KONTROLLSKRIVNING 2
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic
Datum: 14 apr 2014 Skrivtid: 13:15-15:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar.
Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1.(2p) En låda innehåller 30 röda och 70 gröna kulor.
a) Man drar ur lådan, utan återläggning, 15 kulor. Bestäm sannolikheten att exakt 4 av de dragna kulorna är röda.
b) Man drar ur lådan , med återläggning, 11 kulor. Bestäm sannolikheten att högst 3 av de dragna kulorna är röda.
I både a) och b) delen svarar du med hjälp av binomiska koefficienter.
Uppgift 2. (2p) Låt
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
2 0
) , (
5
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ.
a) Bestäm konstanten k b) Beräkna sannolikheten P(ξ >1)
Uppgift 3. (2p) Livslängd hos en viss elkomponent är exponentialfördelad s.v. med
fördelningsfunktionen
<
≥
= −
−. 0 0
0 x om ) 1
(
4 /
x x e
F
x
a) Bestäm sannolikheten att en sådan elkomponent (slumpvis vald) har livslängden som är större än 3 år.
b) Man köper 10 sådana elkomponenter. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är större än 3 år. (I b frågan kan du svara med ett uttryck som innehåller binomiska koefficienter )
Uppgift 4. (2p) En s.v. ξ har täthetsfunktionen
≤
<
≤
= <
2 1
,
1 0
) , (
3
x kx
x x kx
f
a) Bestäm k b) Bestäm medianen förξ. Lycka till.
FACIT
Uppgift 1.(2p) En låda innehåller 30 röda och 70 gröna kulor.
a) Man drar ur lådan , utan återläggning, 15 kulor. Bestäm sannolikheten att exakt 4 av de dragna kulorna är röda.
b) Man drar ur lådan , med återläggning, 11 kulor. Bestäm sannolikheten att högst 3 av de dragna kulorna är röda.
I både a) och b) delen svarar du med hjälp av binomiska koefficienter.
Svar a: Hypergeometrisk fördelning:
= 15 100
11 70 4 30 Pa
b) För dragning ur lådan med återläggning har vi samma sannolikhet vid varje dragning att få en röd p= 30/100 och sannolikheten att få en grön q=70/100 .
Binomialfördelning med n= 11 och p= 30/100=0.3 och q=0.7 :
3 2 1
0 p p p
p
Pb= + + +
8 3 9
2 10
1 11
0
3 11 2
11 1
11 0
11 p q p q p q p q
+
+
+
=
8 3 9
2 10
1 11
0 0.3 0.7
3 7 11 . 0 3 . 2 0 7 11 . 0 3 . 1 0 7 11 . 0 3 . 0 0
11 ⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Svar b) 0.3 0.7 0.57
3 7 11 . 0 3 . 2 0 7 11 . 0 3 . 1 0 7 11 . 0 3 . 0 0
11 0 11 1 10 2 9 3 8
≈
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
Uppgift 2. (2p) Låt
< ≤
= för övrigt x x kx
f 0
2 0
) , (
5
vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel ξ.
a) Bestäm konstanten k b) Beräkna sannolikheten P(ξ >1) Lösning.
2 av 6
a) 3
32 6
2
0 2 6
0
5 x k
k dx kx
Arean =
=
=
∫
,0.09375) 32 (
1 3 3
1⇒ 32 = ⇒ = =
= k k
Arean .
b) 0.98
64 63 6 63 32 ] 3 6 1 6 [64 ) 6
1 (
2
1 2 6
1
5 = − = ⋅ = ≈
=
=
>
=P
∫
kx dx k x kPb ξ
Svar: a) 32
= 3
k b) P(ξ >1)= 0.98 6463 ≈ .
Uppgift 3. (2p) Livslängd hos en viss elkomponent är exponentialfördelad s.v. med
fördelningsfunktionen
<
≥
= −
−. 0 0
0 x om ) 1
(
4 /
x x e
F
x
a) Bestäm sannolikheten att en sådan elkomponent (slumpvis vald) har livslängden som är större än 3 år.
b) Man köper 10 sådana elkomponenter. Bestäm sannolikheten att minst 4 av dem har livslängden som är större än 3 år. (I b frågan kan du svara med ett uttryck som innehåller binomiska koefficienter )
Lösning:
a) p=P(X >3)=1−P(X ≤3)=1−F(3)=1−(1−e−3/4)=e−3/4 ≈0.4724
b) Låt Y beteckna antalet transistorer bland dem 10 köpta som har livslängden större än 3 år.
Då är Y∈Bin(10,p) där p≈0.4724 och q=1−p≈0.5276. 3 av 6
) 10 ( )
5 ( ) 4 ( ) 4
(Y ≥ =P Y = +P Y = + +P Y =
P
0 10 5
5 6
4
10 10 5
10 4
10 p q p q p q
+
+
+
= ≈0.78 { p≈0.4724 och q≈0.5276}.
Alternativ lösning : P(Y ≥4)=1−P(Y <4)=1−{P(Y =0)+P(Y =1)+P(Y =2)+P(Y =3)}.
+
+
+
−
= 0 10 1 9 2 8 3 7
3 10 2
10 1
10 0
1 10 p q p q p q p q
Svar: a) 0.47
b) 0.78
10 10 5
10 4
10 4 6 5 5 10 0
≈
+
+
+
p q p q p q { p≈0.4724 och q≈0.5276}.
Alternativt svar b:
+
+
+
−
= 0 10 1 9 2 8 3 7
3 10 2
10 1
10 0
1 10 p q p q p q p q .
Uppgift 4. (2p) En s.v. ξ har täthetsfunktionen
≤
<
≤
= <
2 1
,
1 0
) , (
3
x kx
x x kx
f
a) Bestäm k b) Bestäm medianen förξ. Lösning:
4 1 4
1
0 1 4
0
3 x k
k dx kx
Area =
=
=
∫
2 3 2 2
2
1 2 2
1
k k x
kxdx
Area =
=
=
∫
0.5714 7
1 4 4 1 7 2 3 1 4
2
1+ = ⇒ k + k = ⇒ k = ⇒k = ≈ Area
Area .
Därmed blir
7 1 1= 4k =
Area och
7 6 2 2=3k =
Area .
4 av 6
Metod 1 för b delen: Medianen delar den totala arean under täthetsfunktionen i två lika delar.
Eftersom
7 1=1
Area ser vi att medianen måste ligga i andra delen. Vi betecknar medianen med M och löser ekvationen 0.5
2
∫
=M
kxdx med avseende på M:
⇒
∫
2 =0.5M
kxdx 1
7 4 7 1 16 2 4
1 2 2 5 4 . 2 0
2 2
2 2 2
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
⇒
=
M k kM M
k x k
k
M
2 4 3
9 7 4
16− 2 = ⇒ = 2⇒ =±
⇒ M M M . Endast
2 +3
=
M ligger i intervallet 1< x≤2.
Svar: a) 7
= 4
k , b) Medianen = 3/2.
Metod 2 för b delen: Vi kan först bestämma fördelningsfunktionen F(x):
>
≤
<
−
=
− +
=
+
= +
≤
<
=
=
≤
=
∫
∫
∫
2 om 1
2 1
om 7 1 7 ) 2 2 1 ( 2
7 1 2
7 1
1 0
7 om
4 0 om 0
) (
2 2
1 2
1 1
0 3
4 4
0 3
x
x x k x
k t ktdt
dt kt
x x dt kx
kt
x
x
F x
x x
5 av 6
Alltså
>
≤
<
−
≤
<
≤
=
2 om 1
2 1
om 7 1 7 2
1 0
om 7 ,
0 om 0
)
( 2
4
x x x
x x
x
x F
Medianen Får vi genom att lösa ekvationen F(x)=0.5.
i) Först försöker vi med
2 1 7
4
x =
i intervallet 0< x≤1.
1.36778 2
7 2
7 2
1 7
4 4 4
±
=
±
=
⇒
=
⇒
= x x
x , men ingen av lösningarna ligger i int.
1 0< x≤
ii) Vi löser ekv 2 1 7 1 7 2 2
= x −
i intervallet 1< x≤2 och får
2 9 3
2x2 = ⇒x=± där endast 2
+3ligger i intervallet 1< x≤2.
Svar: medianen = 2 3
6 av 6
