkna integralen direkt utan att dela integrations område i två delar.

∫∫ f x y dxdy =

D

) ,

( ∫ ∫

+ = ∫

1

− − =

0

2 1

0 2

) 2 8 10 ( )

5

( x y dx y y dy

dy

y

y

3

16

(6)

6 av 8

I den här uppgiften är det enklare att beräkna i ordningen

( )( ) ( , ) dvs först med avseende på x [ som i b )].

Uppgift 4. Beräkna x dxdy

y

D

∫∫ 2 +

där D definieras av 0 ≤ ≤ ≤ 2 −

Tips. Rita integrationsområdet D och integrera i den ordning som enligt din uppfattning ger enklare räkningar.

Lösning:

D ligger i första kvadranten eftersom både x och y är ≥ 0

Kurvorna

= ℎ = 2 −

har i första kvadranten en skärningspunkt (1,1).

+ =

∫∫ y x dxdy

D

2 24

) 13 2 1 2

2 ( ) 2 ( 2 2

1

0

3 2 1

0 2 2 1

0 2 2

= +

= =

⎥ =

⎢ ⎤

= +

+ ∫ ∫

∫ ∫ dx

x

y x dy y x y y x x dx x x x dx

x

Några till synes enkla funktioner har inte någon elementär primitiv funktion, t ex

, , sin( ) , cos( ) , sin

, 1

T ex

kan inte uttryckas som ändlig kombination av elementära funktioner (men, med hjälp av Taylorutveckling, kan vi ange integral som en oändlig summa)

Däremot är enkelt att beräkna eftersom är konstant med avseende på y och därför

= +

Vi tar hänsyn till detta när vi väljer integrationsordning i nedanstående uppgifter

(7)

7 av 8

Uppgift 5. Beräkna

a)

y dxdy

D

∫∫ sin

2 b)

e dxdy

D

∫∫

3y2

där D definieras av 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2

Lösning a)

∫∫ y dxdy =

D

sin

2

∫ ∫

=

[ ]

== =

2

0

2 2

0

0 2 2

0 0

2 sin sin

siny dx x y dy y y dy

dy xx y

y

= − cos = − cos 4

Svar a)

= − cos 4

Svar b)

Uppgift 6. Beräkna

a)

x dxdy

D

∫∫ cos

3 b

x dxdy

D

∫∫ sin

3

där D definieras av 0 ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2.

Lösning a)

dxdy x

D

∫∫ cos

3 =

∫ ∫

=

[ ]

= =

=

=

2

0

3 2

0 2

0

3 2

0 0

3 cos cos

cos

2 2

dx x x dx x

y dy x dx

x y

y x

[ Integralen

x

2

cos x

3

dx

beräknas med hjälp av substitutionen: = ⇒ 3 = ….]

⇒ sin = 1

2sin = −1

2cos +

= −1

2cos + Substitution: =

⇒ 2 = ⇒ =

(8)

8 av 8

= 3

8 sin 0 2 3 sin 3

⎥ =

⎢ ⎤

x

Svar a) 3

8 sin

Svar b)

3 8 cos 1 − 3

Uppgift 7. Beräkna följande integraler genom att ändra integrationsordningen.

a) / / sin b) e

Lösning a)

Integrationsområdet ( kolla integralens gränser) definieras av 0 ≤ ≤ /2, ≤ ≤ /2

Vi ritar området

och ändrar integrationsordning:

/ / sin = / sin = / sin

= / sin = − cos /2 = − cos ( /2) =

Svar a) 2

1 Svar b) 6 6 1

3

e

References

Related documents

[r]

Rättningsmall: Korrekt stationär punkt (1,0) ger 1p.. a) (2p) Bestäm eventuella stationära punkter och deras karaktär. c) (1p) Rita funktionens graf.. b) Lodräta asymptoter

Vi väljer ett öppet existensintervall eftersom i ändpunkterna finns endast ensidiga derivator (vänster- eller högerderivatan).. b) Ange lösningen på explicit form.. a)

[r]

[r]

Varje punkt p˚ a x− axeln ¨ar

Resultatet anslås i Matematiskt Centrum senast tre ve kor efter

Alla punkter på C är inre punkter till definitionsmängderna för f, g och h,därmed vet vi av teorin att de sökta extrempunkterna är punkter där de tre funktionernas gradienter