/3.
DE
FUNCTIONIBUS ALGEBRAICIS DISSERTATIO CR1TICA.
CUJUS PARTUM SEPTIMAM
VENIA AMPL. FAC, PHILOS. UPSAL.
P Ii M S I D E
Mag. HENRICO FALCK
Mathezaatum & Philosophiae Naturalis Adjuucto
PRO GRADU PHILOSOPHICO
V. V.
CAROLÜS ADOLPHUS SALLBERG Ostrogolhus.
IN AUDIT. GUSTAV» DIE XV JUNII MDCCCXXXVI.
H. P. M. S.
D PSALI M,
EXCÜDEBANT REGIJE ACADEMIJE TYI'OGKAJ'HI.
A vel rB > — B; sed C vel qD Dt
A a
aut > ,
A vel rB s=a — B; sed C vel qD <C — /2»
A A
unde statim concludiiur, aut esse
fX fX
r > .e.l , < -
aut
i« t2
r = —; sed g < —-»
A A
et proinde in omnibus his tribus casibus r > q. Similitet
in tribus pasterioribus criteriis habebitur aut
A vel rB < — Z?j sed C vel qD D,
A A
aut
vel rZ? s= — 5; sed C vel tfZZ > — Z),
A A
unde concluditur, aut esse
I2 BSZ t*
. r<r,ed?>i;
aut
f2 , A*
r » —; sed 5 > —,
A A
et proinde in tribus his omnibus casibus semper r < q.
Alia autem in hac Euclideå, ut dicitqr, definitione jamdiu notata fuit lacuna, illa scilicet ab EUCLIDE plane intermissa disquisitio, quinam reverå sint limites, inträ quos deprehendantur speciales illse sequemultiplices, quas cuique ex criterns^ allatis satisfaciant, quasque repugnent.
Sed ad hoc quoque subsidio fractionum et motus conti nui facil lime respondebitur, si, qusestione mverså,
ponatur pro*
fecto, esse v > q, tum vero deinceps consideretur I:mo,
fractio quasiibet utråque rationum r et q minor; II:do, fra»
ctio, quae forsan minore q aequatur; lllitio, fractio quae-
1 i bet inter q et f posita ; 1 V;to; fracttOj quas forsan ma*
jori q asquatur, et V:to, fractio quaelibet utramque ha.
rum rationum r et ^ 6uperans. Quarndiu igitur l:o, ma- net —■f* < q, qutcunque de cetero fx et X fuerint numeri
Å
integri, patet utique, permansuram quoque et r ét q > f* ,
Å unde pro quåjibet ejusmodi fractione semper erit
jU u,
rB vel A > —X B et simul quoque qD vel C > — Dt
» X nec non semper
XA > (JLB et simul quoque XC > fxD.
t
Si vero II:do, X ejusmodi füerii valör parlicularis fractio*
.A* P
nis conUnue erescenus , ut *-7 S=<7, erit
X X
—
. 51
f
( /
rB vel A > £-A B; «ed ?D* vel C= ^ Z>,
A nec non -
KrA > //i?» sed A'C sr: (.iD.
öuamdttt autern IXI."io, fractio illa —fx ulterius erescens A
iruer q el r permansefit, erlt utique
rB vel A > — B\ sed qD vel C < — D,
A A
nec non
AA > fxB; sed AC < bD-
b .b
Quando autem IV:fo, —A ad ipsam r pervenerit, sif -77A
valör ejus tum locum Kabens specialis sr: r, et erit
ix ' "
rB vel Asss—A B; sed qD vel C < ~ Dr
A'
nec non
A"ÄzzfS'B; sed A"C < f/'D.
Quemcunque vero> V.-to,, ipså ratione *• majorem fractio illa ulteriur crescen* b obtineat valören*, timut utique erunf et
*B vel A <. ~ B, aique qD vel C <, —
A A
nec non ritnul profecto semper
AA < fxB atque AC< fxD,
Hocum igitur non habet discrepantia illa nisi inträ Km ites
b b
—• s 5 et — s r, ipsis etiam tnclusig limitibug q et r.
5s ==
Sed infra hane regionem aequemultiplices quaslibetanteceden- tiusn seraper simul erunt majoresj supra vero eandern
psam regionem semper simul erunt minores aequemultiplici«
bus quibusvis consequentium. Sic directå omnino via, ut in omni tractatione mathematicå, quoad fieri potest, ubique
semper adnitendum demonstratum quoque est theorema illud, ad concilianda criteiia Euc'idea majoris et minoris
Talionis, ila ut altera alteram excludaf, necessarium» ratio»
nera scilicet, quae ex certis cequemultiplicibus ut major agno- scitur, minitne umquam ex aliis forsan sequemultiplicibu»
minorem posse judicari. Similiter autem haec nostra dis«
quisiiio perficienda, si r < q, modo fr actio illa ■— aort Å
erescat, sed a quocumque ambas rationes superante vätor»
usque ad nihilum continue d^crescau
Sed postquam in praeeedenti §* explicavimus» quomott©
per jllas roetiendi operationes, qu» ad detegeodin» maxi«
muin communem divisorem vel mensuram institquntur».
extra omne dubium ponatur, esserationem At ß zu C» D,
i. e» rzzzq* si modo certum fuerit, eosdem semper in u-
tråque harum rationum quaerendå simul fore prodiiuros nu-
meros integros quotientes, consentaneum utique videlur hoc
loco disquirere, primo quidem» an ratione» r et q inaequa-
i — 53
les sint nec ne, simulac diversi forsan in unå et altera quaerendå prodeant quotientes; tum vero utra sit in hoc
casu altera minor et major, tandem autem quantillå distent
differentiå. Quas tarnen quaestiones, quamvrs in doctrinå
proportionum gravissimas, hic obiter tantum indicare ee>
potius liceat, quo a prsesenti consilio sint aliquanto remo- tiores et insuper jarodüdum alibi exemplis enodat«, vide
tractatum, lustro fere abhinc editum : Practisk Lärobok i Geometrien ock Trigonometrien, (Lib. II, Probl. 8 et *3)*
Quis autem non videt, etiam in his majoris minorisque
rationis caracteribus EUCLIDI motum illum continuum, quarnvis non expliclte, fuisse obversatum ? Utcunque vero hscc existimentur, id certe ex antecedentibus concluditur,
non posse criteria illa «qualitatis atque inaequalitatis ratio*
nutn Euclidea nisi proportione qualibet ut unå et abstracfå
quantitate eonceptå aut detegi aut jam detecta explicari;
deinde autem, haec eadem criteria, quamquam responsiones utique sint qusstionum in ha,c re summi momenti, minime
tarnen esse proportionum theori«aliquod fundamentum, sed,
riullo pr® reliquis hujus disciplin« assertionibus principatu*
aeque ac ill« ab eodem principio, definilione scilicet vexå
proportionis, immediate omnino efse derivanda» Nihil
enim aliud pro fundamento cujusvis doctrins in genere et
54 =====
proportionum in specie adsumendum, nisi ipsa defimuo
vel constructio rei , quam tractat, fundamentalas, quvs qui-
dero hic profecto nulla est, nisi proportionis vel rationts
notio distincta atque adajquata,
§• XI.
Ad finetn adeo perduclå crist Kuclideae simplicium , ut
VfciTgo creditur, proportionum theorke, restaf, ut eximini etiam subjicianttir notiones rationts,' ut dicunt, compVu»,
ieqne ac duplicatse, tiiplicatae, cet., quo vers prodearu he¬
rum vocabulorurn sigoificationes, comparatisque in hac re EUCLID1S et recentiorutn opinionibus, quid utrobique re¬
ctum sit, quidque peccetur, patefiat. Stafim vero ab inuio constat, nullam esse in tractandå proportionum discipli >å definitionens, quze, tamquam genetica, definitio est salu- tanda, praeter ipsam illam proportionis fundamentalem, quå absoluta, reliqua» omnes, ut vulgoaudiunt, definitiones n m sunt geneticse sed aut theoremata aut mere nominales vo¬
cabulorurn et phrasium fexicographicae quasi explica-iones.
Quod quidem primo loco affirmandum de ipså, qme hic agitur, proportionum corapositione. Quando scilicet novi-
mus, proportionem quamlibet ipsius A ad B nihil alttid
esse nis» quantitatem abstractam q, quå profecto tnullipli-
cetur oportet B ut A SS $3, et insuper- produetum qB ex
===== 56
xnuhiplieationeetiam ipsius B per quantitåtem sürdafndistinttö
eoncipere vel mentecönstruére didicimus^ praévidere ortmino Jicebit» nullam omnlno fünctionem abstractarüm possé co»
gitari quantitatum, nisl qufc operatio quaedam sit calculi,
sive arithmetici, sive, universalius et surdarum etläm quan»
tifata ra habito respeclu, algebraici seu analytici. I(a au- tem optima sane ad veram compositiönis hujus notionérti pervenies via, si , antequam tninimam audieris Vfel legeri*
denominationum istarum componéndi, düplicandi, tet. men»
.tionem, et priusquam, ut vulgo fit, legas et coeca fidé adsii»
mas varias illas9 ut dlcuntur, definitiones, quibus siveEU- CLIDES sive recentiorum temporum scriptöréS råtionem composifarn et tnultiplicatam descripserunt, hoc primUm prö»
b!erna in exemplo particulari vestitum solVas, quomodo ex.
gr. ratloneni invenias parallelograromi P ad aliud quodcunque parallelogrammum aequiangulum P\ postquam scilicet unå vel altera metiendi methodo comperisti non modo råtionem qf quam habet illius latus horizontale, Vel* si magis pla¬
ce!, basis B ad hujusce basin B\ sed efetn quoqüe ratio*
nem r, quam habet illius latus intlinatum C ad hujusce
latus inclinatum C. Ad quOd facillimo negötio perficien-*
dum nihil aliud opus erit, nisi ut tertium quoddam ejus*
modi parallelogrammum cum prioribus sequlaflgulutw P* in
56 =====
basi ex, gr. ipstus P' tta construatur, ut alterius P iateri
incllnato C «quäle habeat C". Tum vero, quooiam P et P\ ut ex Eucl. I: 26 facile patet, äquales habeant altMu-
dines, et sie inter easdem rectas parallelas transponi possir>t>
erit utique
P : P" = B: Bf.
Cum vero ex hypothési B : B' ZZ2 q i.e. B zzz qB', sequi-
tur profecto ex Euc,l. VI: I, eise PzziqP". Similiter au-
iem , qupniam P" et P' inter easdem rectas parallelas aint constituta, erit
P": P' = C" (vel C): C;
ex hypothési autem sciraus, esse C.* C zzz r, vel, quod ad
idem redit, C zzz rC'. Profecto igitur hinc sequitur, esse P" "ZzrP\ Erit proinde ipsum P s=sq . (rP')i i. e,, quo- niam uni versalissime locum habeat veritas, idem omnino prodire, sive P per r et q deinceps, sive per (otum pro«
ductum qr simul multiplicetur, tandem prodibit Pz^(qr).P' et ratio qusesita P: P'~ qr.
Obiter autem observandum, theorerna, unde haec concludi-
tur aequatio, aeque ac reliqua multiplicationis et divisionis
rheorem&ta* quorurp unum alterumve in demonsfråndis,
quas praecedunt, jam ut cnncessum in subsidium vocavimug,
oronia sane rigujiori opus habere demonstratione, minirne
